high order linear differential equation

1. บทที่ 3
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูง
(Higher Order Linear Differential Equations)
3.1 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น (linear ordinary differential equations)
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับ n คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถเขียนได้ในรูป


    ( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
a x y a x y a x y a x y f x (1)
โดยที่ 0
( ) 0a x สําหรับทุก x ในช่วง I ซึ่งเรียก 0 1
( ), ( ), , ( )n
a x a x a x ว่าฟังก์ชันสัมประสิทธิ์
และเรียก 0
( )a x ฟังก์ชันสัมประสิทธิ์นํา
ถ้า ( ) 0f x สําหรับทุกค่า x ในช่วง I แล้ว จะเรียกสมการ (1) ว่า สมการเชิงเส้นเอกพันธุ์
(homogeneous linear equation) แต่ถ้า ( ) 0f x สําหรับทุกค่า x ในช่วง I แล้ว จะเรียกสมการ
(1) ว่า สมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (nonhomogeneous linear equation )
ในกรณีที่สมการ (1) เป็นสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ เราสามารถหาผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์


    ( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n
n n
a x y a x y a x y a x y (2)
ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์นั้นได้ และเรียกสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ (2) ว่า สมการเชิงเส้นเอก
พันธุ์สมทบ (associated homogeneous linear equation )
ตัวอย่างที่ 3.1.1 สมการเชิงเส้นเอกพันธุ์
     3 5 7 0y y y y
  
2
2
2
2 2 0
d y dy
x x y
dxdx
ตัวอย่างที่ 3.1.2 สมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์
     3 5 7 siny y y y x
  
2
2
2
2 2 6
d y dy
x x y
dxdx

2. 2 | สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์
บทนิยามที่ 3.1.1 จะกล่าวว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น (1) เป็นปรกติ (normal) บนช่วง I ก็ต่อเมื่อ
ฟังก์ชัน 0 1
( ), ( ), , ( )n
a x a x a x และ ( )f x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง I และ 0
( ) 0a x สําหรับ
ทุก x ในช่วง I
ตัวอย่างที่ 3.1.3 สมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์   
2
2
2 2 6
d y dy
x y
dxdx
เป็นปรกติบนทุกช่วง I ใดๆ
เนื่องจากประกอบด้วย 0
( ) 1a x ,  1
( ) 2a x x , 2
( ) 2a x และ ( ) 6f x ซึ่งมีความต่อเนื่องที่
ทุกจุด x ที่เป็นจํานวนจริง และ 0
( ) 0a x ทุกค่า x
3.2 การมีจริงและความเป็นได้อย่างเดียวของผลเฉลย (existence and uniqueness of
solutions)
ทฤษฎีบทที่ 3.2.1 สมมติให้สมการ


    ( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
a x y a x y a x y a x y f x (1)
เป็นปรกติบนช่วง I ซึ่งบรรจุจุด 0
x และกําหนดให้ 
0 1 2 1
, , , , n
y y y y เป็นจํานวนจริง แล้วจะมี
 ( )y y x เพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้นที่นิยามบน I ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ (1) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข
เริ่มต้น


     ( 1)
0 0 0 1 0 2 0 1
( ) , ( ) , ( ) , , ( )n
n
y x y y x y y x y y x y
บทแทรก 3.1.1 กําหนดให้สมการ


    ( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n
n n
a x y a x y a x y a x y (2)
เป็นปรกติบนช่วง I ซึ่งบรรจุจุด 0
x แล้วจะมี  0y เพียงผลเฉลยเดียวของสมการ (2) ที่สอดคล้องกับ
เงื่อนไขเริ่มต้น

     ( 1)
0 0 0 0
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0n
y x y x y x y x
บทนิยามที่ 3.2.1 ผลเฉลย  0y ของสมการเชิงอนุพันธ์ เรียกว่า ผลเฉลยชัด (trivial solution) และ
สําหรับผลเฉลยอื่น เรียกว่า ผลเฉลยไม่ชัด (nontrivial solution)

3. ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์ บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูง | 3
3.3 หลักการซ้อนทับ (superposition principle)
ทฤษฎีบทที่ 3.3.1 กําหนดให้ 1 2
, , , n
y y y เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับ n


    ( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n
n n
a x y a x y a x y a x y (1)
บนช่วง I ซึ่งสมการ (1) เป็นปรกติ แล้วผลรวมเชิงเส้น (linear combination)
   1 1 2 2
( ) ( ) ( )n n
y c y x c y x c y x
เมื่อ 1 2
, , , n
c c c เป็นค่าคงตัวใดๆ เป็นผลเฉลยของสมการของสมการ (1) บนช่วง I ด้วย
บทแทรก 3.3.1 ถ้าฟังก์ชัน 1
( )y x เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ แล้ว  1
( )y cy x เมื่อ c
เป็นค่าคงตัวใดๆ เป็นผลเฉลยของสมการของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์นั้นด้วย
บทแทรก 3.3.2 สมการเชิงเส้นเอกพันธุ์มีผลเฉลยชัด  0y เสมอ
ตัวอย่างที่ 3.3.1 กําหนดให้  2
1
y x และ  2
2
lny x x เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์
   3
2 4 0x y xy y บนช่วง (0, ) ดังนั้นโดยหลักการซ้อนทับฟังก์ชัน 2 2
1 2
lny c x c x x 
ซึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1
y และ 2
y จะเป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ดังกล่าวบนช่วง (0, )
ด้วย
3.4 ความเป็นอิสระเชิงเส้น (linearly independence)
บทนิยาม 3.4.1 จะกล่าวว่าฟังก์ชัน 1 2
( ), ( ), , ( )n
f x f x f x ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (linearly
dependent) บนช่วง I ก็ต่อเมื่อ มีค่าคงตัว 1 2
, , , n
c c c ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ซึ่ง
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) 0n n
c f x c f x c f x   
สําหรับทุก x ในช่วง I
ตัวอย่างที่ 3.4.1 กําหนดฟังก์ชัน 2 2 2
1 2 3
( ) cos , ( ) sin , ( ) secf x x f x x f x x   และ
2
4
( ) tanf x x บนช่วง ( 2, 2)  จงแสดงว่า 1 2 3
, ,f f f และ 4
f เป็นไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
วิธีทํา ให้ 1 2 3
, ,c c c และ 4
c เป็นจํานวนจริงใดๆ จะแสดงว่ามี 1 2 3
, ,c c c และ 4
c ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อม
กันซึ่งทําให้ 1 1 2 2 3 3 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) 0c f x c f x c f x c f x    ในช่วง ( 2, 2) 
พิจารณา 2 2 2 2
1 2 3 4
cos sin sec tan 0c x c x c x c x   
หรือ 2 2 2 2
1 2 3 4
(1 sin ) sin (1 tan ) tan 0c x c x c x c x     
จะได้ 2 2
1 3 2 1 3 4
( ) ( )sin ( )tan 0c c c c x c c x      (1)

4. 4 | สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์
เนื่องจากสมการ (1) เป็นจริงสําหรับทุกค่า x ในช่วง ( 2, 2)  ดังนั้น
ถ้าให้ 0x  จะได้ 1 3
0c c 
ถ้าให้
6
x

