Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.

1. 164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
αν σχηματίζει γωνία φ με τη μετατόπιση. Ητροχιά μπορεί να είναι καμπύλη και η γω­
νία φ μπορεί να μεταβάλλεταικατάτη διάρκεια της μετατόπισης.
• Ηκινητική ενέργεια Κ ενός σωματίου με μάζαm και ταχύτητα υ είναι
(6-11)
Η κινητική ενέργεια είναι βαθμωτό μέγεθος έχει μέτρο (πάντοτε θετικό) αλλά δεν έ­
χει κατεύθυνση στο χώρο. Η μονάδα μέτρησής της, kg · m2/s2, είναι η ίδια με τη μονά­
δα μέτρησης του έργου: 1 kg · m2/s2 = 1 Ν · m = 1 J.
• Όταν πολλές δυνάμεις δρουν επί ενός σωματίου ενώ μετατοπίζεται ως προς ένα α­
δρανειακό σύστημα αναφοράς, το ολικό έργο Wιοιπου παράγεται επί του σωματίου α­
πό όλες τις δυνάμεις ισούται με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια του σωματίου στο
ίδιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς:
Wιοι = κ2 - ΚΙ = ΔΚ. (6-12)
Η σχέση αυτή ονομάζεται θεώρημα έργου-ενέργειας.
• Η ισχύς είναι ο χρονικός ρυθμός παραγωγής του έργου. Αν μια ποσότητα έργου
ΔWπαράγεται σε χρόνο Δt, η μέση ισχύς Ρ,. είναι
Η στιγμιαία ισχύς Ρ ορίζεται ως
Ρ = lim ΔW = dW.
Δι....ο Δt dt
(6-17)
(6-18)
Όταν μια δύναμη F δρα επί ενός σωματίου που κινείται με ταχύτητα υ, η στιγμιαία ι­
σχύς, ή ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη παράγει έργο, είναι
P = F · υ. (6-21)
Η ισχύς είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, όπως το έργο και η ενέργεια. Η μονάδα της στο
σύστημα SI, δηλαδή το ένα joule ανά δευτερόλεπτο (1 J/s), ονομάζεται ένα βατ (watt)
(1 W).
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ _______________________
Εδάφιο 6-2
Έργο
6-1 Ένα βιβλίο φυσικής ωθείται 1,50 m κατά μήκος της οριζό­
ντιας επιφάνειας ενός τραπεζιού από μια οριζόντια δύναμη 2,00
Ν. Η αντιτιθέμενη δύναμη τριβής είναι0,400Ν. a) Πόσοέργοπα­
ράγεται επίτου βιβλίου απότη δύναμη των 2,00 Ν; b) Πόσο είναι
το έργοπουπαράγεται επίτου βιβλίου απότη δύναμη τριβής;
6-4 Μια αθλήτρια θαλάσσιου σκι σύρεται από ένα σχοινί ρυ­
μούλκησης πίσω από ένα ταχύπλοο σκάφος. Η σκιέρ κάνει ένα
πλευρικό ελιγμό και το σχοινί σχηματίζει γωνία 20,0° με την κα­
τεύθυνσητης κίνησήςτης. Ητάση στο σχοινί είναι 120 Ν. Πόσο έρ­
γο παράγεται επί της αθλήτριας από το καλώδιοκατάτη διάρκεια
μιας μετατόπισης μήκους 150 m;
6-5 Υποθέστε ότι ο εργάτης της Άσκησης 6-2 ωθεί το ξυλοκι­
βώτιο προς τα κάτω υπό γωνία 30ο κάτω από την οριζόντια διεύ­
θυνση. a) Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκή­
σει ο εργάτης για να μετακινήσει το ξυλοκιβώτιο με σταθερή ταχύ­
τητα; b) Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από τη δύ­
ναμη αυτή όταν το ξυλοκιβώτιο ωθείται για απόσταση 5,0 m; c)
Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από την τριβή κατάτη
διάρκεια της μετατόπισης αυτής; d) Πόσο έργο παράγεται από
την κατακόρυφη δύναμη; Από τη βαρύτητα;
6-2 Ένας εργάτης εργοστασίου ωθεί ένα ξυλοκιβώτιο μάζας
35,0 kg για απόσταση 5,0 m κατά μήκος ενός ισόπεδου δαπέδου με
σταθερή ταχύτητα ασκώντας δύναμη σ' αυτό σε οριζόντια διεύθυν­
ση. Ο συντελεστής κινητικής τριβής (συντελεστής τριβής ολισθήσε­
ως) μεταξύτου ξυλοκιβωτίου καιτου δαπέδου είναι 0,25. a) Ποιο
είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκήσει ο εργάτης; b)
Πόσο έργο παράγεται επίτου ξυλοκιβωτίου από τη δύναμη αυτή;
c) Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από την τριβή; d)
Πόσο έργο παράγεται από την κατακόρυφη δύναμη; Από τη βαρύ­
τητα;
6-3 Ένας ψαράς τυλίγει 20,0 m πετονιάς ενώ ανασύρει ένα ψά­
ρι που ασκεί μια σταθερή aνθιστάμενη δύναμη 18,0 Ν. Αν το ψάρι
ανασύρεται με σταθερή ταχύτητα, πόσο έργο παράγεται επ' αυτού
από την τάση στην πετονιά;
6-6 Ο παλιός δρύινος κάδος που κρέμεται μέσα σ' ένα πηγάδι
έχει μάζα 6,75 kg. Τον aνυψώνετε με αργό ρυθμό για απόσταση
