Теория вероятностей

1. 1
Контрольная работа 2.
ФИО
Теория вероятностей 1 2 3 4 5
1. Лотерея предлагает один приз 1500 рублей, два приза 750 рублей, и десять призов 100 рублей.
Продали одну тысячу билетов по 7 рублей за билет. Записать закон распределения выигрыша.
Определите вероятность выиграть более 100 рублей. Найдите математическое ожидание выиг-
рыша, если приобретен один билет.
2. Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 1. Найти вероятность
того, что X ≥ 2.
3. В схеме из десяти испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании равной 0.9
найти вероятность того, что произойдет хотя бы 2 успеха.
4. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей:
X Y 0 1 3
0 0.15 0.05 0.3
−1 0 0.15 0.1
−2 0.15 0 0.1
Найдите
а) закон распределения случайной величины X и закон распределения случайной величины Y ;
б) EX, EY , DX, DY , cov(X, Y ), а также математическое ожидание и дисперсию случайной
величины V = 6X − 4Y + 3.

2. 2
Решение
1. Пусть случайная величина X означает чистый выигрыш. Тогда с вероятностью 1/1000 чистый
выигрыш составит X = 1500 − 7 = 1493, X = 750 − 7 = 743 с вероятностью 2/1000, с вероятностью
10/1000 чистый выигрыш X = 100 − 7 = 93, а с вероятностью 987/1000 теряется 7 рублей, то есть
X = −7. Таким образом, получаем закон распределения
X 1493 743 93 −7
P 0, 001 0, 002 0, 01 0, 987
Выиграть более ста рублей можно в двух случаях: купить билет с призом 1500 рублей или 750 рублей,
поэтому
P(X > 100) = P(X = 1493) + P(X = 743) = 0.001 + 0.002 = 0.003.
Математическое ожидание составляет EX = 1493·0.001+743·0.002+93·0.01−7·0.987 = −3. Заметим,
что проще было бы вычислить математическое ожидание для выигрыша без вычитания стоимости
билета, а после уже вычесть 7 рублей (проверьте!).
2.
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) =
= 1 −
10
0!
e−1
−
11
1!
e−1
= 1 − 2e−1
≈ 0.24.
3. Для схемы Бернулли с вероятностью успеха p = 0.9, числом испытаний n = 10 и k = 0, 1 имеем
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − C0
10(0.1)10
(0.9)0
− C1
10(0.1)9
(0.9)1
=
= 1 − (0.1)10
− 10 · 0.9(0.1)9
= 1 − 9.1 · (0.1)9
= 0.9999999909.
4. Для того, чтобы найти законы распределений X и Y нужно просуммировать вероятности по
строкам и столбцам соответственно:
X 0 −1 −2
P 0, 5 0, 25 0, 25
Y 0 1 3
P 0, 3 0, 2 0, 5
Зная законы распределений вычисляем математические ожидания, дисперсии и ковариацию:
EX = 0 · 0.5 − 1 · 0.25 − 2 · 0.25 = −0.75, EY = 0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 3 · 0.5 = 1.7,
DX = E(X2
) − (EX)2
= 02
· 0.5 + (−1)2
· 0.25 + (−2)2
· 0.25 − (−0.75)2
=
= 1.25 − 0.5625 = 0.6875,
DY = E(Y 2
) − (EY )2
= 02
· 0.3 + 12
· 0.2 + 32
· 0.5 − (1.7)2
=
= 4.7 − 2.89 = 1.81,
cov(X; Y ) = E(XY ) − EX · EY =

3. 3
= −1 · 1 · 0.15 − 1 · 3 · 0.1 − 2 · 3 · 0.1 + 0.75 · 1.7 = 0.225.
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины V проще вычислить по свойствам:
EV = E(6X − 4Y + 3) = 6EX − 4EY + 3 = −6 · 0.75 − 4 · 1.7 + 3 = −8.3,
DV = D(6X − 4Y + 3) = 36DX + 16DY + 2 · 6 · (−4) cov(X; Y ) =
= 36 · 0.6875 + 16 · 1.81 − 48 · 0.225 = 53.71 − 10.8 = 42.91.