1. www.VNMATH.com
H TH NG CÁC BÀI T P CHƯƠNG 2 ð I S
PHAN CÔNG TR
VÀ GI I TÍCH 11
- TRƯ NG THPT THANH BÌNH 2 – ð NG THÁP
Quy tác c ng, Quy t c nhân:
1. M t trư ng ph thông có 12 h c sinh chuyên Tin và 18 h c sinh chuyên Toán. Thành l p m t
ñoàn g m hai ngư i sao cho có m t h c sinh chuyên Toán và m t h c sinh chuyên Tin. H i có
bao nhiêu cách l p m t ñoàn như trên ?
2. T các s 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Có bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s ñôi m t khác nhau ?
b. Có bao nhiêu s g m 5 ch s ñôi m t khác nhau và chia h t cho 5 ?
3. Có th l p bao nhiêu s ch n g m 5 ch s khác nhau l y t các ch s : 0,2,3,6,9 ?
4. Có bao nhiêu s ch n có 4 ch s ñôi m t khác nhau ?
5. T các s 0,1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu s có ba ch s khác nhau chia h t cho 5 ?
b. có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau chia h t cho 9 ?
Hoán v .
1. Cho 5 ch s 1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau ?
b. Có bao nhiêu s có 5 ch s ñôi m t khác nhau và b t ñ u là s 3 ?
c. Có bao nhiêu s có 5 ch s ñôi m t khác nhau và không b t ñ u b ng s 1?
d. Có bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau và b t ñ u là ch s l ?
2. Có bao nhiêu x p 5 b n A,B,C,D, E vào m t gh dài sao cho:
a. B n C ng i chính gi a ?
b. Hai b n A, E ng i hai ñ u gh ?
3. M t h c sinh có 12 cu n sách ñôi m t khác nhau trong ñó có 4 cu n Văn, 2 cu n Toán, 6 cu n
Anh Văn, H i có bao nhiêu cách s p các cu n sách lên m t k dài sao cho các cu n cùng môn
n m k nhau ?
4. Có hai bàn dài, m i bàn có 5 gh . Ngư i ta mu n x p ch ng i cho 10 h c sinh g m 5 nam và 5
n . H i có bao nhiêu cách s p x p n u:
a. Các h c sinh ng i tuỳ ý ?
b. Các h c sinh nam ng i m t bàn, h c sinh n ng i m t bàn ?
5. Xét các s g m 9 ch s trong ñó có 5 ch s 1 và 4 ch s còn l i là 2,3,4,5. H i có bao nhiêu
cách s p n u:
a. Năm ch s 1 x p k nhau ?
b. Năm ch s 1 x p tuỳ ý ?
Ch nh h p.
1. T các s 1,2,3,4,5,6 l p bao nhiêu s có 4 ch s ñôi m t khác nhau ?
2. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s ñôi m t khác nhau ?
3. T các s 0,1,3,5,7 l p bao nhiêu s g m 4 ch s khác nhau:
a. Chia h t cho 5 ?
b. Không chia h t cho 5 ?
4. T các s 0,1,2,3,4,5,6,7 l p bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau trong ñó:
a. S t o thành là s ch n ?
b. M t trong 3 ch s ñ u tiên ph i có m t s 1 ?
c. Nh t thi t ph i có m t ch s 5 ?
d. Ph i có m t hai s 0 và 1 ?
5. T các s 1,2,3,4,5,6,7 l p ñ oc bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và nh hơn 276 ?
6. Gi i các phương trình và b t phương trình sau:
2
a. Px . Ax + 72 = 6( A·2 + 2 Px )
x
1
2. b. A + 5 A ≤ 21x
3
x
10
x
www.VNMATH.com
2
x
9
x
8
c. A + A = 9 Ax
T h p.
1. ð thi tr c nghi m có 10 câu h i . H c sinh c n ch n tr l i 8 câu.
a. H i có m y cách ch n tuỳ ý ?
b. H i có m y cách ch n n u 3 câu ñ u là b t bu c ?
c. H i có bao nhiêu cách ch n 4 trong 5 câu ñ u và 4 trong 5 câu sau?
2. M t t có 12 h c sinh. Th y giáo có 3 ñ ki m tra khác nhau. C n ch n 4 h c sinh cho m i ñ
ki m tra. H i có m y cách ch n ?
3. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Ngư i ta mu n ch n t ñó ra 3 tem thư và 3 bì
thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư ñã ch n. M i bì thư ch dán 1 tem. H i có bao nhiêu cách làm
như th ?
4. M t l p có 20 h c sinh trong ñó có 2 cán b l p. H i có bao nhiêu cách ch n 3 ngư i ñi d H i
ngh sao cho trong ñó có ít nh t 1 cán b l p ?
5. (ðH Y-2000) Có 5 nhà Toán h c nam, 3 nhà Toán h c n và 4 nhà V t lý. Mu n l p m t ñoàn
công tác có 3 ngu i g m c nam l n n , c n có nhà Toán h c l n V t lý. H i có bao nhiêu cách
ch n ?
6. M t ñ i Văn Ngh g m 10 ngu i trong ñó có 6 n , 4 nam. Có bao nhiêu cách chia ñ i văn
ngh :
a. Thành hai nhóm có s ngu i b ng nhau và m i nhóm có s n b ng nhau ?
b. Có bao nhiêu cách ch n 5 ngư i trong ñó không quá m t nam ?
7. Có hai ñư ng th ng song song d1 và d2. Trên d1 l y 15 ñi m phân bi t, trên d2 l y 9 ñi m phân
bi t. H i có bao nhiêu tam giác mà có 3 ñ nh là các ñi m ñã l y ?
8. Trong m t h p có 7 qu c u xanh, 5 qu c u ñ và 4 qu c u vàng, các qu c u ñ u khác nhau.
Ch n ng u nhiên 4 qu c u trong h p. H i có bao nhiêu cách ch n:
a. Trong 4 qu c u ch n ra có ñ c ba màu ?
b. Không có ñ ba màu ?
9. M t ñ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i g m 12 nam và 3 n . H i có bao nhiêu cách phân
công ñ i thanh niên tình nguy n ñó v giúp ñ ba t nh mi n núi sao cho m i t nh có 4 nam và 1
n ?
10. (ðH-Cð kh i B-2004) Trong m t môn h c, th y giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i
khó, 10 câu trung bình và 15 câu d . T 30 câu h i ñó l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra, m i ñ
g m 5 câu h i khác nhau sao cho trong m i ñ nh t thi t ph i có ñ 3 lo i câu h i và s câu h i d
không ít hơn 2 ?
11. ð i TNXK c a m t trư ng có 12 h c sinh, g m 5 h c sinh l p A ; 4 h c sinh l p B ; 3 h c
sinh l p C. C n ch n 4 h c sinh làm nhi m v sao cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3
l p trên. H i có bao nhiêu cách ch n như v y ?
