Text book for the mechanics of materials Statically Indeterminate Beam ・Statically determinate or indeterminate beam ・Solution by geometric condition ・Solution by principle of superposition note: Your feedback is welcome! 不静定はり ・静定と不静定 ・幾何学的条件による解法 ・重ね合わせの原理による解法

1. 不静定はり
2. 幾何学的条件を考慮して不静定問題が解ける
3. 重ね合わせの原理を用いて不静定問題が解ける
1. 問題の静定/不静定を判断できる
目標
1/18

2. 静定問題と不静定問題
静定
不静定
釣合い方程式の数 ＝ 未知数
釣合い方程式の数 ＜ 未知数
2/18

3. y
静定 or 不静定の判定
P
a b
RCRA
MCMA
x
支点反力・反モーメントを図示
RA RC MA MC
力・モーメントの釣合い方程式
RA ＋RC P− ＝ 0
aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
ℓRC
aP−
3/18
a b＋ℓ＝
不静定問題
未知数：4 方程式：2>
A B C

4. 不静定はりの解法
幾何学的条件を用いる方法
重ね合わせの原理を用いる方法
カスティリアーノの定理を用いる方法
4/18
たわみに関する条件を考慮して解く
静定問題に分解して解く

5. 幾何学的条件を用いる方法
dx
d y2
2 ＝ −
EI
M(x)
①たわみ，たわみ角を未知数で記述する
②幾何学的条件を考慮して方程式を増やす
③連立方程式を解いて未知数を決定する
5/18

6. y
x
①たわみ，たわみ角の記述
0 < x < a
RA
MA F(x)
M(x)
F(x) x
RA = 0F(x) −
力の釣合い
RA=F(x)∴
モーメントの釣合い
M(x) MA− − ＝ 0F(x) x
∴ M(x) ＝MA F(x)＋ x
＝MA RA＋ x
6/18

7. ①たわみ，たわみ角の記述
y
x
RA
MA F(x)
M(x)
F(x) x
a < x < ℓ
Pa
aP−
RA= 0F(x)
力の釣合い
P−
RA=F(x)∴
＋
− P
モーメントの釣合い
M(x) MA− − ＝ 0F(x) xaP−
( )∴ M(x) ＝MA＋ RA x − P x− a
7/18

8. dx
d y2
2 ＝ −
EI
M(x)
①たわみ，たわみ角の記述
−
EI
1
MA RA＋ x( )
( )MA＋ RA x − P x− a−
EI
1 { } a < x < ℓ
0 < x < a
8/18
{ }dx
dy
=
−
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
C1＋
−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
C22−
P
( )x− a
2
＋
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }
( )
y =
−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
C1＋
MA
2 x C3＋
−
RA
＋x2 x3 C4
3
− C2 x＋ ＋
未知数：6

9. ②幾何学的条件の考慮
y x=a-0＝ y x=a+0
＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
x＝ でたわみ角とたわみが連続a
は完全固定x＝x＝0, ℓ
y x=0 ＝ 0 y x= ＝ 0ℓdx
dy
x=0 dx
dy
x=ℓ
＝ 0＝ 0
9/18
方程式：6

10. ③未知数の決定
10/18
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
y
P
a b
RCRA
MCMA
x a b＋ℓ＝

11. 重ね合わせの原理を用いる方法
①未知数を含む静定問題に分解する
②個々の静定問題を解を求めて重ね合わせる
③元問題の条件から未知数の方程式を立てる
④連立方程式を解いて未知数を決定する
11/18

12. ①静定問題に分解
y
P
a b
RCRA
MCMA
x a b＋ℓ＝
P
(i)
MC
(ii)
RC
(iii)
y1右端たわみ y2 y3
θ1右端たわみ角 θ2 θ3
未知数：4
12/18

13. ②静定問題の解
P
(i)
2. 力/モーメントの釣合い
RA
MA
1. 反力・反モーメント図示
y1 3EI
Pa3
2EI
Pa2b
= ＋
θ1
=
2EI
Pa2
13/18
復習しておいてくだい
3. 各断面のモーメントを求める
4. たわみとたわみ角を求める

14. ②静定問題の解
(ii)
RA
MA MC y2 2EI=
θ2
=
EI
MC
− ℓ
2
−
MC
ℓ
14/18

15. ②静定問題の解
(iii)
RA
MA
RC
y3 3EI=
θ3
= − ℓ
3
− ℓ
RC
RC
2EI
2
15/18

16. ③未知数に対する方程式
は原問題では完全固定x＝右端 ℓ
y1 y2 y3 ＝ 0＋ ＋
＝ 0＋ ＋θ1 θ2 θ3
2EI
Pa2
EI
MC
− ℓ − ℓ
RC
2EI
2
＝ 0
3EI
Pa3
2EI
Pa2b
＋ 2EI
2
−
MC
ℓ
3EI
3
− ℓ
RC
＝ 0
たわみ角の総和＝ 0
たわみの総和 ＝ 0
方程式：
未知数：
16/18
MC RC
2
2

17. ④未知数の決定
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
元問題の力・モーメントの釣合い
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RA ＋RC P− ＝ 0
aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
他に条件は？
残り未知数：2 MA RA
方程式：2
17/18

18. まとめ
2. 幾何学的条件を考慮して不静定問題が解ける
3. 重ね合わせの原理を用いて不静定問題が解ける
1. 問題の静定/不静定を判断できる
不静定釣合い方程式の数 ＜ 未知数 →
①たわみ，たわみ角を未知数で記述する
②幾何学的条件を考慮して方程式を増やす
③連立方程式を解いて未知数を決定する
①未知数を含む静定問題に分解する
②個々の静定問題を解を求めて重ね合わせる
③元問題の条件から未知数の方程式を立てる
④連立方程式を解いて未知数を決定する
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