Một số thuật toán Phân tích số nguyên hiện đại Và ứng dụng.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ BÌNH
MỘT SỐ THUẬT TOÁN
PHÂN TÍCH SỐ NGUYÊN HIỆN ĐẠI
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ BÌNH
MỘT SỐ THUẬT TOÁN
PHÂN TÍCH SỐ NGUYÊN HIỆN ĐẠI
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI
THÁI NGUYÊN - 2017

3
Mục lục
Danh sách kí hiệu 5
MỞ ĐẦU 6
Chương 1. Thám mã và một số thuật toán phân tích số nguyên cổ điển 8
1.1 Thám mã và phân tích số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Phân tích Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Phân tích Pollard p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. Một số thuật toán hiện đại phân tích số nguyên 20
2.1 Sự kiểm tra ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Thuật toán phân tích r của Pollard . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Phương pháp phân tích Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Phương pháp phân tích dùng đường cong elliptic . . . . . . . . . . 26
2.5 Phương pháp phân tích bằng sàng trường số . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Khả năng phân tích số bằng các “chip” chuyên dụng . . . . . . . . 30
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

4
Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Hà Huy
Khoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội). Tác giả xin được bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của
mình đã dành nhiều công sức hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các
giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để
tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể Lớp
B, cao học Toán khóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác
giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và
Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT
Nguyễn Đức Cảnh, Huyện Kiến Thụy, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều
kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình.
Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất
đến bố mẹ và đại gia đình đã luôn động viên và chia sẻ những khó
khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn này.

5
Danh sách kí hiệu
Z
Q
Fp
K[X]
dxe
deg P(X)
mod p
gcd(P(X); Q(X))
exp( )
gcd(a; b)
a j b
bNc
F[a]
vành các số nguyên
trường các số hữu tỷ
trường có p phần tử
vành đa thức với hệ số trên trường K
trần của số x
bậc của đa thức P(X)
modulo p
ước chung lớn nhất của P(X) và Q(X)
hàm số mũ
ước chung lớn nhất của a và b
a là ước của b
sàn của số N
trường mở rộng của trường F

6
Mở đầu
Trước những năm 70 của thế kỷ XX, Số học thường được xem là
một trong những ngành toán học thuần tuý, chỉ có ý nghĩa lý thuyết.
Đối tượng nghiên cứu của Số học là các quy luật trong tập hợp số
nguyên; các giả thuyết lớn tồn tại trong Số học thường là các giả
thuyết về số nguyên tố. Thậm chí, có những nhà toán học cho rằng, vẻ
đẹp của số học có được nhờ sự xa rời thực tiễn của nó.
Ngày nay, những ứng dụng lớn lao và bất ngờ của Số học vào mật mã
cho ta thấy rằng quan niệm trên đã hoàn toàn thay đổi. Vẻ đẹp của Số học
không chỉ thể hiện trong ý nghĩa “thuần tuý” của nó, mà cả trong những ứng
dụng bất ngờ vào thực tiễn. Cách đây khoảng 30 năm, khó có thể hình dung
được rằng, một số kết quả lý thuyết trong Số học lại làm nên một cuộc cách
mạng trong bảo mật thông tin trong Lý thuyết mật mã. Cơ sở của những
ứng dụng đó chính là Số học thuật toán, lĩnh vực nghiên cứu các thuật toán
trong Số học. Trong lĩnh vực Lý thuyết mật mã, mật mã khóa công khai là
một dạng mật mã cho phép người sử dụng trao đổi các thông tin mật mà
không cần phải trao đổi các khóa chung bí mật trước đó. Điều này được
thực hiện bằng cách sử dụng một cặp khóa có quan hệ toán học với nhau là
khóa công khai và khóa cá nhân (hay khóa bí mật). Cơ sở toán học của vấn
đề này là việc phân tích các số tự nhiên và một số vấn đề liên

7
quan đến chúng.
Luận văn này có mục đích tìm hiểu sơ lược về cơ sở toán học
của Lý thuyết mật mã, đồng thời phân tích sâu hơn các thuật toán
phân tích số tự nhiên để làm cơ sở toán học cho ứng dụng. Ngoài
các phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Thám mã và một số thuật toán cổ điển phân tích số
nguyên. Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ
sở về thám mã và sau đó là một số thuật toán cổ điển phân tích số
nguyên, làm cơ sở so sánh và phát triển cho chương tiếp theo.
Chương 2. Một số thuật toán hiện đại phân tích số nguyên. Đây là
nội dung chính của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày một số thuật
toán hiện đại phân tích số nguyên như thuật toán phân tích
Pollard, phân tích dùng đường cong elliptic hoặc sàng trường số.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 7 năm 2017
Tác giả
Nguyễn Thị Bình