12. ð i tuy n h c sinh gi i g m 18 em g m 7 h c sinh kh i 12, 6 h c sinh kh i 11 và 5 h c sinh
kh i 10. C 8 em ñi d tr i hè sao cho m i kh i có ít nh t 1 em. H i có bao nhiêu cách c như
v y?
13. M t d ti c có 10 nam và 6 n bi t khiêu vũ. H i có bao nhiêu cách ch n ra 3 nam và 3 n ñ
ghép thành 3 c p nh y ?
14. Bill Gate có 5 ngư i b n thân.Ông mu n m i 5 trong s h ñi chơi xa .Trong 11 ngư i này có
2 ngư i không mu n g p m t nhau. H i ngài t phú có bao nhiêu cách m i ?
16. ðH-Cð kh i B-2005
M t ñ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i g m 12 nam và 3 n .H i có bao nhiêu cách
phân công ñ i tình nguy n ñó v 3 t nh mi n núi sao cho m i t nh ñ u có 4 nam và 1 n ?
17. *ðH-Cð kh i B-2002
2
3. www.VNMATH.com
Cho ña giác ñ u A1,A2,....A2n(n ∈N và n ≥ 2) n i ti p ñư ng tròn (O). Bi t r ng s tam
giác có ñ nh là 3 trong 2n ñ nh A1, A2,....,A2n nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các ñ nh là 4
trong 2n ñ nh A1, A2,....,A2n. Tìm n.
RÚT G N BI U TH C
1/ Rút g n các bi u th c sau:
a. A =
P4 P7 P8
P
− 9
P10 P3 P5 P2 P7
6
7
C5 +2C15 + C15
Pn+1
+ 15
7
A 4 Pn-k
C17
n
2/ . Ch ng minh :
n
1
1
=
+
a.
Pn Pn-1 Pn-2
d. D=
P5 P4 P3 P2 2
4 + 3 + 2 + 1 A5
A
A5 A5 A 5
A 6 +A 5
n
n
b. B =
c. C = 5
4
An
P3 − 2P2
1 2 1 3 1 3
C6 C8 + C15
A3 - A 2
P
28
65
e. E = 3
f. F= 5 5 + 5
3
P3A 5
P2
P2
b. A n+2 + A n+1 = k 2 A n
n+k
n+k
n+k
c. Pk A 2 A 2 A 2 = n.k!A5
n+1 n+3 n+5
n+5
d. C k = Cn-k
n
n
Phương trình liên quan ñ n công th c t h p:
Gi i các PT và BPT sau:
1
2
1. Cx + 6C x + 6C x2 = 9 x1 − 14 x
2. P2x2-P3 .x=8
7
5. C1 +C 2 +C3 = x
x
x
x
2
8. A 3 +Cn-2 =14n
n
n
3
2
4. Ax + C x = 14Cxx −1
7.
1
1
7
− 2 = 1
1
C x C x+1 6C x+4
10. 2Cx2+1 + 3 Ax2 < 30
13. Gi i b t phươngtrình
3. 2A 2 +50=A 2 , x ∈ N
x
2x
2
6. C3 − C2 = A 2
x-1
x-1
x-2
3
3
2
9. An − 2Cn4 = 3 An
11.
1 x
6 3
x !− ( x − 1)! 1
A2 x − Ax2 ≤ C x + 10 12.
=
2
x
( x + 1)!
6
Pn + 4
15
<
Pn .Pn+ 2 Pn −1
y
y
2 Ax + 5Cx = 90
14. Gi i h : a) y
y
5 Ax − 2C x = 80
5C xy − 2 = 3C xy −1
15. y
y −1
C x = C x
3
2
16. C2 n = 20Cn
Các bài toán t ng h p:
1. Có th l p bao nhiêu s có 8 ch s t các s 1,2,3,4,5,6. trong ñó 1 và 6 có m t hai l n, các s
còn l i 1 l n ?
2. Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s khác nhau trong ñó ch s ñ u tiên là s l ?
3. Có bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau trong ñó có ñúng 3 ch s ch n và 3 ch s l ?
4, Có bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s ñôi m t khác nhau trong ñó có m t s 0 nhưng không
có m t s 1?
5. Có bao nhiêu s t nhiên g m 7 ch s bi t r ng s 2 có m t 2 l n, s 3 có m t 3 l n, các ch
s còn l i không quá m t l n ?
6.Cho hai ñư ng th ng song song d1 và d2. Trên ñư ng th ng d1 l y 10 ñi m phân bi t, trên
ñư ng th ng d2 có n ñi m phân bi t (n >1). Bi t r ng có 2800 tam giác có ñ nh là các ñi m ñã
cho. Tìm n.
3
4. www.VNMATH.com
7.T các ch s 0,1,2,3,4,5,6, có th l p ñư c bao nhiêu s ch n, m i s có 5 ch s khác nhau
trong ñó có ñúng 2 ch s l và hai ch s l ñó ñ ng c nh nhau ?
8. T các s 0,1,2,3,4 có th l p bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau? Tính t ng t t c
các s t nhiên ñó ?
9. Có bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s sao cho: Ch s 0 có m t hai l n, s 1 có m t 1 l n, 2 s
còn l i phân bi t ?
10. Có bao nhiêu s t nhiên có b n ch s sao cho không có ch s nào l p l i 3 l n ?
11. Có bao nhiêu s t nhiên có 7 ch s sao cho: S 2 có m t 2 l n, s 3 có m t 3 l n, các s còn
l i không quá m t l n ?
12. Cho ña giác ñ u A1, A2, ......A2n n i ti p ñư ng tròn tâm O, bi t r ng s tam giác có các ñ nh
là 3 trong 2n ñi m A1, A2, ......A2n g p 20 l n s hình ch nh t có ñ nh là 4 trong 2n ñi m.Tìm n.
13. T các s 1,2,.....,6. L p bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và chia h t cho 3 ?
14. Có bao nhiêu s t nhiên ch n g m 5 ch s khác nhau và không b t ñ u b ng 123 ?
Nh th c Newton
I. Áp d ng công th c khai tri n:
10
1
1. Tìm h s c a s h ng th tư trong khai tri n x +
x
40
1
2. Tìm h s c a s h ng th 31 trong khai tri n x + 2
x
3. Tìm h ng t ch a x2 c a khai tri n:
(
3
x
−2
+x
)
7
4. Tìm h ng t không ch a x trong các khai tri n sau:
12
1
x 3
a. +
b. 3 x + 4
x
3 x
12 13
25
5. Tìm h s c a x y trong khai tri n c a (2x-3y)
1
6. Tìm h ng t ñ ng gi a trong khai tri n 5 + 3
x
7
10
x .