7,00 m έλκοντας στην οριζόντια διεύθυνση με ένα σχοινί που διέρ­
χεταιπάνω από μιατροχαλία στο άνοιγματου πηγαδιού. a) Πόσο
έργο παράγεται τραβώντας τον κάδο προς τα πάνω; b) Πόσο έρ­
γο παράγεται από τη δύναμη βαρύτητας που δρα επί του κάδου;

2. Εδάφιο 6-3
Έργο παραγόμενο από μεταβαλλόμενη δύναμη
6-7 Αν μια δύναμη δράσει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου
το επιμηκύνει κατά 0,400 m πέρα από το αρχικό του μήκος. a)
Ποιο είναιτο μέτρο της δύναμης που απαιτείταιγιανα επιμηκύνει
το ελατήριο κατά 0,100 m πέρα από το αρχικό του μήκος; Για να
συμπιέσειτο ελατήριοκατά0,200 m; b) Πόσο έργο πρέπει να πα­
ραχθεί για να επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,100 m πέρα από το
αρχικό του μήκος; Πόσο έργο πρέπει να παραχθεί για να συμπιέ­
σειτο ελατήριοκατά0,200 m απότο αρχικότου μήκος;
6-8 Αν 8,00 J έργου πρέπει να παραχθούν για να επιμηκυνθεί
ένα ελατήριο κατά 5,00 cm πέρα απότο αρχικότου μήκο,πόσο έρ­
γο πρέπει να παραχθεί για να συμπιεστεί το ίδιο ελατήριο κατά
10,0 cm από το αρχικό του μήκος;
6-9 Μια μηχανική συσκευή γυμναστηρίου για εκτέλεση κάμψε­
ωντου βραχίονα έχει μια χειρολαβή προσαρτημένη σ' ένα σκληρό
ελατήριο. Μιαγυναίκα παράγει έργο 20,0 J μετακινώντας τη χει­
ρολαβή κατά 0,150 m και επιμηκύνοντας το ελατήριο κατά το μή­
κος αυτό, ενώ αρχίζει την άσκηση με το ελατήριο στο αρχικό του
μήκος. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να εξασκήσει
για να συγκρατήσειτη χειρολαβή στη θέση αυτή;
6-10 Εκγύμναση των ποδιών με χρήση μηχανικής
συσκευής με πιεστή βάση (ποδόπρεσα). Στην εκτέλεση
μιας από τις γυμναστικές ασκήσεις της καθημερινής σας προπόνη­
σης, ξαπλώνετε με την πλάτη προς τα κάτω (ανάσκελα) και ωθείτε
με ταπόδιασας μια βάση προσαρτημένη σε δύο σκληρά ελατήρια
(Σχ. 6-17). Ότανωθείτε τη βάση, συμπιέζετε τα ελατήρια. Παράγε­
τε έργο40,0 Jότανσυμπιέζετε τα ελατήριακατά0,200 m απότο αρ­
χικό τους (aσυμπίεστο) μήκος. Πόσο πρόσθετο έργο πρέπει να πα­
ραγάγετε για να μετακινήσετε τη βάση 0,200 m μακρύτερα;
ΣΧΗΜΑ 6-17
6-11 Μια δύναμη F που είναι παράλληλη προςτον άξοναχ α­
σκείται επί ενός σώματος. Η συνιστώσαχ της δύναμης μεταβάλλε­
ται συναρτήσει της συντεταγμένηςχ του σώματος όπως δείχνει το
Σχ. 6-18. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F ό­
ταν το σώμα μετακινείται a) από τη θέση χ = Ο στη θέση χ =
12,0 m· b) από τη θέση χ = 12,0 m στη θέση χ = 8,0 m.
ΣΧΗΜΑ 6-18
2
-1
-2
2 3 4 7
ΣΧΗΜΑ 6-19
6-12 Ένα παιδί εφαρμόζει μια δύναμη F παράλληλη προςτον
άξοναχ σε ένα έλκηθρο που κινείται πάνω στην παγωμένη επιφά­
νεια μιας μικρής λίμνης. Ενώ το παιδί ρυθμίζει την ταχύτητα του
έλκηθρου, η συνιστώσαχ της δύναμης που εξασκεί μεταβάλλεται
με τη συντεταγμένη χ του έλκηθρου όπως φαίνεται στο Σχ. 6-19.
Υπολογίστετο έργο που παράγεται από τη δύναμη F όταντο έλκη­
θρο μετακινείται a) από τη θέσηχ = Ο στη θέσηχ = 3,0 m· b) α­
πό τη θέση χ = 3,0 m στη θέση χ = 4,0 m· c) από τη θέση χ = 4,0
m στη θέσηχ = 7,0 m· d) απότη θέσηχ = Ο στη θέσηχ = 7,0 m.
Εδάφιο 6-4
Έργο και κινητική ενέργεια
6-13 Υπολογίστε την κινητική ενέργεια σε joules, μιας σφαίρας
όπλου μάζας 5,00 g που κινείται με ταχύτητα 5,00 m/s.
6-14 a) Υπολογίστε την κινητική ενέργεια ενός αυτοκινήτου
μάζας 1200 kg που κινείται με ταχύτητα 25,0 krnJh· b) Κατά ποιο
παράγοντα αυξάνεται η κινητική του ενέργεια αν η ταχύτητά του
διπλασιαστεί;
6-15 Ο ρίπτης του μπέιζμπολ Dwight Gooden ρίχνει τη μπάλα
με ταχύτητα 42,0 m/sec (τη στιγμή που χάνει την επαφή της με το
χέρι του). Η μάζα της μπάλας του μπέιζμπολ είναι 0,145 kg. Πόσο
έργο παρήγαγε ο παίκτης στη μπάλα ρίχνοντάς την;
6-16 Μια συσκευή τηλεόρασης μάζας 18,2 kg ηρεμεί αρχικά σε
μιαοριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Στη συνέχεια σύρεται για 2,50
m από μιαοριζόντιαδύναμη μέτρου 112 Ν. Χρησιμοποιήστε το θεώ­
ρημα έργου-ενέργειας γιανα βρείτε τηντελικήτηςταχύτητα.
