2.b arifmeti4eskaja progressija

1. Урок 1.

2. Устная работа
1. В последовательности (хn):
3; 0; -3; -6; -9; -12;...
назовите первый, третий и шестой
члены.

3. Устная работа
2. Последовательность (аn) задана формулой
аn= 6n - 1.
Найдите a1, а2, а20, а100, аk.
a1= 5; а2= 11; а20= 119; а100=599; аk= 6k – 1

4. Устная работа
3. Назовите пять первых членов
последовательности (сn), если:
с1 = 32; сn+1 = 0,5сn
32; 16, 8; 4; 2.

5. Устная работа
Продолжите данную последовательность:
1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;…

6. 1. Как называется график квадратичной функции?
2. Математическое предложение, справедливость
которого доказывается.
3. Упорядоченная пара чисел, задающая положение
точки на плоскости.
4. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и
Египте, раздел математики.
5. Линия на плоскости, задаваемая уравнением у=кх+b.
6. Числовой промежуток.
7. Предложение, принимаемое без доказательства.
8. Результат сложения
9. Название второй координаты на плоскости.
10. Французский математик 19 века, «отец» алгебры,
юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с
французами, а нам помог в быстром решении квадратных
уравнений.

7. П а р а б о л а
Т е о р е м а
К о о р д и н а т а
А л г е б р а
П р я м а я
И н т е р в а л
А к с и о м а
с у м м а
О р д и н а т а
В и е т

9. определение
Арифметической прогрессией называется
последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен
предыдущему члену, сложенному с одним и
тем же числом.
1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;…
- разность арифметической
прогрессии
Разность ар. прогрессии показывает, на сколько
каждый последующий член больше или меньше
предыдущего.
daа nn +=+1 nn aad −= +1
d

10. Найти разность арифметической
прогрессии:
1; 5; 9………
105; 100….
-13; -15; -17……
11; ; 19,….

11. 1. Известно, что а1 = -3, d = 4.
Найдите несколько первых членов этой
прогрессии.
-3; 1; 5; 9; 13; …
2. Известно, что а1= 8; d = -4 .
Найдите несколько первых членов
этой прогрессии.
8; 4; 0; -4; -8; …

12. Если в арифметической прогрессии
разность d > 0, то прогрессия
является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии
разность d <0, то прогрессия является
убывающей.
Если в арифметической прогрессии
d = 0, то прогрессия является
постоянной.

13. Какие из последовательностей являются
арифметическими прогрессиями?
3, 6, 9, 12,…..
5, 12, 18, 24, 30,…..
7, 14, 28, 35, 49,….
5, 15, 25,….,95….
1000, 1001, 1002, 1003,….
1, 2, 4, 7, 9, 11…..
5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….
d = 3
d = 10
d = 1
d = - 1

14. Даже в литературе мы встречаемсяДаже в литературе мы встречаемся с математическимис математическими
понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".
...Не мог он ямба от хорея,...Не мог он ямба от хорея,
Как мы ни бились отличить...Как мы ни бились отличить...
ЯмбЯмб -- это стихотворный размер с ударением на четныхэто стихотворный размер с ударением на четных
слогах 2; 4; 6; 8...слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуютНомера ударных слогов образуют
арифметическую прогрессию с первым членом 2 иарифметическую прогрессию с первым членом 2 и
разностью прогрессии 2.разностью прогрессии 2.
ХорейХорей -- это стихотворный размер с ударением на нечетныхэто стихотворный размер с ударением на нечетных
слогах стиха. Номера ударных слогов образуютслогах стиха. Номера ударных слогов образуют
арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

15. ЯмбЯмб
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогрессия: 2; 4; 6; 8...
Хорей
«Я пропАл, как звЕрь в загОне»
Б. Л. Пастернак
Прогрессия:Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...1; 3 ;5; 7...

16. a1
а2 = a1 + d
а3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
а4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
…
аn = a1 + (n – 1)∙d
Формула общего члена арифметической
прогрессии
dnaan ⋅−+= )1(1

17. Повторение
Арифметическая прогрессия

18. 1. Дайте определение
арифметической прогрессии.
Ответ: Арифметической прогрессией
называется числовая последовательность,
каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему, сложенному с одним и
тем же числом.
daа nn +=+1

19. 2. Что называют разностью
арифметической прогрессии?
Как обозначают?
Ответ: Это число, показывающее на сколько
каждый последующий член больше или меньше
предыдущего. Обозначают буквой d.