8
Chương 1
Thám mã và một số thuật toán cổ
điển phân tích số nguyên
1.1 Thám mã và phân tích số nguyên
Phần này em sẽ trình bày về thám mã. Thám mã là một vấn đề
phức tạp nên trong luận văn này em xin phép chỉ đề cập những vấn
đề đơn giản nhất. Phần đầu trong trình bày chúng tôi dựa vào [2].
Thám mã (hay phân tích mã - cryptanalysis) là việc nghiên
cứu các phương pháp “phá vỡ” bức màn ngụy trang văn bản (do
việc mã hóa tạo nên) để có thể hiểu được nội dung văn bản.
Hiện nay, trên quan điểm thám mã, người ta phân các hệ mã
thành ba loại:
Loại đã bị phá;
Loại chưa được nghiên cứu phân tích (vì còn mới, hoặc vì
chưa được dùng rộng rãi);

9
Loại đã được nghiên cứu nhưng chưa bị phá (RSA, IDEA,
các hệ mã sử dụng logarit rời rạc, đường cong elliptic, . . . ).
Có ba cách thông dụng trong việc chuyển hóa văn bản mã
thành văn bản gốc:
Ăn trộm, hối lộ, hoặc mua (với giá rất cao) để có được chìa khóa;
Khai thác tính cẩu thả hoặc lỏng lẻo của người dùng khóa (ví dụ : có
người hay dùng tên người thân để làm mật khẩu hoặc chìa khóa);
Phân tích mã (tức là thám mã).
Bây giờ, ta sẽ thảo luận về một số phương pháp thám mã.
Thực tế, thám mã sẽ phức tạp hơn nếu người ta không biết hệ
mật mã đã được sử dụng. chúng ta giả sử người thám mã đã biết
rõ hệ mật mã được sử dụng khi tiến hành phân tích mã. Mục đích
là thiết kế được một hệ mật mã an toàn bảo mật.
Dưới đây ta sẽ liệt kê các loại tấn công vào hệ mật mã. Mức
độ tấn công sẽ phụ thuộc vào hiểu biết của người thám mã đối
với hệ mật mã được sử dụng :
Tấn công chỉ biết bản mã (ciphertext-only): người thám mã
chỉ có bản tin mã hóa.
Tấn công biết bản tin rõ (known plaintext): người thám mã
có bản tin rõ và bản mã.

10
Tấn công chọn bản tin rõ (chosen plaintext): người thám mã
tạm thời có quyền truy xuất tới bộ mã hóa, do đó người thám mã
có khả năng chọn bản tin rõ và xây dựng bản mã tương ứng.
Tấn công chọn bản mã (chosen ciphertext): người thám
mã tạm thời có quyền truy xuất tới bộ giải mã, do đó anh ta có
khả năng chọn bản mã và xây dựng lại bản tin rõ tương ứng.
Bây giờ ta sẽ liệt kê các phương pháp thám mã
1. Thám mã tích cực là việc thám mã sau đó tìm cách làm sai
lạc các dữ liệu truyền, nhận hoặc các dữ liệu lưu trữ phục vụ
mục đích của người thám mã.
2. Thám mã thụ động là việc thám mã để có được thông tin về
bản tin rõ phục vụ mục đích của người thám mã.
3. Thám mã affine. Trong mật mã affine, đầu tiên bảng chữ cái của
thông điệp cần mã hóa có kích thước m sẽ được chuyển thành các
con số tự nhiên từ 0; : : : ; m 1. Sau đó dùng một hàm modulo để mã
hóa và chuyển thành bản mã. Hàm mã hóa cho một ký tự như sau:
e(x) = (ax + b) (mod m)
với m là kích thước của bảng chữ cái, a và b là khóa mã. Giá
trị a được chọn sao cho a và m là nguyên tố cùng nhau.
Giả sử Trudy đã lấy được bản mã sau đây:

11
FMXVEDKAPHFERBNDKRXRSREFMORUD
SDKDVSHVUFEDKAPRKDLYEVLRHHRH
Trudy thống kê tần suất xuất hiện của 26 chữ cái như trong bảng sau:
A 2 N 1
B 1 O 1
C 0 P 3
D 6 Q 0
E 5 R 8
F 4 S 3
G 0 T 0
H 5 U 2
I 0 V 4
J 0 W 0
K5X2 L2Y1
M2Z0
Các chữ cái trong bản mã xuất hiện tổng là 57 lần, nhưng phương pháp
này tỏ ra hiệu quả để thám mã affine. Ta thấy tần suất xuất hiện các
chữ cái theo thứ tự là: R là 8, D là 6, E, H, K là 5 và F, S, V là 4. Vì vậy
dự đoán đầu tiên của ta có thể là R là mã của e, D là mã của t. Theo
đó, eK(4) = 17 và eK(19) = 3. Mà ta có eK(x) = ax + b. Để tìm