21
a
b
7. Trong khai tri n 3
+ 3 . Tìm h s c a s h ng ch a a và b có s mũ b ng nhau ?
b
a
II. Khai tri n v i gi thi t có ñi u ki n.
n
2 1
1/ Bi t khai tri n x + . T ng các h s c a s h ng th nh t, hai, ba là 46. Tìm s h ng
x
không ch a x ?
n
2 2
2/ Cho bi t t ng ba h s c a ba s h ng ñ u tiên trong khai tri n x − = là 97. Tìm h ng t
x
4
c a khai tri n ch a x ?
n
1
1 1
1
0
3/ Cho khai tri n x − = Cn x n − Cn x n −1 + .......( −1) n n Cnn . Bi t h s c a s h ng th ba trong
3
3
3
khai tri nlà 5. Tìm s h ng chính gi a ?
2
2
0
4/ Cho khai tri n ( x 3 + 2 ) n = Cn ( x3 ) n + ........ + Cnn ( 2 ) n . Bi t t ng ba h s ñ u là 33.Tìm h s
x
x
4
5. www.VNMATH.com
c a x2 .
n
1
n +1
5/ Tìm s h ng ch a x trong khai tri n 3 + x5 . Bi t r ng Cn+ 4 − Cnn+3 = 7(n + 3) .
x
7
n
6/ Tìm h s c a x trong khai tri n (2 - 3x) trong ñó n tho mãn h th c sau:
1
3
+1
C2 n+1 + C2 n +1 + ....... + C22nn+1 = 1024
8
7/ Gi i phương trình sau:
2
n
C2 n + C24n + .... + C22n = 22007 − 1
n
1
8/ Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n 4 − x 7 bi t n tho mãn h th c
x
1
2
3
2 n +1
20
C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n+1 + ....... + C2 n +1 = 2 − 1 .
9/ Tìm h s c a s h ng ch a x10 khi khai tri n (2+x)n bi t :
0
1
n
3n Cn − 3n −1 Cn + 3n− 2 Cn2 + .... + (−1) n Cn = 2048
26
n
10/ Cho: C + C
n
n
n −1
n
+C
n− 2
n
−28
= 79 .Trong khai tri n nh th c x 3 x + x 15 , hãy tìm s h ng không
ph thu c vào x ?
n
11/ Tìm h
s
c a s
h ng ch a x
26
1
trong khai tri n nh th c 4 + x 7 , bi t t ng
x
1
2
C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1
12/.Tìm h s c a x 4 trong khai tri n bi u th c A = (1 − x − 3 x 2 ) . Trong ñó n là s nguyên dương
n
2
th a mãn: 2 ( C22 + C32 + C42 + ... + Cn2 ) = 3 An+1
13. T ng các h s trong khai tri n nh th c f(x) chính là f(1).
100
Cho f ( x) = (1 + x ) = a0 + a1 x1 + a2 x 2 + ... + a100 x
a)Tính a97
b) S = a0 + a1 + a2 + ... + a100
c)M = 1.a1 + 2.a2 + ... + 100.a100
III. Ch ng minh ho c tính t ng bi u th c t h p:
0
1
16
1/ Khai tri n (3x -1)16. T ñó ch ng minh: 316 C16 − 315 C16 + .......... + C16 = 216
2/ Ch ng minh:
0
1
2
a. Cn + Cn + Cn + ....... + Cnn = 2n
1
3
2n
0
2
2n
b. C2 n + C2 n + ...... + C2 n −1 = C2 n + C2 n + ......... + C2 n
1
0 1 1 1
3/ Ch ng minh r ng: 3n Cn + Cn + 3 Cn2 + .......... + n Cnn = 4n
3
3
3
4/ Tính t ng:
0
2
a. S= C2 n + C22n + ...... + C2 nn
1
3
2n
b. S = C2 n + C2 n + ......... + C2 n −1
5/ Ch ng minh r ng:
0
2
2004
a. C2004 + C2004 + ........ + C2004 = 21002
0
2
4
2004
b. C2004 + 22 C2004 + 24 C2004 + .......22004 C2004 =
32004 + 1
2
5
6. www.VNMATH.com
k
k +1
1000
1001
6/ Ch ng minh r ng: C2001 + C2001 ≤ C2001 + C2001 ,∀0 ≤ k ≤ 2000
n
n
7/ Ch ng minh r ng: C2 n− k .C2nn+ k ≤ ( C2 n ) , ∀k = 0, n
2
1 1
1
2n+1 − 1
0
8/ Ch ng minh r ng: Cn + Cn + ... +
=
n +1
n +1
2
n
n
1
2
9/ Ch ng minh r ng: Cn − 2Cn + ... + ( −1) nCn = 0
k
k
k
k
10/ Ch ng minh r ng : Cn + 4Cnk −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn −4 = Cn+ 4 , ( 4 ≤ k ≤ n )
0
1
2
2n
11/ CMR: C2 n + 32 C2 n + 33 C2 n + ... + 32 n C2 n = 22 n −1 ( 22 n + 1)
0
2
2
2000
12/ CMR: C2001 + 32 C2001 + 34 C2001 + ... + 32000 C2001 = 22000 ( 22001 − 1)
+1
13/ Ch ng minh r ng: Ckk + Ckk+1 + ... + Ckk+ m−1 = Ckk+ m .T ñó suy ra ñ ng th c sau:
1
1
1
Ck0 + Ck +1 + Ck2+ 2 + ... + Ckm+−m−1 = Ckm+−m
IV. Khai tri n nhi u h ng t :
c a x6 trong khai tri n [1+x2(1+x)]7.
c a s h ng ch a x4 trong khai tri n (1+ 2x + 3x2)10.
ch a x10 trong khai tri n: P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+......+15(1+x)15.
c a x5 trong khai tri n : x(1-2x)5 + x2(1+3x)10
9
1
5/.Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n P(x) = 1 + 2x − 2
x
1/ Tìm h
2/ Tìm h
3/ Tìm h
4/ Tìm h
s
s
s
s
7
1
1
6/.Tìm h s c a s h ng ch a 3 trong khai tri n P(x) = 1 − 2 x +
3 2
x
x
V. S d ng ñ o hàm ho c tích phân
1/ Ch ng minh h th c sau :
1 1 1 2
1
2n+1 − 1
1
2
3
n
n −1
0
n
a. Cn + 2Cn + 3Cn + ...... + nCn = n2
b. Cn + Cn + Cn + ........... +
Cn =
n +1
n +1
2
3
2/ Tính t ng :
1
2
3
14
0
1
2
2008
a. S = C14 − 2C14 + 3C14 + ....... − 14C14
b. S = C2008 + 2C2008 + 3C2008 + ........ + 2009C2008
1 1 1 3 1 5
1 2n
22 n − 1
C2 n + C2 n + C2 n + ...... + C2 n −1 =
2
4
6
2n
2n + 1
4/ Tìm n nguyên dương sao cho:
1
3
2n+
C2 n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22 C2 n +1 − 4.23 C24n+1 + ..... + (2n + 1).22 n.C2 n+11 = 2007
3/ Ch ng minh r ng
2 2 − 1 1 23 − 1 2
2n +1 − 1 n
5/ Tính t ng: S = C +
Cn +
Cn + ..... +
Cn
2
3
n +1
0
1
2
2000
6/ Ch ng minh r ng: C2000 + 2C2000 + 3C2000 + ... + 2001C2000 = 1001.22000
0
n
1 0 1 1 1 2
( −1) C n = 1
7/ Ch ng minh r ng: Cn − Cn + Cn + ...
