Pengembangan bahan ajar dibuat dengan tujuan menambah referensi belajar siswa SMA kelas X tentang materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Di dalam modul ini terdapat 4 metode penyelesaian SPLTV beserta langkah-langkahnya. Semoga bermanfaat..

1. 1
Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
(SPLTV)
Berbasis Pendekatan Saintific

2. 2
Pendahuluan
Modul pembelajaran matematika ini disusun berdasarkan kurikulum
2013. Ruang lingkup modul ini meliputi materi Sistem Persamaan Linear
Tiga Variabel kelas X Semester 1. Modul disusun berdasarkan kegiatan
belajar yang meliputi langkah-langkah Pendekatan Saintific. Setiap kegiatan
pembelajaran di dalam modul ini berisi uraian materi, lembaran kerja, soal
evaluasi, dan rangkuman.
Modul pembelajaran matematika ini juga dilengkapi dengan proyek
yang akan membawa siswa untuk belajar secara nyata di lapangan dan sesuai
dengan proses pembelajaran Saintific. Selain itu, modul ini juga terdapat
nilai-nilai pendidikan karakter yang ingin dikembangkan pada peserta didik.

3. 3
3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan
linear tiga variabel.
Kompetensi Dasar
1. Mampu berpikir kreatif.
2. Mampu menghadapi permasalahan pada kasus SPLTV di kehidupan sehari-
hari.
3. Mampu berpikir kritis dalam mengamati permasalahan.
4. Mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam
Pengalaman Belajar
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

4. 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA
VARIABEL (SPLTV)
Menyusun dan
menemukan konsep
SPLTV
Penyelesaian
SPLTV
Bentuk umum
SPLTV
 Metode Substitusi
 Metode Eliminasi
 Metode Gabungan
 Metode Determinan
Peta Konsep

5. 5
SPLTV
INSPIRASI
Pernahkah kamu berbelanja di pasar, supermarket, ataupun tempat lainnya?
Apa yang kamu beli disana? Bagaimana cara kamu melakukan transaksi
jual beli tersebut?
Apakah kamu tahu? Jika proses jual beli tersebut merupakan penerapan dari
SPLTV begitupun dengan beberapa kegiatan lainnya.
Sistem?? Apa itu sistem? Dan persamaan linear tiga variabel itu juga apa?
Nah....
Setelah kamu mempelajari materi ini, kamu akan bisa menjawab beberapa
pertanyaan-pertanyaan tadi. Bukan hanya itu saja, kamu juga bisa
menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan
dengan SPLTV.

6. 6
Apakah kamu masih ingat, jika dulu sewaktu SMP kamu sudah pernah mempelajari
tentang x dan y, [( ) ( )] Masih
ingatkah kamu disebut apakah bentuk umum tersebut?
Bentuk umum dari dan merupakan bentuk umum
dari sistem persamaan dua variabel (SPLDV). Lalu, apa hubungannya dengan
SPLTV?
Menyusun dan Menemukan Konsep SPLTV
Pendahuluan
Hmm,, jika kamu
lupa, ayo kita
ingat kembali!
Jelas ada hubungannya, karena SPLTV dan SPLDV merupakan dua saudara
yang tidak terpisahkan.
Hanya saja ada sedikit perbedaan antara keduanya, dan perbedaan tersebut
terletak pada banyaknya persamaan dan variabel yang digunakan.

