Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Vandermonde  Matrix
    จัดทำโดย   นางสาว   สิริรัตน์   ตุ้นสกุล รหัสประจำตัว   43040989     อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์   กรรณิกา   คงสาคร   เสน...
เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น   (linear algebra)  เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า   Vandermonde determinant  ในรูป = Vanderm...
   Vandermonde Matrix ตัวอย่าง    det   =  (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) =  2    det  = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(...
ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก   Vandermonde matrix  เป็น …  (1) เมื่อ   n  เป็นจำนวนเต็มบวกและ   n  2 … (2)
พิสูจน์ กรณี   n = 2  เห็นได้ชัดเจนว่า     … .(3) สมมติให้   เมื่อ   k  เป็นจำนวนเต็มบวกใด   ๆ   ต้องการแสดงว่า   det V (x...
det V (x,…x k ,x k+1 ) = det   พิจารณา … (4)
เมื่อกระจายตามหลักที่   1   ค่าของ   det V(x,…,x k ,x k+1 )  จะเป็นพหุนามดีกรี   k  ใน   x  และถ้าแทน   x  ด้วย   จะเห็นว่...
เมื่อ   A  เป็นค่าคงที่   จาก   (5)  จะเห็นว่า   A  เป็นสัมประสิทธิ์ของ   x k  ดังนั้นจาก   (4)  ได้ว่า   A = = det V(x 2 ...
เมื่อแทน   x   ด้วย   x 1   det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) =  (x 1 -x 2 ) (x 1 -x 3 )…(x 1 -x k ) (x 1 -x k+1 ) = = โดยหลักการอ...
เรามักจะพบ   Vandermonde matrix  ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1.  การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก   (polynomial interpolation)  2 .  ปัญหาค...
1.  พหุนามค่าสอดแทรก   (Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรี   n-1   ผ่านจุด   (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ),….,(x n ...
เมื่อแทนค่า   j = 1, 2,…,n  ในพหุนาม   q(x)  จะได้ระบบสมการดังนี้ . . . . . .   = y n = y 1   =  y 2 … (7)
จากระบบสมการ   สามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์   ดังนี้ = …  (8) สังเกตว่า   เมทริกซ์   สัมประสิทธิ์   จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน  ...
q(x)  จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้ กำหนดให้ Q(x)  =  det  … (9)
เมื่อแทน   x   ใน   หลักสุดท้ายด้วย   x i   จะได้ Q( x i )  = det
นำหลักสูตรท้ายลบด้วย   หลักที่   i  จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้าย   เป็น   0   ยกเว้น   สมาชิกตัวสุดท้าย   มีค่าเป็น   -y i ...
สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก   i  =  1, 2, 3…,n   และเพราะว่า   q(x i ) = y i ดังนั้นจะได้ว่า   q(x) =   ….(11) ในที่นี้   Van...
กำหนดให้พหุนามกำลัง   2   ที่ผ่านจุด   (-3, 4), (0, 1),  (2, 9)  ตัวอย่าง คือ   q(x)  =  เมื่อแทนค่า   (x 1 , y 1 ) =(-3,4...
จากระบบสมการ   สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์   ดังนี้ V T   C   =  Y = det  V(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = det  =  (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0)...
Q(x) = det =  -   จะได้   Q(x)  =  -30 + (-60)x -30 x 2   จาก   (11)  ;  q(x) =    ดังนั้น   q(x)  =  1 + 2x  +  x 2   จาก...
2.  ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ … .(12)  ...
จากสมการ   (12)   จะมีผลเฉลย   y i  =  ;  i  =  1, 2,…,n  และเมื่อ   ผลเฉลยทั้ง   n  ผลเฉลย   จะเป็นอิสระเชิงเส้น   ดังนั้...
ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่   ในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น =   V C   =  Y   …(14)   เมื่อ   V =   ,  C  =  ,  Y  =  ถ้า   x i ต...