n
2
4
6
2 ( n + 1)
2 ( n + 1)
n
0
1
2
k
8/ Xác ñ nh s l n nh t trong các s : Cn , Cn , Cn ,..., Cn ,..., Cnn
1
2
3
n
9/ CMR: 2n −1 Cn + 2n − 2 Cn + 3.2n −3 Cn + 4.2n − 4 + ... + nCn = n.3n −1
0
1
10/ CMR: . n.4n −1 Cn − ( n − 1) 4n − 2 Cn + ... ( −1)
n −1
n
1
n
Cn −1 = Cn + 4Cn2 + ...n.2n −1 Cn
6
7. www.VNMATH.com
XÁC SU T
TÍNH XÁC SU T B NG ð NH NGHĨA
1. M t lô hàng g m 100 s n ph m , trong ñó có 30 s n ph m x u. L y ng u nhiên 1 s n ph m
t lô hàng.
a. Tìm xác su t ñ s n ph m l y ra là s n ph m t t
b. L y ra ng u nhiên (1 l n) 10 s n ph m t lô hàng. Tìm xác su t ñ 10 s n ph m l y
ra có ñúng 8 s n ph m t t
2. M t h p ch a 30 bi tr ng, 7 bi ñ và 15 bi xanh. M t h p khác ch a 10 bi tr ng , 6bi ñ và
9 bi xanh. L y ng u nhiên t m i h p bi. Tìm xác su t ñ 2 bi l y ra cùng màu.
3. Gieo ñ ng th i 2 con xúc x c cân ñ i ñ ng ch t. Tìm xác su t sao cho :
a. T ng s ch m trên m t hai con xúc x c b ng 8.
b. Hi u s ch m trên m t hai con xúc x c có tr tuy t ñ i b ng 2.
c. S ch m trên m t hai con xúc x c b ng nhau
4. M t lô hàng có n s n ph m trong ñó có k s n ph m x u. L y ng u nhiên t lô hàng k s n
ph m. Tìm xác su t ñ k s n ph m l y ra có ñúng s s n ph m x u.
5. Chia 12 t ng ph m cho 3 ngư i . Tìm xác su t ñ :
a. Ngư i th nh t ñư c 3 s n ph m
b. M i ngư i ñư c 4 s n ph m
6. 12 hành khách lên ng u nhiên 4 toa tàu. Tìm xác su t ñ :
a. M i toa có 3 hành khách
b. M t toa có 6 hành khách, m t toa có 4 hành khách các toa còn l i có 1 hành khách.
7. L y ng u nhiên l n lư c 3 ch s t 5 ch s {0,1,2,3,4} x p thành hàng ngang t trái sang
ph i. Tìm xác su t ñ nh n ñư c s t nhiên g m 3 ch s .
8. M t h c sinh vào thi ch thu c 18 câu trong 25 câu h i. Tìm xác su t ñ h c sinh ñó tr l i
ñư c 3 câu h i mà h c sinh ñó rút ñư c
9. Trong ñeà cöông moân hoïc goàm 10 caâu hoûi lyù thuyeát vaø 30 baøi taäp. Moãi ñeà thi goàm coù 1
caâu hoûi lyù thuyeát vaø 3 baøi taäp ñöôïc laáy ngaãu nhieân trong ñeà cöông. Moät hoïc sinh A chæ hoïc 4
caâu lyù thuyeát vaø 12 caâu baøi taäp trong ñeà cöông. Khi thi hoïc sinh A choïn 1 ñeà thò moät caùch
ngaãu nhieân. Vôùi giaû thieát hoïc sinh A chæ traû lôøi ñöôïc caâu lyù thuyeát vaø baøi taäp ñaõ hoïc. Tính
xaùc suaát ñeå hoïc sinh A :
a/ khoâng traû lôøi ñöôïc lyù thuyeát.
b/ chæ traû lôøi ñöôïc 2 caâu baøi taäp.
c/ ñaït yeâu caàu. Bieát raèng muoán ñaït yeâu caàu thì phaûi traû lôøi ñöôïc caâu hoûi lyù thuyeát vaø ít
nhaát 2 baøi taäp.
10. Trong h p có 8 bi ñen và 5 bi tr ng. L y hú h a l n lư t 3 l n,m i l n 1 viên ko hoàn l i.
Tìm XS ñ viên bi l y th 3 là tr ng.
11. Moät khaùch saïn coù 6 phoøng troï phuïc vuï khaùch, nhöng coù taát caû 10 khaùch ñeán xin nghæ
troï, trong ñoù coù 6 nam vaø 4 nöõ. Khaùch saïn phuïc vuï theo nguyeân taéc “ai ñeán tröôùc phuïc vuï
tröôùc vaø moãi phoøng nhaän 1 ngöôøi”.
a/ Tìm xaùc suaát ñeå cho caû 6 nam ñeàu ñöôïc nghæ troï.
b/ Tìm xaùc suaát ñeå 4 nam vaø 2 nöõ ñöôïc nghæ troï.
c/ Tìm xaùc suaát sao cho ít nhaát 2 trong soá 4 nöõ ñöôïc nghæ troï.
12.Coù 2 loâ haøng :
Loâ 1 : Coù 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån vaø 10 pheá phaåm
Loâ 2 : Coù 80 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån vaø 20 pheá phaåm.
Laáy ngaãu nhieân moãi loâ haøng moät saûn phaåm. Tính xaùc suaát :
7
8. www.VNMATH.com
a/ Coù moät saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
b/ Coù hai saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
c/ Coù ít nhaát moät saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
13. Giaû söû coù 10 khaùch haøng vaøo moät cöûa haøng coù 3 quaày, moãi ngöôøi chæ toái moät quaày. Tìm
caùc xaùc suaát :
a/ coù 4 ngöôøi ñeán quaày soá 1;
b/ coù 4 ngöôøi ñeán moät quaày naøo ñoù;
c/ coù 4 ngöôøi ñeán quaày 1 vaø 3 ngöôøi ñeán quaày 2.
