SlideShare a Scribd company logo
1 of 9
KOMBINATORIKA ( Ushtrime )
Prill 2020
Rikujtim
2
 Çka është kombinatorika?
 Si ndahen rrokjet?
 Çka është variacioni?
 Çka është permutacioni?
 Çka është kombinacioni?
 Cilat janë formulat përkatëse për njehsimin e
variacioneve, permutacioneve dhe kombinacioneve
pa përsëritje?
 Cili ëhtë dallimi ndërmjet variacioneve,
permutacioneve dhe kombinacioneve? A mund ta
përshkruani me ndonjë shembull konkret?
Përgatiti: Faton Hyseni
Shembulli 1
Të zgjidhet barazimi 𝑉𝑥
2
= 72 .
Zgjidhje
𝑉𝑥
2
= 72
𝑥 𝑥 − 1 = 72
𝑥 𝑥 − 1 = 9 ∙ 8
𝑥 = 9
Pra zgjidhja është x=9
Përgatiti: Faton Hyseni 3
Shembulli 2
Në një klasë prej 35 nxënësish duhet të zgjedhet
udhëheqësia e klasës prej 3 nxënësish. Në sa mënyra mund
të zgjedhen ata?
Zgjidhje
Në këtë rast kemi të bëjmë me kombinacione të klasës së
tretë prej 35 elementesh, prandaj udhëheqësia e klasës
mund të zgjedhet në:
𝑪 𝟑𝟓
𝟑
=
𝟑𝟓!
𝟑! ∙ 𝟑𝟓 − 𝟑 !
=
𝟑𝟓!
𝟑! ∙ 𝟑𝟐!
=
𝟑𝟓 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟑𝟑 ∙ 𝟑𝟐!
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟑𝟐!
𝟑𝟓∙𝟏𝟕∙𝟏𝟏
𝟏
= 𝟑𝟓 ∙ 𝟏𝟕 ∙ 𝟏𝟏 =6545 mënyra.
Përgatiti: Faton Hyseni 4
Shembulli 3
Thjeshtoni thyesat
a)
𝟐𝟎𝟎𝟓!
𝟐𝟎𝟎𝟑!
b)
𝒏−𝟐 !
𝒏−𝟒 !
c)
𝒏+𝟏 !
𝒏−𝟏 !
Zgjidhje
a)
2005!
2003!
=
2005∙2004∙2003!
2003!
= 2005 ∙ 2004 = 4018020
b)
𝑛−2 !
𝑛−4 !
=
𝑛−2 𝑛−3 𝑛−4 !
𝑛−4 !
= 𝑛 − 2 𝑛 − 3
c)
𝑛+1 !
𝑛−1 !
=
𝑛+1 𝑛 𝑛−1 !
𝑛−1 !
= 𝑛 𝑛 + 1
Përgatiti: Faton Hyseni 5
Shembulli 4
Të gjendet numri i elementeve, nëse numri i kombinacioneve pa
përsëritje të klasës së dytë është 351.
Zgjidhje
𝑪 𝒏
𝟐
= 𝟑𝟓𝟏
𝒏!
𝟐! ∙ 𝒏 − 𝟐 !
= 𝟑𝟓𝟏 →
𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 !
𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟐 !
= 𝟑𝟓𝟏
𝒏 𝒏 − 𝟏
𝟐
= 𝟑𝟓𝟏 → 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝟕𝟎𝟐 → 𝒏 𝟐 − 𝒏 = 𝟕𝟎𝟐
𝒏 𝟐
− 𝒏 − 𝟕𝟎𝟐 = 𝟎 → 𝒏 𝟏 = −𝟐𝟔, 𝒏 𝟐 = 𝟐𝟕
Pasi numri 𝒏 duhet te jetë numër natyror, përfundojmë se
numri i elementeve është 𝒏 = 𝟐𝟕 .
Përgatiti: Faton Hyseni 6
Shembulli 5
Cili permutacion me radhë është KOSOVA nëse permutacioni fillestar
SOVAOK ?
Zgjidhje
Në vazhdim kemi 5 hapa:
Gjejm shumë
Përgatiti: Faton Hyseni 7
Shembulli 6
Njehsoni numrin 𝒏 nga barazimi 𝟒 ∙ 𝑪 𝒏
𝟐
= 𝑪 𝒏+𝟐
𝟑
.
Zgjidhje
𝟒 ∙ 𝑪 𝒏
𝟐
= 𝑪 𝒏+𝟐
𝟑
𝟒 ∙
𝒏!
𝟐! 𝒏 − 𝟐 !
=
𝒏 + 𝟐 !
𝟑! 𝒏 + 𝟐 − 𝟑 !
𝟒 ∙
𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 !
𝟐 𝒏 − 𝟐 !
=
𝒏 + 𝟐 !
𝟔 𝒏 − 𝟏 !
𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 =
𝒏 + 𝟐 ∙ 𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 !
𝟔 𝒏 − 𝟏 !
𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 =
𝒏+𝟐 ∙ 𝒏+𝟏 ∙𝒏
𝟔
/: 𝒏
𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟏 =
𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏
𝟔
/∙ 𝟔
𝟏𝟐 𝒏 − 𝟏 = 𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 + 𝟐
𝟏𝟐𝒏 − 𝟏𝟐 = 𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 + 𝟐
𝒏 𝟐
− 𝟗𝒏 + 𝟏𝟒 = 𝟎 → 𝒏 𝟏 = 𝟐 , 𝒏 𝟐 = 𝟕
Pra kemi dy vlera 𝒏 𝟏 = 𝟐 𝒅𝒉𝒆 𝒏 𝟐 = 𝟕 .
Përgatiti: Faton Hyseni 8
Shembulli 7
Të shkruhen variacionet pa përsëritje të
klasës së dytë dhe tretë prej shkronjave të
fjalës “lis” .
Zgjidhje
Variacione të klasës së dytë:
li, ls, il,is,sl,si .
Variacione të klasës së tretë:
lis,lsi,ils,isl,sli,sil.( njëherit edhe permutacione të bashkësisë prej tre elementesh )
Përgatiti: Faton Hyseni 9

