3. Методологической основой
Стандарта является
системно-деятельностный подход, который
обеспечивает:
формирование готовности обучающихся к саморазвитию
и непрерывному образованию;
проектирование и конструирование развивающей
образовательной среды образовательного учреждения;
активную учебно-познавательную деятельность
обучающихся;
построение образовательного процесса с учётом
индивидуальных, возрастных, психологических,
физиологических особенностей и здоровья
обучающихся.
4. Стандарт устанавливает требования к результатам
освоения обучающимися основной образовательной
программы:
личностным, включающим
готовность и способность обучающихся к саморазвитию и
личностному самоопределению,
сформированность их мотивации к обучению и
целенаправленной познавательной деятельности,
системы значимых социальных и межличностных
отношений, ценностно-смысловых установок, отражающих
личностные и гражданские позиции в деятельности,
правосознание, экологическую культуру,
способность ставить цели и строить жизненные планы,
способность к осознанию российской гражданской
идентичности в поликультурном социуме;
5. Стандарт устанавливает требования к результатам освоения
обучающимися основной образовательной программы:
метапредметным, включающим
освоенные обучающимися межпредметные понятия и
универсальные учебные действия (регулятивные,
познавательные, коммуникативные), способность их
использования в познавательной и социальной практике,
самостоятельность в планировании и осуществлении
учебной деятельности и организации учебного
сотрудничества с педагогами и сверстниками,
способность к построению индивидуальной
образовательной траектории, владение навыками
учебно-исследовательской, проектной и социальной
деятельности;
6. Стандарт устанавливает требования к результатам освоения
обучающимися основной образовательной программы:
предметным, включающим
освоенные обучающимися в ходе изучения
учебного предмета умения, специфические для
данной предметной области, виды
деятельности по получению нового знания в
рамках учебного предмета, его
преобразованию и применению в учебных,
учебно-проектных и социально-проектных
ситуациях,
формирование научного типа мышления,
владение научной терминологией, ключевыми
понятиями, методами и приёмами.
7. Предметные результаты освоения основной
образовательной программы устанавливаются
для учебных предметов на базовом и
углубленном уровнях.
Предметные результаты освоения
основной образовательной программы
для учебных предметов на базовом
уровне ориентированы на обеспечение
преимущественно общеобразовательной
и общекультурной подготовки.
8. Предметные результаты освоения основной
образовательной программы для учебных
предметов на базовом и углубленном уровнях
на углубленном уровне ориентированы
преимущественно на подготовку к последующему
профессиональному образованию, развитие
индивидуальных способностей обучающихся
путем более глубокого, чем это
предусматривается базовым курсом,
освоением основ наук, систематических знаний и
способов действий, присущих данному учебному
предмету.
9. Предметные результаты освоения основной
образовательной программы устанавливаются
для учебных предметов на базовом и
углубленном уровнях.
Предметные результаты освоения
интегрированных учебных предметов
ориентированы на формирование целостных
представлений о мире и общей культуры
обучающихся путем освоения систематических
научных знаний и способов действий на
метапредметной основе.
10. «Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия» (базовый уровень) – требования к предметным
результатам освоения базового курса математики должны
отражать:
1) сформированность представлений о математике как части
мировой культуры и о месте математики в современной
цивилизации, о способах описания на математическом языке
явлений реального мира;
2) сформированность представлений о математических
понятиях как о важнейших математических моделях,
позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления;
понимание возможности аксиоматического построения
математических теорий;
3) владение методами доказательств и алгоритмов решения;
умение их применять, проводить доказательные рассуждения в
ходе решения задач;
4) владение стандартными приёмами решения рациональных и
иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических
уравнений и неравенств, их систем; использование готовых
компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и
иллюстрации решения уравнений и неравенств;
11. «Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия» (базовый уровень) – требования к предметным
результатам освоения базового курса математики должны
отражать:
5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях
и методах математического анализа;
6) владение основными понятиями о плоских и пространственных
геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность
умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире
геометрические фигуры; применение изученных свойств
геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и
задач с практическим содержанием;
7) сформированность представлений о процессах и явлениях,
имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях
в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории
вероятностей; умений находить и оценивать вероятности
наступления событий в простейших практических ситуациях и
основные характеристики случайных величин;
8) владение навыками использования готовых компьютерных программ
при решении задач.
