1. Міністерство освіти і науки України
Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
ІВАНЮК ПЕТРО ВАСИЛЬОВИЧ
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ГЕНЕРУВАННЯ ДЕТЕРМІНОВАНОГО
ХАОСУ ДЛЯ ПЕРЕДАВАННЯ ІНФОРМАЦІЇ
Спеціальність 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні
методи
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук
Науковий керівник:
доктор технічних наук, професор Політанський Л.Ф.

2. АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ
Відкриття динамічного (детермінованого) хаосу в дискретних та неперервних
динамічних системах, його поширеність в механіці, системах зв’язку, радіофізиці, хімії,
біохімії, біології, медицині, економіці обумовлює необхідність фундаментальних
досліджень хаотичних процесів у сучасному природознавстві. Існує велика кількість
практичних задач, позитивне вирішення яких можливе шляхом використання процесів
детермінованого хаосу. Зокрема до цього класу задач можна віднести розроблення
генераторів хаотичних сигналів на основі дискретних та неперервних динамічних
хаотичних систем як радіотехнічних засобів телекомунікацій, алгоритмів формування
псевдовипадкових послідовностей бітів та шифрування повідомлень ними. В системах
зв’язку детермінований хаос може слугувати носієм інформації, динамічним процесом,
що перетворює інформацію до нового вигляду, а також використовуватися у вигляді їх
комбінації.
В розроблених і експериментально досліджених макетах генераторів хаотичних
сигналів на основі хаотичних систем Чуа, Лоренца, Реслера, Спрота та систем зв’язку
на їх основі мають місце проблеми їх синхронізації, що обумовлено неідентичністю
параметрів останніх та спотворенням сигналів у каналі зв’язку. Варто зазначити, що
якість роботи системи зв’язку залежить від вибору хаотичної системи, способу
передавання інформації та виду синхронізації. Невирішеними залишаються проблеми
створення та дослідження роботи зразків генераторів на основі нових хаотичних систем,
що генерують сигнали більш складної структури, синхронізації, а також можливості
передавання інформації з їх використанням. Із аналізу публікацій стосовно дослідження
проблеми можна зробити висновок, що існує низка задач, вирішення яких можливе
шляхом моделювання процесів генерування детермінованого хаосу та реалізації
генераторів хаотичних сигналів, що і обумовлює актуальність дисертаційних
результатів.
2

3. МЕТА РОБОТИ
Комп’ютерне моделювання та чисельний аналіз поведінки генераторів хаотичних
сигналів, їх практична реалізації та дослідження можливості використання в системах
передавання інформації.
• проведення аналізу математичних моделей неперервних та дискретних хаотичних систем
та відомих підходів до проектування систем зв’язку на їх основі;
• розроблення розрахункових програм для дослідження властивостей збалансованості,
циклічності та кореляції послідовностей бітів, що генеруються дискретними хаотичними
системи;
• розрахунок та дослідження спектра показників Ляпунова для неперервних хаотичних
систем, що описуються системами нелінійних диференційних рівнянь;
• дослідження математичних моделей дискретних і неперервних динамічних систем та
встановлення умови їх повної синхронізації при однонаправленому зв’язку за допомогою
чисельного моделювання в MatLab, Simulink та LabVIEW та моделювання схемотехнічних
рішень в Micro-cap;
• розроблення та виготовлення зразків генераторів сигналів типу “детермінований хаос” на
основі неперервної хаотичної системи Лю і хаотичної системи з кубічною нелінійністю;
• дослідження властивостей коливних режимів, що мають місце в розроблених
генераторах сигналів типу “детермінований хаос”;
• реалізація макету системи зв’язку для передавання інформації з використанням
розроблених генераторів сигналів типу “детермінований хаос”;
• експериментальне дослідження з використанням макета системи зв’язку умови
встановлення режиму повної синхронізації та процесу передавання інформації.
ЗАДАЧІ, ЯКІ ВИРІШУЮТЬСЯ ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ РОБОТИ
3