6-17 Ένα μικρό κόκκινο βαγόνι μάζας 2,50 kg κινείται ευθύ­
γραμμα σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Έχει αρχική τα­
χύτητα 3,00 m/s και στη συνέχεια ωθείται κατά 4,0 m από μια δύ­
ναμη μέτρου 2,50 Ν και στην κατεύθυνση της αρχικής του ταχύτη­
τας. a) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας (Εξ. 6-12)
για να βρείτε την τελική ταχύτητα του βαγονιού. b) Υπολογίστε
την επιτάχυνση που παρήγαγε η δύναμη. Χρησιμοποιήστε την επι­
τάχυνση αυτή στις σχέσεις της κινηματικής του Κεφαλαίου 2 για
να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα του βαγονιού. Συγκρίνετε το
αποτέλεσμα αυτό με τοαποτέλεσμαπου υπολογίσατε στο (a).
6-18 Ένα έλκηθρο μάζας 8,00 kg κινείται ευθύγραμμα σε μια
επιφάνεια χωρίς τριβή. Σε ένα σημείο της τροχιάς του η ταχύτητά
του είναι 4,00 m/s. Αφού διανύσει 3,00 m, η ταχύτητά του είναι
9,00 m/sπρος την ίδια κατεύθυνση. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα
έργου-ενέργειας για να βρείτε τη δύναμη που δρα στο έλκηθρο,
θεωρώντας ότι η δύναμη αυτή είναι σταθερή και ότι δρα στην κα­
τεύθυνση της κίνησης του έλκηθρου.
6-19 Μία δύναμη μέτρου 30,0 Ν δρα σε μια μπάλα ποδοσφαίρου
μάζας 0,420 kgπου αρχικά κινείται στην κατεύθυνση της δύναμης με
ταχύτητα 4,00 m/s. Πόση απόσταση πρέπει να καλύψει η δρώσα δύ­
ναμη αν επιδιώκεταινααυξηθείη ταχύτητατης μπάλας στα 6,00 m/s;
6-20 Μια πέτρα μάζας 1,20 kg ρίχνεται (αρχική ταχύτητα μη­
δέν) από μια στέγη ενός κτιρίου ύψους 20,0 m. a) Υπολογίστε το
έργο που παράγει η βαρύτητα στην πέτρα κατά τη διάρκεια της με­
τατόπισής της απότη στέγη στο έδαφος. b) Πόση είναιη κινητική
ενέργειατης πέτρας μόλις πριν από την κρούση της σφαίρας στο έ­
δαφος;
165

3. 166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
6-2 1 Μια μπάλατου μπέιζμπολ μάζας 0,145 kg εκσφενδονίζε­
ται ίσια προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 27,0 m/s. a) Πόσο έργο
παρ1jγαγε η βαρύτητα στη μπάλα του μπέιζμπολ όταν αυτή φθάνει
ως έναύψος 20,0 m; b) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέρ­
γειας για να υπολογίσετε την ταχύτητα της μπάλαςτου μπέιζμπολ
σε ύψος 20,0 m.
6-22 Ένας κύβος πάγου μάζας 0,050 kg ολισθαίνει 0,40 m κατά
μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου με κατωφερή κλίση, που σχηματί­
ζει γωνία 60° κάτω από την οριζόντια διεύθυνση. Αν ο κύβος πά­
γου αρχίζει την κίνησή του από την ηρεμία, ποια είναι η τελική του
ταχύτητα; Η τριβή μπορεί να αγνοηθεί.
6-23 Ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιαοδό με ταχύτηταυ0 τη
στιγμή που εφαρμόζονται τα φρένα (τροχοπέδη) ακινητοποιώντας
τους τροχούς. a) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας
(Εξ. 6-12) για να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση στην οποία
σταματάτο αυτοκίνητο συναρτήσει του υ0, του συντελεστή κινητικής
τριβής μk μεταξύ των ελαστικών καιτου οδοστρώματος και της επι­
τάχυνσηςg που οφείλεται στη βαρύτητα. b) Το αυτοκίνητο ακινητο­
ποιείται σε απόσταση 42,7 m αν υ0 = 17,9 m/s (64,4 km!h). Πόση εί­
ναι η απόσταση ακινητοποίησης αν υ0 = 26,8 m/s (96,5 km!h); Υπο­
θέστε ότι ο συντελεστήςμk (άρα καιη τριβή) παραμένουντα ίδια.
