Dokumen tersebut membahas tentang integral ganda dan aplikasinya, termasuk menentukan luas, volume, pusat massa, dan momen inersia menggunakan integral ganda.

1. By
DIEN NOVITA

2. BAB I
INTEGRAL LIPAT
DAN
TERAPANNYA

3.  Definisi
Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi
pada suatu persegi panjang tertutup R. Maka f dapat
diintegralkan yang disebut sebagai integral lipat dua
f pada R, yaitu :
Jika f(x,y) = 1 pada R, maka integral lipat dua
merupakan luas R

R
dA
y
x
f )
,
(
)
(
1 R
kA
dA
k
dA
k
R
R

 


4. dy
dx
y
x
f
dA
y
x
f
R
d
c
b
a
   







 )
,
(
)
,
(
dx
dy
y
x
f
dA
y
x
f
R
b
a
d
c
   







 )
,
(
)
,
(
atau

5.  Menentukan Volume Tetrahedron
Langkah – langkah menentukan volume tetrahedron yang
dibatasi bidang xy, xz, dan yz serta bidang w = f(x,y,z):
1. Tentukan persamaan bidang z = f(x,y)
2. Tentukan persamaan x dan y jika z = 0
3. Gambarkan bidang z = f(x,y)
4. Tentukan titik batas x dan y pada bidang xy
5. Tentukan
 
 


b
a
y
f
y
f
b
a
x
f
x
f
dxydy
y
x
f
V
atau
dydx
y
x
f
V
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(

6.  Menentukan Pusat Massa )
,
( y
x




S
S
dA
y
x
dA
y
x
x
m
My
x
)
,
(
)
,
(






S
S
dA
y
x
dA
y
x
y
m
Mx
y
)
,
(
)
,
(



7.  Menentukan Momen Inersia Terhadap
Sumbu x dan Sumbu y


S
x dA
y
x
y
I )
,
(
2



S
y dA
y
x
x
I )
,
(
2


8.  Andaikan C kurva mulus sepotong-sepotong, tertutup
sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah S di bidang
xy. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan
kontinu pada S dan batasnya C, maka:
 

 














C
S
Ndy
Mdx
dA
y
M
x
N
 
b
x
a
x
f
y
x
g
y
x
S 



 ),
(
)
(
|
)
,
(

9.  

R R
rdrd
r
r
f
dA
y
x
f 

 )
sin
,
cos
(
)
,
(

10. dA
f
f
G
A
S
y
x
 

 1
)
( 2
2

11.     
















B
f
e
d
c
b
a
dz
dy
dx
z
y
x
f
dV
z
y
x
f )
,
,
(
)
,
,
(

12.    


S
r
r
r
g
r
g
d
dr
dz
r
r
r
f
dV
z
y
x
f
V
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
sin
,
cos
(
)
,
,
(