4. НАУКОВА НОВИЗНА ОДЕРЖАНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ
• вперше розроблено метод синтезу генераторів сигналів типу “детермінований хаос”
на основі неперервних хаотичних систем, що описуються системами нелінійних
диференційних рівнянь та містять нелінійності різних типів;
• вперше застосовано математичні моделі генераторів сигналів типу “детермінований
хаос” четвертого порядку для дослідження можливостей їх використання в системах
зв’язку з провідними лініями;
• вперше здійснено кількісне оцінювання режиму повної синхронізації для
однонаправлено зв’язаних хаотичних систем Лю та встановлено граничні значення
параметрів, що уможливлюють їх синхронний режим роботи; встановлено, що при
значенні коефіцієнту зв’язку більшому чотирьох досліджувані системи працюють в
синхронному режимі, а тривалість перехідних процесів несуттєво впливає на їх роботу;
показано, що для встановлення режиму повної синхронізації доцільно використовувати
динамічні змінні x та y, що мають набагато менші значення шуму розсинхронізації, ніж
динамічні змінні z та w;
• вперше експериментально встановлено режим повної синхронізації між хаотичними
сигналами різних типів, що формуються розробленими генераторами сигналів типу
“детермінований хаос” та досліджені умови її виникнення; показано, що забезпечення
синхронізації одного типу сигналів між ведучою та веденою системами є достатньою
умовою для синхронізації іншого типу сигналів між цими системами;
• встановлено, що при передаванні інформаційних повідомлень в системах зв’язку за
допомогою методу хаотичного маскування сигналів процес відновлення інформації є
більш достовірним при використанні допоміжного каналу синхронізації.
4

5. РОЗДІЛ 1 ОСНОВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ХАОТИЧНИХ СИСТЕМ
1. Основні положення теорії детермінованого хаосу
2. Кількісні характеристики хаотичних процесів
- Ентропія Колмогорова-Сіная.
- Показники Ляпунова.
- Фрактальна розмірність.
3. Статистичні характеристики хаотичних процесів
- Кореляційна функція.
- Енергетичний спектр.
4. Математичні моделі хаотичних систем
5. Основні види синхронізації
- Повна синхронізація.
- Узагальнена синхронізація.
- Фазова синхронізація.
6. Способи прихованого передавання інформації з використанням хаотичної
синхронізації
Рис. 1. Структурна схема системи передавання інформації за допомогою методів: а) хаотичного маскування сигналів:
б) перемикання хаотичних режимів.
а) б) 5

6. РОЗДІЛ 2 ГЕНЕРУВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ПСЕВДОВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
БІТІВ НА ОСНОВІ ДИСКРЕТНИХ ХАОТИЧНИХ СИСТЕМ
Математичні моделі досліджуваних дискретних хаотичних систем.
 nnn
xrxx 
11
  3
1
441 nnn
axxax 
 








1
2
1
,12
2
1
0,2
1
nn
nn
n
xx
xx
x
Рис. 2. Логістичне відображення: а) залежність значення показника Ляпунова від r;
б) біфуркаційна діаграма; в) ітераційна діаграма.
Логістичне відображення:
r – параметр
керування;
при r ≥ 3,56 – хаотичний
режим коливань;
x0 – початкове значення;
x0 = 0.8147.
Кубічне відображення:
a – параметр керування;
при a ≥ 0,82 – хаотичний
режим коливань;
x0 – початкове значення;
x0 = 0.8147.
а) б) в)
Рис. 3. Кубічне відображення: а) залежність значення показника Ляпунова від a;
б) біфуркаційна діаграма; в) ітераційна діаграма.
в)а) б)
Відображення “тент”:
 02cosarccos
1
xx n
n  
 Рис. 4. Ітераційна діаграма для відображення “тент”.
6
(1)
(2)
(3)
(4)

7. РОЗДІЛ 2 ГЕНЕРУВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ПСЕВДОВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
БІТІВ НА ОСНОВІ ДИСКРЕТНИХ ХАОТИЧНИХ СИСТЕМ
Алгоритм формування
псевдовипадкової
послідовності бітів:




