14. Coù 5 khaùch haøng khoâng quen bieát nhau vaø cuøng vaøo mua haøng ôû moät cöûa haøng coù 4 quaày
haøng. Bieát söï löïa choïn quaày haøng cuûa caùc khaùch haøng laø ñoäc laäp vaø nhö nhau. Haõy tìm xaùc suaát
cuûa caùc söï kieän sau:
a. Caû 5 khaùch haøng vaøo cuøng 1 quaày haøng
b. Coù 3 ngöôøi vaøo cuøng 1 quaày.
c. Coù 5 ngöôøi vaøo 2 quaày töùc laø coù ñuùng 2 quaày coù khaùch.
d. Moãi quaày ñeàu coù ngöôøi tôùi mua
15 .Moät cô quan ngoaïi giao coù 25 nhaân vieân trong ñoù coù 16 ngöôøi bieát noùi tieáng Anh, 14
ngöôøi bieát noùi tieáng Phaùp, 10 ngöôøi bieát noùi tieáng Nha, 10 ngöôøi bieát noùi tieáng Anh vaø Phaùp, 5
ngöôøi bieát noùi tieáng Anh vaø Nga, 3 ngöôøi bieát tieáng Phaùp vaø Nha, khoâng coù ai bieát noùi caû 3 thöù
tieáng treân. Coù 1 ngöôøi trong cô quan aáy ñi coâng taùc. Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi aáy :
a/ Bieát noùi tieáng Anh hay Phaùp.
b/ Bieát noùi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ trong 3 ngoaïi ngöõ treân.
c/ Chæ bieát noùi 1 ngoaïi ngöõ trong 3 ngoaïi ngöõ treân.
16. Ch n ng u nhiên 5 con bài trong b bài tú – lơ – khơ :
a. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài ñó có ñúng 3 quân bài ñó thu c 1 b ( ví d : có 3
con 4)
b. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài ñó có 4 quân bài thu c m t b
17. Gieo hai con xúc x c cân ñ i ñ ng ch t. G i A là bi n c “ t ng s ch m trên m t c a hai con
xúc x c b ng 4 “
a. Li t kê các k t qu thu n l i c a bi n c A
b. Tính xác su t c a bi n c A
18. M t vé s có 5 ch s . Khi quay s n u vé c a b n mua có s trúng hoàn toàn v i k t qu thì
b n trúng gi i nh t. N u vé b n trúng 4 ch s sau thì b n trúng gi i nhì.
a. Tính xác su t ñ b n trúng gi i nh t.
b. Tính xác su t ñ b n trúng gi i nhì.
19. X p 5 ngư i ng i vào bàn tròn. Tính xác su t ñ A, B ng i g n nhau.
5. M t l p có 50 h c sinh trong ñó 20 em sinh vào ngày ch n. Ch n ng u nhiên 3 h c sinh. Tính
xác su t ñ 3 h c sinh ñư c ch n có t ng các s ngày sinh là s ch n.
20. K t qu (b,c) c a vi c gieo hai con xúc x c cân ñ i hai l n, ñư c thay vào phương trình x2+
bx+ c =0. Tính xác su t ñ :
a. Phương trình vô nghi m
b. Phương trình có ngh êm kép
c, Phương trình có hai nghi m phân bi t
21. Gieo m t con xúc x c 2 l n . Tính xác su t ñ :
a. M t 4 ch m xu t hi n l n ñ u tiên
b. M t 4 ch m xu t hi n ít nh t 1 l n
22. Trong m t bình có 3 qu c u ñen khác nhau và 4 qu c u ñ khác nhau. L y ra 2 qu c u.
8
9. www.VNMATH.com
Tính xác su t ñ :
a. Hai qu c u l y ra màu ñen
b. Hai qu c u l y ra cùng màu
23. S p x p 5 ngư i ng i vào 5 gh th ng hàng. Tính xác su t ñ :
a. A, B ng i c nh nhau
b. A,B ng i cách nhau m t gh .
24. Gieo 3 con ñ ng xu. Tính xác su t ñ
a. Có ñ ng xu l t ng a
b. Không có ñ ng xu nào s p
25. G i (x,y) là k t qu c a vi c gieo hai con xúc x c khác nhau. Tính xác su t ñ :
a. x l , y ch n
b. x>y
c. x+y <4
d. x chia h t cho y
26.Có 4 t m bìa ñ ghi 1,2,3,4 và 5 t m bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ng u nhiên 1 t m. Tính xác su t
ñ :
a. Rút ñư c t m ghi s ch n
b. Rút t m bìa ñ
27: M t l p có 28 sinh viên trong ñó có 5 SV gi i,13 SV khá,10SV trung bình.L y ng u nhiên 4
SV ñi d ðH ñoàn trư ng.Tính XS ñ có ít nh t 2 SV gi i ñc l y.
28. Có 100 t m bìa hình vuông ñư c ñánh s t 1 ñ n 100.Ta l y ng u nhiên 1 t m bìa.Tìm xác
su t ñ l y ñư c:
a/M t t m bìa có s không ch a ch s 5
Pa = 0,8
b/M t t m bìa có s chia h t cho 2 ho c 5 ho c c 2 và 5
Pb= 0,6
29. M t h p có ch a a qu c u tr ng và b qu c u ñen.L y ra l n lư t t h p t ng qu c u(m t
cách ng u nhiên).Tìm xác su t ñ
a/Qu c u th 2 là tr ng
b/ Qu c u cu i cùng là tr ng
ðáp s : Pa = Pb = a/a+b
30. Gieo ñ ng th i 2 ñ ng xu.Tìm xác su t ñ có :
a/Hai m t cùng s p xu t hi n (P=0,25)
b/M t m t s p,m t m t ng a (P=0,5 )
c/Có ít nh t 1 m t s p
(P=0,75 )
31 Gieo ñ ng th i 2 xúc x c ñ i x ng và ñ ng ch t.Tìm xác su t ñ ñư c:
a/T ng s ch m xu t hi n b ng 7 (P=1/6)
b/T ng s ch m xu t hi n nh hơn 8 (P=7/12)
c/ Có ít nh t 1 m t 6 ch m xu t hi n (P=11/36)
32.Thang máy c a 1 toà nhà 7 t ng xu t phát t t ng 1 v i 3 khách.tìm xác su t ñ :
a/T t c cùng ra t ng 4
(P=1/216)
b/T t c cùng ra m t t ng
(P=1/36)
c/M i ngư i ra m t t ng khác nhau (P=5/9)
33. M i vé x s kí hi u b i 1 s có 5 ch s .Tìm xác su t ñ 1 ngư i mua 1 vé ñư c:'
a/Vé có 5 ch s khác nhau
(P=0,3024)
b/Vé có 5 ch s ñ u ch n
(P=0,03125)
34. 5 ngư i A,B,C,D,E ng i m t cách ng u nhiên vào 1 chi c gh dài.Tìm xác su t ñ :
a/Ngư i C ng i chính gi a
(P=0,2)
b/Hai ngư i A,B ng i 2 ñ u
(P=0,1)
35. Trong m t chi c h p có n qu c u ñư c ñánh s t 1 ñ n n.L y ng u nhiên cùng lúc ra 2 qu
c u.Tính xác su t ñ ngư i ñó l y ñư c 1 qu có s hi u l n hơn k và m t qu có s hi u nh hơn
9
10. 2(k − 1)(n − k )
k (ñáp s : P =
)
n (n − 1)
www.VNMATH.com
36* Có 10 ngư i khách bư c ng u nhiên vào m t c a hàng có 3 qu y.H i xác su t ñ 3 ngư i
cùng ñ n qu y s 1 là bao nhiêu?