12
K = (a; b) ta giải hệ phương trình:
8
>
>4a + b 17 (mod 26)
<
>
>19a + b 3 (mod 26) :
:
Giải hệ phương trình này ta được a = 6, b = 19. Đây không phải
là khóa vì gcd(a; 26) = 2 > 1. Ta lại tiếp tục phỏng đoán rằng R
là mã của e, E là mã của t. Ta nhận được a = 13, chưa thỏa
mãn. Tiếp tục với H, ta có a = 8. Cuối cùng, với K ta tìm được K
= (3; 5). Sử dụng khóa mã này ta có được bản tin rõ là
algorithmsrequiregeneraldefinitionsofarithmeticprocesses
(algorithms require general definitions of arithmetic processes)
1.2 Phân tích Fermat
Trước khi thảo luận về các thuật toán phân tích số nguyên, ta sẽ
giới thiệu một số quy ước về thuật ngữ và khái niệm cơ sở.
Ta sẽ bắt đầu với các thuật ngữ của sẽ được dùng trong trình bày:
Kí hiệu O lớn (big O notation). Hàm f (x) là O(g(x)) khi x ! ¥ nếu
và chỉ nếu có các số dương c và k sao cho với mọi x > k, ta có
0 < f (n) cg(n):
Ta xét ví dụ f (x) = 2x
2
+ x + 1 là O(x
2
) khi x ! ¥ với c = 2, k = 0.

13
Kí hiệu O lớn được áp dụng trong thời gian chạy (running time) hoặc
trong yêu cầu lưu trữ (storage requirements) của một thuật toán.
Trong trình bày, để ngắn gọn ta cũng có thể chỉ cần viết O(g(x)), và
được giả thiết là ta xét với x ! ¥. Khi ta xét hàm nhiều biến, thì biến
mà dần tới vô hạn sẽ được chỉ ra. Như một phần trong định nghĩa
của O(g(x)), tất cả các sự kiện xảy ra sẽ được xét với x ! ¥.
Phân tích tầm thường (trivial factor). Phân tích tầm thường là
phân tích mà nhân tử là s = 1 hoặc s = N.
Phân tích không tầm thường (nontrivial factor). Phân tích
không tầm thường là phân tích một số nguyên mà trong phép
phân tích có nhân tử s thỏa mãn 1 < s < N.
Số nguyên tố (prime number). Một số nguyên dương lớn hơn 1
được gọi là nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
Với các khái niệm trên, ta có Định lý cơ bản của số học đó là : Mọi
số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự
sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố.
Luận văn này có mục đích trình bày về thuật toán phân tích số nguyên.
Ta hãy xem xét một lý do dẫn đến việc làm này.
Định lý cơ bản của số học kéo theo nhận xét rằng mọi số
nguyên đều có thể được phân tích thành tích .

14
Xét số
N = 25195908475657893494027183240048398571429282126204
03202777713783604366202070759555626401852588078440
69182906412495150821892985591491761845028084891200
72844992687392807287776735971418347270261896375014
97182469116507761337985909570009733045974880842840
17974291006424586918171951187461215151726546322822
16869987549182422433637259085141865462043576798423
38718477444792073993423658482382428119816381501067
48104516603773060562016196762561338441436038339044
14952634432190114657544454178424020924616515723350
77870774981712577246796292638635637328991215483143
81678998850404453640235273819513786365643912120103
97122822120720357:
Số nguyên này được biết như là RSA-2048. Vào tháng 3/1991,
Phòng thí nghiệm RSA (RSA Laboratories) đã thông báo giải
thưởng USD 200.000 cho sự phân tích thành công số nguyên
này. Tính đến tháng 11/2004, số này vẫn chưa được phân tích.
Nếu biết trước hai số nguyên tố lớn thì ta sẽ có một thuật toán nhanh để
nhân chúng với nhau. Tuy nhiên, trong tình huống ngược lại, nếu cho tích
của hai số nguyên tố, rất khó phân tích ngược lại để tìm ra hai số như vậy.
Thuật toán nhanh nhất được biết đến hiện nay có tên gọi Sàng trường

15
số tổng quát (General Number Field Sieve (GNFS)), mà nếu lấy
trung bình thì sẽ cần
S = O ex p " 9 n (log n )2= 3 #!
64 1=3
bước để phân tích một số nguyên với n chữ số thập phân.
Thời gian chạy thuật toán bị chặn dưới bởi hàm đa thức, và bị
chặn trên bởi hàm mũ theo n. Chính sự khó khăn của việc phân tích
các số nguyên lớn sẽ là cơ sở cho một số thuật toán mật mã hiện đại.
Bây giờ ta sẽ trình bày về phân tích Fermat. Thuật toán này
được phát minh bởi nhà toán học Pierre de Fermat trong những
năm 1600 (xem Weis-stein E.W. [5]). Để làm phân tích Fermat, ta
viết một hợp số N thành hiệu của hai bình phương,
N = x
2
y2
:
Hiệu này của các bình phương dẫn đến sự phân tích của N
N = (x + y)(x y):
Giả sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường lẻ của N thỏa mãn
st = N và s t. Ta tìm x và y sao cho s = (x y) và t = (x + y). Giải phương
trình này, ta tìm x = (s +t)=2 và y = (t s)=2. Ở đây, x và y là các số tự
nhiên, do hiệu số giữa hai số lẻ là chẵn, và một số chẵn là bội của 2.
Do s > 1 và t s, ta tìm x 1 và y 0. Trong trường hợp riêng, các số x, y
p p
thỏa mãn s = (x y) và t = (x + y), vì vậy x = N + y
2
, và do đó x N.
Cũng vậy, x = (s +t)=2 2t=2 N.
p
Đối với thuật toán này, ta chọn x1 = N, và xi+1 = xi + 1. Với mỗi i, ta