More Related Content

What's hot

Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikëMesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
yllferizi
 
Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1
Menaxherat
 
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
Ligjerata 7   indekset (perqindjet)Ligjerata 7   indekset (perqindjet)
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
coupletea
 
Gramatika e gjuhes shqipe
Gramatika e gjuhes shqipeGramatika e gjuhes shqipe
Gramatika e gjuhes shqipe
Mergim Lipa
 
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionitAnaliza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
Menaxherat
 
2. amortizimi i mjeteve
2. amortizimi i mjeteve2. amortizimi i mjeteve
2. amortizimi i mjeteve
Menaxherat
 
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteMenyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Teutë Domi
 
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartiletLigjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
coupletea
 
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
Vieni Dapaj
 
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuencaLigjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
coupletea
 

What's hot (20)

Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikëMesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
Mesataret algjebrike dhe të pozicionit në statistikë
 
Matematike
Matematike Matematike
Matematike
 
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
Matematika - Dr. Ajet Ahmeti (provim me detyra të zgjidhura)
 
Matematike 1
Matematike 1Matematike 1
Matematike 1
 
Matricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matricaMatricat. Veprimet me matrica
Matricat. Veprimet me matrica
 
METODOLOGJIA E MËSIMDHËNIES BASHKËKOHORE
METODOLOGJIA E MËSIMDHËNIES BASHKËKOHOREMETODOLOGJIA E MËSIMDHËNIES BASHKËKOHORE
METODOLOGJIA E MËSIMDHËNIES BASHKËKOHORE
 
Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1Konceptet baze te probabilitetit 1
Konceptet baze te probabilitetit 1
 
Funksioni
FunksioniFunksioni
Funksioni
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikore
 