20. 3. Назовите формулу n-ого
члена арифметической
прогрессии.
dnaan ⋅−+= )1(1

21. Задача
Последовательность(аn) – арифметическая
прогрессия, в которой а1 = 4; d = 2. Найдите
50-ый член этой прогрессии.
а50 = а1 + 49d
а50 = 4 + 49∙2 = 102

22. 4. В чем заключается свойство
арифметической прогрессии?
Ответ:Каждый член арифметической
прогрессии, начиная со второго равен среднему
арифметическому двух соседних с ним членов.
2
11 −+ +
= nn
n
aa
à

23. 6. Какие бывают
арифметические прогресcии?
Ответ:
Если в арифметической прогрессии разность
d > 0, то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность d <0,
то прогрессия является убывающей.
Если в арифметической прогрессии d = 0, то
прогрессия является постоянной.

24. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в
первый день и увеличивают время этой
процедуры в каждый следующий день на 10
минут. Сколько дней следует принимать ванны
в указанном режиме, чтобы достичь их
максимальной продолжительности 1 час 45
минут?
Ответ: 10 дней

25. Сведения, связанные с прогрессиями,
впервые встречаются в дошедших до нас
документах Древней Греции. Уже в V в.
до н. э. греки знали следующие
прогрессии и их суммы:
2
)1(
......321
+
=++++
nn
n
)1(2......642 +=++++ nnn

26. В XVIII в. в английских учебниках
появились обозначения
арифметической и геометрической
прогрессий:
Арифметическая
Геометрическая

27. Нашел моментальноНашел моментально
сумму всех натуральныхсумму всех натуральных
чисел от 1 до 100, будучичисел от 1 до 100, будучи
еще учеником начальнойеще учеником начальной
школы.школы.
КАРЛ ГАУССКАРЛ ГАУСС
(1777 – 1855)(1777 – 1855)
Решение
1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3
+ 98) + ….. = 101 ∙ 50 = 5050

28. 5. Назовите формулу суммы
n первых членов
арифметической прогрессии.
n
aa
S n
n ⋅
+
=
2
1

29. Зная эти формулы, можно решить многоЗная эти формулы, можно решить много
интересных задач литературного,интересных задач литературного,
исторического и практического содержания.исторического и практического содержания.

30. Между числами 6 и 21 вставьте 4 числа так, чтобы
вместе с данными числами они образовали
арифметическую прогрессию.
Решение: = 6, = 21,
d = (21 – 6)/ (6 – 1)= 3,
6, 9, 12, 15, 18, 21.

31. Дана “стайка девяти чисел”:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.
Она представляет собой арифметическую
прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел
привлекательна способностью разместиться в
девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется
магический квадрат с константой, равной 33.

32. Знаете ли вы, что такое магический квадрат?
Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают
числа, так чтобы сумма чисел по вертикали,
горизонтали диагонали была одним и тем же числом-
constanta.
Замечание об арифметической прогрессии само по
себе очень интересно. Дело в том, что из каждых
девяти последовательных членов любой
арифметической прогрессии натуральных чисел
можно составить магический квадрат.
9 19 5
7 11 15
17 3 13

33. 1) а1 = 5, d = 3,а7 - ?
2) а4 = 11, d = - 2, а1-?
3) а4 = 12,5, а6 = 17,5 а5 - ?
4) а1 = -3, а2 = 4, а16 - ?
5) а1 = 4, а7 = -8, d -?
6) а7 = -5, а32 = 70, а1 - ?
7) 2, 5, 8,… S11 - ?
102
23
17
-2
187
-23
15

34. Рамсей жил в начале ХХ века. Им была создана
теория, доказывающая, что в мире нет абсолютного
хаоса. Что даже, казалось бы, самая неупорядоченная
система имеет определенные математические
закономерности. Вспомните, когда Вы смотрите на
звезды, то может показаться, что расположены они в
самом случайном порядке. Но еще в древности люди
увидели там созвездия Рыб и Касеопеи, Льва и
Ориона.
1 6 9532 4 87

36. При хранении бревен строевого леса
их укладывают так, как показано на
рисунке.
Сколько бревен находится в одной
кладке, если в ее основание
положить 12 бревен?
Ответ: 78 бревен

37. Джентльмен получил наследство.Джентльмен получил наследство.
Первый месяц он истратил 1000$, аПервый месяц он истратил 1000$, а
каждый следующий месяц онкаждый следующий месяц он
тратил на 500$ больше, чем втратил на 500$ больше, чем в
предыдущий. Сколько $ онпредыдущий. Сколько $ он
истратил за второй месяц? Заистратил за второй месяц? За
третий? Каков размер наследства,третий? Каков размер наследства,
если денег хватило на год такойесли денег хватило на год такой
безбедной жизни?безбедной жизни?

38. ?;500;1000 121 −== Sda
Применив формулу )1(1 −+= ndaan ,получаем:
$6500)112(500100012 =−+=a
n
àa
S n
n •
+
=
2
1
Применив формулу
$4500012
2
65001000
12 =•
+
=S

39. Понятие числовой последо
-вательности возникло и раз-
вивалось задолго до соз -
дания учения о функциях.
На связь между
прогрессиями первым
обратил внимание
великий
АРХИМЕД (ок. 287–212 гг.
до н.э)