Simple linear regression and correlation

1. สารบัญ
หน้า
1 บทนา 1
2 การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย 1
3 การประมาณค่าพารามิเตอร์โดยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด 4
3.1 การประมาณค่าจุดตัด และความชัน: 0 และ 1 4
3.2 การประมาณค่าความแปรปรวน: 2
 7
4 คุณสมบัติของตัวประมาณค่าโดยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด 11
5 การทดสอบสมมติฐานในการวิเคราะห์ถดถอยเชิงเส้น 13
5.1 การทดสอบสมมติฐานโดยการใช้ t-Test 13
5.2 การทดสอบสมมติฐานนัยสาคัญการถดถอยโดยใช้การวิเคราะห์ความแปรปรวน 15
6 ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ 18
7 สหสัมพันธ์ 19
8 ตัวอย่างงานวิจัย 22

2. สารบัญรูป
รูปที่ หน้า
1 แผนภาพการกระจายของการอัด (y) กับแรงดัน(x) 2
2 เส้นสมมติของ 0 1( )E y x   4
3 แผนภาพการเบี่ยงเบนจุดของข้อมูลกับเส้นถดถอย 5
4 ตัวอย่างความแปรปรวนของข้อมูล 7
5 แผนภาพการกระจายของค่าความต้านทาน (y) กับเปอร์เซ็นต์กาวอัด (x) 9
6 พล็อตของสมการถดถอยเชิงเส้นของตัวอย่างที่ 1 10
7 ไม่ปฏิเสธสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   (ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง x และ y) 14
8 ปฏิเสธสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   (มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง x และ y) 14
9 แผนภาพการกระจายของข้อมูลอธิบายค่า R 21
10 พล็อตเส้นถดถอยของสายชั่วโมงของเครื่องบินและปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษา 23
11 พล็อตเรสซิดวลของชั่วโมงบินเครื่องบิน และการใช้วัสดุในการบารุงรักษาหลัก 25

3. สารบัญตาราง
ตารางที่ หน้า
1 ข้อมูลการทดสอบวัสดุแผ่นฉนวน 2
2 ข้อมูลความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นจากตัวอย่างค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษ 11
3 การวิเคราะห์ความแปรปรวนของการทดสอบนัยสาคัญการถดถอย 16
4 ชั่วโมงบินของเครื่องบิน ในปี ค.ศ. 2015-2016 22
5 การวิเคราะห์ความแปรปรวน 24
6 สรุปผลของแบบจาลองถดถอย 24
7 สัมประสิทธิ์ 25

4. -1-
การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายและสหสัมพันธ์
(Simple linear regression and correlation)
1. บทนา
การศึกษาความสัมพันธ์ของตัวแปรต่าง ๆ เป็นสิ่งที่มีความสาคัญในด้านวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์
ตัวอย่างเช่น การศึกษาการใช้น้ามันเชื้อเพลิงของรถยนต์เกี่ยวข้องกับน้าหนักของรถยนต์หรือไม่ อายุการใช้งาน
ของคมมีดที่ใช้ตัดเฉือนโลหะขึ้นอยู่กับความเร็วในการตัดเฉือนหรือไม่ ความต้านทานแรงดึงของเหล็กกับ
ปริมาณคาร์บอนที่ผสมอยู่มีความสัมพันธ์กันหรือไม่ เป็นต้น ซึ่งการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสอง
ตัว หรือมากกว่า หากกาหนดตัวแปรอิสระ (Independent variable: x) และตัวแปรตาม (Dependent variable:y)
การวิเคราะห์ว่าตัวแปร 2 ตัวแปรใด ๆ มีความสัมพันธ์หรือไม่นั้น สามารถใช้วิธีการด้านสถิติที่เรียกว่า การ
วิเคราะห์สหสัมพันธ์ (Correlation analysis) หากพบว่าทั้ง 2 ตัวแปรมีความสัมพันธ์กัน โดยพบว่าตัวแปร x มีผล
ต่อตัวแปร y หากต้องการศึกษาวิธีการนาตัวแปร x ใช้คาดคะเนผลที่อาจจะเกิดขึ้นได้ของตัวแปร y ด้วยวิธีการ
ทางสถิติ เรียกว่า การวิเคราะห์ความถดถอย (Regression analysis) และหากตัวแปรต่าง ๆ มีความสัมพันธ์กันใน
เชิงเส้นตรงจะเรียกว่า การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้น (Linear regression analysis) โดยรายงานฉบับนี้จะเสนอ
เนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย (Simple linear regression analysis) และ
สหสัมพันธ์ (Correlation)
2. การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย
การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย เป็นการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระ (x) และตัว
แปรตาม (y) โดยจะศึกษาตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่มีผลต่อตัวแปรตาม โดยใช้แผนภาพการกระจาย (Scatter
diagram) ในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ เช่น ในการพัฒนาวัสดุแผ่นฉนวนชนิดใหม่ ต้องการคาดคะเนการอัด
(y: หน่วยเป็น 0.1 นิ้ว) ของแผ่นฉนวนหนา 2 นิ้ว ภายใต้แรงดัน (x: หน่วยเป็น 10 ปอนด์/ตารางนิ้ว) ในระดับ
ต่างๆ โดยทาการทดสอบชิ้นงาน 5 ชิ้น แสดงข้อมูลการทดสอบแสดงดังตารางที่ 1 จากข้อมูลสามารถสร้าง
แผนภาพการกระจายได้ดังรูปที่ 1 (Mendenhall and Sincich, 2016, pp.485-486)

5. -2-
ตารางที่ 1 ข้อมูลการทดสอบวัสดุแผ่นฉนวน
รูปที่ 1 แผนภาพการกระจายของการอัด (y) กับแรงดัน(x)
(Mendenhall and Sincich, 2016, p.486)
จากแผนภาพการกระจายแสดงในรูปที่ 1 สมมติว่าความสัมพันธ์ระหว่างการอัดชิ้นงาน (y) กับแรงดัน
(x) มีแนวโน้มการเพิ่มขึ้นลักษณะเป็นเชิงเส้น ซึ่งตัวแบบจาลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย (Simple linear
regression model) จะมีรูปแบบแสดงดังสมการที่ (1)
0 1y x     (1)
โดย
y = ตัวแปรตาม (Dependent variable)
x = ตัวแปรอิสระ (Independent variable)
 = ค่าความคลาดเคลื่อนสุ่ม (Random error)
0 = จุดตัดแกนบน y (y-intercept)
1 = ความชัน (Slope)
เมื่อ 0 และ 1 เป็นค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า เรียกว่า สัมประสิทธิ์การถดถอย (Regression coefficient)
เพื่อให้ได้เส้นที่เหมาะสมของตัวแบบถดถอยของชุดข้อมูลจะต้องประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า
ของเส้นถดถอยเฉลี่ย นั้นคือ 0 และ 1 การอนุมานที่ถูกต้องเกี่ยวกับ 0 และ 1 จะขึ้นอยู่กับการกระจายตัว
ของข้อมูล ซึ่งจะขึ้นอยู่กับการแจกแจงความน่าจะเป็นของความคลาดเคลื่อนสุ่ม ( ) ดังนั้น ก่อนอื่นต้อง
ตั้งสมมติฐานเฉพาะเกี่ยวกับ  ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์การถดถอยเชิงสถิติสามารถสรุปได้ดังนี้
ชิ้นงาน
(Specimen)
ความดัน
(Pressure)
การอัด
(Compression)
1 1 1
2 2 1
3 3 2
4 4 2
5 5 4