12. «Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия» (углубленный уровень) – требования
предметным результатам освоения углубленного курса
математики должны включать требования к результатам
освоения базового курса и дополнительно отражать:
1) сформированность представлений о необходимости доказательств при
обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении
дедуктивных рассуждений;
2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса
математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения
доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать
построенные модели, интерпретировать полученный результат;
4) сформированность представлений об основных понятиях математического
анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение
функций, использование полученных знаний для описания и анализа
реальных зависимостей;
5) владение умениями составления вероятностных моделей по условию
задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с
применением формул комбинаторики и основных теорем теории
вероятностей; исследования случайных величин по их распределению.
13. Индивидуальный проект представляет собой особую
форму организации деятельности обучающихся (учебное
исследование или учебный проект).
Индивидуальный проект выполняется
обучающимся самостоятельно под
руководством учителя (тьютора) по выбранной
теме в рамках одного или нескольких
изучаемых учебных предметов, курсов в любой
избранной области деятельности
(познавательной, практической, учебно-
исследовательской, социальной, художественно-
творческой, иной).
14. Результаты выполнения индивидуального
проекта должны отражать:
сформированность навыков коммуникативной, учебно-исследовательской
деятельности, критического мышления;
способность к инновационной, аналитической, творческой,
интеллектуальной деятельности;
сформированность навыков проектной деятельности, а также
самостоятельного применения приобретённых знаний и способов
действий при решении различных задач, в том числе внеучебных,
используя знания одного или нескольких учебных предметов или
предметных областей;
способность постановки цели и формулирования гипотезы исследования,
планирования работы, отбора и интерпретации необходимой информации,
структурирования аргументации результатов исследования на основе
собранных данных, презентации результатов.
15. Индивидуальный проект
выполняется обучающимся в течение одного
или двух лет в рамках учебного времени,
специально отведённого учебным планом,
и должен быть представлен в виде
завершённого учебного исследования или
разработанного проекта: информационного,
творческого, социального, прикладного,
инновационного, конструкторского,
инженерного.
16. Содержательные и
структурные
особенности УМК по
и алгебре и началам
математического
анализа
для 10-11 классов
Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева,
Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин
17. Авторский коллектив УМК
Колягин Юрий Михайлович – академик РАО, доктор педагогических наук,
профессор, заслуженный учитель, заслуженный деятель науки
Ткачёва Мария Владимировна – доктор педагогических наук, профессор,
главный научный сотрудник Федерального института развития
образования
Фёдорова Надежда Евгеньевна – кандидат педагогических наук, доцент
Московского городского педагогического университета
Шабунин Михаил Иванович – доктор педагогических наук, кандидат
физико-математических наук, профессор Московского физико-технического
института (МФТИ)
fedorovan@yandex.ru
17
18. УМК включает в себя:
• Учебники для 10 и 11 классов
• Книги для учителя
• Дидактические материалы
• Тематические тесты
18
19. Преемственность со всеми действующими
учебниками алгебры 7—9 классов. Наилучшая
преемственность с учебниками алгебры авторов
Алимова Ш.А. и др. ,Колягина Ю.М. и др.
19
20. Цели , реализуемые УМК :
на базовом уровне на профильном
уровне
1. Формирование представлений
— об универсальности математического языка для
науки;
— о математическом моделировании явлений и
процессов.