1;
2
1
,1
2
1
;0,0
n
n
n
xякщо
xякщо
b
        nn
xbxbxbxB .2211
,...,,
а)
Рис. 6. Залежність значень збалансованості від породжувального числа для фрагмента послідовності
довжиною 256 біт: а) логістичне відображення; б) кубічне відображення; в) відображення “тент”.
б) в)
1.Збалансованість. Значення збалансованості визначається для кожної з
послідовностей, як різниця між кількістю бітів “0” та кількістю бітів “1”.
Збалансованість повинна дорівнювати одиниці, тобто в послідовності
кількість бітів “0” повинна відрізнятися від кількості бітів “1” на одиницю.
а) б) в)
Рис. 5. Розподіл ймовірності значень збалансованості фрагмента послідовності довжиною
256 біт: а) логістичне відображення; б) кубічне відображення; в) відображення “тент”.
7
(5)

8. 2. Циклічність.
Цикл -
неперервна
послідовність
однакових
двійкових бітів.
Новий цикл
починається з
іншого
двійкового біта,
тобто, при зміні
біта “0” на біт “1”
і навпаки.
Довжина циклу
дорівнює
кількості бітів у
ньому.
Половина усіх
циклів повинна
мати довжину
“1”, чверть
циклів повинна
мати довжину
“2”, восьма
частина –
довжину “3” і т.д.
>54321Відображення “тент”
11.3315.6318.7528.1226.17Відносна кількість бітів в фрагменті
послідовності, %
17.9611.8918.5925.0026.56Відносна кількість бітів у фрагменті послідовності
усереднена по всій довжині послідовності, %
>54321Кубічне відображення
00045.3154.69Відносна кількість бітів в фрагменті
послідовності, %
00040.9454.37Відносна кількість бітів у фрагменті послідовності
усереднена по всій довжині послідовності, %
16.8017.1915.2325.7825.00Відносна кількість бітів в фрагменті
послідовності, %
19.2012.3918.5924.8624.96Відносна кількість бітів у фрагменті послідовності
усереднена по всій довжині послідовності, %
>54321Логістичне відображення
Довжина циклу
РОЗДІЛ 2 ГЕНЕРУВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ПСЕВДОВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
БІТІВ НА ОСНОВІ ДИСКРЕТНИХ ХАОТИЧНИХ СИСТЕМ
а) б)
Рис. 7. Залежність кількості циклів від породжувального числа
для циклів довжиною: а) “1”, б) “2”.
8

9. РОЗДІЛ 2 ГЕНЕРУВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ПСЕВДОВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
БІТІВ НА ОСНОВІ ДИСКРЕТНИХ ХАОТИЧНИХ СИСТЕМ
3. Кореляція. Під кореляцією псевдовипадкової послідовності бітів розуміють показник, що рівний різниці
між кількістю співпадань та кількістю неспвіпадань при порівнянні одного повного періоду послідовності p із
іншим, отриманим шляхом циклічного зсуву на певну кількість позицій.
 
p
кількістькількість
R ньнеспівпадаспівпадань
x


Рис. 8. Залежність коефіцієнта кореляції від зсуву (τ = 1, 2, 3 …) фрагмента послідовності довжиною 1024 біти для:
а) логістичного відображення, б) кубічного відображення, в) відображення “тент”.
9
(6)

10. РОЗДІЛ 2 ВИСНОВКИ
• Створено комплекс програм в MatLab для здійснення моделювання та
статистичного аналізу на випадковість послідовностей бітів, генерованих логістичним,
кубічним та тентовим відображеннями, з використанням властивостей
збалансованості, циклічності та кореляції.
• Запропоновано алгоритм формування псевдовипадкових послідовностей бітів для
дискретних хаотичних систем, в яких міра належності до певної множини розв’язків
змінюється в залежності від сукупності розв’язків конкретного відображення.
• Встановлено, що найкращими статистичними характеристиками володіють
послідовності генеровані кубічним відображенням для фрагментів довжинами 64, 128,
256, 512 та 1024 біти. Тентове відображення можна застосовувати в додатках, що
використовують короткі псевдовипадкові послідовності бітів, оскільки зі збільшенням
довжини їх статистичні властивості різко погіршуються.
10

11. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Математична модель неперервної хаотичної системи Лю.
де x, y, z, w – динамічні змінні,
a, b, h, λ, c, d, n – параметри системи,
xz та x2 – квадратичні нелінійності.
Розрахунок спектра показників Ляпунова.
Для розрахунку спектра показників Ляпунова застосовувався модифікований алгоритм Бенеттина.
Повна система, що складається з двадцяти диференційних рівнянь, розв’язувалася чисельним
методом Рунге-Кутта з використанням перенормування векторів збурення та їх ортогоналізації в
процесі обчислень.
Системи рівнянь у варіаціях:
.
,2
,
),(
11
111
11111
111
nyw
dzcxxz
whxzhzxbxy
xyax









.
,2
,
),(
22
222
22222
222
nyw
dzcxxz
whxzhzxbxy
xyax









.
,2
,
),(
33
333
33333
333
nyw
dzcxxz
whxzhzxbxy
xyax









.
,2
,
),(
44
444
44444
444
nyw
dzcxxz
whxzhzxbxy
xyax









 
.
,
,
,
2
nyw
dzcxz
whxzbxy
xyax









11
(7)
(8)

12. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Розрахунок спектра показників Ляпунова.
Рис. 9. Спектр показників Ляпунова для хаотичної системи Лю при значеннях параметрів
a = 15, b = 30, h = 1, λ = 1, c = 4, d = 2.5, n – приймає цілі значення з інтервалу [1, 100].
 33,0n
  57;4842;38 n
    100;8380;7668;5748;42 n
  83;8076;68 n Квазі-періодичні
Періодичні
Хаотичні
Гіперхаотичні
Вид коливаньЗначення параметра n
Таблиця Види коливань хаотичної системи для різних
інтервалів значень параметра n.
12

13. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Чисельне моделювання динамічних режимів.
а) б)
г)
в)
е)д)
Рис. 11. Проекції фазових траєкторій хаотичної системи Лю в площинах:
а) x-y, б) x-z в) x-w г) y-z д) y-w е) z-w.
Рис. 10. Matlab-Simulink модель
генератора хаотичних сигналів на основі
неперервної хаотичної системи Лю.
13
Рис. 12. Інтерфейс програми та її блок- схема
для чисельного моделювання хаотичних
процесів.

14. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Розрахунок електричної схеми генератора хаотичних сигналів.
Рівняння кіл електричної схеми:
 
.
)(
,
)()(
,
)()(
,
)()(
2
1648
12
4
3
153196
22112
1
1537
11
3
4
1423
10
31
142184
2110
1
1425
10
2
2
1312
9
1
131171
209
1
CC
CCC
CCCCC
CCC
U
RCR
R
U
U
RCRR
RR
U
RCR
R
kU
U
RCR
R
UU
RCRR
RR
kU
RCR
R
U
U
RCR
R
U
RCRR
RR
U








кОмRR
R
R
R
R
a 67.65.1 21
2
9
1
9

кОмR
R
R
b 34.33 5
5
10

кОмR
R
R
c 5.24 7
7
11

кОмR
R
R
h 1001.0 3
3
10

кОмR
R
R
101 4
4
10

кОмR
R
R
d 4025.0 6
6
11

кОмR
R
R
n 1001.0 8
8
12

нФCCCCC 1043210

кОмRRRRR 1012111090

k – коефіцієнт нормування, що дорівнює
1/10В; Uc1, Uc2, Uc3, Uc4 – значення
вихідних напруг, що відповідають
динамічним змінним x, y, z, w системи.
Рис. 14. Електрична схема генератора хаотичних сигналів.
Рис. 13. Структурна
схема генератора
хаотичних сигналів
(W1, W2, W3, W4 –
суматори; X1, X2 –
помножувачі; I1, I2,
I3, I4 – інтегруючі
підсилювачі, U1, U2,
U3, U4 – інвертуючі
підсилювачі).
14(9)

15. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Моделювання схемотехнічного рішення генератора хаотичних сигналів.
Рис. 17. Проекції фазових траєкторії системи в площинах
x-y (UC1 – UC3) та x-z (UC1 – UC3) для розрахованих значень
опорів та ємностей а) та б) відповідно.
а) б)
Рис. 15. Реалізація електричної схеми
генератора хаотичних сигналів в Micro-Cap.
Рис. 16. Часові діаграми динамічних змінних x, y, z,
w (UC1, UC2, UC3, UC4).
15

16. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Експериментальне дослідження режимів роботи генератора сигналів
типу “детермінований хаос”.
Рис. 18. Проекції фазових траєкторії генератора сигналів типу “детермінований хаос” в площині x-z (UC1 – UC3) для випадку:
а) хаотичного режиму; б) гіперхаотичного режиму; в) періодичного режиму; г) квазі-періодичного режиму.
а) б)
Рис. 19. Часова діаграма динамічної змінної x (UC1) для випадків: а) хаотичного сигналу; б) гіперхаотичного сигналу;
в) періодичного сигналу; г) квазіперіодичного сигналу.
в) г)
г)в)а) б)
16

17. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Моделювання схемотехнічного рішення та експериментальні
дослідження процесу синхронізації двох генераторів хаотичних сигналів
.
Рис. 20. Функціональна схема
синхронізації двох генераторів сигналів
типу “детермінований хаос”.
Рис. 21. Залежність сигналу y2 веденої від y1 ведучої системи для хаотичної системи : а) при 100 Ом; б) при 3 кОм;
в) експериментальне дослідження процесу синхронізації між сигналами Uc2 ведучої та Uc1 веденої систем.
в)а) б)
.
,
,
),(
11
1
2
11
11111
111
nyw
dzcxz
wzhxbxy
xyax









22
2
2
22
2122222
222
,
),(
),(
nyw
dzcxz
yyewzhxbxy
xyax









Аналітична модель ведучої та веденої хаотичних систем Лю
синхронізованих лінійним оберненим зв’язком:
17
(10)

18. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Кількісна оцінка якості режиму повної синхронізації двох зв’язаних
хаотичних систем Лю.
Рис. 22. Розсинхронізація
однонаправлено зв’язаних хаотичних
систем Лю при зміні значення
коефіцієнта зв’язку.
Рис. 24. Залежність потужності шуму розсинхронізації однонаправлено зв’язаних хаотичних систем Лю від
розкиду значень їх параметрів для динамічних змінних: a) x; б) y; в) z; г) w.
в)а) б) г)
Рис. 23. Залежність потужності шуму розсинхронізації однонаправлено
зв’язаних хаотичних систем Лю від розкиду значень їх параметрів: а) a та б) n.
а) б)
18

19. РОЗДІЛ 3 МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРАКТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ СИСТЕМИ ПЕРЕДАВАННЯ
ІНФОРМАЦІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА ОСНОВІ
НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ ЛЮ
Процес передавання інформаційних повідомлень з використанням
хаотичного маскування сигналів.
Рис. 25. Структурна схема системи передавання
інформації методом хаотичного маскування сигналів.
Рис. 27. Експериментальне дослідження процесу передавання інформаційних повідомлень з використанням
методу хаотичного маскування сигналів: а) вхідний інформаційний та хаотичний сигнали, б) вхідний інформаційний
та модульований сигнали, в) інформаційний сигнал на вході, відновлений інформаційний сигнал на виході системи
та різниця між ними.
в)а) б)
Рис. 26. Моделювання
схемотехнічного рішення
процесу передавання
інформаційних
повідомлень: а) вхідний
корисний сигнал б)
хаотичний сигнал; в)
адитивна суміш
інформаційного та
хаотичного сигналів; г)
відновлений на виході
сигнал.
а)
б)
в)
г)
а) б)
19

20. РОЗДІЛ 3 ВИСНОВКИ
• Запропоновано метод синтезу генератора сигналів типу “детермінований хаос” на
основі неперервної хаотичної системи Лю.
• Дістав подальший розвиток метод чисельного розрахунку спектра показників
Ляпунова для встановлення границь між коливними режимами для генератора сигналів
типу “детермінований хаос” на основі неперервної хаотичної систем Лю в залежності від
варіації значень його параметрів.
• Здійснено кількісне оцінювання режиму повної синхронізації для однонаправлено
зв’язаних хаотичних систем Лю та встановлено граничні значення параметрів, що
уможливлюють синхронний режим роботи. Встановлено, що при значенні коефіцієнта
зв’язку більшому чотирьох досліджувані системами працюють у синхронному режимі, а
тривалість перехідних процесів несуттєво впливає на їх роботу. Показано, що для
встановлення режиму повної синхронізації доцільно використовувати динамічні змінні x
та y для яких значення шуму розсинхронізації є набагато меншим ніж для динамічних
змінних z та w.
• Експериментально встановлено режим повної синхронізації між хаотичними
сигналами різних типів, що формуються розробленими генераторами сигналів типу
“детермінований хаос” та досліджені умови її виникнення.
• Застосовано математичні моделі генераторів сигналів типу “детермінований хаос”
на основі хаотичної системи Лю для дослідження можливостей їх використання в
системах зв’язку з провідними лініями.
• Експериментально показано процес передавання інформаційних повідомлень у
системі зв’язку, за допомогою методу хаотичного маскування сигналів, складовою
частиною якої є розроблений генератор сигналів типу “детермінований хаос” на основі
неперервної хаотичної системи Лю.
20

