1. (ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ)
1.Από το σημείο τομής Ε των διαγωνίων ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ φέρουμε παράλληλες
προς τις ΑΔ και ΒΓ οι οποίες τέμνουν τη βάση ΓΔ στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι ΔΖ=ΓΗ.
2.Από ένα σημείο Δ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη προς την πλευρά βγ
που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. Αν η παράλληλη από το Ε προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Ζ, να
δειχθεί ότι
Α∆ ΒΖ
α) = ,β) τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν ανάλογες πλευρές.
Β∆ ΓΖ
3.Οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ=9 και ΑΓ=15. Από το κέντρο βάρος του φέρουμε
ευθεία παράλληλη προς την ΒΓ ,που τέμνει τις ΑΒ ,ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα.Να
υπολογίσετε τα ΑΔ,ΓΕ.
4.Από ένα σημείο Ε της διαμέσου ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΒ,ΑΓ που
τέμνουν την ΒΓ στα σημεία Ζ,Η αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ΕΔ είναι διάμεσος του τριγώνου
ΕΖΗ.
5.Από ένα σημείο Ε της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ ,φέρουμε παράλληλη προς την διάμεσο ΑΔ,
ΑΗ ΑΖ
που τέμνει τις ΑΓ,ΑΒ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα. Να δείξετε ότι = .
ΑΒ ΑΓ
6.Από το σημείο τομής Ο των διαγωνίων κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ φέρουμε παράλληλες
προς τις ΑΒ,ΑΔ που τέμνουν τις ΒΓ,ΓΔ στα σημεία Μ,Ν ,αντίστοιχα.Να δείξετε ότι ΜΝ//ΔΒ.
7.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ,ΓΕ τα ύψη του. Φέρουμε τα ύψη ΔΖ,ΕΘ του τριγώνου ΑΔΕ. Να
δείξετε ότι ΖΘ//ΒΓ.
8.Από την κορυφή Α ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρουμε μια ευθεία ε ,που τέμνει το
παραλληλόγραμμο και τέμνει και τις ΒΔ,ΒΓ,ΓΔ στα σημεία Ε,Ζ,Θ αντίστοιχα.Να δείξετε ότι
1 1 1
= + .
ΑΕ ΑΖ ΑΘ
9.Η διάμετρος ΑΕ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ΑΒΓ τέμνει την ΒΓ στο Δ. Από το
Δ φέρουμε τις κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ ,που τις τέμνουν στα σημεία Ζ,Η αντίστοιχα .Να δείξετε ότι
ΖΗ//ΒΓ.
10.Δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο Α. Αν R>ρ και δύο χορδές ΑΓ
ΑΒ Α∆
και ΑΕ του κύκλου (Κ,R) τέμνουν τον (Λ,ρ) στα σημεία Β,Δ αντίστοιχα ,να δείξετε ότι =
ΒΓ ∆Ε

2. (ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΧΟΤΟΜΩΝ)
1.Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ=10,ΒΓ=9,ΑΓ=6. Αν ΓΔ είναι η εσωτερική διχοτόμος και η ΓΖ
^
η εξωτερική της γωνίας Γ να υπολογίσετε τη ΖΔ.
2.Αν Δ σημείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και οι διχοτόμοι των γωνιών
∧ ∧ ∆Ε ∆Ζ
ΒΑ∆, ΓΑ∆ τέμνουν τη ΒΓ στα σημεία Ε,Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΕΒ = ΖΓ .
Ι∆
3.Αν ΑΔ διχοτόμος και Ι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ ,να υπολογίσετε το λόγο συναρτήσει των
ΙΑ
α,β,γ.
4.Θεωρούμε τις διχοτόμους ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ τριγώνου ΑΒΓ που τέμνονται στο Ι.
ΙΑ ΙΒ ΙΓ β + γ γ + α α + β
α) Να δείξετε ότι + + = + +
Ι∆ ΙΕ ΙΖ α β γ
β) Χρησιμοποιώντας το ερώτημα (α) και την πρόταση «το άθροισμα δύο αντίστροφων θετικών αριθμών
ΙΑ ΙΒ ΙΓ
είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2» να δείξετε ότι + + ≥6
Ι∆ ΙΕ ΙΖ
Β∆ ΓΕ ΖΑ
5.Αν ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ οι εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε ότι ⋅ ⋅ =1
Γ∆ ΑΕ ΒΖ
^ ^
6.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της Α . Αν η διχοτόμος της γωνίας Β και η εξωτερική
^
διχοτόμος της Γ τέμνουν την ΑΔ στα σημεία Ε,Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα σημεία Ε,Ζ είναι τα
συζυγή αρμονικά των Α και Δ.
^ ^
7.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 0 , Β = 60 0 , φέρουμε την διχοτόμο ΒΔ και την διάμεσο ΒΜ του
τριγώνου ΒΔΓ. Να δείξετε ότι ΑΔ=ΔΜ=ΜΓ.
8.Τέσσερις ημιευθείες Οχ,Οψ,Οζ,Οτ σχηματίζουν διαδοχικές γωνίες ίσες με 450 η καθεμιά. Επί της Οχ
και Οτ παίρνουμε τα σημεία Α,Δ αντίστοιχα έτσι,ώστε ΟΑ=ΟΔ. Αν η ΑΔ τέμνει τις Οψ,Οζ στα σημεία
Β,Γ αντίστοιχα ,να δείξετε ότι:
α) Τα Β,Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α,Γ.
β) Η ΑΒ είναι μέση ανάλογος των ΑΔ και ΒΓ.
9.Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο κάθετες διάμετροι κύκλου (Ο,ρ) και Μ το μέσο της ΟΔ. Αν η ΑΜ τέμνει τον
κύκλο στο Ε, να δείξετε ότι ΕΓ=3ΕΔ.
^ ^
10.Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε την διάμεσο ΑΜ και τις διχοτόμους των γωνιών ΑΜΒ , ΑΜΓ , οι οποίες
τέμνουν τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ,Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΔΕ//ΒΓ
^
11.Έστω Δ το μέσο της πλευράς ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόμος της γωνίας Β∆Γ τέμνει την πλευρά
ΕΒ ΖΒ
ΒΓ στο σημείο Ε και την προέκταση της ΑΒ στο σημειο Ζ, να δείξετε ότι =
ΕΓ ΖΑ
12.Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε την διχοτόμο ΑΔ, να δείξετε ότι οι κορυφές Β,Γ ανήκουν σε κύκλο με
άκρα διαμέτρου δύο σημεία που είναι συζυγή αρμονικά των Α,Δ.