7. 7
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan SPLTV,
seperti permasalahan yang ada di bawah ini.
** permasalahan di atas ternyata dapat kamu selesaikan dengan cara mengubah
permasalahan tersebut ke dalam bentuk model matematika, seperti berikut.
Konsep SPLTV
Pada suatu hari, Hani, Tari, dan Putri pergi belanja ke toko buku. Hani membeli
tiga novel, dua buku tulis, dan dua spidol. Tari membeli dua novel, dua buku tulis,
dan empat spidol. Sedangkan Putri membeli sebuah novel, tiga buku tulis, dan
tiga spidol. Masing-masing dari mereka harus membayar Rp. 49.000,-; Rp.
48.000,-; Rp. 35.000,-. Jadi berapa harga untuk sebuah novel, sebuan buku tulis,
dan sebuah spidol di toko tersebut?
Masalah dan penyelesaiannya
Penyelesaian:
Diketahui:
- Hani membeli 3 novel, 2 buku tulis, dan 2 spidol dengan harga Rp. 49.000
- Tari membeli 2 novel, 1 buku tulis, dan 4 spidol dengan harga Rp. 48.000
- Putri membeli 1 novel, 3 buku tulis, dan 3 spidol dengan harga Rp. 35.000
Ditanya: Harga sebuah novel, sebuah buku tulis, dan sebuah spidol?
Misalkan:
x adalah sebuah novel
y adalah sebuah buku tulis
z adalah sebuah spidol

8. 8
d
Berdasarkan informasi dari permasalahan di atas, kita memperoleh
hubungan permasalahan tersebut, yaitu:
Hani : 3𝑥 2𝑦 2𝑧 ⋯ (Persamaan 1)
Tari : 2𝑥 1𝑦 4𝑧 ⋯ (Persamaan 2)
Putri : 1𝑥 3𝑦 3𝑧 35 000 (Persamaan 3)
𝑥 ⋯ − 3𝑦 − 3𝑧 (Persamaan 4)
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, ada beberapa langkah yang harus
dilakukan, yaitu:
Langkah 1
Substitusikan persamaan 4 kedalam persamaan 1, sehingga diperoleh:
𝑥 35 000 − 3𝑦 − 3𝑧 𝑑𝑎𝑛 3𝑥 2𝑦 2𝑧 49 000
3(… − 3𝑦 − 3𝑧) ⋯ 2𝑧 49 000
105 000 − ⋯ − 9𝑧 − 2𝑦 ⋯ 49 000
−9𝑦 − ⋯ 2𝑧 − 9𝑧 ⋯ − 105 000
−7𝑦 − ⋯ −56 000 kedua ruas dikali dengan negatif (-)
… 7𝑧 56 000 kedua ruas dibagi dengan 7
𝑦 𝑧 ⋯
∴ 𝑦 𝑧 8 000 (Persamaan 5)

9. 9
𝑦 𝑧 ⋯
2𝑦 𝑧 11 000
−𝑦 −2000
𝑦 ⋯
−
Langkah 2
Substitusikan persamaan 4 ke dalam persamaan 2, sehingga diperoleh:
𝑥 35 000 − 3𝑦 − 3𝑧 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 2𝑦 4𝑧 48 000
2(35 000 − ⋯ − 3𝑧) 2𝑦 4𝑧 48 000
70 000 − 6𝑦 − ⋯ 2𝑦 ⋯ 48 000
−6𝑦 ⋯ − 6𝑧 4𝑧 ⋯ − 70 000
−4𝑦 − 2𝑧 −22 000 kedua ruas dikali dengan negatif (-)
… 2𝑧 ⋯ kedua ruas dibagi 2
2𝑦 ⋯ 11 000
∴ 2𝑦 𝑧 11 000 (Persamaan 6)
Langkah 3
Gunakan, metode eliminasi terhadap persamaan 5 dan 6, sehingga diperoleh:
∴ 𝑦 2000
Kemudian substitusikan nilai y ke dalam persamaan 6, sehingga diperoleh:
𝑦 2000 𝑑𝑎𝑛 2𝑦 𝑧 11 000
2(… ) 𝑧 11 000
4 000 𝑧 ⋯