 จะได้ 1 2 3 4
3 1 4 1
0
4 4 3 3
c c c c   
ถ้าให้
4
x

 จะได้ 1 2 3 4
1 1
2 0
2 2
c c c c   
ถ้าให้
3
x

 จะได้ 1 2 3 4
1 3
4 3 0
4 4
c c c c   
โดยการแก้ระบบสมการข้างต้น จะได้ 1 2 3
, ,c t c t c t     และ 4
c t  เมื่อ t เป็นจํานวนจริง
ใดๆ เช่น ถ้ากําหนดให้ 1t  แล้วจะได้ 1 2 3
1, 1, 1c c c     และ 4
1c   เพราะฉะนั้น จะ
เห็นได้ว่า มีค่าคงตัว 1 2 3
, ,c c c และ 4
c ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ซึ่งทําให้
1 1 2 2 3 3 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) 0c f x c f x c f x c f x   
สําหรับทุก x ในช่วง ( 2, 2)  แสดงว่า 1 2 3
, ,f f f และ 4
f เป็นไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน 
บทนิยาม 3.4.2 จะกล่าวว่าฟังก์ชัน 1 2
( ), ( ), , ( )n
f x f x f x เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (linearly
independent) บนช่วง I ก็ต่อเมื่อ มีค่าคงตัว 1 2
, , , n
c c c ซึ่งทําให้
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) 0n n
c f x c f x c f x   
สําหรับทุก x ในช่วง I เพียงชุดเดียวเท่านั้น คือ 1 2
0n
c c c   
3.5 รอนสเกียน (Wronskian)
บทนิยาม 3.5.1 สมมติว่าฟังก์ชัน 1 2
( ), ( ), , ( )n
f x f x f x เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์อย่างน้อย
1n  อันดับแรกได้ แล้ว รอนสเกียนของ 1 2
, , , n
f f f คือ ตัวกําหนด 1 2
( , , , )n
W f f f ซึ่งนิยาม
โดย
1 2
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
( , , , )
n
n
n
n n n
n
f f f
f f f
W f f f
f f f  
  




   


5. ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์ บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูง | 5
ทฤษฎีบท 3.5.1 กําหนดให้ 1 2
, , , n
y y y เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับ n ซึ่งสมการ
เป็นปรกติบนช่วง I แล้ว เซตของผลเฉลยดังกล่าวเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันบนช่วง I ก็ต่อเมื่อ
1 2
( , , , ) 0n
W y y y  สําหรับทุก x ในช่วง I
ตัวอย่างที่ 3.5.1 จงแสดงว่าฟังก์ชัน 3
1
( ) x
y x e และ 3
2
( ) x
y x e
 ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้น
เอกพันธุ์ 9 0y y   บนช่วง ( , )  เป็นผลเฉลยที่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
วิธีทํา จะแสดงว่า 1 2
( , ) 0W y y  สําหรับทุก x ในช่วง ( , )  นั่นคือ
3 3
1 2
3 31 2
1 2
( , ) 6
3 3
x x
x x
y y e e
W y y
y y e e


   
  
เนื่องจาก 1 2
( , ) 6 0W y y    สําหรับทุก x ในช่วง ( , )  ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า 1
y และ 2
y
เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันบนช่วงดังกล่าว 
3.6 ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น (general solutions of linear
ordinary differential equations)
3.6.1 ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ (general solutions of homogeneous linear
equation)
บทนิยาม 3.6.1 จะเรียกฟังก์ชัน 1 2
, , , n
y y y ซึ่งเป็นผลเฉลยใดๆ ที่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันของสมการ
เชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับ n ซึ่งสมการเป็นปรกติบนช่วง I ว่า ผลเฉลยหลักมูล (fundamental solutions)
บนช่วง I
ทฤษฎีบท 3.6.1 กําหนดให้ 1 2
, , , n
y y y เป็นผลเฉลยหลักมูลของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับ n ซึ่ง
สมการเป็นปรกติบนช่วง I แล้วผลเฉลยทั่วไปของสมการดังกล่าวบนช่วง I คือฟังก์ชัน
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )n n
y x c y x c y x c y x   
เมื่อ 1 2
, , , n
c c c เป็นค่าคงตัวใดๆ
ตัวอย่างที่ 3.6.1 ฟังก์ชัน 2
1 2
( ) , ( )x x
y x e y x e  และ 3
3
( ) x
y x e เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้น
เอกพันธุ์ 6 11 6 0y y y y      เนื่องจาก
2 3
1 2 3
2 3 6
1 2 3 1 2 3
2 3
1 2 3
( , , ) 2 3 2 0
4 9
x x x
x x x x
x x x
e e ey y y
W y y y y y y e e e e
y y y e e e
     