16
q
kiểm tra khi nào thì yi = xi
2
N là một số nguyên và khi nào thì (xi
+yi), (xi yi) là các nhân tử không tầm thường N. Nếu cả hai điều
kiện đó xảy ra, ta có được một phân tích không tầm thường. Nếu
không, ta tiếp tục với i tiếp theo.
Dưới đây là thuật toán.
function fermatFactor(N)
for x from ceil(sqrt(N)) to N
ySquared := x * x - N
if isSquare(ySquared) then
y := sqrt(ySquared)
s := (x - y)
t := (x + y)
if s <> 1 and s <> N then
return s, t
end if
end if
end for
end function
trong đó hàm isSquare(z) đúng nếu z là một số chính phương và
sai nếu ngược lại.

17
1.3 Phân tích Pollard p 1
Phương pháp phân tích Pollard p 1 được giới thiệu bởi Pollard
J.M. năm 1974 (xem Weisstein E.W. [8]). Nó dựa trên Định lí
Fermat nhỏ được phát biểu như sau:
Định lí 1.3.1 (Định lí Fermat nhỏ). Nếu p là một số nguyên tố, a là
một số tự nhiên và p 6 aj thì a
p 1
1 (mod p).
Giả sử chúng ta có một số nguyên dương k 1 và một số nguyên tố p
> 2 sao cho (p 1) j k!. Bây giờ ta áp dụng Định lí Fermat nhỏ với a = 2,
2
p 1
1 (mod p):
Nhưng do (p 1) j k! nên ta có thể viết k! = (p 1)q với một số
nguyên dương q nào đó. Ta có
2
k!
(2
p 1
)
q
1
q
1 (mod p):
Do vậy p j 2
k!
1. Nếu N là một số nguyên có nhân tử nguyên tố không
tầm thường p, thì p là ước của 2
k!
1 + Nt với mọi số nguyên t. Ta có thể
tính xk 2
k!
1 (mod N) với k = 1; 2; 3; : : : ; và với mỗi xk kiểm tra xem có
tồn tại một số nguyên rk = gcd(xk; N) mà là ước của cả xk và N. Nếu
( p 1) j k! thì p j xk và do đó rk là một nhân tử không tầm thường của N.
Nếu rk không phải là một nhân tử không tầm thường của N, thì nó là một
nhân tử tầm thường của N, tức là rk = 1 hoặc rk = N. Thuật toán như sau:
Tính rk = gcd(2
k!
1; N) với k = 1; 2; 3 : : :. Nếu rk 2= f1; Ng thì rk là
một nhân tử không tầm thường và ta hoàn thành công việc cần làm.

18
Ta có thể viết 2
k!
(2
(k 1)!
)k (mod n), sao cho nếu 2
(k 1)!
là đã
biết theo (mod n), thì 2
k!
có thể tính được chỉ với một phép
toán lũy thừa modulo một số.
Ta trình bày thuật toán.
function pollard_p1(N)
# Initial value 2^(k!) for k = 0.
two_k_fact := 1
for k from 1 to infinity
# Calculate 2^(k!) (mod N) from 2^((k-1)!).
two_k_fact := modPow(two_k_fact, k, N)
rk := gcd(two_k_fact - 1, N) if rk
<> 1 and rk <> N then return rk,
N/rk
end if end for
end function
Trong đó modPow(a, b, m) lại là số nguyên nhỏ nhất không âm
sao cho a
b
y (mod m). Hàm này được gọi là “số mũ modular”.
Ta trình bày thuật toán hiệu quả đối với số mũ modular. Ta
viết b trong hệ nhị phân dưới dạng
b = b02
0
+ b12
1
+ : : : + bn 12
n 1

19
và thấy rằng a
b
có thể viết lại dưới dạng
ab = ab02
0
ab12
1
: : : 2bn 12
n 1
= a2
0 b0
a2
1 b1
: : : a2
n 1 bn 1
:
Chú ý với mỗi k, a
2k bk
là 1 nếu bk = 0 và a
2k
nếu ngược lại. Do đó ta có
n 1
a
b
= Õa2k
:
k=0; bk6=0
Chú ý rằng a
2k+1
= a
2 2k
= a
2k 2
. Bằng phương pháp bình
phương liên tiếp, ta có thể thiết kế một thuật toán tìm kiếm số tự
nhiên nhỏ nhất sao cho a
b
y (mod m).
function modPow(a, b, m):
ans := 1
a := a % m
for k from 0 to infinity
if 2^k>b then
return ans
end if
if (bit k of b is nonzero) then ans :=
(ans * a) % m a := (a * a) % m
end for
end function