10. 10
𝑧 11 000 − ⋯
𝑧 6 000
∴ 𝑧 6000
Karena nilai y dan z telah diketahui dengan masing-masing nilai 2.000 dan 6.000,
maka untuk mengetahui nilai x kita harus mensubstitusikan y dan z ke dalam
persamaan 3, sehingga diperoleh:
𝑦 2 000 𝑧 6 000 𝑑𝑎𝑛 𝑥 3𝑦 3𝑧 35 000
𝑥 3(… ) 3(… ) 35 000
𝑥 6 000 18 000 ⋯
𝑥 ⋯ 35 000
𝑥 35 000 − ⋯
𝑥 11 000
∴ 𝑥 11 000
Jadi, nilai x = 11.000, y = 2.000, dan z = 6.000, atau harga untuk sebuah novel
adalah Rp. 11.000,00 ; harga sebuah buku tulis adalah Rp. 2.000,00 ; dan harga
untuk sebuah spidol adalah Rp. 2.000,00.
Tari, Leni, dan Ratih sedang membeli makanan di supermarket. Tari membeli satu
chitato, tiga permen, dan satu satu minuman botol dengan harga Rp. 8.000,00. Leni
membeli satu chitato, satu permen, dan minuman botol dengan harga Rp. 6.000,00.
Ratih membeli dua chitato, satu permen, dan satu minuman botol dengan harga Rp.
9.000,00. Tentukan harga untuk sebuah chitato, permen, dan minuman botol!
Masalah 2

11. 11
Dari dua permasalahan yang telah disajikan di atas dapat disimpulkan bahwa
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan
matematika yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing-masing
persamaannya juga bervariabel tiga. SPLTV ini merupakan bentuk perluasan dari
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). SPLTV juga memiliki ciri-ciri
tersendiri, yaitu:
1. SPLTV menggunakan relasi tanda sama dengan (=).
2. SPLTV memiliki tiga variabel.
3. SPLTV, ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu).
𝒂𝟏𝒙 𝒃𝟏𝒚 𝒄𝟏𝒛 𝒅𝟏
𝒂𝟐𝒙 𝒃𝟐𝒚 𝒄𝟐𝒛 𝒅𝟐
𝒂𝟑𝒙 𝒃𝟑𝒚 𝒄𝟑𝒛 𝒅𝟑
Bentuk Umum SPLTV adalah:
Dengan 𝒂𝟏 𝒃𝟏, 𝒄𝟏, 𝒅𝟏, 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒅𝟐 𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝟑 𝒅𝟑 adalah bilangan real.
Keterangan:
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 adalah koefisien dari x
𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑 adalah koefisien dari y
𝒄𝟏 𝒄𝟐 𝒄𝟑 adalah koefisien dari z
𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 adalah konstanta
𝒙 𝒚 𝒛 adalah variabel (peubah)

12. 12
Adapun metode-metode yang akan digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan
linear tigaa variabel sebagai berikut:
Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan SPLTV dengan
metode substitusi adalah:
1. Pilihlah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x, y, z dalam dua
variabel yang lainnya.
2. Substitusikan persamaan yang diperoleh dari langkah 1 ke kedua persamaan
lainnya, sehingga diperoleh SPDV.
3. Selesaikan SPLDV yang ada pada langkah 2 di atas dengan menggunakan
metode substitusi.
4. Substitusikan nilai-nilai dua variabel pada langkah 3 ke dalam satu persamaan
semula sehingga diperoleh nilai variabel ketiga.
5. Tentukan himpunan penyelesaiannya.
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan menggunakan
metode substitusi!
2 − 5 persamaan 1
2 − 5 6 persamaan 2
7 persamaan 3
Penyelesaian SPLTV
Soal dan penyelesainnya

13. 13
Persamaan 3 disubstitusikan pada
persamaan 1:
( ) −
−
− −
− −
− pers.4
Persamaan 4 disubstitusikan pada
persamaan 2:
( − ) −
− −
− −
−
−
−
−
Untuk − disubstitusikan ke persamaan 4 :
−
− −
−
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-17, 7, -8)}.
Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan berikut ini!
1. 2 − 3 8
− 2 5
10
2. 3 − 5 3
2 3 4
−2
3. − 5 2 −3
2 − 2 5
3 3 10