ตัวอย่าง = 0  ;  y 0 = 1,y 1  = 9, y 2 = 17   ( D 3  - 3D 2  – D + 3 )y = 0   พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D 3  - 3...
จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น = V  C   =  C   =  #
3. ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด   (Recursively  defined sequences ) ให้   เป็น   n  พจน์แรกของลำดับที่มีความสั...
ในอีกทางหนึ่ง   เรากำหนดให้   {y j }  เป็นลำดับที่มี   n + 1  พจน์   ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น … . (16)   ซึ...
สมการ   ( 16 )   หาคำตอบได้โดยการให้   y j   อยู่ในรูปฟังก์ชันของ   j  ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัว...
ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ     p(L)  =  L n +a n-1 L n-1 +…+  a 0     =  (L-x 1 )(L-x 2 )…(L-x n )   ถ้า   x 1 , x 2...
เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์   c j   จะสอดคล้องกับ   (14)   คือ
จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น   เมื่อ   V  =  V(x 1 ,…,x n )  ,  C   =  [c 1 c 2 …c n ] T   ,  Y...
ตัวอย่าง   พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง   y n+2   - 5y n+1 + 6 y n   =  0  ;  y 0   =   9 ,  y 1   =  23 เขียนในรูปตัวดำเนิ...
จากระบบสมการ   นำมาเขียนในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น     C  = V -1 Y 0   เห็นได้ชัดว่า   Vandermonde  determinant  จะครอบคลุมกา...
แต่ละกรณีข้างต้น   Vandermonde  matrix  เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น   ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทร...
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์   (12) หรือ   มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ
เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดย   กำหนด
เขียนในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น   … .(18)   หรือ D Y   =  A Y   ….(19) เมื่อ   Y   เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก     A   เป...
ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง   (18)   ทำได้โดยหาค่าเจาะจง   จากสมการ กระจายตัวกำหนดตามแถวที่   n  จะได้สมการ
สำหรับ   หาเวกเตอร์เจาะจง   C 1   จาก ดังนั้น
เลือก   c 1   =  1 จะได้   และ
ทำนองเดียวกัน 
ผลเฉลยทั่วไป   คือ
จัดเป็น …  (20) เมื่อ   =
เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น   D j y(0)  =  y j   ;  j  = 0,1,2,…,n -1   จะแทนด้วย   Y (0) =  Y 0     ….(21)   ทำให้ได้ว่า ...
สังเกตว่า   ถ้า แล้ว ดังนั้น   … .(23)
ในทำนองเดียวกัน   จาก   (22 )   กำหนดเมทริกซ์   exponential      ดังนั้น   ผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์  ...
ตัวอย่าง   จงหาผลเฉลยของสมการ   วิธีทำ   พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ ดังนั้น     กำหนดให้   และ
ผลเฉลยของสมการคือ   นั่นคือ  และ   #
พิจารณาสมการเชิงผลต่าง   (17) L n {y j }+a n-1 L n-1 {y j }+….+a 1 L{y j }+a 0 {y j }= {0} จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธี...
ในทำนองเดียวกัน   เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น   (0)  =  0   สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ   (26)   จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช...
ตัวอย่าง   พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง   y n+2   - 5y n+1  + 6 y n  =  0 ;  y 0   =   9  ,  y 1  = 2 วิธีทำ   พหุนามลักษณะ...
ผลเฉลยของสมการคือ   นั่นคือ   y n  =  และ   y n+ 1  =   #
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