6. -3-
สมมติฐานที่ 1 การแจกแจงความน่าจะเป็ นค่าเฉลี่ยของความคลาดเคลื่อนเท่ากับศูนย์: 0 
นั้นคือ ค่าเฉลี่ยของความคลาดเคลื่อนเท่ากับศูนย์: ( ) 0E  
สมมติฐานที่ 2 ความแปรปรวนของการแจกแจงความน่าจะเป็นของ ของตัวแปรอิสระ (x) นั้นมี
ค่าคงที่ทั้งหมด สาหรับตัวแบบเส้นตรง สมมติฐานนี้หมายความว่าความแปรปรวน
ของความคลาดเคลื่อนสุ่มมีค่าค่าคงที่เท่ากับ 2

สมมติฐานที่ 3 ค่าความคลาดเคลื่อน ( ) มีการแจกแจงความน่าจะแบบปกติ
สมมติฐานที่ 4 ความคลาดเคลื่อนกระจายตัวแบบอิสระ ปราศจากอิทธิพลใด ๆ
(Mendenhall and Sincich, 2016, p.487)
หากมีการสมมติว่า ค่าเฉลี่ยของความคลาดเคลื่อนสุ่มเท่ากับศูนย์ : ( ) 0E   ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ y คือ
0 1(Y ) ( )E x E x    
0 1 ( )x E    
0 1x   (2)
และความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนสุ่มคงที่เท่ากับ 2
 : 2
( )V  
0 1(Y ) ( )V x V x    
0 1( ) ( )V x V    
2
0  
2
 (3)
ค่าเฉลี่ยของ y ที่ระดับใดของ x แทนด้วยสัญลักษณ์ ( )E Y x จากข้อมูลในตารางที่ 1 ค่าเฉลี่ยของการอัด
ชิ้นงาน (y) ที่เกิดขึ้นมีความสัมพันธ์กับแรงดัน (x) กราฟเส้นตรงที่มีจุดตัดแกนบน y ( 0 ) และความชัน ( 1 ) เมื่อ
x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย y จะเปลี่ยนไป 1 หน่วย และค่าเฉลี่ยของเส้นถดถอยอยู่ในรูป 0 1(y)E x   แสดงดังรูป
ที่ 2

7. -4-
รูปที่ 2 เส้นสมมติของ 0 1(y)E x   (Mendenhall and Sincich, 2016, p.487)
ดังนั้น รูปแบบการถดถอย 0 1(Y )E x x   เป็นเส้นตรงของค่าเฉลี่ยตัวแปรตาม (y) ที่ค่าใด ๆ ของ
ตัวแปรอิสระ (x) การเปลี่ยนแปลงของค่าตัวแปรตาม (y) ที่เกิดขึ้นจริง และค่าที่เกิดจากการประมาณผ่านตัว
แบบจาลองการถดถอยเชิงเส้น จะขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนสุ่ม ซึ่งในความเป็นจริงค่า
ความชัน( 1 ) ค่าจุดตัดแกนบน y ( 0 ) และความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนสุ่ม ( 2
 ) ไม่สามารถระบุ
ค่าได้จึงต้องทาการประมาณจากข้อมูลตัวอย่าง (Montgomery and Runger, 2014, pp.428-430)
3. การประมาณค่าพารามิเตอร์โดยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด
3.1 การประมาณค่าจุดตัดบนแกน y และความชัน ( 0 และ 1 )
ในการเลือกเส้นที่เหมาะสม (Best-fitting line) สาหรับชุดข้อมูลเพื่อประมาณค่า 0 และ 1 ซึ่งเป็น
พารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าของตัวแบบจาลองการถดถอยเชิงเส้น วิธีที่ง่ายและน่าสนใจที่สุด คือวิธีกาลังสองน้อย
ที่สุด (Method of least squares) แสดงดังรูปที่ 3 เส้นที่เหมาะสมบนแผนภาพการกระจายของข้อมูลจากตารางที่
1 โดยทาให้เส้นที่เหมาะสมมีค่าผลรวมของผลต่างระหว่างค่าของข้อมูลจริงกับเส้นประมาณค่าถดถอยมีค่าน้อย
ที่สุด (Mendenhall and Sincich, 2016, p.489)
เมื่อทาการเก็บข้อมูล n ตัวอย่าง โดยมีคู่ลาดับของค่า x และค่า y กล่าวคือ 1 1( , ),x y 2 2( , ),x y ...,
( , )n nx y ดังนั้นค่ารูปแบบจาลองการถดถอยเชิงเส้น มี n ตัวอย่างที่ค่า iy ณ คู่อันดับ ix แสดงดังสมการ
0 1i i iy x     , i = 1,2,…,n (4)

8. -5-
เนื่องจากค่าความคลาดเคลื่อนนั้นสามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ดังนั้นจึงต้องทาให้อยู่ในรูป
ผลรวมกาลังสองของความคลาดเคลื่อน (Sum of squares for error: L ) ที่ได้จากการสังเกตจริง คือ
2 2
0 1
1 1
( )
n n
i i i
i i
L y x  
 
     (5)
การประมาณค่า 0 และ 1 เขียนแทนด้วย 1
ˆ และ 0
ˆ โดยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด ด้วยการหาค่าอนุพันธ์
เชิงส่วน เทียบกับ 0 และ 1 แล้วกาหนดให้สมการเท่ากับศูนย์ได้ดังนี้ (Devore, 2011, pp.478-479)
0 1
0 1
1ˆ ˆ0 ,
ˆ ˆ2 ( ) 0
n
i i
i
L
y x
 
 
 

    

 (6)
0 1
0 1
1ˆ ˆ1 ,
ˆ ˆ2 ( ) 0
n
i i i
i
L
y x x
 
 
 

    

 (7)
เมื่อจัดรูปสมการที่ (6) และ (7) จะได้รูปสมการปกติ คือ
0 1
1 1
ˆ ˆ
n n
i i
i i
n x y 
 
   (8)
2
0 1
1 1 1
ˆ ˆ
n n n
i i i i
i i i
x x y x 
  
    (9)
รูปที่ 3 แผนภาพการเบี่ยงเบนจุดของข้อมูลกับเส้นถดถอย (Mendenhall and Sincich, 2016, p.489)

9. -6-
จากสมการที่ (8) และ (9) คือสมการกาลังสองน้อยที่สุด สามารถคานวณหาค่าจุดตัดแกนบน y ( 0
ˆ )
และความชัน ( 1
ˆ ) ได้ดังนี้
0 1
ˆ ˆy x   (10)
1 1
1
1 2
2 1
1
ˆ
n n
i in
i i
i i
i
n
in
i
i
i
y x
y x
n
x
x
n

 



  
  
  

 
 
 
 



(11)
โดยที่
1
1 n
i
i
y y
n 
  และ
1
1 n
i
i
x x
n 
 
ดังนั้นเส้นประมาณการถดถอย (Estimated regression line) ที่เหมาะสม คือ
0 1
ˆ ˆˆ iy x   (12)
สาหรับแต่ละคู่ลาดับของข้อมูล (x, y) ที่ได้จากการสังเกตจริง แสดงดังสมการต่อไปนี้
0 1
ˆ ˆ
i i iy x e    , i = 1,2,…,n (13)
โดยที่ ˆi ie y y  เรียกว่า ค่าเรสซิดวล (Residual) หรือค่าความคลาดเคลื่อน เป็นค่าความแตกต่างระหว่างค่า
ของข้อมูลจริงกับเส้นประมาณค่าถดถอย
จากสมการที่ (11) ความชัน ( 1
ˆ ) สามารถแสดงใหม่ได้ดังนี้
2
12 2
1 1
( )
n
in n
i
xx i i i
i i
x
S x x x
n