2. Овладение математическими знаниями и
умениями
— необходимыми для овладения смежными
дисциплинами и практической деятельности;
— для продолжения образования в областях,
не требующих требующих
специальной математической
математической подготовки на
подготовки продвинутом
уровне
20
21. Цели , реализуемые УМК :
3. Развитие
— логического мышления — научной
интуиции
— алгоритмической культуры
— творческих способностей
— критичности мышления
— стохастической культуры
4. Воспитание
— отношения к математике как к части общей
культуры
— самостоятельности мышления
— качеств личности, значимых для дальнейшего
обучения и трудовой деятельности
21
22. Концептуальные особенности
курса
• Первая глава учебника 10 класса посвящена
повторению и углублению содержания курса
алгебры 7—9 классов
• Ведущей является числовая линия, которая
развивается параллельно с функциональной линией,
но опережая её
• Изучение элементов математического анализа
происходит в 11 классе после усвоения теории
элементарных функций
• Ведущий дидактический принцип — оптимальная
взаимосвязь научности и доступности
• Уровнево - концентрическое и зложение
теоретического материала (на 3 уровнях сложности)
• Практико - ориентированная система изложения
ориентированы на самостоятельную работу учащихся с
книгой
22
23. Уровнево -концентрическое изложение
теоретического материала
базовый уровень
для всех учащихся
профильный уровень
для учащихся
содержательное
М П М естественнонаучных,
ядро
П технических и
базового
экономических
уровня
направлений
математический
уровень
для учащихся
математических и физико-
математических
направлений
23
25. Система упражнений
Состав:
(около в Дидактических в
в Учебниках
20 000 материалах Тематических
заданий) тестах
около 700 порядка более 300 более 2000
около 700 около 7000
задач с
задач с 10 000 задач примеров заданий для
образцам и упражнений вопросов и
образцам с самостоятел
ии для работы в заданий
решениям ьной работы
решений
решений классе и дома и
Структура на 4 уровнях сложности
к каждому параграфу учебника
к каждой главе
ко всему курсу
задания для контроля и самоконтроля по каждой теме
25
27. Система упражнений
Функции:
обучение математической деятельности
формирование УУД
развитие логических, алгоритмических и др. качеств
мышления
обучение элементам математического моделирования
воспитание (через организацию деятельности,
содержание, общение)
27
28. Задачи
Задача1. Найти последнюю цифру числа
2387
Задача 2. Доказать, что натуральное число а,
записанное в виде
a = an an −1...a1a0 = a0 + 10a1 + 10 a2 + ... + 10 an
2 n
делится на 11 тогда и только тогда,когда
делится на 11 сумма a0 − a1 + a2 + ... + ( −1) n an
29. Решение.
Так как 10≡-1(mod 11),
то 10 ≡ 10 ≡ ... ≡ 10 ≡ 1(mod11)
2 4 2k
при любом k∈Ν;
2 k +1
10 ≡ 10 ≡ ... ≡ 10
3
≡ − 1(mod11)
при любом k∈Ν.
По свойствам сравнений
a ≡ a0 − a1 + a2 + ... + (−1) n an (mod11)
30. Задачи
1. Доказать, что уравнение 42х+66у=13 не
имеет целочисленных решений.
2.Найти все целочисленные решения
уравнения 7х+15у =3.
3.Найти все целочисленные решения
уравнения х²=у²+7.
4.Доказать, что уравнение х²-у²=1994 не имеет
целочисленных решений
31. Доказательство:
Запишем уравнение в виде (х – у)(х + у) = 1994.
а) Если числа х и у являются одновременно четными или
нечетными, то числа х – у и х + у четные, и поэтому левая
часть равнения в этом случае делится на 4. Но правая
часть не делится на 4. Поэтому в рассматриваемом случае
уравнение не имеет целочисленных решений.
б) Если одно из чисел х, у четное, а другое нечетное, то х –
у и х + у - нечетные числа, и поэтому левая часть
уравнения – число нечетное, тогда как правая часть
уравнения – четное число. Следовательно, и в этом случае
уравнение не имеет целочисленных решений
32. Теорема.
Если рациональное число mn
является корнем целочисленного
многочлена ak x k + ak −1 x k −1 + ... + a1 x + a0 ,
тоa0 делится на m, а ak делится на n
Задача. Найти все корни многочлена
2 x + x + x + x −1.