  
สําหรับทุกจํานวนจริง x

6. 6 | สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์
ดังนั้น 1 2
,y y และ 3
y เป็นผลเฉลยหลักมูล (เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน) ของสมการดังกล่าวบนช่วง
( , )  และมีผลเฉลยทั่วไปคือ 2 3
1 2 3
( ) x x x
y x c e c e c e   
3.6.2 ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (general solutions of nonhomogeneous
linear equation)
ทฤษฎีบท 3.6.2 กําหนดให้ p
y เป็นผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์
อันดับ n
( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
a x y a x y a x y a x y f x

     (1)
ซึ่งสมการเป็นปรกติบนช่วง I และให้ 1 2
, , , n
y y y เป็นผลเฉลยหลักมูลของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์
สมทบ
( ) ( 1)
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0n n
n n
a x y a x y a x y a x y

     (2)
บนช่วง I แล้วผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (1) บนช่วง I คือฟังก์ชัน
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )n n p
y x c y x c y x c y x y    
เมื่อ 1 2
, , , n
c c c เป็นค่าคงตัวใดๆ
พิสูจน์ สมมติให้ p
y เป็นผลเฉลยเฉพาะและ ( )y x เป็นผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (1)
ถ้านิยาม ( ) ( ) ( )c p
y x y x y x  แล้วจะแสดงว่า c
y เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สมทบ (2)
นั่นคือ
( )
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
c n c n c
a x y x a x y x a x y x
  
( ) ( )
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
p n p n p
a x y x y x a x y x y x a x y x y x
                 
( )
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
n n
a x y x a x y x a x y x
     
( )
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
p n p n p
a x y x a x y x a x y x
     
( ) ( ) 0f x f x  
จากการแสดงข้างต้นจะเห็นได้ว่า c
y เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สมทบ (2) เพราะฉะนั้น โดย
ทฤษฎีบท 3.6.1 จะได้ว่า 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )c n n
y x c y x c y x c y x    เมื่อ 1 2
, , , n
y y y เป็นผล
เฉลยหลักมูลของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สมทบ (2) และ 1 2
, , , n
c c c เป็นค่าคงตัวใดๆ
และเนื่องจากเรานิยาม  ( ) ( ) ( )c p
y x y x y x ดังนั้นจะได้ว่า
    1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p n n
y x y x c y x c y x c y x
หรือ     1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n p
y x c y x c y x c y x y x
เป็นผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (1) 

7. ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์ บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูง | 7
จากทฤษฎีบท 3.6.2 จะเห็นได้ว่าผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ คือผลบวกของสอง
ฟังก์ชัน ประกอบด้วย ฟังก์ชันผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สมทบ (2) ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันเติม
เต็ม (complementary function) สําหรับสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (1) เขียนแทนด้วย c
y และฟังก์ชัน
p
y ซึ่งเป็นผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ (1) ดังนั้น เราสามารถเขียนแทนผลเฉลยของ
สมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ได้เป็น ( ) ( ) ( )c p
y x y x y x 
ตัวอย่างที่ 3.6.2 กําหนดสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์   4 12y y x ซึ่งมีผลเฉลยเฉพาะ คือ ( ) 3p
y x x
และ  1 2
( ) cos2 sin2c
y x c x c x เป็นผลเฉลยของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สมทบ   4 0y y จง
หาผลเฉลยของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ดังกล่าวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น (0) 5y และ
 (0) 7y
วิธีทํา จากทฤษฎีบท 3.6.2 ผลเฉลยทั่วไปของสมการ   4 12y y x คือ
  1 2
( ) cos2 sin2 3y x c x c x x
ขณะที่     1 2
( ) 2 sin2 2 cos2 3y x c x c x
ซึ่งจากการประยุกต์ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น จะได้
1
5c
และ  2
2 3 7c หรือ 2
2c
ดังนั้น ผลเฉลยของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นดังกล่าว คือ
  ( ) 5 cos2 2 sin 2 3y x x x x 
3.7 ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ์ (differential operator)
เพื่อความสะดวกในการเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ เราจะกําหนดตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ D
เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในการบ่งชี้ถึงการหาอนุพันธ์ซึ่งเรียกว่า ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ์ (differential
operator) ดังบทนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม 3.7.1 ตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ์ D เป็นฟังก์ชันซึ่งสําหรับทุกฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ f
จะได้ว่า Df f  และสําหรับแต่ละค่าของ x ในโดเมนของ f  แล้วจะได้ว่า
( ) ( )Df x f x
ดังนั้น จากบทนิยาม 3.7.1 จะพบว่าเราสามารถเขียนแทน d
dx
ได้ด้วยตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ์
D นั่นคือ
d
D
dx
 และจะได้ว่า ( ) ( ) ( )
d
Df x f x f x
dx
  ตัวอย่างเช่น

8. 8 | สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์
3 3 2
( ) ( ) 3
d
D x x x
dx
 
 (sin2 ) (sin2 ) 2cos2
d
D x x x
dx
ในทํานองเดียวกันกับบทนิยาม 3.7.1 เราสามารถเขียนตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ n แทน
ด้วยสัญลักษณ์ n
D สําหรับทุกจํานวนเต็มที่ไม่เป็นลบ n ซึ่งนิยามโดย
( )
n
n n
n
d
D f
dx
 
เช่น
2 3
2 3 ( )
2 3
, , ,
n
n n
n
d d d
D f D f D f
dx dx dx
      
สําหรับการเขียนแสดงพหุนามที่ประกอบด้วยตัวดําเนินการ D จะเรียกว่าตัวดําเนินการเชิง
อนุพันธ์เชิงเส้น ตัวอย่างเช่น 2D  , 2
2 1D D  และ 3 2
2 1xD x D  เป็นต้น และโดยทั่วไป
เรานิยามตัวดําเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ n (nth order differential operator) ซึ่งเขียนแทน
ด้วยตัวดําเนินการ L กําหนดโดย
1
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
L a x D a x D a x D a x

    
และถ้า ( )y y x เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ แล้วจะได้ว่า
Ly  1
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
a x D a x D a x D a x y

    
1
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )n n
n n
a x D y a x D y a x Dy a x y

    
ในบางบริบท ตัวดําเนินการ D สามารถดําเนินการทางพีชคณิตได้เปรียบเสมือนว่าเป็นจํานวนจริง
เช่น
m n m n
D D D 
 เมื่อ m และ n เป็นจํานวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
( )( ) ( )( )aD b cD d cD d aD b     เมื่อ , ,a b c และ d เป็นจํานวนจริง

9. ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์ บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูง | 9
แบบฝึกหัดที่ 3.1
ข้อ 1. – ข้อ 24. จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์
1. 4 5 0y y y   
2. 2 2 0y y y   
3.
4 2
4 2
16 24 9 0
d y d y
y
dx dx
  
4. 3 2 0y y y   
5. 2 3 4 0y y y   
6.
4 2
4 2
7 18 0
d y d y
y
dx dx
  
7. 4 5 0y y y    
8. 5 3 9 0y y y y     
9. 3 4 12 0y y y y     
10. 3 3 0y y y y     
11. 6 12 8 0y y y y     
12. (4)
2 0y y y  
13. (4)
0y y y   
14. (4)
18 81 0y y y  
15.
4 2
4 2
7 18 0
d y d y
y
dx dx
  