 
 
 
    

 
(14)
1 1
1 1
( )( )
n n
i in n
i i
xy i i i i
i i
x y
S y y x x x y
n
 
 
  
  
      
 
 
(15)
ดังนั้น
1
ˆ xy
xx
S
S
  (16)
(Montgomery and Runger, 2014, pp.431-433)

10. -7-
3.2 การประมาณค่าความแปรปรวน: 2

การประมาณค่าเส้นถดถอยนั้นจะถูกต้องใกล้เคียงค่าจริงมากเพียงใดสามารถทราบได้จาก ค่าความคลาด
เคลื่อนที่เกิดขึ้นระหว่างค่าของข้อมูลที่ได้จากการสังเกต และค่าที่ได้รับจากเส้นถดถอย หากค่า 2
 มีค่ามากจะ
สังเกตได้ว่าคู่อันดับ (x, y) มีค่าที่ค่อนข้างกระจายออกไปจากเส้นถดถอย ในขณะที่ 2
 มีค่าน้อยการสังเกตได้ว่า
การกระจายของข้อมูลจะอยู่ใกล้กับเส้นถดถอย แสดงดังรูปที่ 4 ดังนั้นหากค่า 2
 มีค่าน้อย ข้อมูลมีค่าการกระจาย
ใกล้กับเส้นถดถอยมากเพียงใด แสดงว่าสมการถดถอยที่ได้สามารถนาไปพยากรณ์ค่า y ได้ถูกต้องมากเท่านั้น
รูปที่ 4 ตัวอย่างความแปรปรวนของข้อมูล (Devore, 2011, p.481)
การประมาณค่าความแปรปรวนของความคลาดเคลื่อนเป็นค่าพารามิเตอร์อีกตัวที่ไม่ทราบค่าของตัว
แบบถดถอยคือ 2
 โดยที่เรสซิดวล ˆi ie y y  ถูกใช้เพื่อให้ได้ค่าประมาณ 2
 ซึ่งค่าเรสซิดวลจะมีค่าเป็นไป
ได้ทั้งบวกและลบ จึงต้องกาหนดค่าให้อยู่ในรูปของผลรวมกาลังสองของเรสซิดวล (Error sum of squares: ESS )
สามารถคานวณได้ (Ott and Longnecker, 2015, p.546)
2
1
n
E i
i
SS e

 
(17)
2
1
ˆ( )
n
i
i
y y

 
โดยองศาอิสระ (Degrees of freedom) คือ 2n  เนื่องจาก ตัวแบบความสัมพันธ์ถดถอยเชิงเส้น
0 1
ˆ ˆˆ iy x   มีค่าประมาณของพารามิเตอร์ประกอบด้วย 1
ˆ และ 0
ˆ จะเห็นได้ว่าค่าเฉลี่ยของผลรวมกาลังสอง
ของเรสซิดวล คือ 2
ˆ( ) ( 2)EE SS n   ดังนั้นค่าประมาณความแปรปรวนของเรสซิดวลที่ไม่เอนเอียงคือ
(Montgomery and Runger, 2014, p.435)

11. -8-
2
2 1
ˆ
2
n
i
i
e
n
 



(18)
2 2
ˆ
2
E
E
SS
MS S
n
   

หากค่า 2
ˆ มีค่ามากแสดงว่าสมการถดถอยที่ประมาณได้นี้มีความเหมาะสมน้อย เนื่องจากค่า y จะอยู่
ห่างจากเส้นถดถอยมากแต่ถ้าค่า 2
ˆ มีค่าน้อยแสดงว่าสมการถดถอยที่ประมาณได้นี้มีความเหมาะสมมาก
เนื่องจากค่า y จะอยู่ใกล้เส้นถดถอยมาก
ตัวอย่างที่ 1 โรงงานผลิตกระดาษแห่งหนึ่ง ได้ทาการศึกษาข้อมูลระหว่างค่าความต้านทานการฉีกขาดของ
กระดาษ (y: 10 นิวตัน/ตารางมิลลิเมตร) กับเปอร์เซ็นต์ของกาวอัด (x) ที่ใช้เป็นส่วนผสมในการ
ผลิตกระดาษ โดยสุ่มเก็บรวบรวมข้อมูลมา 10 ตัวอย่างดังนี้คือ
จากข้อมูลข้างต้น หากต้องการทราบความสัมพันธ์ระหว่างกับเปอร์เซ็นต์ของกาวอัดที่ใช้เป็นส่วนผสม
ในการผลิตกระดาษ กับความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษ จะทาการพิจารณาตัวแบบเชิงเส้นอย่างง่าย
ดังต่อไปนี้
0 1y x    
โดยที่ x = เปอร์เซ็นต์ของกาวอัดที่ใช้เป็นส่วนผสมในการผลิตกระดาษ (ตัวแปรอิสระ)
y = ค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษ (ตัวแปรตาม)
ทั้งนี้สามารถทาการศึกษาเบื้องต้นถึงความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นระหว่าง x และ y โดยการใช้แผนภูมิการ
กระจายซึ่งสามารถแสดงต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1.6 1.5 1.5 1.4 2.0 2.0 2.2 2.4 2.5 2.5
y 10.1 11.7 11.7 11.5 13.1 13.2 14.2 14.0 13.7 14.1

12. -9-
รูปที่ 5 แผนภาพการกระจายของค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษ (y) กับเปอร์เซ็นต์กาวอัด (x)
จากแผนภาพการกระจายในรูปที่ 5 จะสามารถเห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 ตัวแปรได้ว่าน่าจะมี
ความสัมพันธ์กันในเชิงเส้นตรง และมีความสัมพันธ์ในทิศทางเดียวกัน เนื่องจากเมื่อพิจารณาจากลักษณะของจุด
พบว่าเมื่อ x มีค่าสูงขึ้น y จะมีค่าสูงขึ้นด้วย ดังนั้นในการใช้ค่าของข้อมูลวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของตัวแปรต้น
และตัวแปรตาม ซึ่งมีข้อมูลดังต่อไปนี้
10n  ,
10
1
19.60i
i
x

 ,
10
1
127.30i
i
y

 ,
10
1
254.30i i
i
y x

 ,
10
2
1
40.12i
i
x

 ,
10
2
1
1638.03
i
y

 ,
1.96x  และ 12.73y 
จากข้อมูลคานวณค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย ได้ดังนี้
 
210
2
10
12
1
19.60
40.12 1.704
10
i
i
xx i
i
x
S x
n


 
 
     


  
10 10
10
1 1
1
19.60 127.30
254.3 4.7
10
0 92
i i
i i
xy i i
i
x y
S x y
n
 

  
  
      
 


