Matematika

1. LIMIT FUNGSI ALJABAR

2. AdaptifHal.: 2 LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI:
Mendekati hampir, sedikit lagi,
atau
harga batas .
Untuk lebih jelas perhatikan
contoh berikut :
Perhatikan fungsi berikut f(x) =
2x + 1, dengan x € R . Kita akan
menentukan f(x) dengan x ber
Limit fungsi aljabar

3. AdaptifHal.: 3 LIMIT FUNGSI
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a
{f(x) a} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x a}
Dinotasikan
Lim f(x) = a
x a
Limit fungsi aljabar

4. AdaptifHal.: 4 LIMIT FUNGSI
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi
(supaya bentuk tak tentu dapat dihindari)
adalah ….
1. Subtitusi langsung.
2. Faktorisasi.
3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
4. Membagi dengan variabel pangkat
tertinggi.
Limit fungsi aljabar

5. AdaptifHal.: 5 LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x a x a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x a x a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x a x a x a
= A + B
LIMIT FUNGSI ALJABAR

6. AdaptifHal.: 6 LIMIT FUNGSI
Limit fungsi aljabar
3. Lim {f(x) x g(x)}
x a x a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x a x a
= A x B
4. B
A
xg
xf
xg
xf
Lim
Lim
Lim
ax
ax
ax
==





→
→
→ )(
)(
)(
)(

7. AdaptifHal.: 7 LIMIT FUNGSI
[ ] n
n
ax
n
ax
Axfxf LimLim =





=
→→
)()(
5.
6.
Axf
n
ax
nn
ax
LimxfLim ==
→→
)()(
Limit fungsi aljabar

8. AdaptifHal.: 8 LIMIT FUNGSI
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Limit fungsi aljabar

9. AdaptifHal.: 9 LIMIT FUNGSI
Pembahasan 1:
Lim 3x = 3(2)
x 2
= 6
Pembahasan 2:
Lim 3x = 3 Lim X
x 2 x 2
= 3(2) = 6
Limit fungsi aljabar

10. AdaptifHal.: 10 LIMIT FUNGSI
Jawab:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Limit fungsi aljabar

11. AdaptifHal.: 11 LIMIT FUNGSI
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x 2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Limit fungsi aljabar

12. AdaptifHal.: 12 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4
x 2
= 4 + 4
= 8
Limit fungsi aljabar

13. AdaptifHal.: 13 LIMIT FUNGSI
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Limit fungsi aljabar

14. AdaptifHal.: 14 LIMIT FUNGSI
Pembahasan 1:
Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
X 3 x 3
Pembahasan 2:
Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
X 3 x 3 x 3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
Limit fungsi aljabar

15. AdaptifHal.: 15 LIMIT FUNGSI
Limit fungsi bentuk
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka:
)().(
)().(
)(
)(
xkax
xhax
xg
xf
LimLim axax −
−
=
→→
0
0
)(
)(
)(
)(
ak
ah
xk
xh
Limax
== →
LIMIT FUNGSI ALJABAR

16. AdaptifHal.: 16 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Bentuk
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut:
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
3. R= ~ jika n>m
~
~
R
rqxpx
cbxax
mm
nn
x
Lim =
+++
+++
−
−
→ ...
...
~
1
1
LIMIT FUNGSI ALJABAR

17. AdaptifHal.: 17 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a.
1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
[ ] RqpxbaxLimx
=+−+
→~
LIMIT FUNGSI ALJABAR

18. AdaptifHal.: 18 LIMIT FUNGSI
b.
1. R= ~ jika a>p
2. jika a=p
3. R= -~ jika a<p
[ ] RrqxpxcbxaxLimx
=++−++
→
22
~
a
qb
R
2
−
=
LIMIT FUNGSI ALJABAR

19. AdaptifHal.: 19 LIMIT FUNGSI
Soal latihan:
4. Nilai dari
adalah….
a. 3 d.
b. 2
c. 1 e. -2
xxx
xxx
Limx 22
43
23
24
0 −−
+−
→
2
1
−
LIMIT FUNGSI ALJABAR

20. AdaptifHal.: 20 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
Jika 0 didistribusikan menghasilkan ~
(bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan
cara faktorisasi
0
0
0.200.2
0.40.30
22
43
23
24
23
24
0
=
−−
+−
=
−−
+−
→ xxx
xxx
Limx
LIMIT FUNGSI ALJABAR

21. AdaptifHal.: 21 LIMIT FUNGSI
Maka:
[ ]
[ ]
2
2
4
200
400
22
43
22
43
22
43
2
3
0
2
3
0
23
24
0
−=
−
=
−−
+−
=
−−
+−
=
−−
+−
=
−−
+−
→
→
→
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
Lim
Lim
Lim
x
x
x
LIMIT FUNGSI ALJABAR

22. AdaptifHal.: 22 LIMIT FUNGSI
Soal latihan:
4. Nilai dari
adalah….
a. 3 d.
b. 2
c. 1 e. -2
xxx
xxx
Limx 22
43
23
24
0 −−
+−
→
2
1
−
LIMIT FUNGSI ALJABAR