20
Chương 2
Một số thuật toán hiện
đại phân tích số nguyên
Trong Chương 2 này, chúng tôi sẽ thảo luận về một số thuật
toán hiện đại phân tích số nguyên.
2.1 Sự kiểm tra ước
Sự kiểm tra ước là thuật toán đơn giản nhất để phân tích số nguyên. Giả
sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường của N sao cho st = N và
t. Để thực hiện thuật toán kiểm tra ước, một cách đơn giản là
kiểm tra p
xem s j N với s = 2; : : : ; N . Khi một nhân tử như vậy s được tìm thấy
thì t = N=s cũng là một nhân tử, và một phép phân tích đã được tìm
thấy cho N. Ràng buộc trên s bNc được cung cấp bởi định lí sau đây:
Định lí 2.1.1. Nếu N có nhân tử không tầm thường s, t với st = N
và s t, p
thì s N.
p

Chứng minh. Do s là nhân tử của N nên ta có s > N. Khi đó t s
> N,

21
và st > N, mà điều này lại mâu thuẫn với giả thiết rằng st = N. Do
đó s N.
Thuật toán như sau
function trialDivision(N)
for s from 2 to floor(sqrt(N))
if s divides N then
return s, N/s
end if
end for
end function
Nếu thuật toán này cho hợp số N, thì nó đưa ra một cặp nhân tử không
tầm thường s, t với s t. Phát biểu s j N tương đương với s 0 (mod N).
2.2 Thuật toán phân tích r của Pollard
Phương pháp phân tích r của Pollard là một phương pháp xác suất để phân
tích một hợp số N bởi phép lặp một modulo đa thức N. Phương pháp này
được công bố bởi J.M. Pollard năm 1975. Giả sử chúng ta xây dựng dãy
x0 2 (mod n);
xn+1 xn
2
+ 1(mod n):
Dãy này là dãy tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó. Có thể chứng minh rằng
độ dài của chu trình nhỏ hơn hoặc bằng N bằng phương pháp phản chứng:

22
Giả sử rằng độ dài của chu trình là L lớn hơn N, tuy nhiên ta chỉ có N giá
trị phân biệt xn trong chu trình có độ dài L > N, vì vậy phải tồn tại hai giá
trị xn là đồng dư nhau, và chúng có thể được xác định là “các điểm xuất
phát” của một chu trình có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng N. Các lập luận xác
suất chứng tỏ rằng thời gian dự kiến để dãy này theo mod n rơi
vào một
p
chu trình và độ dài dự kiến của chu trình là tỷ lệ với N, với hầu hết N (xem
Weisstein E.W. [6]). Các giá trị ban đầu và các hàm lặp thường dùng khác
nhau, nhưng hàm f (n) = xn
2
+ 1 cho thấy là làm việc tốt trong thực tế
bài toán phân tích số nguyên.
Giả sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường của N thỏa mãn
st = N và s t. Bây giờ giả sử rằng ta đã tìm được các số nguyên không
âm i và j với i < j sao cho xi x j (mod s) nhưng xi 6 x j (mod n). Do
s j (xi x j) và s j N, ta có s j gcd(xi x j; N). Bởi giả thiết s 2, ta có gcd(xi
x j; N) 2. Bởi định nghĩa, ta có gcd(xi x j; N) j N. Ngoài ra, ta có
N 6 (jxi x j) và do đó N 6 jgcd(xi x j; N). Chúng ta cũng có N 6
jgcd(xi x j; N), gcd(xi x j; N) > 1 và gcd(xi x j; N) j N. Như vậy,
gcd(xi x j; N) là một nhân tử không tầm thường của N.
Bây giờ ta phải tìm i, j sao cho xi x j (mod s) và xi 6 x j (mod n). Nhận
thấy rằng các dãy xn (mod s) là tuần hoàn với độ dài của chu trình tỷ lệ với
s. Pollard đã đề xuất là xn được so sánh với x2n, với n = 1; 2; 3; : : :. Với
mỗi n, ta kiểm tra xem d(xn x2n; N) có là một nhân tử không tầm thường của
N hay không, ta lặp lại quá trình cho đến khi một nhân tử được tìm thấy.
Nếu không có nhân tử được tìm thấy, thuật toán sẽ không chấm

23
dứt.
Thuật toán là
function pollardRho(N)
# Initial values x(i) and x(2*i) for i = 0. xi := 2
x2i := 2
do
# Find x(i+1) and x(2*(i+1))
xiPrime := xi ^ 2 + 1
x2iPrime := (x2i ^ 2 + 1) ^ 2 + 1
# Increment i: change our running values for
x(i), x(2*i).
xi := xiPrime % N x2i :=
x2iPrime % N s :=
gcd(xi - x2i, N)
return s, N/s
end if
end do
end function
trong đó a % m là toán tử modulo, nó cho ta số nguyên không âm
nhỏ nhất sao cho a
b
y (mod m).