6-24 Μια στήλη πάγου μάζας 2,00 kg εφάπτεται στο ελεύθερο
άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίουπου έχει σταθεράk = 150N/mκαι
έχει συμπιεστεί κατά0,040m. Στη συνέχεια αποδεσμεύεταιτο ελα­
τήριο και επιταχύνει τη στήλη κατά μήκος μιας οριζόντιας επιφά­
νειας. Η τριβή μπορεί να αγνοηθεί. a) Υπολογίστε το έργο που
παράγεται επίτης στήλης απότο ελατήριο κατάτηνκίνηση της στή­
λης από την αρχική της θέση ώς τη θέση που το ελατήριο έχει απο­
κτήσει το (aσυμπίεστο) αρχικό του μήκος. b) Ποια είναι η ταχύτη­
τατης στήλης τη στιγμή που χάνει την επαφή της με το ελατήριο;
6-25 Ένα ελατήριο σταθεράς k = 300 N/m ηρεμεί πάνω σε μια
οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Το ένα άκρο του είναι σε επαφή
με ένα σταθερό τοίχο, ενώ στο άλλο άκρο ωθείται ένα μεταλλικό
κουτί (κονσέρβα) με όσπρια, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 0,100
m. Στη συνέχεια η κονσέρβα αποδεσμεύεται χωρίς αρχική ταχύτη­
τα. Πόση είναι η ταχύτητα της κονσέρβας όταν το ελατήριο a) α­
ποκτήσει το (aσυμπίεστο) αρχικό του μήκος; b) διέλθει από τη
θέση στην οποία είναι ακόμη συμπιεσμένο κατά 0,060 m;
6-26 Ένας εφευρετικός τοιχοποιός κατασκευάζει μια συσκευή
εκτόξευσης των τούβλων ως το ύψος τουτοίχου που έχει ήδη οικο­
δομήσει, όπου και συνεχίζει την εργασία της τοιχοποίlας. Τοποθε­
τεί το τούβλο πάνω σ' ένα συμπιεσμένο ελατήριο σταθεράς k =
250 N/m. Όταν αποδεσμεύεται το ελατήριο, δίνεται ισχυρή ώθηση
στο τούβλο προς τα πάνω. Αν το τούβλο έχει μάζα 1,50 kg και πρό­
κειται να φθάσει ένα μέγιστο ύψος 3,8 m πάνω από την αρχική του
θέση επί του συμπιεσμένου ελατηρίου, πόση είναι η απόσταση κα­
τά την οποία πρέπει αρχικά να συμπιεστείτο ελατήριο;
6-27 Ένας μικρός ολισθητής μάζας 0,0500 kg τοποθετείται επί
ενός συμπιεσμένου ελατηρίου σταθεράς k = 150 N/mπου βρίσκε­
ται στο κάτω άκρο μιας αεροτροχιάς. Στην αεροτροχιά έχει δοθεί
η κατάλληλη κλίση, ώστε να σχηματίζει γωνία 40,0° πάνωαπότην
οριζόντια διεύθυνση. Όταν αποδεσμεύεται το ελατήριο, ο ολισθη­
τής το εγκαταλείπει και κινείται ώς μια μέγιστη απόσταση 1,80 m
κατά μήκος της αεροτροχιάς πριν ολισθήσει και πάλι προς τα κά­
τω. a) Κατά πόσο μήκος είχε αρχικά συμπιεστεί το ελατήριο; b)
Πόση είναι η κινητική ενέργειατου ολισθητή όταν έχει ήδη καλύ­
ψει 0,80 m κατά μήκος της αεροτροχιάς από την αρχική του θέση
επίτου συμπιεσμένου ελατηρίου;
Εδάφιο 6-5
Ισχύς
6-28 Ανητιμήτης κιλοβατώραςείναι 19 δρχ.,πόσο κοστίζειη λει­
τουργίαενόςηλεκτροκινητήρα (μοτέρ), ισχύος4000 Wγια8,00ώρες;
6-29 Μια ομάδα ποδηλασίας με δίδυμα ποδήλατα (tandem)
πρέπει να υπερνικήσει μια δύναμη 150 Ν γιανα διατηρήσει μιατα­
χύτητα 9,20 m/s. Βρείτε την απαιτούμενη ισχύ ανά αναβάτη υποθέ­
τοντας ότι ο κάθε ποδηλάτης συνεισφέρει εξίσουστηνπροσπάθεια.
Εκφράστετην απάντησή σαςως ιπποδύναμη (δηλ. σε μονάδες hp).
6-30 Η ολική κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας στις Ηνωμέ­
νες Πολιτείες της Αμερικής είναι περίπου 1,0 χ 1019 joules ανά έ­
τος. a) Πόσος είναι ο μέσος ρυθμός κατανάλωσης ηλεκτρικής ε­
νέργειας σε βατ; b) Αν ο πληθυσμός των ΗΠΑ είναι 240 εκατομ­
μύρια, πόσος είναι ο μέσος ρυθμός κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέρ­
γειας ανά άτομο; c) Ο ήλιος ακτινοβολεί προς τη γη ενέργεια με
ρυθμό 1,4 kW ανά τετραγωνικό μέτρο επιφάνειας περίπου. Αν ή­
ταν δυνατή η συγκέντρωση της ενέργειας αυτής και η μετατροπή
της σε ηλεκτρική ενέργεια με απόδοση 100%, πόσο μεγάλη επιφά­
νεια (σε τετραγωνικά χιλιόμετρα) θα απαιτούσε η συλλογή της η­
λεκτρικής ενέργειας που χρησιμοποιείται στις ΗΠΑ σε ένα έτος;
6-31 Ένας άνδρας του οποίου η μάζα είναι 80,0 kg ανεβαίνει
ώς τοντρίτο όροφο ενός κτιρίου. Ο όροφος βρίσκεται σε κατακό­
ρυφο ύψος 12,0 m πάνω από το επίπεδο του δρόμου. Αν ανεβαίνει
τις σκάλες σε 20,0 s, πόσος είναι ο ρυθμός με τον οποίο παράγει
έργο σε μονάδες βατ;
6-32 Η σφύρα ενός καταπήκτη δοκών έχει βάρος 4800 Ν και
πρέπει να ανυψωθεί με σταθερή ταχύτητα κατά μία κατακόρυφη
απόσταση 1,80 m σε 3,00 s. Βρείτε την απαιτούμενη ιπποδύναμη
του κινητήρα ανύψωσης.
6-33 Ο κινητήρας μιας βενζινακάτου αποδίδει 30,0 kW στην έ­
λικα (προπέλα) ενώ το σκάφος κινείται με ταχύτητα 12,0 m/s. Αν
το σκάφος ρυμουλκείται με την ίδια ταχύτητα, πόση είναι η τάση
του σχοινιού ρυμούλκησης (ρυμουλκίου);
6-34 Μια ανάβαση χιονοδρομίας με ρυμούλκηση (ski tow) λει­
τουργεί σε μια πλαγιά κλίσης 37,0° και μήκους 300 m. Το σχοινί
κινείται με ταχύτητα 12,0 km/h και η ισχύς παρέχεται κάθε στιγμή
σε 80 αναβάτες συγχρόνως, ενώ η μέση μάζα κάθε αναβάτη είναι
65,0 kg. Εκτιμήστε την ισχύ που απαιτείται για τη λειτουργία της
ρυμούλκησης.