13. -10-
ค่าความชัน และค่าจุดตัดบนแกน y
1
4.792ˆ 2.812
1.704
xy
xx
S
S
   
0 1
ˆ ˆ 12.73 (2.812 1.96) 7.218y x      
ดังนั้น สมการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่ประมาณได้ ˆ 7.218 2.812y x  แสดงดังรูปที่ 6
รูปที่ 6 พล็อตของสมการถดถอยเชิงเส้นของตัวอย่างที่ 1
จากสมการถดถอยที่ได้อธิบายได้ว่า เมื่อ 0x  จะได้ ˆ 7.218 2.812(0) 7.218y    หมายความว่า
ถ้าไม่มีอิทธิพลของกาวอัดเลย ค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษจะเท่ากับ 72. 18 นิวตันต่อตาราง
มิลลิเมตร (เนื่องจากหน่วยของค่าความต้านทานในตัวอย่างที่ 1 เท่ากับ 10 นิวตันต่อตารางมิลลิเมตร ดังนั้น
7.218 10 72.18  )

14. -11-
ตารางที่ 2 ข้อมูลความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นจากตัวแบบและค่าสังเกตจากตัวอย่างค่าความต้านทานต่อการฉีก
ขาดของกระดาษ แสดงดังนี้
โดยมี ค่าประมาณความแปรปรวนของเรสซิดวล สามารถคานวณได้ดังนี้
2
2
2 1 (4.02)
ˆ 0.503
2 10 2
n
i
i
e
n
 
  
 

4. คุณสมบัติของตัวประมาณค่าโดยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด
คุณสมบัติทางสถิติของค่าประมาณพารามิเตอร์ (สัมประสิทธิ์) 0
ˆ และ 1
ˆ ของตัวแบบความสัมพันธ์เชิง
เส้นด้วยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด อธิบายได้จากข้อสมมติของข้อมูลความคลาดเคลื่อน ( ) ในตัวแบบ
0 1y x     ที่มีค่าเฉลี่ยของความคลาดเคลื่อนสุ่มเท่ากับศูนย์ และความแปรปรวนมีค่าคงที่ 2
 เมื่อตัว
แปรสุ่ม y มีค่าเฉลี่ย 0 1( )E Y x x   และความแปรปรวนมีค่าคงที่ 2
 โดยที่ค่าของ 0
ˆ และ 1
ˆ ขึ้นอยู่กับ
ค่าที่ได้จากการสังเกต ดังนั้นค่าประมาณกาลังสองน้อยที่สุดของสัมประสิทธิ์การถดถอยอาจถูกมองว่าเป็นตัว
แปรสุ่ม พิจารณา 1
ˆ เป็นส่วนประกอบเชิงเส้นของค่าสังเกต iy แสดงค่าเฉลี่ยของ 1
ˆ คือ
 1 1
ˆE   (19)
ตัวอย่างที่ x y
1 1.60 10.10 11.72 -1.62 2.62
2 1.50 11.70 11.44 0.26 0.07
3 1.50 11.70 11.44 0.26 0.07
4 1.40 11.50 11.16 0.34 0.12
5 2.00 13.10 12.84 0.26 0.07
6 2.00 13.20 12.84 0.36 0.13
7 2.20 14.20 13.40 0.80 0.63
8 2.40 14.00 13.97 0.03 0.00
9 2.50 13.70 14.25 -0.55 0.30
10 2.50 14.10 14.25 -0.15 0.02
ผลรวม 19.60 127.30 127.30 0.00 4.02
ieˆiy 2
ie

15. -12-
ดังนั้น 1
ˆ คือค่าประมาณที่ไม่เอนเอียง (Unbiased estimator)ในตัวแบบการถดถอยเชิงเส้นของความชันจริง
เมื่อพิจารณาความแปรปรวนของค่าประมาณพารามิเตอร์ 1
ˆ เนื่องจากข้อสมมติความแปรปรวนของค่า
ความคลาดเคลื่อนสุ่มคือ 2
( )V   ก็จะได้ว่า 2
( )iV y  เนื่องจาก 1
ˆ ส่วนประกอบเชิงเส้นของค่าสังเกต
iy ดังนั้นจะได้ความแปรปรวนความชันคือ
 
2
1
ˆ
xx
V
S

  (20)
สาหรับจุดตัดบนแกน y สามารถแสดงในลักษณะที่คล้ายกัน ได้ว่า
 0 0
ˆE   (21)
 
2
2
0
1ˆ
xx
x
V
n S
 
 
  
 
(22)
ดังนั้น 0
ˆ เป็นค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงของจุดตัด 0
การประมาณ 2
 ในสมการ (20) และ (22) เพื่อประมาณการความแปรปรวนของความชันและจุดตัด
ผลจากการคานวณหารากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่า ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานโดยประมาณ
(Estimated standard error) ของความชันและจุดตัด ดังนั้นในการถดถอยเชิงเส้นความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
โดยประมาณของความชันได้จาก
 
2
1
ˆˆ
xx
se
S

 
(23)
และความคลาดเคลื่อนมาตรฐานโดยประมาณของจุดตัด สามารถหาได้จาก
 
2
2
0
1ˆ ˆ
xx
x
se
n S
  
(24)
โดยที่ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานโดยประมาณเป็นค่าที่ใช้ในการวัดความถูกต้องแม่นยาของการ
ประมาณค่าสัมประสิทธิ์ตัวแบบความสัมพันธ์ด้วยวิธีกาลังสองน้อยที่สุด นั่นคือค่าความคลาดเคลื่อนยิ่งน้อยยิ่งดี
นั่นเอง (Montgomery and Runger, 2014, pp.440-441)

16. -13-
5. การทดสอบสมมติฐานในการวิเคราะห์ถดถอยเชิงเส้น
สิ่งที่สาคัญในการวิเคราะห์ความเหมาะสมของตัวแบบถดถอยเชิงเส้นคือ การทดสอบสมมติฐานทาง
สถิติของค่าประมาณพารามิเตอร์ ได้แก่ค่าความชันและจุดตัด โดยมีสมมติฐานคือ ค่าความคลาดเคลื่อน ( ) และ
ตัวแบบถดถอยมีการแจกแจงแบบปกติ ค่าความคลาดเคลื่อนมีความเป็นอิสระต่อกันที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับศูนย์และ
มีความแปรปรวนคงที่ 2

5.1 การทดสอบสมมติฐานโดยการใช้ t-Test
การทดสอบสมมติฐานว่าความชันเท่ากับค่าคงที่ นั้นคือ 1,0 สมมติฐานคือ
สมมติฐานหลัก 0 1 1,0:H  
สมมติฐานรอง 1 1 1,0:H  
โดยที่ตัวสถิติทดสอบความชัน ใช้การทดสอบแบบที จะได้ว่า
 
1 1,0 1 1,0
0 2
1
ˆ ˆ
ˆˆ xx
T
seS
   

 
 
(25)
ซึ่งการแจกแจงแบบทีด้วยองศาอิสระ 2n ภายใต้ 0 1 1,0:H   จะปฏิเสธสมมติฐานหลัก เมื่อ
0 2, 2nt t  (26)
สาหรับการทดสอบสมมติฐานค่าคงที่ของจุดตัด ( 0,0 ) ดังนี้
 
0 0,0 0 0,0
0
2
02
ˆ ˆ
ˆ1
ˆ
xx
T
sex
n S
   


 
 
 
 