43040989[1]

1,026 views

Published on

สมการ

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

43040989[1]

  1. 1. Vandermonde Matrix
  2. 2.     จัดทำโดย   นางสาว สิริรัตน์ ตุ้นสกุล รหัสประจำตัว 43040989     อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์ กรรณิกา คงสาคร   เสนอ อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์
  3. 3. เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า Vandermonde determinant ในรูป = Vandermonde Matrix  
  4. 4.  Vandermonde Matrix ตัวอย่าง  det = (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2  det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4)) = (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12
  5. 5. ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก Vandermonde matrix เป็น … (1) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ n 2 … (2)
  6. 6. พิสูจน์ กรณี n = 2 เห็นได้ชัดเจนว่า … .(3) สมมติให้ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ต้องการแสดงว่า det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) เป็นจริง เป็นจริง
  7. 7. det V (x,…x k ,x k+1 ) = det พิจารณา … (4)
  8. 8. เมื่อกระจายตามหลักที่ 1 ค่าของ det V(x,…,x k ,x k+1 ) จะเป็นพหุนามดีกรี k ใน x และถ้าแทน x ด้วย จะเห็นว่า ค่าของตัวกำหนด (determinant) เป็นศูนย์ ดังนั้นสามารถ เขียนได้ว่า det V(x,…,x k ,x k+1 ) = A(x-x 2 ) (x-x 3 )…(x-x k ) (x-x k+1 ) ….(5)
  9. 9. เมื่อ A เป็นค่าคงที่ จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ x k ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า A = = det V(x 2 ,…,x k+1 ) = (-1) k สรุปว่า detV= (x-x 2 )(x-x 3 )…(x-x k )(x-x k+1 ) =
  10. 10. เมื่อแทน x ด้วย x 1 det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) = (x 1 -x 2 ) (x 1 -x 3 )…(x 1 -x k ) (x 1 -x k+1 ) = = โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า (2) เป็นจริงทุก ๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใด ๆ
  11. 11. เรามักจะพบ Vandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) 2 . ปัญหาค่าเริ่มต้นของ สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation initial value problem) และ 3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences) ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง 3 อย่างที่กล่าวไว้แล้ว ข้างต้น และบทบาทของ Vandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียน V แทน V
  12. 12. 1. พหุนามค่าสอดแทรก (Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรี n-1 ผ่านจุด (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ),….,(x n ,y n ) ต่างกัน n จุด เขียนในรูป q(x) = ….(6) สัมประสิทธิ์ c i หาได้จากระบบสมการ q(x j ) = y j ; j = 1, 2 ,…,n
  13. 13. เมื่อแทนค่า j = 1, 2,…,n ในพหุนาม q(x) จะได้ระบบสมการดังนี้ . . . . . . = y n = y 1 = y 2 … (7)
  14. 14. จากระบบสมการ สามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ดังนี้ = … (8) สังเกตว่า เมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน (transposed) ของ Vandermonde matrix และ ตัวกำหนด (determinant) ของเมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ของ (7) จะเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ (2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อ x i ต่างกันหมด ตัวกำหนด (determinant) จะไม่เท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ของ q มีเพียงหนึ่งเดียว
  15. 15. q(x) จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้ กำหนดให้ Q(x) = det … (9)
  16. 16. เมื่อแทน x ใน หลักสุดท้ายด้วย x i จะได้ Q( x i ) = det
  17. 17. นำหลักสูตรท้ายลบด้วย หลักที่ i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้าย เป็น 0 ยกเว้น สมาชิกตัวสุดท้าย มีค่าเป็น -y i และ Q( x i ) = det = -y i det V(x 1 ,…,x n ) หรือ y i = - ….(10)
  18. 18. สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก i = 1, 2, 3…,n และเพราะว่า q(x i ) = y i ดังนั้นจะได้ว่า q(x) = ….(11) ในที่นี้ Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัด ในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกัน n จุด
  19. 19. กำหนดให้พหุนามกำลัง 2 ที่ผ่านจุด (-3, 4), (0, 1), (2, 9) ตัวอย่าง คือ q(x) = เมื่อแทนค่า (x 1 , y 1 ) =(-3,4) , (x 2 y 2 ) = (0,1) และ (x 3 , y 3 ) = (2,9) ลงในสมการ จะได้ = 4 = 1 = 9
  20. 20. จากระบบสมการ สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ ดังนี้ V T C = Y = det V(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = det = (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2) = 30
  21. 21. Q(x) = det = - จะได้ Q(x) = -30 + (-60)x -30 x 2   จาก (11) ; q(x) =   ดังนั้น q(x) = 1 + 2x + x 2 จาก (9) ; กำหนดให้ #
  22. 22. 2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ … .(12) เมื่อ a 0 ,a 1 ,…a n เป็นค่าคงที่ และ D แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับ t พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13) สมการ (12) มีพหุนามลักษณะเฉพาะ ( characteristic polynomial)
  23. 23. จากสมการ (12) จะมีผลเฉลย y i = ; i = 1, 2,…,n และเมื่อ ผลเฉลยทั้ง n ผลเฉลย จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations) ของ y i = คือ y = เป็นผลเฉลยของ (12) ด้วย Dy เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก (13) จะได้ระบบสมการ = y j ; j = 0,1,2,…,n-1 และ …
  24. 24. ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ ในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = Y …(14) เมื่อ V = , C = , Y = ถ้า x i ต่างกัน ผลเฉลยของ (14) มีหนึ่งเดียว จะเห็นว่า Vandermonde matrix มีบทบาทในการหาค่าคงที่ C ของผลเฉลยของปัญหา
