Dokumen tersebut membahas tentang tiga jenis transformasi geometri yaitu translasi, rotasi, dan dilatasi. Translasi adalah pergeseran, rotasi adalah perputaran, sedangkan dilatasi adalah perubahan ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Diberikan contoh-contoh soal untuk menentukan bayangan suatu kurva akibat dilakukannya ketiga jenis transformasi tersebut.

1. 1
Transformasi
(Translasi, Rotasi dan
Dilatasi)
Oleh : Drs. Pundjul Prijono

2. 2
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
peta atau bayangan suatu kurva
hasil dari suatu
Translasi, Rotasi atau Dilatasi

3. 3
Transformasi
Untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada sebuah bidang dapat
dikerjakan dengan transformasi.
Transformasi T pada suatu bidang
‘memetakan’ tiap titik P pada bidang
menjadi P’ pada bidang itu pula.
Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P

4. 4
Jenis-jenis Transformasi
a. Tranlasi*)
b. Refleksi
c. Rotasi*)
d. Dilatasi*)
*) yang dibahas kali ini

5. 5
Tranlasi
artinya pergeseran

6. 6
Jika translasi T =
memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)
maka x’ = x + a dan y’ = y + b
ditulis dalam bentuk matrik:








b
a


























b
a
y
x
y'
x'

7. 7
Contoh 1
Diketahui segitiga OAB dengan
koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5).Tentukan koordinat bayangan
segitiga OAB tersebut bila
ditranslasi oleh T = 







3
1

8. 8
Bahasan
(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
0’(1,3)
(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
A’(4,3)
(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
B’(4,8)
X
y
O









3
1
T









3
1
T









3
1
T

9. 9
Contoh 2
Bayangan persamaan lingkaran
x2 + y2 = 25
oleh translasi T =
adalah….








3
1

10. 10
Bahasan
X
P (-1,3)
●
●

11. 11
Karena translasi T = maka
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Dengan menghilangkan tanda ‘
(aksen) , maka bayangannya adalah:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25








3
1

12. 12
Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)
adalah (7,-8). Bayangan kurva
y = x2 + 4x – 12 oleh translasi
tersebut adalah….

13. 13
Bahasan
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3








b
a

14. 14
a = 6 dan b = -3 sehingga
translasi tersebut adalah T =
Karena T =
Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 3








3
6








3
6

15. 15
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi
ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

16. 16
2
4

 
 
 
1.Tentukan peta dari grafik
jika ditranslasikan oleh bentk
2
y x


17. 17
Rotasi
artinya perputaran
ditentukan oleh
pusat dan besar sudut putar

18. 18
Rotasi Pusat O(0,0)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar 
berlawanan arah jarum jam
dengan pusat O(0,0) dan
diperoleh bayangan P’(x’,y’)
maka: x’ = xcos - ysin
y’ = xsin + ycos

19. 19
Jika sudut putar  = ½π
(rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi R½π =















 









y
x
y
x
0
1
1
0
'
'
0
1
1
0







 

20. 20
Contoh 1
Persamaan bayangan garis
x + y = 6 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +90o, adalah….

21. 21
Pembahasan
R+90
o berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke: x + y = 6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6

22. 22
Contoh 2
Persamaan bayangan garis
2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o , adalah….

23. 23
Pembahasan
R-90
o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x atau
dengan matriks: 

























y
x
0
1
1
0
'
y
'
x

24. 24
R-90
o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya:
x + 2y – 6 = 0

25. 25
Jika sudut putar  = π
(rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
Jadi H =



























y
x
y
x
1
0
0
1
'
'
1
0
0
1











26. 26
Contoh
Persamaan bayangan parabola
y = 3x2 – 6x + 1
setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +180o, adalah….

27. 27
Pembahasan
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3 x’ 2 + 6x’ + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x - 1

28. 28
Dilatasi
Adalah suatu transformasi yang
mengubah ukuran (memperbesar
atau memperkecil) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk
bangunnya.

29. 29
Dilatasi Pusat O(0,0) dan
faktor skala k
Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap
pusat O(0,0) dan faktor skala k
didapat bayangan P’(x’,y’) maka
x’ = kx dan y’ = ky
dan dilambangkan dengan [O,k]

30. 30
Contoh
Garis 2x – 3y = 6 memotong
sumbu X di A dan memotong
sumbu Y di B. Karena dilatasi
[O,-2], titik A menjadi A’
dan titik B menjadi B’.
Hitunglah luas segitiga OA’B’

31. 31
Pembahasan
garis 2x – 3y = 6
memotong sumbu X di A(3,0)
memotong sumbu Y di B(0,2)
karena dilatasi [O,-2] maka
A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan
B’(kx,ky) → B’(0,-4)

32. 32
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan
titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:
Sehingga luasnya
= ½ x OA’ x OB’
= ½ x 6 x 4
= 12
X
Y
-4
-6 O
A
B

33. 33
Dilatasi Pusat P(a,b) dan
faktor skala k
bayangannya adalah
x’ = k(x – a) + a dan
y’ = k(y – b) + b
dilambangkan dengan
[P(a,b) ,k]

34. 34
Contoh
Titik A(-5,13) didilatasikan
oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
Jika koordinat titik P(1,-2),maka
koordinat titik A’ adalah….

35. 35
Pembahasan
A(x,y) A’(x’,y’)
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
A(-5,13) A’(x’ y’)
[P(a,b) ,k]
[P(1,-2),⅔]

36. 36
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
A(-5,13) A’(x’ y’)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8
Jadi koordinat titik A’(-3,8)
[P(1,-2),⅔]

37. 37
Transformasi Invers
Untuk menentukan bayangan
suatu kurva oleh transformasi
yang ditulis dalam bentuk
matriks, digunakan
transformasi invers

38. 38
Contoh
Peta dari garis x – 2y + 5 = 0
oleh transformasi yang
dinyatakan dengan matriks
adalah….
3
2
1
1









39. 39
Pembahasan
A(x,y) A’(x’ y’)
Ingat: A = BX maka X = B-1.A








3
2
1
1

























y
x
3
2
1
1
'
'
y
x




























y'
x'
1
2
1
3
2
3
1
y
x

40. 40




























y'
x'
1
2
1
3
2
3
1
y
x



























y'
x'
1
2
1
3
y
x
Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan
y = -2x’ + y’




















y'
2x'
y'
3x'
y
x

41. 41
x = 3x’ – y’ dan y= -2x’ + y’
disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0
3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0
3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0
7x’ – 3y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya:
7x – 3y + 5 = 0

42. 42
SELAMAT BELAJAR