 
(27)
และปฏิเสธสมมติฐานหลักค่าที่คานวณได้ของตัวสถิติการทดสอบ เมื่อ 0 2, 2nt t 
โดยการทดสอบสมมติฐานนั้นมีความสาคัญ เนื่องเป็นการทดสอบเพื่อศึกษานัยสาคัญของความสัมพันธ์
มีสมมติฐานคือ
0 1: 0H   (ค่าคงที่เท่ากับศูนย์แสดงว่าแสดงว่าไม่มีความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y)
1 1: 0H   (ค่าคงที่ไม่เท่ากับศูนย์แสดงว่า มีความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y)

17. -14-
หากไม่ปฏิเสธสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   สรุปได้ว่าไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง x และ y แสดง
ดังรูป 7 เมื่อข้อมูลมีค่าแปรปรวนน้อยและการประมาณค่า y ที่ x ใดๆ คือ ˆy y ดังรูปที่ 7 (a) หรือในกรณีที่
ความสัมพันธ์ที่แท้จริงระหว่าง x และ yไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้นมีค่าแปรปรวนของข้อมูลมาก ดังรูปที่ 7 (b)
และในกรณีหากปฏิเสธสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   ก็หมายความว่า มีความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y รูปที่ 8
การปฏิเสธสมมติฐานหลักอาจหมายถึงว่ารูปแบบความสัมพันธ์เชิงตรงนั้นมีความเหมาะสม ดังรูปที่ 8 (a)
รูปที่ 7 ไม่ปฏิเสธสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   (ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง x และ y)
(Montgomery and Runger, 2014, p.442)
รูปที่ 8 ปฏิเสธสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   (มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง x และ y)
(Montgomery and Runger, 2014, p.443)

18. -15-
5.2 การทดสอบสมมติฐานนัยสาคัญการถดถอยโดยใช้การวิเคราะห์ความแปรปรวน
เป็นการวิเคราะห์ความแปรปรวนที่ใช้เพื่อทดสอบนัยสาคัญของการถดถอย ซึ่งการวิเคราะห์ความ
แปรปรวนมีดังนี้
2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ( ) ( ) ( )
n n n
i i i i
i i i
y y y y y y
  
       (28)
2
1
ˆ( )
n
R i
i
SS y y

  ผลรวมกาลังสองของความคลาดเคลื่อนจากการถดถอย (Regression sum of squares)
2
1
ˆ( )
n
E i i
i
SS y y

  ผลรวมกาลังสองของความคลาดเคลื่อน (Error sum of squares)
เขียนสมการใหม่ได้ว่า
T R ESS SS SS  (29)
โดยที่
2
1
( )
n
T i
i
SS y y

 
2
12
1
n
in
i
i
i
y
y
n


 
 
  


(30)
1
ˆ
R xySS S (31)
E T RSS SS SS  (32)
หากสมมติฐานหลัก 0 1: 0H   เป็นจริง จะได้ว่า
0
1
( 2)
R R
E E
SS MS
F
SS n MS
 

(33)
การแจกแจงแบบเอฟ โดยมีองศาอิสระ 2n จะปฏิเสธสมมติฐานหลัก ถ้า 0 ,1, 2nf f  พบว่าค่าสถิติ
เอฟที่ได้จากการคานวณมากกว่าค่าที่เกิดจากการเปิดตารางเอฟ (Montgomery and Runger, 2014, p.443)

19. -16-
ตารางที่ 3 การวิเคราะห์ความแปรปรวนของการทดสอบนัยสาคัญการถดถอย
แหล่งที่มา
(Source of variation)
ผลบวกกาลังสอง
(Sum of
Squares)
องศาอิสระ
(Degrees of
Freedom)
ค่าเฉลี่ย
(Mean
Square)
ค่าสถิติ
0( )F
ตัวแบบ (Regression) RSS 1 RMS 0 R EF MS MS
ค่าความคลาดเคลื่อน
(Error)
ESS 2n  EMS
ทั้งหมด (Total) TSS 1n 
ตัวอย่างที่ 2 จากตัวอย่างที่ 1 ทดสอบสมมติฐานว่าความสัมพันธ์ของความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษ
กับเปอร์เซ็นต์ของกาวอัดที่ใช้เป็นส่วนผสมในการผลิตกระดาษเป็นแบบเชิงเส้นที่ระดับนัยสาคัญ 5% หรือไม่
สมการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่ได้จากตัวอย่างที่ 1 คือ ˆ 7.218 2.812y x 
การทดสอบสมมติฐานโดยการใช้ t-Test
10n  , 1
ˆ 2.812  , 1.704xxS  , 2
ˆ 0.503 
สมมติฐาน 0 1: 0H   (ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น)
0 1: 0H   (มีความสัมพันธ์เชิงเส้น)
0.05 
ตัวสถิติทดสอบ 2
1 1,0
0
ˆ ˆ 0 2.812
5.176
0.503
1.704
ˆ
xx
T
S


  
   
ปฏิเสธ 0H ถ้า 0T > ( 0.025,8 2.306t  )
สรุป เนื่องจาก ( 0 5.176T  ) > ( 0.025,8 2.306t  ) ดังนั้น ปฏิเสธ 0 1: 0H   ที่ระดับนัยสาคัญ 0.05 มี
หลักฐานแสดงว่า ค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับเปอร์เซ็นต์ของกาวอัดที่
ใช้เป็นส่วนผสมในการผลิตกระดาษ

20. -17-
ทดสอบสมมติฐานโดยใช้การวิเคราะห์ความแปรปรวน
10n  ,
10
1
127.30i
i
y

 ,
10
2
1
1638.03
i
y

 , 12.73y  , ˆ 127.3iy  , 1
ˆ 2.812  และ 4.792xyS 
สมมติฐาน 0 1: 0H   (ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น)
0 1: 0H   (มีความสัมพันธ์เชิงเส้น)
0.05 
ปฏิเสธ 0H ถ้า 0 ,1, 2nF f  = 0 0.05,1,8( 5.32)F f 
2
1
ˆ( ) 4.02
n
E i i
i
SS y y

  
13.475
13.475
1 1
R
R
SS
MS   
1
ˆ 2.812 4.792 13.475R xySS S   
4.02
0.503
( 2) 10 2
E
E
SS
MS
n
  
 
2
2
12
1
127.3
1638.03 17.501
10
n
in
i
T i
i
y
SS y
n


 
 
     

 0
13.475
26.78
0.5025
R
E
MS
F
MS
  
แหล่งที่มา
(Source of variation)
ผลบวกกาลังสอง
(Sum of
Squares)
องศาอิสระ
(Degrees of
Freedom)
ค่าเฉลี่ย
(Mean
Square)
ค่าสถิติ
0( )F
ตัวแบบ (Regression) 13.475 1 13.475 26.78
ค่าความคลาดเคลื่อน
(Error)
4.020 8 0.503
ทั้งหมด (Total) 17.501 9
สรุป เนื่องจาก 0 0.05,1,8( 26.78) ( 5.32)F f   ดังนั้น ปฏิเสธ 0 1: 0H   ที่ระดับนัยสาคัญ 0.05 มี
หลักฐานแสดงว่า ค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับเปอร์เซ็นต์ของกาวอัดที่
ใช้เป็นส่วนผสมในการผลิตกระดาษ