Εδάφιο 6-6
Η ισχύς του αυτοκινήτου:
Μια ειδική μελέτη στις ενεργειακές σχέσεις
6-35 Θεωρήστε το αυτοκίνητοτου Εδαφίου 6-6. a) Επαληθεύ­
στε ότι η ισχύς που είναι αναγκαία για την επίτευξη σταθερής τα­
χύτητας 30,0 m/s σε μια ισόπεδη οδό είναι 16,3 kW. b) Πόσος ό­
γκος βενζίνης καταναλίσκεται σε 1,0 h με την ταχύτητα αυτή αν
μόνο το 15% της ενέργειας των 3,5 χ 107 J που παράγεται κατά
την καύση 1,0 ι βενζίνης είναι διαθέσιμο για την παροχή ώθησης
στο αυτοκίνητο; c) Υπολογίστε την κατανάλωση καυσίμου ανά
μονάδα απόστασης σε μονάδες L/km και σε μονάδες gal/mi.
6-36 Ο κινητήρας ενός φορτηγού αυτοκινήτου αναπτύσσει 20,0
kW (26,8 hp) όταντο φορτηγό κινείται με ταχύτητα 50,0 km/h. a)
Πόση είναι η aνθιστάμενη δύναμη που δρα στο φορτηγό; b) Αν η
aνθιστάμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας, πόση ισχύς θα
κινήσει το φορτηγό με ταχύτητα 25,0 km/h; Με ταχύτητα 100,0
km/h; Δώστε τις απαντήσεις σας σε κιλοβάτκαι σε ίππους.
6-37 a) Αν 6,00 hp απαιτούνται για την κίνηση ενός αυτοκινή­
του μάζας 1200 kg με ταχύτητα 50 km/h σε μια ισόπεδη οδό, πόση
είναι η συνολική επιβραδύνουσα δύναμη η οφειλόμενη στηντριβή,
την αντίσταση του αέρα κ.λπ.; b) Πόση ισχύς είναι αναγκαία για
να κινήσειτο αυτοκίνητο με ταχύτητα 50,0 km!h σε ανωφέρεια κλί­
σης 10% (δηλ. σε μία aνηφορική οδό που ανυψώνεται κάθετα κα­
τά 10,0 m για κάθε 100 m οριζόντιας μετακίνησης); c) Πόση ισχύς
απαιτείται για να κινήσει το αυτοκίνητο με 50,0 km/h σε κατωφέ­
ρεια κλίσης 2%; d) Βρείτε την κλίση της κατωφέρειας, στηνοποία
το αυτοκίνητο θα εκινείτο ελεύθερα (με σβησμένη τη μηχανή) με
σταθερή ταχύτητα 50 km/h.

4. Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
6-38 Ένα δέμα μάζας 6,00 kg ολισθαίνει προς τα κάτω καλύ­
πτοντας απόσταση 4,00 m σε κεκλιμένο επίπεδο υπό κλίση 53,1 ο
κάτω απότην οριζόντια διεύθυνση. Ο συντελεστής κινητικής τριβής
μεταξύ του δέματος και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μk = 0,40.
Υπολογίστε a) Το έργο που παράγεται από τη δύναμη τριβής επί
του δέματος. b) Το έργοπου παράγεται από τη βαρύτητα. c) Το
έργο που παράγεται από την κάθετη δύναμη. d) Το συνολικό έργο
πουπαράγεται επίτου δέματος.
6-39 Μια βαλίτσα βάρους 90,0 Ν ωθείται προς τα πάνω κατά
μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου χωρίς τριβή υπό κλίση 30° πάνω
από την οριζόντια διεύθυνση, από μια δύναμη F που έχει μέτρο
80,0 Ν και δρα παράλληλα προς το κεκλιμένο επίπεδο. Αν η βαλί­
τσα μετακινείται κατά 4,60 m κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέ­
δου, υπολογίστε a) Το έργο που παράγεται στη βαλίτσα από τη
δύναμη F. b) Το έργο που παράγεται από τη δύναμη βαρύτητας.
c) Το έργο που παράγεται από την κάθετη δύναμη. d) Το συνολι­
κόέργοπου παράγεται στη βαλίτσα.
6-40 Ένα αντικείμενο έλκεταιπροςτηναρχήτου άξοναχ από μία
δύναμη που δίνεται από τη σχέσηFx = - k/r. (Μια τέτοια εξάρτηση
από την απόσταση έχουν οι ηλεκτρικές δυνάμεις και οι δυνάμεις βα­
ρύτητας). Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη Fx όταν
το αντικείμενο κινείται στην κατεύθυνσηχ από τοχι ως τοχ2. Ανχ2 >
χι, το έργο που παράγεταιαπότηνFx είναι θετικό ή αρνητικό;
6-41 Ένα αντικείμενο έλκεται προς την αρχή του άξοναχ από
μιαδύναμη που δίνεται από τη σχέσηF = αχ3, όπου α = 8,00 N/m3.