HD: M i khách có 3 kh năng như nhau ñ d n 3 qu y.S bi n c ñ ng kh năng là: 310 .Còn s
3
bi n c thu n l i là: C10 .27 suy ra P =
3
C10 .27
310
37. Có n ngư i (trong ñó có m ngư i trùng tên) x p ng u nhiên thành hàng ngang.Xác su t ñ m
ngư i trùng tên ñó ñ ng c nh nhau là bao nhiêu?
ðáp s : P =
( n − m + 1)! m !
n!
S
D NG CÁC ð NH LÝ XÁC SU T
Bài 1: Ki m tra theo th t m t lô hàn g m n s n ph m. các s n ph m l y ra ñ u thu c m t trong
hai lo i t t ho c x u . Kí hi u Ak (k= 1,2,3 …N) là bi n c s n ph m th k thu c lo i x u. Vi t
các bi n c sau ñây theo các bi n c Ak.
a. C N s n ph m ñ u x u
b. Có ít nh t m t s n ph m x u
c. M s n ph m ñ u t t , các s n ph m còn l i x u
d. Các s n ph m ki m tra theo th t ch n là x u còn l là t t
Bài2: Ba ngư i cùng b n vào m t m c tiêu.G i A k là bi n c ngư i th ba b n trúng m c tiêu
(k=1,2,3).Các bi n c sau ñây ñư c vi t b ng kí hi u ra sao?
a/Ch có ngư i th nh t b n trúng m c tiêu
b/Ch có m t ngư i b n trúng m c tiêu
c/Ch có hai ngư i b n trúng m c tiêu
d/Có ít nh t m t ngư i b n trúng m c tiêu
Bài3: Khi ki m tra theo th t m t lô hàng có 10 s n ph m(các s n ph m ñ u thu c 1 trong 2 lo i
t t ho c x u).G i Ak là bi n c "s n ph m th k là lo i x u".Vi t b ng kí hi u các bi n c sau:
a/C 10 s n ph m ñ u x u
b/Có ít nh t 1 s n ph m x u
c/Sáu s n ph m ñ u là t t còn l i là x u
d/Các s n ph m ki m tra theo th t ch n là t t,th t l là x u
Bài4: Có 2 h p ñ ng bi:h p 1 ñ ng 3 bi tr ng,7 bi ñ ,15 bi xanh ; h p 2 ñ ng 10 bi tr ng,6 bi
ñ ,9 bi xanh.Ta l y ng u nhiên t m i h p 1 viên bi.Tìm xác su t ñ 2 viên bi l y ra cùng màu
(P= 207/625)
Bài5: Hai ngư i cùng b n vào m t m c tiêu.Xác su t b n trúng c a t ng ngư i là 0,8 và 0,9.Tìm
xác su t c a các bi n c sau
a/Ch có m t ngư i b n trúng m c tiêu
(P=0,26)
b/Có ít nh t m t ngư i b n trúng m c tiêu
(P=0,98)
c/C hai ngư i b n trư t
(P=0,02)
Bài6: B n liên ti p vào 1 m c tiêu ñ n khi viên ñ n ñ u tiên trúng m c tiêu thì d ng.Tính xác su t
sao cho ph i b n ñ n viên ñ n th 6.Bi t r ng xác su t trúng m c tiêu c a m i viên ñ n là 0,2.Và
các l n b n ñ c l p v i nhau (P=0,065536)
Bài7: Gieo 2 con xúc x c ñ i x ng và ñ ng ch t.G i A là bi n c t ng s ch m xu t hi n là s
l .B là bi n c ñư c ít nh t m t m t m t ch m.Hãy tính
a/ P( A ∪ B ) (P=23/36)
b/ P(AB) (P=1/6)
Bài8: Có 2 bóng ñi n v i xác su t h ng là 0,1 và 0,2 (Vi c chúng h ng là ñ c l p v i nhau).Tính
xác su t ñ m ch không có ñi n do bóng h ng n u
10
11. www.VNMATH.com
a/Chúng ñư c m c song song
P=0,02
b/Chúng ñư c m c n i ti p
P=0,28
Bài 9: Ba c u bé chơi trò chơi gieo ñ ng xu liên ti p. Ai giei ñư c m t s p trư c thì th ng cu c.
Tìm xác su t th ng cu c c a m i c u bé.
Baøi 10 : Xaùc suaát ñeå 1 saûn phaåm cuûa nhaø maùy A bò hoûng laø 0,05, khi kieåm tra moät loâ haøng goàm
caùc saûn phaåm cuûa nhaø maùy A, ngöôøi ta laáy ngaãu nhieân n saûn phaåm trong loâ haøng, loâ haøng bò
loaïi neáu coù ít nhaát k pheá phaåm trong n saûn phaåm laáy ra. Tính xaùc suaát ñeå loâ haøng bò loaïi vôùi :
a/ n = 3 ;k = 1
b/ n = 5; k = 2
Baøi 11 : Moät maïng ñieän goàm moät ngaét ñieän K vaø hai boùng ñieän Ñ1, Ñ2 ñöôïc gheùp noái tieáp.
Maïng ñieän bò taét neáu ít nhaát moät trong ba boä phaän treân bò hoûng.
Tìm xaùc suaát ñeå cho maïng ñieän bò taét, bieát raèng xaùc suaát bò hoûng töông öùng K, Ñ1, Ñ2, laø 0,4 ;
0,5 ; 0,6 vaø caùc boä phaän ñoù hoûng hoùc moät caùch ñoäc laäp vôùi nhau.
Baøi 12: Moät maùy bay goàm coù ba boä phaän coù taàm quan troïng khaùc nhau. Muoán baén rôi maùy bay,
thì chæ caàn coù moät vieân ñaïn truùng boä phaän thöù nhaát, hoaëc hai vieân ñaïn truùng boä phaän thöù hai,
hoaëc ba vieân ñaïn truùng boä phaän thöù ba.
Xaùc suaát ñeå moät vieân ñaïn truùng boä phaän thöù nhaát, thöù hai, thöù ba vôùi ñieàu kieän vieân ñaïn ñoù ñaõ
truùng maùy bay töông öùng baèng 0,15 ; 0,30 vaø 0,55.
Tìm xaùc suaát ñeå maùy bay bò baén rôi khi
a/ coù moät vieân ñaïn truùng maùy bay ;
b/ coù hai vieân ñaïn truùng maùy bay;
c/ coù ba vieân ñaïn truùng maùy bay;
d/ coù boán vieân ñaïn truùng maùy bay.