21. -18-
6. ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ
เมื่อทาการวิเคราะห์การถดถอยของข้อมูลตัวแปรอิสระ (X) และตัวแปรตาม (Y) แล้วสมการถดถอยที่
ประมาณได้จะนาไปใช้ประโยชน์ในการพยากรณ์ค่าของตัวแปรตาม (Y) เมื่อกาหนดค่าของตัวแปรอิสระ (X) มา
ให้แต่สมการถดถอยที่ใช้ในการพยากรณ์นี้อาจพยากรณ์ค่าตัวแปรตาม (Y) ได้ดีหรือไม่ดีก็ได้ โดยที่ ค่า
สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ (Coefficient of Determination; 2
R ) เป็ นค่ายกกาลังสองของค่าสัมประสิทธิ์
สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ Y ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจนี้เป็นค่าที่ใช้บอกเปอร์เซ็นต์การ
เปลี่ยนแปลงของตัวแปรตาม (Y) ที่สามารถอธิบายได้ด้วยตัวแปรอิสระ (X) ในสมการถดถอย
หาค่า 2
R ได้จาก
2 2 1
1
ˆ
ˆ XX XY R
T T T
S S SS
R
SS SS SS

  
(34)
โดยที่ (ค่า 2
R จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1) ยิ่งค่าของ 2
R สูงขึ้นเท่าไร แสดงว่าสมการถดถอยสามารถ
พยากรณ์ค่าของตัวแปรตาม (Y) ได้ดีมากยิ่งขึ้น และหาก 2
R มีค่าน้อย สมการถดถอยพยากรณ์ค่าของตัวแปร
ตาม (Y) ได้ไม่ดี หรือตัวแปรอิสระ (X) ในสมการถดถอยนั้นอธิบายการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตาม (Y) ได้ไม่ดี
เนื่องจากตัวแปรตามและตัวแปรอิสระมีความสัมพันธ์กันน้อย (Devore, 2011, p.485)
ตัวอย่างที่ 3 สมการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่ได้ คือ ˆ 7.218 2.812y x  คานวณค่าสัมประสิทธิ์ของการ
ตัดสินใจ จากมูลในตัวอย่างที่ 2 ได้ค่าต่าง ๆ ดังนี้ 13.475RSS  และ 17.501TSS 
2 13.475
0.77
17.501
R
T
SS
R
SS
  
จึงสรุปได้ว่า ค่า 2
0.77R  หมายความว่าค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษขึ้นอยู่กับ
เปอร์เซ็นต์ของกาวอัดประมาณ 77% ส่วนอีก 23% จะขึ้นอยู่กับปัจจัยอื่น ๆ ที่ไม่ได้นามาศึกษาหรือสมการ
ถดถอย ˆ 7.218 2.812y x  สามารถพยากรณ์ค่าค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษได้ถูกต้อง 77%

22. -19-
7. สหสัมพันธ์
สหสัมพันธ์เป็นการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลหรือตัวแปรตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป ใช้สาหรับการ
ทดสอบความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงว่ามีความสัมพันธ์กันในระดับใด และมีความสัมพันธ์ในทิศทางใด เช่นความ
สูงกับน้าหนักว่ามีความสัมพันธ์กันมากหรือน้อย และมีความสัมพันธ์ในทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้ามโดยใน
การตรวจสอบนั้นจะตรวจสอบด้วยการใช้แผนภาพการกระจายและค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (correlation
coefficient) โดยในการวิเคราะห์การถดถอยนั้นได้มีสมมติฐานว่า X เป็นตัวแปรที่ควบคุมได้ ด้วยความคลาด
เคลื่อนเล็กน้อย และ Y เป็นตัวแปรสุ่ม การศึกษาค่าของข้อมูลจากสังเกตที่ได้รับเป็นคู่ระหว่าง ( , )i iX Y จึงเป็น
การศึกษาการแจกแจงตัวแปรสุ่มร่วม โดยมีฟังก์ชั่นการแจกแจง  ,f x y ตัวอย่างเช่นการศึกษาความสัมพันธ์
ความต้านทานแรงดึงของรอยเชื่อม ซึ่งในตัวอย่างนี้เราไม่สามารถควบคุมขนาดการเชื่อมได้ จึงต้องทาการสุ่ม
รอยเชื่อม n ตัวอย่าง และเก็บข้อมูลจากสังเกตขนาดรอยเชื่อม ( )iX และความต้านทานแรงดึง ( )iY ดังนั้น
( , )i iX Y จึงเป็นการแจกแจงตัวแปรสุ่มร่วม (Montgomery and Runger, 2014, pp.457-458)
สมมติว่า การแจกแจงร่วมของ iX และ iY เป็นการแจกแจงแบบปกติของสองตัวแปรสุ่ม (Bivariate
normal distribution) โดยมีค่าเฉลี่ยของตัวแปรคือ X และ Y ความแปรปรวนของตัวแปรคือ 2
X และ 2
Y
และกาหนดให้  คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร X และ Y ได้ว่า
XY
X Y


 
 (35)
โดยที่ XY คือความแปรปรวนร่วมระหว่าง X และ Y
การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่ม Y กาหนดให้ X x คือ
2
0 11 1
( ) exp
22
x
Y x
Y xY x
y
f y
 

      
  
  
(36)
เมื่อ
0
Y
Y X
X

   

  (37)
1
Y
X

 

 (38)
และความแปรปรวนของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่ม Y กาหนดให้ X x คือ

23. -20-
2 2 2
(1 )YY x
    (39)
ดังนั้นการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่ม Y ให้ X x เป็นการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ย
0 1E( )Y x x   (40)
และความแปรปรวน 2
Y x
 ดังนั้นค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ Y ให้ X x เป็นแบบจาลองการ
ถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย นอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์( ) และสัมประสิทธิ์ความชัน 1( ) จากสมการ 38
จะเห็นว่าหาก 0  ดังนั้น 1 0  ซึ่งหมายความว่าไม่มีการถดถอยของ Y บน X
สาหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ 0 และ 1 แสดงดังสมการ (10 และ 16) โดยวิธีกาลังสองน้อย
ที่สุด เช่นเดียวกับกรณีการวิเคราะห์การถดถอยที่มีสมมติฐานว่า X เป็นตัวแปรที่ควบคุมได้
โดยการประมาณของ  สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อย่างง่าย (Sample Correlation Coefficient: R)
1
1 2 1 2
2 2
1 1
( )
ˆ
( SS )
( ) (Y )
n
i i
i XY
n n
XX T
i i
i i
Y X X
S
R
S
X X Y
 
 

  
 
  
 

 
(41)
คุณสมบัติที่สาคัญที่สุดของ R คือ:
1. ค่าของ R ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการศึกษาภายใต้ตัวแปรสองตัว
2. ค่า R เป็นอิสระจากการตรวจวัดของ x และ y
3. ค่า R จะ มีค่าอยู่ในช่วง 1 1R  
4. 1R  เมื่อ x มีค่ามาก y มีค่ามาก หรือเมื่อ x มีค่าน้อย y มีค่าน้อย (มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเชิงบวก)
1R   เมื่อ x มีค่ามาก y มีค่าน้อย หรือเมื่อ x มีค่าน้อย y มีค่ามาก (มีความสัมพันธ์เชิงเส้นเชิงลบ)
5. ค่ายกกาลังสองของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นค่าค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ
(Devore, 2011, p.510)
ซึ่งการตรวจสอบความสัมพันธ์ ทาการตรวจสอบโดยแผนภาพกระจายข้อมูล รูปที่ 9 แสดงสถานการณ์
ที่เป็นไปได้สาหรับค่าของ R ในรูปที่ 9 (d) แสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y แต่ R=0 ซึ่งเป็น
ความสัมพันธ์เชิงเส้นโค้ง ดังนั้นเมื่อ R=0 จะไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง x และ y ซึ่งจะแสดงให้เห็นถึง
ความสาคัญของการพิจารณาข้อมูลด้วยแผนภาพการกระจาย (Ott and Longnecker, 2015, p.591)