21. РОЗДІЛ 4 РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДА СИНТЕЗУ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА
ОСНОВІ НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
Математична модель неперервної хаотичної системи з кубічною
нелінійністю.
де x, y, z, w – динамічні змінні,
a, b, c, d, e – параметри системи,
yzw, xzw, xyw, xyz – кубічні нелінійності.
Розрахунок спектра показників Ляпунова.
 
 
.
;
;
;
xyzdww
xyweyczz
xzwyxby
yzwxyax








Рис. 28. Спектр показників Ляпунова для хаотичної системи з кубічною нелінійністю при значеннях параметрів:
а) a=50, c=13, d=20, e=6, b – приймає цілі значення з інтервалу [1, 30]; б) a=50, b=10, d=20, e=6, c – приймає цілі
значення з інтервалу [1, 30]; в) a=50, b=10, c=13, d=20, e – приймає цілі значення з інтервалу [1, 30].
а) б) в)
21
(11)

22. РОЗДІЛ 4 РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДА СИНТЕЗУ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА
ОСНОВІ НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
Чисельне моделювання динамічних режимів.
Рис. 29. Matlab-Simulink модель генератора
хаотичних сигналів на основі неперервної
хаотичної системи з кубічною нелінійністю.
Рис. 30. Проекції фазових траєкторій хаотичної
системи в площинах: а) x-y; б) x-z; в) x-w; г) y-z.
в)
а) б)
а) б)
г)
Рис. 31. Проекції фазових траєкторій в трьохмірному
просторі хаотичної системи: а) x-y-z; б) x-y-w.
22

23. РОЗДІЛ 4 РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДА СИНТЕЗУ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА
ОСНОВІ НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
Розрахунок електричної схеми генератора хаотичних сигналів.
Рівняння кіл електричної схеми:
нФCCCCC 1043210

l – коефіцієнт нормування, що дорівнює
1/100В2; Uc1, Uc2, Uc3, Uc4 – значення
вихідних напруг, що відповідають
динамічним змінним x, y, z, w системи.
Рис. 33. Електрична схема генератора хаотичних сигналів.
Рис. 32. Структурна
схема генератора
хаотичних сигналів
(W1, W2, W3, W4 –
суматори;
X1, X2, X3, X4, X5, X6
– помножувачі;
I1, I2, I3, I4 –
інтегруючі
підсилювачі,
U1, U2, U3, U4 –
інвертуючі
підсилювачі).
     
     
     
   
.
;
;
;
321
19410
15
4
1942311
2715
4
421
1838
14
2
1837
14
3
183229
2614
3
431
172225
2613
2
1724
13
1
1726
13
2
432
1612
12
1
161201
2412
2
1613
12
1
CCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
UUU
RCR
R
lU
RCRR
RR
U
UUU
RCR
R
lU
RCR
R
U
RCRR
RR
U
UUU
RCRR
RR
lU
RCR
R
U
RCR
R
U
UUU
RCR
R
lU
RCRR
RR
U
RCR
R
U








кОмR
R
R
101 10
10
15

кОмR
R
R
101 8
8
14

кОмR
R
R
101 5
5
13

кОмR
R
R
101 2
2
12

кОмR
R
R
e 6.16606.0 7
7
14

кОмR
R
R
d 502.0 11
11
15

кОмR
R
R
c 92.7613.0 9
9
14

кОмRR
R
R
R
R
b 1001.0 64
6
13
4
13

кОмRR
R
R
R
R
a 205.0 31
3
12
1
12

кОмRRRRR 10191817160

23
(12)

