Part of the course of Probability Theory, Random Processes and Mathematical Statistics

1. Випадковий процес.
Реалізації випадкового процесу

2. ВИПАДКОВИЙ??? ПРОЦЕС??? ДЛЯ ЧОГО???
Електроенцефалограма

3. Зіпвавлоло
Викликані потенціали мозку

4. Електроміограма

5. Курси валют

6. Погодинне споживання води

7. Мережевий трафік

8. Вібродіагностика

10. Означення. Дійсним випадковим (стохастичним, ймовірнісним)
процесом називається параметрична множина
,t,  , t Τдійсних випадкових величин.
,t- функція двох аргументів!!!
- неперервний скінченний чи нескінченний часовий інтервал, тоЯкщо T
говорять, що ,t - випадковий процес з неперервним часом. Реалізації
випадкового процесу з неперервним часом можуть бути як неперервними функціями
так і розривними. Якщо T - дискретна множина (наприклад, T  Z ), то кажуть, що 
,t - випадкова послідовність або випадковий процес з дискретним
часом.
Зауваження. Надалі, для спрощення позначень випадкових процесів та
послідовностей аргумент  будемо опускати, тобто, випадковий процес
будемо позначати - (t), а випадкову послідовність - t .

11. t tt
а) б) в)
(t) (t) ,t

12. 200 400 600 800 110
3
 0.2
 0.3
 0.1
0.1
0.2
0.3
t
t
200 400 600 800 110
3
 0.1
 0.2
 0.3
0.2
0.3
0.1
t
t
200 400 600 800 110
3
 0.3
 0.4
 0.1
 0.2
0.1
0.2
t
200 400 600 800 110
3
 0.2
 0.1
0.1
0.2
t
Ω ω1
ω2
ω3
ω4
ξ(ω1,t)
ξ(ω2,t)
ξ(ω3,t)
ξ(ω4,t)
ξ(ω,t)

13. Послідовність скінченновимірних функцій розподілу випадкового процесу
Згідно означення, даного вище, випадковий процес t, t Τ є множиною
випадкових величин. Звідси випливає, що ймовірнісні властивості кожної з цих
випадкових величин (при кожному t) характеризуються функцією
Fx;t Pt x (при кожному t маємо функцію розподілу
розподілу
відповідної
випадкової величини). Оскільки, ці випадкові величини, в загальному випадку,
стохастично зв’язані, то сумісний розподіл будь-яких двох з них (в моменти часу t1, t2
T ) характеризується двовимірною функцією розподілу
Fx1,х2;t1,t2 Рt1 x1, t2 x2.
Очевидно, що для характеризації сумісного розподілу будь-яких трьох
випадкових величин  t1 ,  t2 ,  t3 , t1, t2 , t3  T необхідно вже використовувати
тривимірну функцію розподілу і т. д. Зрозуміло також, що чим більша розмірність
відповідної функції розподілу, тим повніше вона характеризує випадковий процес
(t).

14. Означення. Послідовність функцій
випадкового
Fx1;t1 Pt1 x1,
Fx1,x2;t1,t2 Pt1 x1, (t2)  x2,
Fx1,x2,x3;t1,t2,t3 Pt1 x1, t2 x2, t3 x3,
…
Fx1,x2, … ,xn;t1,t2, … ,tn  Pt1 x1, t2 x2, … , tn  xn,
…
t1, t2, … , tn T, n
називається послідовністю скінченновимірних функцій розподілу
процесу.
Означення. Випадковий процес, ймовірнісні властивості якого
характеризуються послідовністю скінченновимірних функцій
повністю
розподілу
називається сепарабельним.

15. Якщо для будь-якої n -вимірної функції розподілу існує n -вимірна щільність
розподілу
n
F x , x , ..., x ; t , t , ..., t 
px1, x2, ..., xn;t1,t2, ...,tn  1 2 n 1 2 n
,
то сепарабельний випадковий процес
x1x2...xn
можна описати послідовністю
скінченновимірних щільностей розподілу:
px1;t1,
px1, x2;t1,t2 ,
px1, x2, x3;t1,t2,t3,
…
px1, x2, ..., xn;t1,t2, ...,tn ,
…

16. Моментні функції випадкового процесу
Означення. Початкова моментна функція першого порядку дійсного
випадкового процесу  (t), t  Τ називається математичним сподіванням випадкового
процесу  (t) і визначається як

m(t)  Μ(t)  xdFx;t,

t Τ .