24
2.3 Phương pháp phân tích Brent
Phương pháp phân tích Brent là một sự cải thiện thuật toán r Pollard, được
công bố bởi R. Brent năm 1980 (xem Weisstein E.W. [7]). Trong thuật toán
r của Pollard, cố gắng để tìm thấy một nhân tử không tầm thường s của N
bằng cách tìm các chỉ số i, j với i < j sao cho xi x j (mod s) và xi 6
xj (mod n). Dãy xn được định nghĩa bởi quan hệ truy hồi
x0 2 (mod N)
xn+1 xn
2
+ 2(mod N):
Pollard đã gợi ý rằng xn được so sánh với x2n trong đó n = 1; 2;
3; : : :. Brent đã cải thiện phương pháp của Pollard bằng cách so
sánh xn với xm, trong đó m là lũy thừa nguyên của 2 nhỏ hơn n.
Thuật toán là
function brentFactor(N)
# Initial values x(i) and x(m) for i = 0. xi := 2
xm := 2
for i from 1 to infinity
# Find x(i) from x(i-1).
xi := (xi ^ 2 + 1) % N s
:= gcd(xi - xm, N)

25
return s, N/s
end if
if integralPowerOf2(i) then
xm := xi
end if
end do
end function
trong đó hàm integralPowerOf2(z) đúng nếu z là một lũy thừa
nguyên của 2 và sai nếu ngược lại. Việc triển khai hiệu quả cho
hàm này có thể được thực hiện bằng cách kiểm tra các lũy thừa
kế tiếp của 2 cho đến khi lũy thừa của 2 bằng hoặc vượt quá z
function integralPowerOf2(z)
pow2 := 1
while pow2 <= z do
if pow2 = z then
return true
end if
pow2 := pow2 * 2
end while
return false
end function

26
2.4 Phương pháp phân tích dùng đường cong elliptic
Thuật toán này thường là tốt khi thừa số bé của n chỉ có khoảng từ 13
đến 47 chữ số, còn thừa số lớn thì lại có thể to hơn rất nhiều. Ý tưởng
của thuật toán này là: Sử dụng một đường cong elliptic và một điểm R
ở trên đó làm công cụ phân tích, dựa trên nhận xét sau đây.
Quá trình lấy bội của điểm R (cộng liên tiếp nó với nó, theo quy tắc
cộng điểm trên đường cong elliptic) theo modulo của số n (số cần
phân tích) đòi hỏi thường xuyên phải làm việc với phân số có dạng (y2
y1)=(x2 x1), và phép nghịch đảo (theo modulo n) sẽ không thực hiện
được khi mẫu số (x1 x2) không phải là nguyên tố cùng nhau với n, hay
nói cách khác: nó có một ước nào đó là p hay q. Gọi ước đó là p, khi
ấy việc tính theo modulo p sẽ cho điểm bội có mẫu số là 0, tức là bản
thân điểm bội là vô cùng, ký hiệu là ?. Trong khi đó, việc tính điểm bội
trên trường hữu tỷ lại không gặp sự cố nào, dù rằng mẫu số (của cả
hai) toạ độ điểm bội thu được đều có ước là p. Nếu điều này không
xảy ra với ước còn lại (tức là với q) thì p đúng bằng ước chung lớn
nhất của n và một trong hai mẫu số này. Tóm lại, trong quá trình lấy
bội của một điểm R trên trường số hữu tỷ, ta sẽ “gặp may” tại một thời
điểm nào đó mà mẫu số của điểm bội có ước chung với n.
Một cách đơn giản, ta có thể cộng điểm R với chính nó (theo modulo
n) cho tới khi gặp “sự cố” (không thực hiện được) thì dùng lại và tìm ước
chung lớn nhất của n với mẫu số của toạ độ điểm trong biểu diễn hữu tỷ.

27
Tuy nhiên, ta cũng có thể lấy tuỳ ý một hợp số đủ lớn (đủ nhiều các
loại ước số khác nhau). Nếu trong số các ước của nó mà có một cái
nào đó gây ra được “sự cố” cho việc tính bội điểm R thì việc lấy bội
của R theo chính hợp số này cũng sẽ gặp sự cố (vì k R = ? mod p,
suy ra t k R = ? mod p, với mọi số nguyên t). Và khi ấy ta chỉ việc
lấy ước chung lớn nhất của n với mẫu số của toạ độ điểm bội (theo
hợp số đã nói) trong biểu diễn hữu tỷ là có ngay một ước của n.
Như ta đã thấy, khả năng “gặp may” trong việc tính các bội lớn
nhiều hơn là đối với các bội nhỏ, cho nên người ta thường bắt đầu
bằng việc tính một bội đủ lớn (việc tính bội lớn của điểm có thể thực
hiện nhanh theo phương pháp nhân đôi liên tiếp, tương tự như phép
bình phương liên tiếp đối với phép nâng lên luỹ thừa). Trong thực tế,
người ta thường lấy bội với k = r!, trong đó được chọn tuỳ theo R (vì
hợp số k như vậy sẽ có rất nhiều ước số các loại). Lưu ý rằng các ước
số của k không hề có quan hệ gì với ước của n, cho nên k không cần
phải đủ lớn đến mức để có thể thâu tóm một ước nào đó của n.
Thuật toán không mang lại kết quả khi r!R không phải là ? (theo mod-
ulo p hoặc modulo q), và khi r!R là ? theo cả hai modulo p và modulo q (vì
khi ấy ước chung lớn nhất tìm được lại đúng bằng n). Tuy nhiên, nếu
điều này xảy ra thì hãy chọn đường cong khác và điểm R khác.