Πόση είναι η δύναμη F όταν το αντικείμενο βρίσκεται a) στο ση­
μείο α που απέχει 1,00 m από την αρχή; b) στο σημείο b που απέ­
χει 2,00 m από την αρχή; c) Πόσο έργο παράγεται από τη δύναμη
Fόταν το aντικείμενο μετακινείται από το σημείο α στο σημείο b;
Το έργο αυτό είναι θετικό ή αρνητικό;
6-42 Ένα δέμα μάζας 4,00 kg ολισθαίνει προς τα κάτω καλύ­
πτοντας απόσταση 2,00 m κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου,
υπό κλίση 50,0ο κάτω απότην οριζόντια διεύθυνση. Ο συντελεστής
κινητικής τριβής μεταξύ του δέματος και του κεκλιμένου επιπέδου
είναιμk = 0,30 a) Υπολογίστε το έργο που παράγεται επί του δέ­
ματος από τη βαρύτητα. b) Υπολογίστε το έργο που παράγεται επί
του δέματος από τη δύναμη τριβής. c) Αν το δέμα έχει ταχύτητα
1,2 m/s στο ψηλότερο σημείο του κεκλιμένου επιπέδου, πόση είναι
η ταχύτητάτου μετάτην ολίσθησή του κατά 2,00 mπάνωστο κεκλι­
μένο επίπεδο;
6-43 Ένα μικρό σώμα (σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέ­
δου) μάζας0,0500 kgσυνδέεται με νήμα που διέρχεταιαπό μια οπή
σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή (Σχ. 6-20). Το σώμα περιστρέ­
φεται αρχικά σε απόσταση 0,40 m από την οπή με ταχύτητα 0,80
m/s. Στη συνέχεια το νήμα έλκεται μέσωτης οπής προςτα κάτω, με
αποτέλεσμα η ακτίνατου κύκλου, στην περιφέρεια του οποίου πε­
ριστρέφεται το σώμα, να μειωθεί στα 0,20 m. Στηνέααυτή απόστα­
ση, η ταχύτητα του σώματος βρίσκεται ίση προς 1,60 m/s. a) Πόση
είναι η τάση του νήματος, όταν η ταχύτητα του σώματος είναι υ =
0,80 m/s; b) Πόση είναι η τάση του νήματος όταν η ταχύτητα του
σώματος είναι υ = 1,60 m/s; c) Πόσο έργο παρήχθη από τον άν­
θρωποπου άσκησε την έλξη στο νήμα;
..... __
- - - - -
ΣΧΗΜΑ 6-20
ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 167
6-44 Βομβαρδισμός με πρωτόνιο. Ένα πρωτόνιο μάζας
1,67 χ 10-27 kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα 8,00 χ 104 m/s ακρι­
βώςστηνκατεύθυνση ενός πυρήνα χρυσού που βρίσκεταισε απόστα­
ση 4,00 m από το πρωτόνιο. Το πρωτόνιο aπωθείται απο τον πυρήνα
χρυσού με δύναμη μέτρουF = α/J, όπουχ είναι η απόσταση μεταξύ
των δυο σωματιδίων και α = 1,82 χ 10-26 Ν· m2. Υποθέστε ότι ο πυ­
ρήνας χρυσού παραμένει σε ηρεμία. a) Όταν το πρωτόνιο βρίσκε­
ταισε απόσταση 8,00 χ ιο-9 m απότον πυρήνα, πόση είναι η ταχύτη­
τά του; b) Πόση είναι η μικρότερη δυνατή απόσταση προσέγγισης
του πρωτονίου στον πυρήνα; (Υπολογίστετη θέσητου πρωτονίου για
την οποίατο έργοπου έχει παραχθεί από την απωστική δύναμη έχει
μηδενίσει στιγμιαίατη μειούμενη ταχύτητατουπρωτονίου).
6-45 Μία στήλη πάγου μάζας 5,00 kg ηρεμεί αρχικά πάνω σε
μιαοριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Στη συνέχεια ένας εργάτης ε­
ξασκεί μια οριζόντια δύναμη F στη στήλη, με αποτέλεσμα η στήλη
να κινηθεί κατά μήκος του άξοναχ και η θέση της ως συνάρτηση
του χρόνου να δίνεται από τη σχέσηx(t) = αt2 + βf, όπου α = 3,00
m/s2 καιβ = 0,500 m/s2. a) Υπολογίστε την ταχύτητα του αντικει­
μένου όταν t = 4,00 s. b) Υπολογίστε το έργο που παράγεται από
τη δύναμη F κατά τη διάρκειατων πρώτων 4,00 s της κίνησης.
6-46 Το ελατήριο ενός ελατηριοφόρου όπλου έχει σταθερά k =
500 N/m. Το ελατήριο συμπιέζεταικατά0,0500 m, και ένα βλήμα μά­
ζας 0,0300 kg τοποθετείται μέσα στην οριζόντια κάννη του όπλου σε
επαφή με το συμπιεσμένο ελατήριο. Στη συνέχεια το ελατήριο απο­
δεσμεύεται καιτο βλήμα εξωθείται έξω απότην κάννη. a) Υπολογί­
στε τηνταχύτητα με την οποία το βλήμα εγκαταλείπει την κάννη, αν
οι δυνάμεις τριβής είναι αμελητέες. b) Προσδιορίστε την ταχύτητα
του βλήματος καθώς αυτό εγκαταλείπει το άκρο της κάννης, υποθέ­
τοντας ότι στο βλήμα δρα μια σταθερή aνθιστάμενη δύναμη 10,0 Ν
κατά τη διαδρομή του, μήκους 0,0500 m, μέσα στην κάννη. Σημειώ­
στε ότι η μέγιστη ταχύτητα δεν επισυμβαίνει στο άκρο της κάννης σ'
αυτή την περίπτωση.
ΣΧΗΜΑ 6-21
6-47 Εσείς και το ποδήλατό σας έχετε μια συνολική μάζα 80,0
kg. Όταν φθάσετε στη βάση μιας υπερυψωμένης διάβασης κινείστε
κατά μήκος του ποδηλατόδρομου με ταχύτητα 3,00 m/s (Σχ. 6-21).