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
Ligjerata 7   indekset (perqindjet)Ligjerata 7   indekset (perqindjet)
Ligjerata 7 indekset (perqindjet)
 
Gramatika e gjuhes shqipe
Gramatika e gjuhes shqipeGramatika e gjuhes shqipe
Gramatika e gjuhes shqipe
 
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
STATISTIKA - Dr. Rahmije Mustafa (Ushtrime)
 
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionitAnaliza e regresionit dhe korrelacionit
Analiza e regresionit dhe korrelacionit
 
2. amortizimi i mjeteve
2. amortizimi i mjeteve2. amortizimi i mjeteve
2. amortizimi i mjeteve
 
Syprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshitSyprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshit
 
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteMenyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
 
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartiletLigjerata 4   treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
Ligjerata 4 treguesit e tendences qendrore dhe kuartilet
 
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
-funksionet-kuadratik-eksponencial-dhe-logaritmik-pdf
 
Matematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleksMatematika e avancuar; numri kompleks
Matematika e avancuar; numri kompleks
 
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuencaLigjerata 5   mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
Ligjerata 5 mesatarja e ponderuar dhe frekuenca
 

More from Faton Hyseni (6)

Kombinatorika
KombinatorikaKombinatorika
Kombinatorika
 
Eratosteni
EratosteniEratosteni
Eratosteni
 
Përcaktoret
PërcaktoretPërcaktoret
Përcaktoret
 
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )Testi i matures matematike( qershor 2015 )
Testi i matures matematike( qershor 2015 )
 
Kuiz nga matematika
Kuiz nga matematikaKuiz nga matematika
Kuiz nga matematika
 
Thënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematikenThënie të arta për matematiken
Thënie të arta për matematiken
 

Kombinatorika ( ushtrime )