28
2.5 Phương pháp phân tích bằng sàng trường số
Đây là phương pháp phân tích số lớn được xem là mạnh nhất
trong thời gian gần đây, đặc biệt là khi n có trên 110 chữ số thập
phân, tức là n > 10
110
, và ước bé nhất của nó có trên 48 chữ số
(chính là những số hay được dùng trong RSA hiện nay). Các
bước chuẩn bị cho thực hiện thuật toán này như sau.
Lấy số tự nhiên d q và m = b
p
d nc.
log log(n)
log(n)
Khai triển số n theo cơ số m,
n = m
d
+ ad 1m
d 1
+ + a0 0 ai < m:
Đa thức tương ứng với khai triển này là
f (x) = x
d
+ ad 1x
d 1
+ + a0:
Lấy a là một nghiệm của đa thức nêu trên và xét trường mở rộng Q[a].
Để cho dễ hình dung quy trình thực hiện thuật toán, ta xét một ví
dụ cụ thể là phân tích số n = 2501. Ta có d = 2, vì
s
log(2501) jp k
1:950217066; m = 2501 = 50:
Do 2501 = 502
+ 1, nên ta có đa thức tương ứng là f (x) = x2
+ 1. Đa thức
này có nghiệm là i cho nên ta sẽ xem xét trường mở rộng trường Q[i].

29
Ta để ý rằng trong vành Z=2510Z phần tử 50 có vai trò giống như là i,
vì 50
2
1 mod 2501. Điều này đưa ta đến việc thiết lập ánh xạ h : Z[i] ! Z,
từ tập các số nguyên đại số Z[i] vào tập các số nguyên thông thường,
theo công thức h(a + bi) = a + b 50; và khi ấy ta có đẳng thức sau
h(ab ) h(a)h(b ) mod 2501 với mọi a; b 2 Z[i]:
Nhắc lại rằng ta gọi một số nguyên là mịn (hay là “vụn”) nếu như
nó phân tích được thành tích của các số nguyên tố nhỏ. Mục tiêu
trước mắt của chúng ta là tìm các số nguyên đại số mịn trong Z[i],
mà ảnh của nó (trong phép ánh xạ h) cũng là mịn trong Z (nói
chung, việc tìm những số này là vô cùng khó khăn cho nên ta hiểu
vì sao cho đến nay RSA vẫn được xem là có độ an toàn cao).
Ta ký hiệu những số như vậy là ai, và ta muốn tìm một tập con của
chúng, mà ta sẽ đánh số là a1; a2; ; ar, sao cho tích của chúng là một
số “chính phương” trong Z[i] (nghĩa là, a1a2 ar = b
2
2 Z[i]), còn tích
các ảnh của chúng lại là một số chính phương thông thường, tức là
h(a1)h(a2) h(ar) = t
2
2 Z:
Nếu có được những số này, ta sẽ phân tích được số n theo nhận
xét sau đây. Do
[h(b )]
2
= h(b )h(b ) = h(b
2
) = h(a1:a2ar) = h(a1)h(a2) h(ar) = t
2
:
ˆ
nên sau khi rút gọn h(b ) và t theo modulo n ta sẽ được hai số h(b ) và tˆ
thoả mãn đẳng thức
hˆ(b )
2
tˆ
2
mod n: (2.1)

30
và suy ra
h
ˆ
(b ) +tˆ 0 mod n:
h
ˆ
(b ) tˆ (2.2)
ˆ
tˆ theo modulo n, thì từ đẳng thức trên ta
Nếu h(b ) không đồng dư với
suy ra mỗi thừa số ở vế trái sẽ chứa một ước số của n, hay nói cách khác
gcd
ˆ
(b ) ˆ; cho ta một ước (không tầm thường) của số .
h t n n
Tóm lại, bài toán trở thành việc đi tìm các số nguyên đại số a1;
a2; ; ar sao cho biểu thức (2.1) được thoả mãn.
2.6 Khả năng phân tích số bằng các “chip” chuyên dụng
Như đã nêu, hiện nay phương pháp được xem là hiệu quả nhất đối
với bài toán phân tích các số lớn là thuật toán sử dụng sàng trường
số. Chính bằng phương pháp này mà gần đây (năm 1999) người ta
đã phân tích được hợp số với độ dài kỷ lục là 155 chữ số thập phân
(512 bit nhị phân), nhưng cũng mất nhiều tháng ròng và với số
lượng máy tính khổng lồ. Cho nên hệ mã RSA chuẩn mực, với độ
dài chìa khoá 1024 bit nhị phân (khoảng 308 chữ số thập phân),
được người ta xem là an toàn tuyệt đối trong vòng 15-20 năm nữa.
Thế nhưng gần đây (khoảng tháng 2/2003) Adi Shamir (một trong ba
đồng tác giả đã công bố phát minh hệ mã RSA) tuyên bố rằng ông đã cùng
các cộng sự tại phòng Tin học và Toán ứng dụng của Viện nghiên cứu khoa
học Weizmann (Israel) thiết kế ra “con chip đặc thù” cho việc phân tích một
số ra các thừa số nguyên tố, có sức mạnh phi thường và có