Το κατακόρυφο ύψοςτης υπερυψωμένης διάβασης είναι 5,20 m και
η ταχύτητά σας στο ψηλότερο σημείο της διάβασης είναι 1,50 m/s.
Αγνοήστε το έργο που παράγεται από την τριβή καθώς και οποια­
δήποτε απώλεια ενέργειας που σχετίζεται με το ποδήλατο ή με τα
πόδια σας. a) Πόσο είναι το συνολικό έργο που παράγεται επίτου
εαυτού σας και επίτου ποδηλάτου σας κατάτην κίνησή σας από τη
βάση ως το ψηλότερο σημείο της διάβασης; b) Πόσο έργο έχετε
παραγάγει με τη δύναμη που ασκείτε σταπετάλια (πέδιλα) του πο­
δηλάτου;
6-48 Ένα λεξικό μάζας 6,00 kg ωθείται προς τα πάνω κατά μή­
κος ενός aτριβούς κεκλιμένου επιπέδου χωρίς τριβή υπό aνωφερή
κλίση 30,0' πάνω από την οριζόντια διεύθυνση. Το λεξικό ωθείται

5. ΣΧΗΜΑ 6-22
από μια σταθερή δύναμη 100 Ν παράλληλη προς το κεκλιμένο επί­
πεδο καλύπτοντας απόσταση 2,00 m κατά μήκος της aνωφέρειας.
Αν η ταχύτητατου λεξικού στο κατώτατο άκροτου κεκλιμένου επι­
πέδου είναι 2,00 m/s, πόση είναι η ταχύτητατου λεξικού στο ανώ­
τατο άκρο του κεκλιμένου επιπέδου; Χρησιμοποιήστε ενεργεια­
κές μεθόδους γιατη λύσητουπροβλήματος.
�9 Σας ζητούν να σχεδιάσετε προφυλακτήρες πρόσκρουσης
με ελατήρια για τους τοίχους ενός κτιρίου στάθμευσης αυτοκινή­
των (γκαράζ). Ένα αυτοκίνητο σε ελεύθερη κίνηση -δηλ. με σβη­
σμένη τη μηχανή και χωρίς εφαρμογή πέδησης (φρένου)-, με τα­
χύτητα 0,50 m/sec, μάζας 1200 kg, πρέπει να συμπιέζει το ελατήριο
κατά μήκος που δεν μπορεί να υπερβαίνειτα 0,075 m, πριν επιτευ­
χθεί η ακινητοποίηση του αυτοκινήτου. Πόση πρέπει να είναι η
σταθερά του ελατηρίου των προφυλακτήρων πρόσκρουσης;
6-50 Ένας κύβος μάζας 5,00 kg κινείται με ταχύτητα 6,00 m/s
κατά μήκος μιας οριζόντιας επιφάνειας χωρίς τριβή προς την κα­
τεύθυνση ενός ελατηρίου σταθεράς k = 500 N/m που είναι προσ­
δεμένο σε τοίχο (Σχ. 6-22). Βρείτε το μέγιστο μήκος κατάτο οποίο
θα συμπιεστεί το ελατήριο. Το ελατήριο έχει αμελητέα μάζα.
8,00kg
ΣΧΗΜΑ 6-23
6-51 Ισχύς της ανθρώπινης καρδιάς. Η ανθρώπινη
καρδιά είναι μια ισχυρή και εξαιρετικά αξιόπιστη αντλία. Κάθε μέ­
ρα στην καρδιά εισρέουν και εκρέουν περίπου 7500 L αίματος. Αν
το έργο πουπαράγεταιαπότην καρδιά είναι ίσο με το έργο που α­
παιτείται για να ανυψωθεί η ποσότητα αυτή του αίματος κατά τόσο
ύψος, όσο είναι το ύψος της μέσης Αμερικανίδας (1,63 m), και αν η
πυκνότητα (μάζα ανά μονάδα όγκου) του αίματος εξομοιωθεί με
την πυκνότητατου νερού (1,00 χ 10' kg/m2), a) πόσο έργο παράγει
η καρδιά μέσα σε μία ημέρα; b) πόση είναι η αποδιδόμενη ισχύς
της (σε μονάδες βατ);
6-52 Θεωρήστε το σύστημα που φαίνεται στο Σχ. 6-23. Ο συ­
ντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του σώματος με μάζα 8,00 kg
και της επιφάνειας του τραπεζιού είναιμk = 0,30. Αγνοήστε τη μά­
ζα του σχοινιού και της τροχαλίας και θεωρήστε ότι η τροχαλία
δεν έχει τριβές. Χρησιμοποιήστε ενεργειακές μεθόδους για να υ­
πολογίσετε την ταχύτητα του σώματος με μάζα 6,00 kg αφού κα­
τέλθει κατά 1,50 m από το σημείο εκκίνησης, όπου θεωρούμε ότι
το σώμα ηρεμεί.
6-53 Μια αντλία χρησιμοποιείται γιατην ανύψωση 800 kg (πε­
ρίπου 200γαλονιών) νερού ανά λεπτό από έναπηγάδι βάθους 15,0
m καθώςκαιγιατηνεκτόξευσή του με ταχύτητα20,0m/s. a) Πόσο
έργο παράγεται ανά λεπτό για την ανύψωση του νερού; b) Πόσο
έργο παράγεται ανά λεπτό για να προσδοθείκινητική ενέργειαστο
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
6-58 Ένα αντικείμενο υφίσταται τη δράση αρκετών δυνάμεων.