16.
8 4
8 4
8 16 0
d y d y
y
dx dx
  
17. (4)
12 31 75 37 5 0y y y y y      
18. (4)
7 6 30 36 0y y y y y      
19. (4)
6 17 22 14 0y y y y y      
20. (4)
9 9 0y y y y     

10. 10 | สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์
21. (6) (5) (4)
7 21 33 14 36 40 0y y y y y y y        
22.
5 4 3 2
5 4 3 2
5 2 10 5 0
d y d y d y d y dy
y
dxdx dx dx dx
     
23.
5 4 3 2
5 4 3 2
2 7 12 8 0
d y d y d y d y
dx dx dx dx
    ( 1
0,0, ,2 2
2
m i   )
24.
7 6 5 4 3 2
7 6 5 4 3 2
8 23 26 2 32 24 0
d y d y d y d y d y d y dy
dxdx dx dx dx dx dx
      
ข้อ 25. – ข้อ 26. จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น
25. 4 3 0y y y    เมื่อกําหนด (0) 7y  และ (0) 11y 
26. 9 6 4 0y y y    เมื่อกําหนด (0) 3y  และ (0) 4y 

11. ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์ บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูง |
11
แบบฝึกหัดที่ 3.2
ข้อ 1. – ข้อ 50. จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์
1.    3
16 x
y y e 2. 3 10 ( 1)x
y y y x e    
3.    6 2sin 3y y y x 4.     2 3 4y y y x
5.     2
siny y y x 6.    4 4 3 x
y y y xe
7.     2
2 4 7y y y x 8.    2 5 sinx
y y y e x
9.    9 2cos 3 3sin 3y y x x 10.    4 3 1y y x
11.   (5) (4)
5 17y y y 12.     2
2 4 7y y y x
13.    2 siny y x 14.  (4)
8 4y y
15.      2
4 3 cos 3y y y x x x 16.     7x
y y e
17.    sin cosy y x x x 18.    2 3
9 2 5x
y y x e
19.      10 25 14 x
y y y y e 20.  2
( 25) 20sin5D y x
21. 
    2
6 8 3 2x
y y y e x 22.    2
( 4) 4cos 3sin 8D y x x
23.  2
( 25) 6sinD y x 24.  2 2
( 4) cosD y x
25. 2
( 4) 4 cos 3 8x
D y x e    26. 2 2
( 4) 8x
D y e  
27. 2
( 1) secD y x  28.
2
2
( 4)
x
e
D y
x
 
29. 2
( 1) tanD y x  30. 2
( 1) sec tanD y x x 
31. 2 2
( 1) secD y x  32. 2 1
( 3 2)
1 x
D D y
e
  

33. 2
2
( 2 1)
1
x
e
D D y
x
  

34. 2
( 3 2) sin( )x
D D y e  
35. 2
( 2 1) arctant
D D y e t   36. 2
( 2 1) lnt
D D y e t
  

12. 12 | สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ผู้ช่วยศาสตราจารย์ณรงค์ฤทธิ์ แก้วบรรจักร์
37. 2
(3 6 6) secx
D D y e x   38. 22 2
(4 4 1) 1
x
D D y e x   
39. 2
(2 2 1) 4D D y x   40. 2 2
( 1) cscD y x 
41. 1 22 2
( 3 2) (1 )x
D D y e

    42. 2 2
( 2 1) ( 1)x
D D y e 
   
43. 2
( 3 2) cos( )x
D D y e
   44. 2 2 2
( 1) 2 (1 )x x
D y e e 
  
45.
2
2
2
( 3 2)
1
x
x
e
D D y
e
  

46. 2
( 1) csc cotD y x x 
47. 2 2
( 1) csc secD y x x  48. 2 2
( 1) sin( )x x
D y e e 
 
49. 2
( 2 2) cscx
D D y e x   50. 1 22 2
( 1) 2(1 )x
D y e

  
51. tany y x   52. 4 sec2y y x  