24. -21-
รูปที่ 9 แผนภาพการกระจายของข้อมูลอธิบายค่า R (Ott and Longnecker, 2015, p.591)
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษและ
เปอร์เซ็นต์กาวอัด จากข้อมูลในตัวอย่างที่ 1 และ2 ได้ค่าต่าง ๆ ดังนี้ 4.792xyS  , 1.704xxS  และ
17.501TSS 
1 2 1 2
4.792
ˆ 0.878
( SS ) (1.704 17.501)
XY
XX T
S
R
S
    

ดังนั้นค่า 0.878R  นี้หมายความว่าค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษและเปอร์เซ็นต์ของ
กาวอัดมีความสัมพันธ์กันสูงประมาณ 87. 8% และเนื่องจากค่า R เป็นบวกจะแสดงว่ามีความสัมพันธ์กันใน
ทิศทางเดียวกัน คือถ้าเปอร์เซ็นต์กาวอัดมีค่าสูงค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษก็จะสูงตามไปด้วย
และในทางตรงกันข้ามถ้าเปอร์เซ็นต์กาวอัดมีค่าต่าค่าความต้านทานต่อการฉีกขาดของกระดาษก็จะต่าตามไป
ด้วย

25. -22-
8. ตัวอย่างงานวิจัย
Title : Prediction of Maintenance Material Consumption for Aviation Equipment Using Linear
Regression Model
หัวข้อ : การทานายการใช้วัสดุในการบารุงรักษาเครื่องบินโดยใช้แบบจาลองถดถอยเชิงเส้น
ปี : 2018
ผู้วิจัย : Yan-ming YANG, Yue TENG and Rui-li ZHANG
1.วัตถุประสงค์ของการวิจัย
การพยากรณ์ปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษาอุปกรณ์การบินเป็นสิ่งที่มีความสาคัญ และช่วยในการ
ตัดสินใจการใช้ประโยชน์จากทรัพยากรที่มีอยู่เพื่อปรับปรุงความสามารถในการบารุงรักษา ในงานวิจัยนี้ มุ่งเน้น
ไปที่ปัจจัยหลักที่มีอิทธิพลต่อการใช้วัสดุในการบารุงรักษาอุปกรณ์การบิน โดยใช้แบบจาลองการทานายถดถอย
เชิงเส้นของการใช้วัสดุในการบารุงรักษาอุปกรณ์ สร้างขึ้นโดยใช้ข้อมูลตัวอย่างที่เกิดขึ้นจริง บนพื้นฐานการ
วิเคราะห์จากตัวอย่าง วิธีการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายใช้ในการทานาย และการทดสอบการใช้วัสดุในการ
บารุงรักษาอุปกรณ์การบิน
2.ขั้นตอนการวิจัย
2.1 เก็บสถิติข้อมูล
เก็บสถิติข้อมูลรายเดือนของชั่วโมงการบิน แสดงดังในตารางที่ 4 และข้อมูลของการใช้วัสดุในการ
บารุงรักษา แสดงดังในตารางที่ 5 ในปี ค.ศ. 2015-2016 เป็นเวลาสองปี สร้างแบบจาลองการถดถอยเชิงเส้นอย่าง
ง่าย เพื่อทานายปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษา
ตารางที่ 4 ชั่วโมงบินของเครื่องบิน ในปี ค.ศ. 2015-2016
ตารางที่ 5 ปริมาณการใช้วัสดุบารุงรักษาเครื่องบินในปี ค.ศ. 2015-2016

26. -23-
2.2 แบบจาลองการถดถอย
งานวิจัยนี้เลือกแบบจาลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่อยู่บนพื้นฐานการประมาณความสัมพันธ์เชิง
เส้นระหว่างตัวแปรอิสระ และตัวแปรตาม สร้างสมการเชิงเส้นเพื่อทานาย ตัวแบบจาลองการถดถอยเชิงเส้น
อย่างง่าย คือ y a bx 
โดยกาหนดให้ y คือ ปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษาเครื่องบิน (ตัวแปรตาม)
x คือ ชั่วโมงบินของเครื่องบิน (ตัวแปรอิสระ)
a คือ จุดตัดแกนบน y (สัมประสิทธิ์การถดถอย)
b คือ ความชัน (สัมประสิทธิ์การถดถอย)
โดยการประมาณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย (a, b) แสดงดังสมการที่ (10) และ (16) และทาการทดสอบ
แบบจาลองการถดถอยโดยการทดสอบการประมาณค่าความแปรปรวนดังสมการที่ (18) และการทดสอบ
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ดังสมการที่ (41) โดยใช้ระดับนัยสาคัญ 0.05 ในการตรวจสอบ
3. ผลการวิจัย
ใช้ซอฟต์แวร์ Minitab ในการวิเคราะห์การถดถอย แสดงดังรูปที่ 10 สมการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายที่ได้
คือ 4.173 0.09901y x 
รูปที่ 10 พล็อตเส้นถดถอยของ สายชั่วโมงของเครื่องบิน และปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษาหลัก

27. -24-
3.1 การทดสอบนัยสาคัญของสมการถดถอย การวิเคราะห์ผลในตาราง ANOVA ตารางที่ 5 การวิเคราะห์
ผลในตาราง ANOVA กาหนดระดับนัยสาคัญที่ 0.05 หรือที่ระดับความเชื่อมั่น 95 % โดยในงานวิจัยนี้ได้ใช้
โปรแกรม Mimitab ช่วยในการวิเคราะห์ จึงใช้ค่า P-value เป็นตัวช่วยในการตัดสินใจ เพราะค่า P-value คือ
ระดับนัยสาคัญที่น้อยที่สุดหรือโอกาสที่น้อยที่สุดที่จะสามารถปฎิเสธสมมติฐานหลัก จะเห็นได้ว่าค่า
0.000P  เนื่องจาก( 0.05) ( 0.00)P    ดังนั้น ปัจจัยอื่นๆ ไม่มีผลกระทบต่อปริมาณการใช้วัสดุในการ
บารุงรักษาเครื่องบิน อย่างมีนัยสาคัญ สมการการถดถอยโดยรวมจึงมีประสิทธิภาพอย่างมาก
ตารางที่ 5 การวิเคราะห์ความแปรปรวน
3.2 การวัดของผลรวมของผลกระทบสมการการถดถอย ตารางที่ 6 R-Sq คือ 91.24% แสดงให้เห็นว่า
ปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษาเครื่องบินต่อชั่วโมงการบิน ประมาณ 91.24% ส่วนอีก 8.76% จะขึ้นอยู่กับ
ปัจจัยอื่น ๆ ดังนั้นเส้นถดถอยสามารถอธิบายความสัมพันธ์เชิงเส้นได้ 91.24% สามารถพยากรณ์การใช้วัสดุใน
การบารุงรักษาเครื่องบิน (y)ได้ถูกต้อง 91.24% ดังนั้นการตัวแบบถดถอยที่ได้จึงให้ผลที่ดี
ตารางที่ 6 สรุปผลของแบบจาลองถดถอย
3.3 การทดสอบนัยสาคัญของสัมประสิทธิ์การถดถอย ตารางที่ 7 แสดงให้เห็นว่า สัมประสิทธิ์
ชั่วโมงบินของเครื่องบิน (ตัวแปรอิสระ x) โดยเกณฑ์ในการปฏิเสธสมมติฐานหลัก โดยใช้ค่าพี คือ จะปฎิเสธ
0H เมื่อระดับนัยสาคัญมากกว่าเท่ากับค่าพี P Value  
สมมติฐาน 0 1: 0H   (ไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น)
0 1: 0H   (มีความสัมพันธ์เชิงเส้น)
ที่ระดับนัยสาคัญ 0.05 