24. РОЗДІЛ 4 РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДА СИНТЕЗУ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА
ОСНОВІ НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
Моделювання схемотехнічного рішення та експериментальні
дослідження генератора хаотичних сигналів.
Рис. 35. Експериментальні осцилограми проекцій
фазових траєкторії генератора сигналів типу
“детермінований хаос” в площинах: а) x-y (UC1 – UC2); б) x-z
(UC1 – UC3); в) x-w (UC1 – UC4); г) y-z (UC2 – UC3).
в)
б)
а) б)
г)
Рис. 34. Проекції фазових траєкторії системи в площинах
x-y (UC1 – UC3) та x-z (UC1 – UC3) для розрахованих значень
опорів та ємностей а) та б) відповідно.
а)
в) г)
Рис. 36. Експериментальні осцилограми часових
діаграм динамічних змінних генератора сигналів типу
“детермінований хаос”: а) x (UC1); б) w (UC4 ).
а) б)
а) б)
24

25. РОЗДІЛ 4 РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДА СИНТЕЗУ ГЕНЕРАТОРА ХАОТИЧНИХ СИГНАЛІВ НА
ОСНОВІ НЕПЕРЕРВНОЇ ХАОТИЧНОЇ СИСТЕМИ З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ
Алгоритм розроблення генератора сигналів типу “детермінований хаос” на
основі неперервних хаотичних систем, що описуються системами
нелінійних диференційних рівнянь:
1. Визначення значень параметрів системи при яких виникають різні види
коливних режимів за допомогою розрахунку спектра показників Ляпунова.
2. Чисельне моделювання коливних режимів з урахуванням значень
параметрів отриманих в п.1.
3. Розрахунок електричної схеми генератора хаотичних сигналів:
3.1. Розроблення структурної схеми генератора сигналів типу “детермінований хаос”
на основі системи нелінійних диференційних рівнянь.
3.2. Розроблення електричної схеми генератора сигналів типу “детермінований
хаос” на основі структурної схеми.
3.3. Розрахунок значень елементів електричної схеми на основі системи
диференційних рівнянь кіл електричної схеми та системи нелінійних диференційних
рівнянь.
4. Моделювання схемотехнічного рішення генератора сигналів типу
“детермінований хаос”.
5. Розроблення макету генератора сигналів типу “детермінований хаос”.
6. Експериментальні дослідження коливних режимів. 25

26. РОЗДІЛ 4 ВИСНОВКИ
• Запропоновано метод синтезу генератора сигналів типу “детермінований хаос” на
основі неперервної хаотичної системи з кубічною нелінійністю.
• Створено комплекс програм, що дає можливість досліджувати часові діаграми,
фазові траєкторії, атрактори для неперервних хаотичних систем, що описуються
системами чотирьох нелінійних диференційних рівнянь і містять квадратичні та кубічні
нелінійності з можливістю його адаптації до неперервних динамічних систем вищого
порядку.
• Встановлено границі між коливними режимами, що дало змогу визначити тип
коливань генератора в залежності від варіації значень його параметрів за допомогою
розробленого програмного забезпечення для розрахунку спектра показників Ляпунова.
• Експериментально досліджено коливні режими в розробленому генераторі сигналів
типу “детермінований хаос” на основі неперервної хаотичної системи з кубічною
нелінійністю.
26

27. ЕКСПЕРИМЕНТ
27
Рис. 36. Експериментальні дослідження: а) та б) макет
системи зв’язку на основі генератора сигналів типу
“детермінований хаос” при процесі передавання мовних
сигналів; в) генератор сигналів типу “детермінований
хаос” на основі неперервної хаотичної системи з кубічною
нелінійністю.
а) б)
в)