23. AdaptifHal.: 23 LIMIT FUNGSI
5. Nilai dari
adalah….
6
4
2
2
2 −+
−
→ xx
x
Limx
5
3
.
5
4
.
1.
c
b
a
1.
5
2
.
−e
d
LIMIT FUNGSI ALJABAR

24. AdaptifHal.: 24 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
6
4
2
2
2 −+
−
→ xx
x
Limx
5
4
32
22
3
2
2
=
+
+
=
+
+
= → x
x
Limx
)3)(2(
)2)(2(
2 +−
+−
=
→ xx
xx
Limx
LIMIT FUNGSI ALJABAR

25. AdaptifHal.: 25 LIMIT FUNGSI
5. Nilai dari
adalah….
6
4
2
2
2 −+
−
→ xx
x
Limx
5
3
.
5
4
.
1.
c
b
a
1.
5
2
.
−e
d
LIMIT FUNGSI ALJABAR

26. AdaptifHal.: 26 LIMIT FUNGSI
6. Nilai dari
adalah ….
a. -6 d. 16
b. 2 e. 32
c. 10
182
634
2
2
~ −−
−+
→ xx
xx
Limx
LIMIT FUNGSI ALJABAR

27. AdaptifHal.: 27 LIMIT FUNGSI
Pembahasan 1:
182
634
2
2
~ −−
−+
→ xx
xx
Limx
2
2
222
2
222
2
18
2
63
4
182
634
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
+−
−+
=
+−
−+
=
LIMIT FUNGSI ALJABAR

28. AdaptifHal.: 28 LIMIT FUNGSI
Pembahasan 1:
002
004
~
1
~
8
2
~
6
~
3
4
2
2
+−
−+
=
+−
−+
=
2
2
4
==
LIMIT FUNGSI ALJABAR

29. AdaptifHal.: 29 LIMIT FUNGSI
Pembahasan 2:
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama
dengan pangkat bawah sehingga p = q
(p dibagi q)
182
634
2
2
~ −−
−+
→ xx
xx
Limx
2
2
4
===
q
p
L
LIMIT FUNGSI ALBAJAR

30. AdaptifHal.: 30 LIMIT FUNGSI
6. Nilai dari
adalah ….
a. -6 d. 16
b. 2 e. 32
c. 10
LIMIT FUNGSI ALJABAR
182
634
2
2
~ −−
−+
→ xx
xx
Limx

31. AdaptifHal.: 31 LIMIT FUNGSI
7. Nilai dari
adalah….
a. -3 d. 0
b. -2 e. 1
c. -1
}124624{
~
22
−+−+−
→
xxxxLimx
LIMIT FUNGSI ALJABAR

32. AdaptifHal.: 32 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
2.2
4
42
22
2
−
=
−−
=
−
=
a
qb
R
1
4
4
−=
−
=
LIMIT FUNGSI ALJABAR

33. AdaptifHal.: 33 LIMIT FUNGSI
7. Nilai dari
adalah….
a. -3 d. 0
b. -2 e. 1
c. -1
}124624{
~
22
−+−+−
→
xxxxLimx
LIMIT FUNGSI ALJABAR

34. AdaptifHal.: 34 LIMIT FUNGSI
8. Nilai dari
adalah….
a. -4 d. 4
b. 0 e. 8
c. 2
2
2
)14(
)28(
~ +
−
→ x
x
Limx
Limit fungsi sljabar

35. AdaptifHal.: 35 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
1816
43264
)14(
)28(
2
2
~2
2
~ ++
+−
=
−
−
→
→ xx
xx
Lim
x
x
x
x
Lim
4
16
64
==
LIMIT FUNGSI ALJABAR

36. AdaptifHal.: 36 LIMIT FUNGSI
8. Nilai dari
adalah….
a. -4 d. 4
b. 0 e. 8
c. 2
2
2
)14(
)28(
~ +
−
→ x
x
Limx
LIMIT FUNGSI ALJABAR

37. AdaptifHal.: 37 LIMIT FUNGSI
xx
xx
Limox 22
2
+
−
→
9. Nilai dari
adalah….
a. -~ d. 0
b. -2
c. e.
2
1
−
2
1
LIMIT FUNGSI ALJABAR

38. AdaptifHal.: 38 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
)2(
)1(
2 0
2
2
0 +
−
=
+
−
→→ xx
xx
xx
xx
LimLim xx
2
1
20
10
2
1
0
−=
+
−
=
+
−
=
→ x
x
Limx
Limit fungsi aljabar

39. AdaptifHal.: 39 LIMIT FUNGSI
xx
xx
Limox 22
2
+
−
→
9. Nilai dari
adalah….
a. -~ d. 0
b. -2
c. e.
2
1
− 2
1
Limit fungsi aljabar