4 3 2
33. Решение задачи
Делители свободного члена 1 и -1, делители
старшего коэффициента ± ,± .1 2
Следовательно, рациональными корнями
1
могут быть числа ± и ± .
1
2
Проверка показывает, что корнями являются числа
1
. − 1и
2
Разделив многочлен на (2х-1)(х+1), получим х2+1.
Значит, 2х4+х3+х2+х-1=(2х-1) (х+1)(х2+1) и других
корней, кроме найденных, нет.
34. Задача
Функция спроса на некоторый товар задана
189
формулой q =− +
1
2 p +7
.
Найти: 1) область определения и множество
значений функции спроса;
2) объем спроса при цене
p1 = 20 ед., p2 = 50 ед., p3 = 80 ед.;
3)функцию, обратную функции спроса, которая
описывает зависимость цены за единицу продукции
от объема спроса.
36. Доказать, что 3
20 +14 2 + 3 20 −14 2 = 4
Обозначим 20 +14 2 + 20 −14 2 = А
3 3
Пусть 20 + 14 √2 =а, 20 - 14 √2 =в, тогда a + b = A
3 3
Докажем, что А = 4.
По формуле куба суммы А3 =(a + 3 b )3= а+в+ ab ( a + b )
33
3 3 3
=40 + 3 400 −196 ⋅ 2 ⋅ A = 40+ 3∙2 ∙А = 40+6А.
3
Левая часть А этого равенства является корнем уравнения
х3-6х-40=0, которое запишем в виде
(х-4)(х2+4х+10)=0.
Второй множитель не имеет действительных корней,
следовательно, х=4 – единственный действительный корень
уравнения, т.е. А=4.
37. Свойство функции у=х3
Докажем, что функция не является ограниченной.
Т.е. докажем, что для любого С>0 найдется значение
хс, такое, что lf(xc)l>C.
Пусть ,например, хс = 3 2С ,где С-любое
положительное число,
3
тогда f(xc)=( 2С )3=2C>С.
38. Задачи
§1. Задача 8. Доказать, что функция y=x sinx не
является ограниченной на множестве R.
1
§2. Задача 8. Доказать, что функция y=sin не является
x
периодической.
§3. Задача 5. Построить график функции y=x cosx.
§4. Задача 3. Исследовать функцию y = log sin x
2
и построить график
§6. Задача 5.Построить график функции y=arcsin(sinx)
39. Доказать, что функция y=x sinx не является
ограниченной на множестве R.
Пусть С>0- произвольное. Тогда найдется
произвольное натуральное число n, такое,
π
что x n = + 2πn > C.
2
Так как yn ( xn ) = xn sin xn = xn > C ,
то функция не является ограниченной на
множестве R.
40. 1
Доказать, что функция y=sin x
не является
периодической.
Область определения функции – все
действительные числа, кроме 0.
Пусть Т-произвольное число, Т>0.
Так как Т≠0, то х0=-Т принадлежит области
определения. Но точка х0+Т=-Т+Т=0 не принадлежит
области определения.
Итак, для любого Т>0 существует число х=х0(из
области определения функции), что точка х+Т не
принадлежит области определения.
1
У=sin х не является периодической
41. Задача 9.
Решить уравнение х
3 ⋅ х 5 =225
Решение: Уравнение равносильно системе
3 ⋅5) 1 =225,
( х
х ∈N , x >1.
1
Преобразуем первое уравнение к виду 15 = 15
х 2
1
откуда х= 2
Но это число не удовлетворяет условиям x>1,x∈N, т.е.
корней нет.
42. Задачи
Сколько различных шифров можно набрать в
автоматической камере хранения, если шифр
составляется с помощью любой из тридцати
букв русского алфавита с последующим
трехзначным числовым кодом?
Решение.30 ∙1000 = 30000.
Сколько экзаменационных комиссий,
состоящих из 5 членов, можно образовать из
10 преподавателей?
