Kombinatorika

1. KOMBINATORIKA ( Ushtrime )
Prill 2020

2. Rikujtim
2
 Çka është kombinatorika?
 Si ndahen rrokjet?
 Çka është variacioni?
 Çka është permutacioni?
 Çka është kombinacioni?
 Cilat janë formulat përkatëse për njehsimin e
variacioneve, permutacioneve dhe kombinacioneve
pa përsëritje?
 Cili ëhtë dallimi ndërmjet variacioneve,
permutacioneve dhe kombinacioneve? A mund ta
përshkruani me ndonjë shembull konkret?
Përgatiti: Faton Hyseni

3. Shembulli 1
Të zgjidhet barazimi 𝑉𝑥
2
= 72 .
Zgjidhje
𝑉𝑥
2
= 72
𝑥 𝑥 − 1 = 72
𝑥 𝑥 − 1 = 9 ∙ 8
𝑥 = 9
Pra zgjidhja është x=9
Përgatiti: Faton Hyseni 3

4. Shembulli 2
Në një klasë prej 35 nxënësish duhet të zgjedhet
udhëheqësia e klasës prej 3 nxënësish. Në sa mënyra mund
të zgjedhen ata?
Zgjidhje
Në këtë rast kemi të bëjmë me kombinacione të klasës së
tretë prej 35 elementesh, prandaj udhëheqësia e klasës
mund të zgjedhet në:
𝑪 𝟑𝟓
𝟑
=
𝟑𝟓!
𝟑! ∙ 𝟑𝟓 − 𝟑 !
=
𝟑𝟓!
𝟑! ∙ 𝟑𝟐!
=
𝟑𝟓 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟑𝟑 ∙ 𝟑𝟐!
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟑𝟐!
𝟑𝟓∙𝟏𝟕∙𝟏𝟏
𝟏
= 𝟑𝟓 ∙ 𝟏𝟕 ∙ 𝟏𝟏 =6545 mënyra.
Përgatiti: Faton Hyseni 4

5. Shembulli 3
Thjeshtoni thyesat
a)
𝟐𝟎𝟎𝟓!
𝟐𝟎𝟎𝟑!
b)
𝒏−𝟐 !
𝒏−𝟒 !
c)
𝒏+𝟏 !
𝒏−𝟏 !
Zgjidhje
a)
2005!
2003!
=
2005∙2004∙2003!
2003!
= 2005 ∙ 2004 = 4018020
b)
𝑛−2 !
𝑛−4 !
=
𝑛−2 𝑛−3 𝑛−4 !
𝑛−4 !
= 𝑛 − 2 𝑛 − 3
c)
𝑛+1 !
𝑛−1 !
=
𝑛+1 𝑛 𝑛−1 !
𝑛−1 !
= 𝑛 𝑛 + 1
Përgatiti: Faton Hyseni 5

6. Shembulli 4
Të gjendet numri i elementeve, nëse numri i kombinacioneve pa
përsëritje të klasës së dytë është 351.
Zgjidhje
𝑪 𝒏
𝟐
= 𝟑𝟓𝟏
𝒏!
𝟐! ∙ 𝒏 − 𝟐 !
= 𝟑𝟓𝟏 →
𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 !
𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟐 !
= 𝟑𝟓𝟏
𝒏 𝒏 − 𝟏
𝟐
= 𝟑𝟓𝟏 → 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝟕𝟎𝟐 → 𝒏 𝟐 − 𝒏 = 𝟕𝟎𝟐
𝒏 𝟐
− 𝒏 − 𝟕𝟎𝟐 = 𝟎 → 𝒏 𝟏 = −𝟐𝟔, 𝒏 𝟐 = 𝟐𝟕
Pasi numri 𝒏 duhet te jetë numër natyror, përfundojmë se
numri i elementeve është 𝒏 = 𝟐𝟕 .
Përgatiti: Faton Hyseni 6

7. Shembulli 5
Cili permutacion me radhë është KOSOVA nëse permutacioni fillestar
SOVAOK ?
Zgjidhje
Në vazhdim kemi 5 hapa:
Gjejm shumë
Përgatiti: Faton Hyseni 7

8. Shembulli 6
Njehsoni numrin 𝒏 nga barazimi 𝟒 ∙ 𝑪 𝒏
𝟐
= 𝑪 𝒏+𝟐
𝟑
.
Zgjidhje
𝟒 ∙ 𝑪 𝒏
𝟐
= 𝑪 𝒏+𝟐
𝟑
𝟒 ∙
𝒏!
𝟐! 𝒏 − 𝟐 !
=
𝒏 + 𝟐 !
𝟑! 𝒏 + 𝟐 − 𝟑 !
𝟒 ∙
𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 !
𝟐 𝒏 − 𝟐 !
=
𝒏 + 𝟐 !
𝟔 𝒏 − 𝟏 !
𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 =
𝒏 + 𝟐 ∙ 𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 !
𝟔 𝒏 − 𝟏 !
𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 =
𝒏+𝟐 ∙ 𝒏+𝟏 ∙𝒏
𝟔
/: 𝒏
𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟏 =
𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏
𝟔
/∙ 𝟔
𝟏𝟐 𝒏 − 𝟏 = 𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 + 𝟐
𝟏𝟐𝒏 − 𝟏𝟐 = 𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 + 𝟐
𝒏 𝟐
− 𝟗𝒏 + 𝟏𝟒 = 𝟎 → 𝒏 𝟏 = 𝟐 , 𝒏 𝟐 = 𝟕
Pra kemi dy vlera 𝒏 𝟏 = 𝟐 𝒅𝒉𝒆 𝒏 𝟐 = 𝟕 .
Përgatiti: Faton Hyseni 8

9. Shembulli 7
Të shkruhen variacionet pa përsëritje të
klasës së dytë dhe tretë prej shkronjave të
fjalës “lis” .
Zgjidhje
Variacione të klasës së dytë:
li, ls, il,is,sl,si .
Variacione të klasës së tretë:
lis,lsi,ils,isl,sli,sil.( njëherit edhe permutacione të bashkësisë prej tre elementesh )
Përgatiti: Faton Hyseni 9