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単項イデアル整域の証明 整数環Zがpidである事の証明
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整数環Zがpidである事を証明しました. 分かりやすくまとめたつもりです
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単項イデアル整域の証明 整数環Zがpidである事の証明
1.
整数環ℤがPIDである事の証明 Hanpen Robot
2.
「ℤがPIDである」とは? • PIDは単項イデアル整域(Principal Integral
Domain)の略です. • 環RがPIDである ⇔ 全てのイデアルが 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑥 ∈ 𝑅}となる. • 𝑎 という形のイデアルを,単項イデアルという. • 整数環ℤがPIDである ⇔ 全てのイデアルが nℤ = (𝑛) • つまり,倍数の集合になるって事
3.
「ℤがPIDである」の証明 • ℤの任意のイデアルを𝕒とする. • イデアル𝕒の任意の元𝑚を取り出す.
そして, 𝕒 の元で絶対値が 一番小さい元𝑛(ただし,𝑛 ≠ 0) で割ってみる. すると・・・ • 𝕒 ∋ 𝑚 = 𝑞𝑛 + 𝑟 (|𝑛| > |𝑟| ≥ 0) とかける. (𝑞, 𝑛, 𝑟 ∈ ℤ) • 式変形すると、 r = 𝑚 − 𝑞𝑛 となる. • ここで,𝑛は𝕒 の元で絶対値が一番小さく, |𝑛| > |𝑟| ≥ 0なので • 𝑟 = 0となる.(∵整数はとびとびの値しか取れないから) • ゆえに, 𝕒 ∋ 𝑚 = 𝑞𝑛, そして,𝑚はイデアル𝕒の任意の元なので, • 𝕒 = 𝑛ℤ = 𝑛 = 𝑞𝑛 𝑞 ∈ ℤ} • ℤの任意のイデアルは単項イデアルである.
4.
「ℤがPIDである」の証明 • 𝑎, 𝑏
∈ ℤ と仮定すると, 𝑎𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 𝑜𝑟 𝑏 = 0 が成立するので • ℤは整域である. • ∴ ℤはPID • 証明終了!
5.
終
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