Μία από τις δυνάμεις αυτές είναι η F = axyi, μία δύναμη στην κα­
τεύθυνση +χ, το μέτρο της οποίας εξαρτάται από τη θέση του αντι­
κειμένου, και όπου η σταθερά α = 5,00 N/m2• Υπολογίστε το έργο
που παράγεται επί του αντικειμένου από τη δύναμη αυτή για κάθε
μιααπότις παρακάτω μετατοπίσεις του: a) Το αντικείμενο ξεκινά
168
νερό; c) Πόση πρέπεινα είναι η ισχύςτηςαντλητικής μηχανής;
* 6-54 Ένα αυτοκίνητο μάζας m επιταχύνεται αφού εκκινήσει α­
πό την ηρεμία και ενώ ο κινητήρας παρέχει σταθερή ισχύ Ρ. a)
Δείξτε ότι η ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από τη
σχέση υ = (2Pt!m)112• b) Δείξτε ότι η επιτάχυνση ως συνάρτηση
του χρόνου δίνεται από τη σχέση α = (P/2mt)112, άρα δεν είναι στα­
θερή. c) Δείξτε ότι η μετατόπιση ως συνάρτηση του χρόνου δίνε­
ται από τη σχέσηχ -χ0 = (8Ρ! 9m)112 t 312•
6-55 Το φράγμα του Grand Coulee (μεγάλο κανάλι υπερχείλι­
σης, μέσω του οποίου έρρεε το νερό από την τήξη των πάγων της ε­
ποχής των παγετώνων, στην πολιτεία Washington των ΗΠΑ
(σ.τ.Μ.)) έχει μήκος 1270 m καιύψος 170 m. Η ηλεκτρική ισχύς εξό­
δου από τις γεννήτριες στη βάση του είναι 2000 MW περίπου. Πόσα
κυβικά μέτρα νερού πρέπει να διέρχονται από το φράγμα ανά δευ­
τερόλεπτο για να παραγάγουν την ηλεκτρική αυτή ισχύ; (Η πυκνό­
τητα ή η μάζα ανά μονάδα όγκου του νερού είναι 1,00 χ 10' kg!m').
6-56 Το σχήμα 6-24 παριστάνει πώς μεταβάλλεται η δύναμη
που ασκείη χορδή ενός σύνθετου τόξου επί του βέλους, ως συνάρ­
τηση του μήκους κατά το οποίο το βέλος ελκύεται προς τα πίσω.
Υποθέστε ότι η ίδια δύναμη ασκείται στο βέλος ενώ, αφού αποδε­
σμευθεί, εκτελεί την πρόσθια κίνησή του. Η πλήρης έλξη (τάνυ­
σμα) για τη χορδή αυτή ισοδυναμεί με μήκος τανύσματος 75,0 cm.
Αν η χορδή εκτοξεύει ένα βέλος μάζας 0,0425 kg από τη θέση πλή­
ρους έλξης, πόση είναι η ταχύτητα του βέλους όταν χάσει την επα­
φή του με τη χορδή;
6-57 Για μια περιηγήτρια ποδηλάτισσα ο συντελεστής οπισθολ­
κής (αντιστάσεως) είναι 1,00, η μετωπική επιφάνεια είναι 0,463 m2
και ο συντελεστής τριβής κυλίσεως είναι 0,0045. Η αναβάτιδα ζυ­
γίζει 540 Ν και το ποδήλατό της ζυγίζει 1 1 1 Ν. a) Για να διατηρή­
σει ταχύτητα 14,0 m/s (50 km/h περίπου) σε ισόπεδη οδό, πόση
πρέπει να είναι η αποδιδόμενη ισχύς της αναβάτιδας; b) Στις πο­
δηλατοδρομίες η ίδια αναβάτιδα χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό
ποδήλατο που έχει συντελεστή τριβής κυλίσεως 0,0030 και βάρος
89 Ν. Επίσης συσπειρώνει το σώμα της σκύβοντας προς τα εμπρός,
μειώνοντας έτσι το συντελεστή οπισθολκής της σε 0,88 και ελαττώ­
νοντας τη μετωπική της επιφάνεια στα 0,366 m2• Πόση πρέπει να
είναι η αποδιδόμενη ισχύς της στην περίπτωση αυτή, για να διατη­
ρήσει ταχύτητα 14,0 m/s; c) Για την περίπτωση της ερώτησης (b),
πόση αποδιδόμενη ισχύς απαιτείται γιανα διατηρηθεί η ταχύτητα
των 7,0 m/s; Παρατηρήστε τη μεγάλη πτώση της απαιτήσεως σε ι­
σχύ όταν η ταχύτητα απλά και μόνο υποδιπλασιάζεται. (Βλέπε το
άρθρο <<Η αεροδυναμική των επίγειων οχημάτων με ανθρώπινη
aυτοκίνηση>> (<<The Aerodynamics of Human-Powered Land
Vehicles»), στο περιοδικό ScίentίficAmerίcan, Δεκέμβριος 1983. Το
άρθρο εξετάζει τους αεροδυναμικούς περιορισμούς στην ταχύτητα
μιας μεγάλης ποικιλομορφίας οχημάτων με ανθρώπινη aυτοκίνηση.
F(N) ΣΧΗΜΑ 6-24
--::+---:'':--:'::--f=---L:'::-�-=- Μήκοςτανύσματος (cm)
ο 20 40 60 80 100
από το σημείοχ = Ο,y = 4,00 m και κινείται παράλληλα προς τον
άξοναχ ως το σημείο χ = 2,00 m, y = 4,00 m. β) Το αντικείμενο
ξεκινά από το σημείοχ = 2,00 m,y = Ο και κινείται στην κατεύθυν­
σηy ως το σημείοχ = 2,00 m,y = 4,00 m. c) Το αντικείμενο ξεκινά
απότην αρχή των αξόνων και κινείται επίτης ευθείας y = 2χ ωςτο
σημείοχ = 2,00 m,y = 4,00 m.