  25. 25. ตัวอย่าง = 0 ; y 0 = 1,y 1 = 9, y 2 = 17 ( D 3 - 3D 2 – D + 3 )y = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D 3 - 3D 2 – D + 3 = (D + 1)(D – 1)(D – 3) วิธีทำ เมื่อแทนเงื่อนไข เริ่มต้น (13) จะได้ ผลเฉลย คือ = 1 = 9 =17
  26. 26. จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = C = #
  27. 27. 3. ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recursively defined sequences ) ให้ เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ … . (15) เมื่อ a i ไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่า recurrent sequence ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดี คือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ ที่อยู่ข้างหน้า
  28. 28. ในอีกทางหนึ่ง เรากำหนดให้ {y j } เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น … . (16) ซึ่ง y 0 , y 1 ,y 2 , …, y n-1 เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอน สมการที่ (16) จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่าง ๆ
  29. 29. สมการ ( 16 ) หาคำตอบได้โดยการให้ y j อยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่ L {y j } = {y j+1 } , j=0,1,2,…   เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับ y 0 , y 1 , y 2 ,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y 1 , y 2 , y 3 ,… สมการ (16) เขียนใหม่ได้เป็น   L n {y j }+ a n-1 L n-1 {y j }+…+a 1 L{y j }+a 0 L{y j }={0}   ….(17)
  30. 30. ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ   p(L) = L n +a n-1 L n-1 +…+ a 0   = (L-x 1 )(L-x 2 )…(L-x n )   ถ้า x 1 , x 2 ,…, x n ต่างกันหมด ผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้ จะเป็นผลเฉลยของสมการ (17) ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ (17) คือ    
  31. 31. เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์ c j จะสอดคล้องกับ (14) คือ
  32. 32. จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น   เมื่อ V = V(x 1 ,…,x n ) , C = [c 1 c 2 …c n ] T , Y = [y 0 y 1 …y n-1 ] T
  33. 33. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 23 เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L 2 – 5L + 6)y n = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้นผลเฉลย คือ y n = c 1 2 n + c 2 3 n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น จะได้ c 1 + c 2 = 9 2c 1 +3c 2 = 23
  34. 34. จากระบบสมการ นำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น   C = V -1 Y 0 เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆ ตามที่กล่าวมา #
  35. 35. แต่ละกรณีข้างต้น Vandermonde matrix เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทรก ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ และของสมการเชิงผลต่าง สามารถหาสูตรของผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ V(x 1 ,…,x n ) โดยตรง โดยหลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับการใช้ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations)
  36. 36. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ (12) หรือ มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ
  37. 37. เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดย กำหนด
  38. 38. เขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น   … .(18)   หรือ D Y = A Y ….(19) เมื่อ Y เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก A เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ (18)
  39. 39. ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง (18) ทำได้โดยหาค่าเจาะจง จากสมการ กระจายตัวกำหนดตามแถวที่ n จะได้สมการ
  40. 40. สำหรับ หาเวกเตอร์เจาะจง C 1 จาก ดังนั้น
  41. 41. เลือก c 1 = 1 จะได้ และ
  42. 42. ทำนองเดียวกัน 
  43. 43. ผลเฉลยทั่วไป คือ
  44. 44. จัดเป็น … (20) เมื่อ =
  45. 45. เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0,1,2,…,n -1 จะแทนด้วย   Y (0) = Y 0 ….(21)   ทำให้ได้ว่า Y 0 = VI C = V C หรือ C = V -1 Y 0   สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (19) และ (21) จะอยู่ในรูป   … . (22)
  46. 46. สังเกตว่า ถ้า แล้ว ดังนั้น … .(23)
  47. 47. ในทำนองเดียวกัน จาก (22 ) กำหนดเมทริกซ์ exponential     ดังนั้น ผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คือ   … . (24)
  48. 48. ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของสมการ วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ ดังนั้น   กำหนดให้ และ
  49. 49. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ และ #
  50. 50. พิจารณาสมการเชิงผลต่าง (17) L n {y j }+a n-1 L n-1 {y j }+….+a 1 L{y j }+a 0 {y j }= {0} จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธีทำนองเดียวกัน โดยเราจะพิจารณาลำดับของเวกเตอร์ {y j } สมการ ( 17) จะกลายเป็น L{ Y j } = {A Y j } ….(25) เมื่อ A คือ เมทริกซ์ที่เคยกล่าวถึง เมื่อ L{ Y j } = { Y j+1 } แล้วสมการ (25) จะสมมูลกับ Y j+1 = A Y j ….(26)
  51. 51. ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น (0) = 0 สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (26) จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช้ (23) ได้ว่าผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงผลต่างคือ     เมื่อ
  52. 52. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 2 วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้น   กำหนดให้ และ
  53. 53. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ y n = และ y n+ 1 = #

×