  • 2. Rikujtim 2  Çka është kombinatorika?  Si ndahen rrokjet?  Çka është variacioni?  Çka është permutacioni?  Çka është kombinacioni?  Cilat janë formulat përkatëse për njehsimin e variacioneve, permutacioneve dhe kombinacioneve pa përsëritje?  Cili ëhtë dallimi ndërmjet variacioneve, permutacioneve dhe kombinacioneve? A mund ta përshkruani me ndonjë shembull konkret? Përgatiti: Faton Hyseni
  • 3. Shembulli 1 Të zgjidhet barazimi 𝑉𝑥 2 = 72 . Zgjidhje 𝑉𝑥 2 = 72 𝑥 𝑥 − 1 = 72 𝑥 𝑥 − 1 = 9 ∙ 8 𝑥 = 9 Pra zgjidhja është x=9 Përgatiti: Faton Hyseni 3
  • 4. Shembulli 2 Në një klasë prej 35 nxënësish duhet të zgjedhet udhëheqësia e klasës prej 3 nxënësish. Në sa mënyra mund të zgjedhen ata? Zgjidhje Në këtë rast kemi të bëjmë me kombinacione të klasës së tretë prej 35 elementesh, prandaj udhëheqësia e klasës mund të zgjedhet në: 𝑪 𝟑𝟓 𝟑 = 𝟑𝟓! 𝟑! ∙ 𝟑𝟓 − 𝟑 ! = 𝟑𝟓! 𝟑! ∙ 𝟑𝟐! = 𝟑𝟓 ∙ 𝟑𝟒 ∙ 𝟑𝟑 ∙ 𝟑𝟐! 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟑𝟐! 𝟑𝟓∙𝟏𝟕∙𝟏𝟏 𝟏 = 𝟑𝟓 ∙ 𝟏𝟕 ∙ 𝟏𝟏 =6545 mënyra. Përgatiti: Faton Hyseni 4
  • 5. Shembulli 3 Thjeshtoni thyesat a) 𝟐𝟎𝟎𝟓! 𝟐𝟎𝟎𝟑! b) 𝒏−𝟐 ! 𝒏−𝟒 ! c) 𝒏+𝟏 ! 𝒏−𝟏 ! Zgjidhje a) 2005! 2003! = 2005∙2004∙2003! 2003! = 2005 ∙ 2004 = 4018020 b) 𝑛−2 ! 𝑛−4 ! = 𝑛−2 𝑛−3 𝑛−4 ! 𝑛−4 ! = 𝑛 − 2 𝑛 − 3 c) 𝑛+1 ! 𝑛−1 ! = 𝑛+1 𝑛 𝑛−1 ! 𝑛−1 ! = 𝑛 𝑛 + 1 Përgatiti: Faton Hyseni 5
  • 6. Shembulli 4 Të gjendet numri i elementeve, nëse numri i kombinacioneve pa përsëritje të klasës së dytë është 351. Zgjidhje 𝑪 𝒏 𝟐 = 𝟑𝟓𝟏 𝒏! 𝟐! ∙ 𝒏 − 𝟐 ! = 𝟑𝟓𝟏 → 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ! 𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟐 ! = 𝟑𝟓𝟏 𝒏 𝒏 − 𝟏 𝟐 = 𝟑𝟓𝟏 → 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝟕𝟎𝟐 → 𝒏 𝟐 − 𝒏 = 𝟕𝟎𝟐 𝒏 𝟐 − 𝒏 − 𝟕𝟎𝟐 = 𝟎 → 𝒏 𝟏 = −𝟐𝟔, 𝒏 𝟐 = 𝟐𝟕 Pasi numri 𝒏 duhet te jetë numër natyror, përfundojmë se numri i elementeve është 𝒏 = 𝟐𝟕 . Përgatiti: Faton Hyseni 6
  • 7. Shembulli 5 Cili permutacion me radhë është KOSOVA nëse permutacioni fillestar SOVAOK ? Zgjidhje Në vazhdim kemi 5 hapa: Gjejm shumë Përgatiti: Faton Hyseni 7
  • 8. Shembulli 6 Njehsoni numrin 𝒏 nga barazimi 𝟒 ∙ 𝑪 𝒏 𝟐 = 𝑪 𝒏+𝟐 𝟑 . Zgjidhje 𝟒 ∙ 𝑪 𝒏 𝟐 = 𝑪 𝒏+𝟐 𝟑 𝟒 ∙ 𝒏! 𝟐! 𝒏 − 𝟐 ! = 𝒏 + 𝟐 ! 𝟑! 𝒏 + 𝟐 − 𝟑 ! 𝟒 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ! 𝟐 𝒏 − 𝟐 ! = 𝒏 + 𝟐 ! 𝟔 𝒏 − 𝟏 ! 𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝒏 + 𝟐 ∙ 𝒏 + 𝟏 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ! 𝟔 𝒏 − 𝟏 ! 𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝒏+𝟐 ∙ 𝒏+𝟏 ∙𝒏 𝟔 /: 𝒏 𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝒏 + 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟔 /∙ 𝟔 𝟏𝟐 𝒏 − 𝟏 = 𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟐 𝟏𝟐𝒏 − 𝟏𝟐 = 𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟐 𝒏 𝟐 − 𝟗𝒏 + 𝟏𝟒 = 𝟎 → 𝒏 𝟏 = 𝟐 , 𝒏 𝟐 = 𝟕 Pra kemi dy vlera 𝒏 𝟏 = 𝟐 𝒅𝒉𝒆 𝒏 𝟐 = 𝟕 . Përgatiti: Faton Hyseni 8
  • 9. Shembulli 7 Të shkruhen variacionet pa përsëritje të klasës së dytë dhe tretë prej shkronjave të fjalës “lis” . Zgjidhje Variacione të klasës së dytë: li, ls, il,is,sl,si . Variacione të klasës së tretë: lis,lsi,ils,isl,sli,sil.( njëherit edhe permutacione të bashkësisë prej tre elementesh ) Përgatiti: Faton Hyseni 9