31
khả năng bẻ được hệ mã RSA chuẩn hiện nay. Một công cụ “đặc
chủng” kiểu này cũng đã từng được biết đến trước đây, đó là hệ thống
quang điện tử TWINKLE, sử dụng các thành phần khá đắt tiền và khó
chế tạo. Hệ thống mới của Shamir và các đồng nghiệp, gọi tắt là
TWIRL, có nhiều điểm giống với TWINKLE, nhưng không chứa các
thành phần quang học đắt tiền, khó kiếm mà được thiết lập dựa trên
công nghệ VLSI (Very large scale integration - Tích hợp quy mô rất
lớn) phổ biến hiện nay. Về bản chất nó là một hệ thống tích hợp một
lượng khổng lồ các bộ vi xử lý chạy trên tần số 1GHz.
Cho tới lúc này, “con chip đặc thù” TWIRL mới chỉ nằm trên sơ đồ,
chưa được triển khai trong thực tế, nhưng một số đánh giá sơ bộ cho
thấy: để phân tích một số có độ dài 512 bit nhị phân (như đã nói ở trên)
chỉ cần một máy tính chuyên dụng (thiết lập trên cơ sở con chip TWIRL)
trị giá khoảng 10 ngàn USD, làm việc trong vòng 10 phút. Nếu nhớ rằng
công việc này đã từng đòi hỏi hàng ngàn máy tính mạnh làm việc trong
nhiều tháng ròng rã, ta thấy ngay sức mạnh của con chip chuyên dụng.
Tuy nhiên, cũng theo các đánh giá này, muốn phân tích một số có độ dài
gấp đôi như thế, tức là khoảng 1024 bit nhị phân (như chìa khoá thông
thường của một hệ mã RSA chuẩn hiện nay), thì phải cần tới một máy
chuyên dụng trị giá khoảng 10 triệu USD, làm việc liên tục trong thời gian
1 năm. Như vậy, giả sử cứ theo cái đà này mà tiếp tục được, thì để bẻ
được hệ mã RSA với độ dài khoá 2048 bit nhị phân thì phải cần tới máy
tính chuyên dụng trị giá 10 tỷ USD, làm việc liên tục trong 52560 năm!

32
Kết luận và kiến nghị
Luận văn “Một số thuật toán phân tích số nguyên hiện đại và
ứng dụng” đã đạt được các kết quả sau:
1. Trình bày đại cương về thám mã và một số thuật toán phân
tích số nguyên cổ điển.
2. Trình bày được một số thuật toán phân tích số nguyên hiện
đại, bao gồm phân tích r của Pollard, phân tích Brent, phân
tích dùng đường cong elliptic, phân tích bằng sàng trường số,
khả năng phân tích số bằng các “chip” chuyên dụng.

33
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (1997), Nhập môn Số học
thuật toán, NXB Khoa học kỹ thuật.
[2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2004), Mã hóa thông tin,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] C. Barnes (2004), Integer Factorization Algorithms, Lecture
Notes, Department of Physic, Oregon State University.
[4] Jr.H.W. Lenstra, R. Tijdeman (eds) (1983), Computational
Methods in Number Theory, Mathematical Centre Tracts, vol.
154/155, Math-ematisch Centrum, Amsterdam.
[5] E.W. Weisstein, “Pierre de Fermat”, From MathWorld, an on-
line encyclopedia. Available: http://scienceworld.wolfram.
com/biography/Fermat.html

34
[6] E.W. Weisstein, “Pollard Rho Factorization.” From
MathWorld, an online encyclopedia. December 28, 2002.
Available: http://
mathworld.wolfram.com/PollardRhoFactorizationMethod. html
[7] E.W. Weisstein, “Brent’s Factorization Method.” From MathWorld,
an online encyclopedia. December 28, 2002. Available: http://
mathworld.wolfram.com/BrentsFactorizationMethod.html
[8] E.W. Weisstein, “Pollard Rho Factorization.” From
MathWorld, an online encyclopedia. December 28, 2002.
Available: http:// mathworld.wolfram.com/Pollardp-
1FactorizationMethod. html

Một số thuật toán Phân tích số nguyên hiện đại Và ứng dụng.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Một số thuật toán Phân tích số nguyên hiện đại Và ứng dụng.doc

Similar to Một số thuật toán Phân tích số nguyên hiện đại Và ứng dụng.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Một số thuật toán Phân tích số nguyên hiện đại Và ứng dụng.doc