28. -25-
ในตารางที่ 7 จะเห็นได้ว่า 0.000P  เนื่องจาก ( 0.05) ( 0.00)P    ดังนั้นปฏิเสธ 0 1: 0H  
แสดงว่า ปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษาเครื่องบินมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับชั่วโมงบินของเครื่องบิน ซึ่ง
บ่งชี้ว่าชั่วโมงบินของเครื่องบินเป็นปัจจัยที่มีนัยสาคัญ
ตารางที่ 7 สัมประสิทธิ์
3.4 การวิเคราะห์เรสซิดวล เพื่อตรวจสอบความเหมาะสมของตัวแบบถดถอยและ ANOVA การ
ตรวจสอบพล็อตจะช่วยให้ทราบว่า ข้อสมมติกาลังสองน้อยที่สุดเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ หากสมมติฐาน
เป็นไปตามเงื่อนไข จากนั้นการถดถอยกาลังสองน้อยสุด จะประมาณค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เอนเอียงที่มีความ
แปรปรวนน้อยที่สุด ใช้ Minitab พล็อตเรสซิดวล (ดังแสดงในรูปที่ 11)
รูปที่ 11 พล็อตเรสซิดวลของชั่วโมงบินเครื่องบิน และการใช้วัสดุในการบารุงรักษาหลัก
เรสซิดวลกับข้อมูล รูปที่ 11 คือพล็อตของเรสซิดวลทั้งหมด ที่ถูกรวบรวมข้อมูลและสามารถนามาใช้ใน
การหาความคลาดเคลื่อน พล็อตนี้ช่วยให้ตรวจสอบสมมติฐานที่เรสซิดวลที่ไม่เกี่ยวข้องกับปัจจัยอื่น ๆ รูปที่ 11
แสดงให้เห็นว่าเรสซิดวลแปรผันแบบสุ่ม และเป็นอิสระจากกัน

29. -26-
เรสซิดวลกับค่าเส้นมาตราฐาน รูปที่ 11 (ขวา) พล็อตนี้แสดงรูปแบบสุ่มของเรสซิดวล หากจุดอยู่ไกล
จากจุดส่วนใหญ่ อาจจะเป็นค่าผิดปกติ รูปแบบที่ไม่สามารถยอมรับได้ในพล็อตเรสซิดวล ตัวอย่างเช่น หากการ
แพร่กระจายของเรสซิดวลมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นตามค่าเส้นมาตราฐานที่เพิ่มขึ้นนั้นอาจละเมิดสมมติฐานความ
แปรปรวนคงที่ ซึ่งในตัวอย่างนี้กราฟของข้อมูลมีการแจกแจงปกติ และเรสซิดวลมีความแปรปรวนคงที่
พล็อตความน่าจะเป็นปกติของเรสซิดวล รูปที่ 11 (ซ้าย) จุดในพล็อตนี้โดยทั่วไปควรเป็นไปตามเส้น
มาตราฐาน ถ้าเรสซิดวลมีการแจกแจงแบบปกติ หากจุดบนพล็อตออกห่างจากเส้นมาตราฐาน ข้อสมมติฐาน
ความปกติอาจไม่ถูกต้อง ในตัวอย่างนี้ จุดต่าง ๆ เป็นไปตามเส้นมาตราฐาน และเรสซิดวลถือได้ว่าเป็นการแจก
แจงแบบปกติ ฮิสโตแกรมเรสซิดวลมีที่มุมซ้ายล่าง สามารถใช้ในการตรวจสอบการกระจายของเรสซิดวล หากมี
หนึ่งหรือสองแท่งที่อยู่ห่างออกไป จากแถบอื่น ๆ สิ่งเหล่านี้อาจผิดปกติ
4. สรุปผลการวิจัย
วิธีการวิเคราะห์การถดถอย และวิธีการทานายนั้นง่ายต่อการเข้าใจ และใช้กันอย่างแพร่หลายมากขึ้น ใน
การใช้งานจริง สามารถวิเคราะห์รายละเอียดของข้อมูล เลือกวิธีการและตัวแบบที่เหมาะสม การสังเกตและการ
วิเคราะห์แผนภูมิกระจายอย่างรอบคอบ และระมัดระวังเพื่อให้ได้ผลการทานายจะเป็นที่ดี เมื่อใช้วิธีการทานาย
การถดถอย มีความจาเป็นต้องตรวจต้องว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหรือไม่ หากไม่มีความสัมพันธ์ระหว่าง
ตัวแปร วิธีการทานายการถดถอยของตัวแปรเหล่านี้จะส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง เมื่อเราใช้การวิเคราะห์
การถดถอยอย่างถูกต้อง ควรใส่ใจกับการวิเคราะห์เชิงคุณภาพของความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ หลีกเลี่ยงการ
อนุมานการทานายการถดถอย ใช้ข้อมูลที่เหมาะสม ในขณะเดียวกันวิธีการทานายการถดถอยเชิงเส้นที่นาเสนอ
ในงานวิจัยนี้ไม่เพียง แต่นาไปใช้กับการทานายการใช้วัสดุในการบารุงรักษาอุปกรณ์การบิน แต่ยังรวมถึงดัชนี
หรือพารามิเตอร์อุปกรณ์อื่น ๆ ซึ่งเป็นวิธีการทางวิทยาศาสตร์ และวิธีการสาหรับการพยากรณ์อุปกรณ์สนับสนุน
อื่นๆ ดังนั้นงานวิจัยนี้ได้นาวิธีการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย ในการพยากรณ์ของปริมาณการใช้วัสดุ
ในการบารุงรักษาอุปกรณ์การบิน พบว่า ปริมาณการใช้วัสดุในการบารุงรักษาอุปกรณ์การบินกับชั่วการบินของ
เครื่องบินมีความสัมพันธ์เชิงเส้นกันที่ระดับความเชื่อมั่น 95 % และสามารถนาสมการถดถอยที่ได้ไปพยากรณ์
การใช้วัสดุในการบารุงรักษาเครื่องบินได้ถูกต้อง 91.24% คาดคะเนได้อย่างที่มีประสิทธิภาพ

30. อ้างอิง
1. Mendenhall, W. M., & Sincich, T. L. (2016). Statistics for Engineering and the Sciences. Chapman and
Hall/CRC.
2. Montgomery, D. C., &Runger, G. C. (2014). Applied statisticsand probabilityforengineers. John Wiley and
Sons.
3. Devore, J. L. (2011). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences. Cengage learning.
4. Ott, R. L., & Longnecker, M. T. (2015). An introduction to statistical methods and data analysis. Nelson
Education.
5. Yang, Y. M., Yue, T. E. N. G., & Zhang, R. L. (2018). Prediction of Maintenance Material Consumption for
Aviation Equipment Using Linear Regression Model. DEStech Transactions on Computer Science and
Engineering, (mso).