40. AdaptifHal.: 40 LIMIT FUNGSI
2523
1246
34
22
~ ++−
−+−
→ xxx
xxx
Limx
2
1
−
2
1
10. Nilai dari
adalah….
a. d. 2
b. 0 e. 3
c.
Limit fungsi aljabar

41. AdaptifHal.: 41 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
Perhatikan
Pangkat tertinggi diatas 3
Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < m
Nilai R = 0
2523
1246
34
22
~ ++−
−+−
→ xxx
xxx
Limx
Limit fungsi aljabar

42. AdaptifHal.: 42 LIMIT FUNGSI
2523
1246
34
22
~ ++−
−+−
→ xxx
xxx
Limx
2
1
−
2
1
10. Nilai dari
adalah….
a. d. 2
b. 0 e. 3
c.
Limit fungsi aljabar

43. AdaptifHal.: 43 LIMIT FUNGSI
11. Nilai dari
adalah….
4133
1252
2
2
4 −−
−+
−→ xx
xx
Limx
13
11
.
13
8
.
13
5
.
c
b
a
13
14
.
13
12
.
e
d
Limit fungsi aljabar

44. AdaptifHal.: 44 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
4133
1252
2
2
4 −−
−+
−→ xx
xx
Limx
)4)(13(
)4)(32(
4 +−
+−
−→ xx
xx
Limx
1)4(3
3)4(2
13
32
4 −−
−−
=
−
−
−→ x
x
Limx
13
11
13
11
=
−
−
=
Limit fungsi aljabar

45. AdaptifHal.: 45 LIMIT FUNGSI
74
1042
2
2
~ +
−+
→ x
xx
Limx
2
1
−
2
1
12. Nilai dari
adalah….
a. d. -1
b. 0 e. -6
c.
Limit fungsi aljabar

46. AdaptifHal.: 46 LIMIT FUNGSI
Pembahasan:
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka
74
1042
2
2
~ +
−+
→ x
xx
Limx
2
1
4
2
=
Limit fungsi aljabar

47. AdaptifHal.: 47 LIMIT FUNGSI
12. Nilai dari
adalah….
a. d. -1
b. 0 e. -6
c.
74
1042
2
2
~ +
−+
→ x
xx
Limx
2
1
−
2
1
Limit fungsi aljabar

48. AdaptifHal.: 48 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Trigonometri
ax →
1. Bentuk lim f(x) = f(a)
Contoh :
Tentukan nilai lim sin 2x.
4
π
→x
Jawab :
Lim sin 2x = sin 2 = sin = 1





4
π
2
π
4
π
→x

49. AdaptifHal.: 49 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Trigonometri
2. Bentuk lim , dengan f(a) = 0 dan g(a) = 0
ax →
( )
( )xg
xf
Contoh :
Tentukan nilai dari :
x
x
cos
2sin
lim
2
π
→x
Jawab :
4
π
→x
4
π
→x
4
π
→x
21.2
2
sin2sin2lim
cos
cossin2
lim
cos
2sin
lim =====
π
x
x
xx
x
x
xxx cossin22sin =
xx 2
sin212cos −=
Ingat !!!

50. AdaptifHal.: 50 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Trigonometri
3. Bentuk atau
x
xsin
lim
x
xtan
lim
0→x 0→x
Catatan :
1.
2.
1
sin
lim
sin
lim ==
x
x
x
x
1
tan
lim
tan
lim ==
x
x
x
x
Secara umum
b
a
ax
ax
b
a
bx
ax
b
a
bx
ax
===
sin
tan
lim,
tan
lim,
sin
lim
0→x
0→x
0→x
0→x 0→x
0→x
0→x

51. AdaptifHal.: 51 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 1 :
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut!
x
x
a
x 2
8sin
lim.
0→
Jawab :
x
x
b
x 4sin
3tan
lim.
0→
44.1
2
8
.
8
8sin
lim
2
8sin
.
00
===
→→ x
x
x
x
Lima
xx
4
3
.
4sin
4
.
3
3tan
lim
4sin
3tan
lim.
00 x
x
x
x
x
x
b
xx →→
=
4
3
4
3
.1.1 ==
20
2cos1
lim.
x
x
c
x
−
→

52. AdaptifHal.: 52 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Trigonometri
2
2
020
)sin21(1
lim
2cos1
lim.
x
x
x
x
c
xx
−−
=
−
→→
2
2
0
sin2
lim
x
x
x→
=
2
0
sin
.2lim 





=
→ x
x
x
2
0
sin
lim.2 





=
→ x
x
x
21.2 2
==

53. AdaptifHal.: 53 LIMIT FUNGSI
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 2 :
Tentukan nilai dari
x
x
x sin
12cos
lim
−
→π
x
x
x
x
x
x
xxx sin
sin2
lim
sin
1)sin21(
lim
sin
12cos
lim
22
−
=
−−
=
−
→→→ πππ
00.2sin2)sin2(lim =−=−=−=
→
π
π
x
x
Jawab :

54. AdaptifHal.: 54 LIMIT FUNGSI