Baøi 13: Hai maùy bay laàn löôït neùm bom vaøo moät muïc tieâu ñaõ ñònh. Moãi maùy bay coù mang theo
ba quaû bom vaø moãi laàn lao xuoáng chæ neùm moät quaû. Xaùc suaát truùng ñích cuûa moät quaû bom ôû
maùy bay thöù nhaát baèng 0,4 coøn cuûa maùy bay thöù hai laø 0,5. Muïc tieâu bò phaù huûy ngay sau khi
quûa bom ñaàu tieân rôi truùng muïc tieâu. Tìm xaùc suaát muïc tieâu bò phaù huûy sao cho khoâng söû duïng
heát taát caû soá bom ôû hai maùy.
Baøi 14: Moät hoäp coù 10 vieân bi trong ñoù coù 7 bi ñoû vaø 3 bi xanh.
a. Laáy laàn löôït töøng bi moät khoâng hoaøn laïi cho tôùi khi laáy ñöôïc bi xanh thì thoâi.
Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc bi xanh khoâng quaù 2 laàn laáy bi
b. Laáy laàn löôït töøng bi moät khoâng hoaøn laïi cho tôùi khi laáy ñöôïc 2 bi ñoû thì thoâi. Tìm xaùc
suaát ñeå laáy ñöôïc 2 bi ñoû khi laáy ra khoâng quaù 3 bi.
Baøi 15: Hai caàu thuû boùng roå, moãi ngöôøi neùm boùng 2 laàn, xaùc suaát neùm truùng ñích cuûa moãi caàu
thuû theo thöù töï laø 0,6 vaø 0,7. Tính xaùc suaát :
a/ Soá laàn neùm truùng roå cuûa caàu thuû thöù nhaát nhieàu hôn soá laàn neùm truùng roå cuûa caàu thuû
thöù hai.
b/ Soá laàn neùm truùng roå cuûa hai ngöôøi nhö nhau.
Baøi 16 : Moät caên phoøng ñieàu trò coù 3 beänh nhaân beänh naëng vôùi xaùc suaát caàn caáp cöùu trong voøng
moät giôø cuûa caùc beänh nhaân töông öùng laø 0,7 ; 0,8 vaø 0,9. Tìm caùc xaùc suaát sao cho trong voøng
moät giôø :
a/ coù hai beänh nhaân caàn caáp cöùu.
b/ coù ít nhaát moät beänh nhaân khoâng caàn caáp cöùu.
11
12. www.VNMATH.com
Baøi 17 : Moät coâng ty ñaàu tö 2 döï aùn A vaø B. Xaùc suaát thua loã döï aùn A laø 10% vaø xaùc suaát thua
loã döï aùn B laø 20%. Söï thua loã cuûa 2 döï aùn laø phuï thuoäc vôùi nhau vaø bieát xaùc suaát ñeå coâng ty
thua loã caû 2 döï aùn A vaø B laø 5%.
a/ Tìm xaùc suaá ñeå caû 2 döï aùn A vaø B ñeàu khoâng bò thua loã.
b/ Tìm xaùc suaát ñeå coù ñuùng 1 döï aùn bò thua loã.
Baøi 18: Moät Coâng ty ñaáu thaàu 2 döï aùn A vaø B, döï aùn A ñaáu thaàu tröôùc. Khaû naêng thaéng thaàu
döï aùn A laø 90%. Neáu döï aùn A thaéng thaàu thì khaû naêng thaéng thaàu döï aùn B laø 80%. Neáu döï aùn A
khoâng thaéng thaàu thì khaû naêng thaéng thaàu döï aùn B laø 50%
a. Tìm xaùc suaát Coâng ty thaéng thaàu ít nhaát moät döï aùn.
b. Tìm xaùc suaát Coâng ty chæ thaéng thaàu moät döï aùn
c. Tìm xaùc suaát Coâng ty chæ thaéng thaàu döï aùn B.
Baøi 19 Moät Coâng ty ñaáu thaàu 2 döï aùn A vaø B, khaû naêng thaéng thaàu döï aùn A laø 90%; khaû naêng
thaéng thaàu döï aùn B laø 77% vaø khaû naêng thaéng thaàu ñoàng thôøi caû 2 döï aùn laø 72%
a. Tìm xaùc suaát Coâng ty chæ thaéng thaàu 1 döï aùn
b. Tìm xaùc suaát Coâng ty coù ít nhaát 1 döï aùn khoâng thaéng thaàu
c. Tìm xaùc suaát Coâng ty ñeàu khoâng thaéng thaàu caû 2 döï aùn .
Baøi 20 : Moät soït cam raát lôùn ñöôïc phaân loaïi theo caùch sau: Choïn ngaãu nhieân 20 quaû cam laøm
maãu ñaïi dieän. Neáu maãu naøy khoâng chöùa quaû cam hoûng naøo thì soït cam ñöôïc xeáp loaïi 1. Neáu
maãu cho moät hoaëc hai quaû hoûng thì soït cam xeáp loaïi 2. Trong tröôøng hôïp coøn laïi (coù töø 3 quaû
hoûng trôû leân) soït cam ñöôïc xeáp loaïi 3.
Treân thöïc teá 3% soá cam trong soït bò hoûng. Tìm xaùc suaát ñeå soït cam ñöôïc xeáp loaïi :
a/ Loaïi 1 ;
b/ Loaïi 2 ;
c/ Loaïi 3.
Baøi 21 : Moät baøi thi traéc nghieäm (multiple-choice test) goàm 12 caâu hoûi, moãi caâu hoûi cho 5 caâu
traû lôøi, trong ñoù chæ coù moät caâu ñuùng. Giaû söû moãi caâu traû lôøi ñuùng ñöôïc 4 ñieåm vaø moãi caâu traû
lôøi sai bò tröø 1 ñieåm.
Moät hoïc sinh keùm laøm baøi baèng caùch choïn huù hoïa moät caâu traû lôøi. Tìm xaùc suaát ñeå:
a/ Anh ta ñöôïc 13 ñieåm ;
b/ Anh ta ñöôïc ñieåm aâm.
Baøi 22. Moät hoäp coù 7 thaønh phaåm vaø 3 pheá phaåm. Laãy ngaãu nhieân laàn löôït töøng saûn phaåm moät
khoâng hoaøn laïi cho tôùi khi laáy ñöôïc hai thaønh phaåm thì döøng laïi.
a. Tìm xaùc suaát ñeå chæ laáy ra saûn phaåm ôû laàn thöù tö thì döøng laïi.
b. Tìm xaùc suaát ñeå vieäc döøng laïi khi khoâng laáy quaù 4 saûn phaåm
Baøi 23 : Moät chieác maùy bay coù theå xuaát hieän ôû vò trí A vôùi xaùc suaát
2
3
vaø ôû vò trí B vôùi xaùc suaát
1
3.
Coù ba phöông aùn boá trí 4 khaåu phaùo baén maùy bay nhö sau :
Phöông aùn 1 : 3 khaåu ñaët taïi A, moät khaåu ñaët taïi B.