28. ПУБЛІКАЦІЇ У ФАХОВИХ ЖУРНАЛАХ
28
ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ ОДЕРЖАНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ
У ДИСЕРТАЦІЇ УЗАГАЛЬНЕНО НАУКОВІ РЕЗУЛЬТАТИ, ОПУБЛІКОВАНІ В 20 РОБОТАХ, У ТОМУ
ЧИСЛІ 6-ТИ СТАТТЯХ У НАУКОВИХ ФАХОВИХ ВИДАННЯХ, 14-ТИ МАТЕРІАЛАХ ТЕЗ
МІЖНАРОДНИХ І ВСЕУКРАЇНСЬКИХ НАУКОВИХ ТА НАУКОВО-ПРАКТИЧНИХ КОНФЕРЕНЦІЙ ТА
СИМПОЗІУМІВ.
Представлені в дисертаційній роботі наукові та практичні результати
використовуються при дослідженні впливу завад на якість цифрового телефонного
зв’язку в межах Чернівецької області (ПАТ “Укртелеком”), при дослідженнях режимів
нестабільної роботи оптоелектронних систем, обумовлених генеруванням в них
хаотичних процесів (ВАТ «ЦКБ Ритм») та при дослідженнях умов виникнення та
методів усунення хаотичних коливань у радіоелектронних пристроях на потужних
МДН-транзисторах вертикальної структури (ОКБ «Рута»). Результати, отримані в
дисертаційній роботі, впроваджено в навчальний процес на кафедрі радіотехніки та
інформаційної безпеки у Чернівецькому національному університеті імені Юрія
Федьковича.
Всі результати впровадження підтверджено відповідними актами.

29. ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ
1. Запропоновано метод синтезу генераторів сигналів типу “детермінований хаос” на основі неперервних
хаотичних систем, що описуються системами нелінійних диференційних рівнянь і містять нелінійності
різних типів.
2. Застосовано математичні моделі генераторів сигналів типу “детермінований хаос” четвертого порядку
для дослідження можливостей їх використання в системах зв’язку з провідними лініями.
3. Дістав подальший розвиток метод чисельного розрахунку спектра показників Ляпунова для
встановлення границь між коливними режимами, що дає змогу визначити тип коливань генератора в
залежності від варіації значень його параметрів.
4. Здійснено кількісне оцінювання режиму повної синхронізації для однонаправлено зв’язаних хаотичних
систем Лю та встановлено граничні значення параметрів, що уможливлюють синхронний режим роботи.
Встановлено, що при значенні коефіцієнту зв’язку більшому чотирьох досліджувані системами працюють
у синхронному режимі, а тривалість перехідних процесів несуттєво впливає на їх роботу. Показано, що
для встановлення режиму повної синхронізації доцільно використовувати динамічні змінні x та у для яких
значення шуму розсинхронізації є набагато меншим ніж для динамічних змінних z та w.
5. Експериментально встановлено режим повної синхронізації між хаотичними сигналами різних типів, що
формуються розробленими генераторами сигналів типу “детермінований хаос” та досліджені умови її
виникнення; показано, що забезпечення синхронізації одного типу сигналів між ведучою та веденою
системами є достатньою умовою для синхронізації іншого типу сигналів між цими системами.
6. Встановлено, що при передаванні інформаційних повідомлень у системах зв’язку за допомогою методу
хаотичного маскування сигналів процес відновлення інформації є більш достовірним при використанні
допоміжного каналу синхронізації.
7. Створено комплекс програм в MatLab для здійснення моделювання та статистичного аналізу на
випадковість послідовностей бітів, генерованих логістичним, кубічним та тентовим відображеннями, з
використанням властивостей збалансованості, циклічності та кореляції. Встановлено, що найкращими
статистичними характеристиками володіють послідовності генеровані кубічним відображенням для
фрагментів довжинами 64, 128, 256, 512 та 1024 біти. Тентове відображення можна застосовувати в
додатках, що використовують короткі псевдовипадкові послідовності бітів, оскільки зі збільшенням
довжини їх статистичні властивості різко погіршуються.
8. Створено комплекс програм, що дає можливість досліджувати часові діаграми, фазові траєкторії,
атрактори для неперервних хаотичних систем, що описуються системами чотирьох нелінійних
диференційних рівнянь і містять квадратичні та кубічні нелінійності з можливістю його адаптації до
неперервних динамічних систем вищого порядку.
29

30. СПАСИБІ ЗА УВАГУ!!!
30