14. 14
Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear tiga variabel dengan metode eliminasi adalah:
1. Eliminasi sepasang-sepasang persamaan dengan mengalikan masing-masing
persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu peubah (x, y,
atau z) pada kedua persamaan sama.
2. Jumlahkan atau kurangkan persamaan yang satu dengan yang lain sehingga
diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.
3. Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang diperoleh pada langkah 2
dengan metode eliminasi.
4. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Eliminasi variabel r dari persamaan 1
dan 3:
−
| |
Eliminasi r dari persamaan 2 dan 3:
−
−
−
−
−
Soal dan penyelesainnya
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel
dengan menggunakan metode eliminasi!
3𝑝 2𝑞 2𝑟 18 persamaan 1
4𝑝 3𝑞 − 5𝑟 17 persamaan 2
2𝑝 − 𝑞 𝑟 7 persamaan 3
Penyelesaian

15. 15
−
−
−
∴ − pers. 4
∴ − pers. 5
Eliminasi variabel q dari persamaan 4
dan 5:
−
−
−
−
Eliminasi p dari persamaan 4 dan 5:
− 4 4 14
14 − 2 52 1
−14 56 56
14 − 2 52
54 108
108
54
2
Eliminasi variabel q dari persamaan 1
dan 3:
−
−
∴ pers. 6
Eliminasi variabel q dari persamaan 2
dan 3:
4 3 − 5 17 1
2 − 7 3
4 3 − 5 17
6 − 3 3 21
10 − 2 38
∴ 10 − 2 38 pers. 7
Eliminasi variabel p dari persamaan 6 dan 7:
−
−
−
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {4, 2, 1}.

16. 16
Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaiandari
persamaan berikut!
1.
2 3 6
− 2 3 5
2 − 3 − 6
2.
3 − 10
3 3
2 − 3 6
3.
5 − 2 3 −1
2 5 − 2 35
3 4 27
4.
2 − 3 15
3 2 − −4
4 − 3 − 11
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan
adalah sebagai berikut:
1. Eliminasi sepasang-sepasang persamaan dengan mengalikan masing-masing
persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu peubah (x, y,
z) pada kedua persamaan sama.
2. Jumlahkan atau kurangkan persamaan yang satu dengan yang lainnya, sehingga
diperoleh SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2 dengan metode gabungan
eliminasi dan substitusi sehingga diperoleh nilai dua variabel.
4. Substitusi nilai dua buah variabel yang diperoleh pada langkah 3 ke salah satu
persamaan semua sehingga diperoleh nilai variabel yang ketiga.

17. 17
5. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV berikut dengan menggunakan
metode gabungan eliminasi dan substitusi!
1. 3 2 − 5 12
4 − 3 2 24
2 − 3 11
2.
5
−
2
−
3
12
2 4
−
2
4
3
−
5 4
8
3. 5 2 − 5
2 − − 3 6
5 − 3 2 12
4. 2 − 5 12
2 10
2 3 9
Untuk contoh dan model soal
SPLTV dengan metode
gabungan, kamu bisa melihat
kembali soal dan penyelesaian
yang ada pada halaman 7-10.

18. 18
5. 12
− 2 − 5 10
2 − 8
Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel x, y, dan z berikut.
persamaan 1
persamaan 2
persamaan 3
Dengan
(0).
Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan SPLTV dengan
metode determinan, sebagai berikut:
Langkah 1
Determinan (D) didefinisikan sebagai determinan utama yaitu determinan dari
koefisien-koefisien x, y, dan z.
| |
− − −
Langkah 2
Didefinisikan determinan variabel ( ) yaitu determinan yang diperoleh dengan
mengganti koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilangan-
bilangan ruas kanan.

19. 19
| |
− − −
Langkah 3
Didefinisikan determinan variabel ( ) yaitu determinan yang diperoleh dengan
mengganti koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan-
bilangan ruas kanan.
| |
− − −
Langkah 4
Didefinisikan determinan variabel ( ) yaitu determinan yang diperoleh dengan
mengganti koefisien-koefisien variabel z dari determinan utama dengan bilangan-
bilangan ruas kanan.
| |
− − −
𝑥
𝐷𝑥
𝐷
𝑦
𝐷𝑦
𝐷
𝑧
𝐷𝑧
𝐷
Nilai x, y, dan z ditentukan dengan rumus:

20. 20
Penyelesaian:
Langkah 1: mencari nilai D
|
5 −2 2
2 5 −2
3 3 4
|
5
2
3
−2
5
3
5(5)(4) (−2)(−2)(3) (2)(2)(3) − (3)(5)(2) − (3)(−2)(5) −
(4)(2)(−2)
100 12 12 − 30 30 16
140
Langkah 2: mencari nilai
|
2 −2 2
21 5 −2
11 3 4
|
2
21
11
−2
5
3
2(5)(4) (−2)(−2)(11) (2)(21)(3) − (11)(5)(2) − (3)(−2)(2) −
(4)(21)(−2)
40 44 126 − 110 12 168
Soal dan penyelesaiannya
Dengan menggunakan metode determinan, tentukan nilai x, y, dan z yang
memenuhi sistem persamaan berikut:
5𝑥 − 2𝑦 2𝑧 2
2𝑥 5𝑦 − 2𝑧 21
3𝑥 3𝑦 4𝑧 11

21. 21
280
Langkah 3: mencari nilai
|
5 2 2
2 21 −2
3 11 4
|
5
2
3
2
21
11
5(21)(4) (2)(−2)(3) (2)(2)(11) − (3)(21)(2) − (11)(−2)(5) −
(4)(2)(2)
420 − 12 44 − 126 110 − 16
420
Langkah 4: mencari nilai
|
5 −2 2
2 5 21
3 3 11
|
5
2
3
−2
5
3
5(5)(11) (−2)(21)(3) (2)(2)(3) − (3)(5)(2) − (3)(21)(5) −
(11)(2)(−2)
275 − 126 12 − 30 − 315 44
−140
Dari keempat langkah di atas, maka dapat diperoleh nilai x, y, dan z sebagai berikut:
2
3
−1
Jadi, nilai x = 2, y = 3, dan z = -1.

22. 22
Tentukan nilai x, y,dan z yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel
berikut ini1
1. 9
− 15
2 3 28
2. 2 − 3 7
− 2 − 5 10
3 9
3. 5 − − 7
2 − 8 −11
− 3 12
A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat beserta lampirkan proses
penyelesaiannya!
1. Manakah yang dari persamaan berikut yang membentuk SPLTV?
a. 3 2 − 5 0 3 1
b. 2 − 3 4 2 2 − 1
c. 2 4 3 − 2 2 2
d. 2 − − 1 − 1 − 2 3
e. − 0 − 2 3
2. Nilai yang memenuhi persamaan:
2 3 2 15
3 − 4 6
Latihan Mandiri Siswa
LARIS

23. 23
5 − 2 − 3 −4
adalah...
a. 2 c. 1 e. 3
b. 4 d. 6
3. Penyelesaian sistem persamaan:
2 3 2 15
3 − 4 6
5 − 2 − 3 −4
adalah x, y, dan z. Nilai dari − 2 ⋯
a. 4 c. 0 e. 1
b. -4 d. 2
4. Himpunan penyelesaian sistem persamaan:
5 − 2 2 2
2 5 − 2 21
3 3 4 11
adalah {(x, y, z)}. Nilai dari 2x-5y-z=...
a. 15 c. 8 e. -10
b. 20 d. -5
5. Diketahui sistem persamaan:
3 2 2 18
4 3 − 5 17
2 − 7
Nilai dari 2 ⋯
a. 20 c. 24 e. 16
b. 23 d. 18

24. 24
Daftar Pustaka
Drs. Wagiman, M. Pd. 2005. Matematika untuk Kelas X SMA/MA. Surakarta: PT
Widya Duta Grafika.
Maulana Aries, S. Si. 2016. Top Pocket Master Book Matematika SMA/MA IPA
Kelas X, XI, & XII. Jakarta: PT Bintang Wahyu.
Sinaga, Barnok, dkk. 2016. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Edisi Revisi
2016. Jakarta: Kemendikbud.
Sukino, M. Sc. 2014. Matematika Jilid 1A untuk SMA/MA Kelas X Semester 1.
Jakarta: Erlangga.
Ujang Mauludin. 2005. Matematika untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: PT Sarana
Panca Karya Nusa.