Phöông aùn 2 : 2 khaåu ñaët ôû A, 2 khaåu ñaët ôû B.
Phöông aùn 3 : 1 khaåu ñaët ôû A vaø 3 khaåu ñaët ôû B.
Bieát raèng xaùc suaát baén truùng maùy bay cuûa moãi khaåu phaùo laø 0,7 vaø caùc khaåu phaùo hoaït ñoäng
ñoäc laäp vôùi nhau, haõy choïn phöông aùn toát nhaát.
12
17. www.VNMATH.com
phaåm thì ñöôïc saûn phaåm toát. Traû saûn phaåm ñoù laïi kieän haøng vöøa laáy ra, sau ñoù laïi laáy tieáp 1 saûn
phaåm thì ñöôïc saûn phaåm toát.
Tìm xaùc suaát ñeå caùc saûn phaåm ñöôïc laáy töø kieän haøng thöù 3, bieát raèng caùc kieän haøng ñeàu coù 20
saûn phaåm.
Baøi 56: Moät caùi hoäp coù 8 thaønh phaåm vaø 2 pheá phaåm. Trong quaù trình vaän chuyeån bò maát ñi 2
saûn phaåm khoâng roõ chaát löôïng . Laáy ngaãu nhieân 2 saûn trong 8 saûn phaåm coøn laïi.
a/ Tìm xaùc suaát 2 saûn phaåm laáy ra laø thaønh phaåm.
b/ Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 1 thaønh phaåm bò maát , bieát raèng 2 saûn phaåm laùy ra laø thaønh
phaåm.
c/ Bieát raèng 2 saûn phaåm laáy ra laø thaønh phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå laáy tieáp moät saûn phaåm
nöõa döôïc pheá phaåm.
Baøi 57: Moät thuøng röôïu coù 20 chai, trong ñoù coù 3 chai röôïu giaû. Trong quaù trình vaän chuyeån bò
maát 1 chai khoâng roõ chaát löôïng. Laáy ngaãu nhieân 1 chai trong 19 chai coøn laïi.
a. Tìm xaùc suaát ñeå chai laáy ra laø chai thaät
b. Bieát chai laáy ra laø chai thaät. Tìm xaùc suaát ñeå laáy tieáp ra 2 chai nöõa coù 1 chai thaät vaø 1
chai giaû.
Bài1: M t chi ti t máy ñư c l y ng u nhiên.Chi ti t lo i 1(chi ti t A);chi ti t lo i 2(chi ti t B);chi
ti t lo i 3(chi ti t C).Hãy mô t các bi n c sau ñây
a/ A ∪ B
b/ A + B
c/ ( A.B ) ∪ C
d/ A.C
Baøi 58 : Ba ngöôøi cuøng baén vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát baén truùng ñích cuûa ngöôøi thöù 1, 2, 3 laàn
löôït laø 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Goïi Ai laø söï kieän chæ ngöôøi thöù i baén truùng muïc tieâu i = 1, 2, 3. Haõy bieåu
dieãn caùc söï kieän sau theo caùc söï kieän Ai, A i ; i = 1, 2, 3 vaø tính xaùc suaát cuûa caùc söï kieän ñoù.
a/ A = söï kieän chæ coù moät ngöôøi baén truùng ñích.
b/ A = söï kieän coù nhieàu nhaát 1 ngöôøi baén truùng ñích.
c/ C = söï kieän muïc tieâu (ñích) bò baén truùng.
Baøi 59: Ta kieåm tra theo thöù töï moät loâ haøng coù 10 saûn phaåm. Caùc saûn phaåm ñeàu thuoäc moät
trong hai loaïi : toát hoaëc xaáy. Ta kyù hieäu Ak (k = 1,10 ) laø bieán coá chæ saûn phaåm kieåm tra thöù k
thuoäc loaïi xaáu. Vieát baèng kyù hieäu caùc bieán coá sau ñaây :
a/ Coù 10 saûn phaåm ñeàu xaáu.
b/ Coù ít nhaát moät saûn phaåm xaáu.
c/ Coù 6 saûn phaåm kieåm tra ñaàu laø toát, caùc saûn phaåm coøn laïi laø xaáu.
d/ Caùc saûn phaåm kieåm tra theo thöù töï chaün laø toát, coøn caùc saûn phaåm kieåm tra theo thöù töï
leû laø xaáu.
BI N NG U NHIÊN R I R C
Bài60: M t h p có 3 qu c u tr ng và 2 qu c u ñen.L y ng u nhiên t ng qu c u cho ñ n khi l y
ñư c qu c u tr ng.Hãy l p b ng phân ph i xác su t c a các qu c u ñư c l y ra
Bài61: M t phòng thi v n ñáp có 20 câu h i lý thuy t và 10 câu bài t p.M i ngư i vào thi ñư c
l y 1 câu lý thuy t và 1 câu bài t p.Tr l i ñúng ñư c 5 ñi m,tr l i sai ñư c 0 ñi m (cho m i
câu).Vi c tr l i câu lý thuy t và câu bài t p là ñ c l p.Khi vào thi hc sinh A thu c 12 câu lý
thuy t và có th làm ñư c 6 câu bài t p.
a/Tính xác su t ñ A ñ t ñi m 0
(P= 4/25)
b/G i X là s ñi m A ñ t ñư c.CMR: X là m t bi n ng u nhiên r i r c
- L p b ng phân b xác su t c a X.
17
18. www.VNMATH.com
- Tính xác su t ñ A ñ t t 5 ñi m tr lên
c/Tính s ñi m trung bình mà A có th ñ t ñư c
(P= 21/25)
(Kỳ v ng E(X)=6)
Bài62: M t thi t b g m 3 b ph n ho t ñ ng ñ c l p v i nhau.Xác su t trong th i gian t các b
ph n b h ng tương ng là: 0,4 ; 0,2 ; 0,3.G i X là s b ph n b h ng trong th i gian t
a/L p b ng phân b xác su t c a X
b/Xác su t ñ trong th i gian t có không quá 2 b ph n b h ng là bao nhiêu?
Bài63: M t ngư i ñi t nhà ñ n cơ quan ph i qua 3 ngã tư.Xác su t ñ ngư i ñó g p ñèn ñ
các
ngã tư tương ng là : 0,2 ; 0,4 ; 0,5.M i khi g p ñèn ñ ngư i y ph i d ng l i 3 phút.H i th i
gian trung bình mà ngư i ñó ph i d ng l i trên ñư ng là bao nhiêu? (ñáp s : kho ng 3,3 phút)
Bài64: Hai c u th l n lư t ném bóng vào r cho ñ n khi trúng v i xác su t ném trư t c a t ng
ngư i là: 0,7 và 0,6.Ngư i th nh t ném trư c
a/L p b ng phân b xác su t c a s l n ném r cho m i ngư i
b/L p b ng phân b xác su t c a t ng s l n ném r c a c hai ngư i
18