17. Означення. Початковою моментною функцією k-го порядку дійсного
  
випадкового процесу  (t) називається функція виду:
Μt1t2 ...tk 
  ...x1x2...xkx1
x2
...xk
Fx1,x2, ..., xk;t1,t2, ...,tk .
  
Означення. Центральною моментною функцією k-го порядку дійсного
 
випадкового процесу  (t) називається функція виду:
Μt1 Μt1...tk  Μtk 
  x1  Μt1...xk  Μtk x1
...xk
Fx1,..., xk ;t1,...,tk .
 

18. Означення. Початкова моментна функція другого порядку дійсного
випадкового процесу  (t),t Τ називається коваріаційною (автоковаріаційною)
функцією випадкового процесу  (t) і визначається як
 
Kt1,t2  Μt1t2   x1x2x1
x2
Fx1, x2;t1,t2 ,
 
t1,t2 Τ .
Означення. Центральна моментна функція другого порядку дійсного
випадкового процесу  (t),t Τ називається кореляційною (автокореляційною)
 
t1,t2 Τ.  x1  Μt1x2  Μt2 x1
x2
Fx1,x2;t1,t2,
 
функцією випадкового процесу  (t) і визначається як
Rt1,t2  Μt1 Μt1t2  Μt2 

19. Коваріаційна та кореляційна функції дійсного випадкового процесу зв’язані
співвідношенням:
Kt1,t2  Rt1,t2  Μt1Μt2 .
Кореляційна функція дійсного процесу має такі властивості.
1.Функція Rt1,t2  є невід’ємно означеною, тобто, вона неперервна і для будь-яких
t1, t2 , ..., tm  Τ та будь-яких дійсних a1, a2 , ..., am має місценерівність
m m
k j k j
k 1 j1
Rt,t a a  0.
t Τ.2. Rt,t 0,
Rt,t Μt Mt2
 Dt - дисперсія випадкового процесу.
3. Функція Rt1,t2дійсного процесу симетрична, тобто Rt1,t2 R(t2,t1).

20. Означення. Взаємною коваріаційною функцією двох дійсних випадкових процесів
 (t) і (t) , t  Τ називаєтьсяфункція
Kt1,t2  Mt1t2 , t1,t2 Τ .
Означення. Взаємною кореляційною функцією двох дійсних випадкових процесів
 (t) і (t) , t  Τ називаєтьсяфункція
t1,t2 ΤRt1,t2 Mt1 Mt1t2  Mt2,
Означення. Випадкові процеси  (t) і (t), t Τ називаються некорельованими,
якщо Rt1,t2 0, t1,t2 Τ .
Умова скінченної потужності: Mt2
 , t Τ .
Процеси, що задовольняють цій умові називаються гільбертовими.

21. Комплекснозначні випадкові процеси
Деякі фізичні чи технічні задачі потребують використання поняття
комплекснозначного випадкового процесу.
Означення. Випадковий процес (t), t  T називається комплекснозначним, якщо
його можна зобразити у вигляді:
t 1t i2t, t Τ, i  1,
де 1t, 2t - дійсні випадкові процеси, задані на одному й тому ж ймовірнісному
просторі.
Комплекснозначний випадковий процес повністю задається послідовностями
скінченновимірних функцій розподілу його дійсної 1(t) та уявної 2 (t) частини.
(t),Означення. Комплекснозначний випадковий процес t T називається
гільбертовим, якщо M t2
 , t Τ .

22. сподівання комплекснозначного випадкового процесуМатематичне
визначається як
Mt M1t iM2t.
Вирази для моментних функцій другого порядку комплекснозначних
1 2 1 1 2 2R(t ,t )  Mt M tt M t ,
гільбертових випадкових процесів мають вигляд:
K(t1,t2)  Mt1t2 ,
K(t1,t2)  R(t1,t2 )  Mt1Mt2 ,
Kt1,t2  Mt1t2 ,
R(t1,t2)  Mt1 Mt1t2 - Mt2 .
Кореляційна функція R(t1,t2 ) в даному випадку є комплекснозначною, але її
значення R(t,t)  0, t є дійсними, крім того, для неї має місце властивість ермітовості:
R(t1,t2 )  R(t2 ,t1).