5 10!
Решение. С10 =
5!5!
=252
43. 1.В лотерее участвуют 15 билетов, среди которых 3 выигрышных.
Наугад вынуты 2 билета. Какова вероятность того, что: 1) оба
вынутых билета выигрышные; 2)выигрышного билета не
оказалось;
Решение
2
Число всех возможных исходов С15
2
1) Выигрышных всего С3
Вероятность равна отношению
С32
2
С15
2
2) Не выигрышных С12 2
С12
Вероятность равна отношению 2
С15
44. Прикладная направленность
курса
• Демонстрация полученных
знаний:
— в различных научных областях
— в реальной действительности
— в смежных учебных предметах
44
59. Развитие общекультурное
Средствами Книги для учителя:
1.Выбор рациональных способов решения задач
2.Приёмы классификации, систематизации
и обобщения знаний
3.Расширение кругозора (через чтение дополнительной
литературы)
59
63. Актуализация знаний
в Книгах для учителя обеспечивается
— специальной системой вводных заданий
— средствами наглядности
— занимательной информацией
63
64.
65. Индивидуализация обучения
• Возможность выявления через работу с
текстами Учебника когнитивных стилей:
— полезависимость / поленезависимость
— глобальность / специфичность
— абстрактный / конкретный
— сложный / простой
• Возможность выбора индивидуальной
траектории обучения с помощью
— ориентиров Учебника, обозначающих уровни
изложения теории и практики
— многоуровневой системы заданий в Учебниках и
Дидактических материалах (при работе в зоне
ближнего развития)
— диагностики уровня сформированности умений
средствами:
• разноуровневых заданий Учебников и Дидактических
материалов
• блоков заданий Учебников «Проверь себя!»
• Тематических тестов
65
66. Контроль и самоконтроль
(рефлексия)
• В Учебнике
— теоретические вопросы к каждой главе
— задания «Проверь себя!» с ответами
• В Книге для учителя
— тематические контрольные работы на 2—3-х уровнях
сложности для общеобразовательных и профильных
классов
— контролирующие самостоятельные работы по материалу
параграфов
— подробные решения всех сложных задач учебника
• В Дидактических материалах
1) каждое задание (в 2-х вариантах с ответами) имеет
балловую оценку, что позволяет:
— определить уровень знаний и умений по теме
— сконструировать разноуровневые самостоятельные
работы
2) тематические контрольные работы в 2-х вариантах на 2-х
уровнях сложности только для профильных классов
• В Тематических тестах задания (в 4-х вариантах с
ответами) на двух уровнях сложности готовят к сдаче ЕГЭ
66
68. Методическая поддержка курса
В Книге для учителя формулируются:
— концептуальные особенности изложения содержания
каждой главы учебника
— требования к результатам обучения на базовом и
профильном уровнях
— цели изучения каждого параграфа
приводятся :
— конкретные рекомендации по конструированию уроков
каждой темы
— распределение теоретического и задачного
материала по урокам в классах базового и профильного
уровней, а также в классах с углублённым изучением
математики
— самостоятельные и контрольные работы по каждой
теме
— подробные решения трудных задач учебника
— рекомендации по проведению уроков обобщения и
систематизации знаний
— тематическое планирование для базового и 68
71. Подготовка к ЕГЭ
В Учебниках и Дидактических материалах
• система упражнений соответствует требованиям
Стандартов образования
• избыточность и многоуровневость задачного
материала способствует формированию практических и
интеллектуальных действий от обязательных до
творческих
71
72. Примеры задач
Задача 11. Решить уравнение
3 x 2 −10 x + 3
( x − 3) = 1.
Задача 12. При каких значениях a
уравнение (a − 1)32 x − (2a − 1)3x − 1 = 0
имеет два различных корня?
73. Задача
Накоординатной плоскости Оху дана
точка М(2;4). Рассматриваются
треугольники, у которых две вершины,
симметричные относительно оси Оу,
лежат на параболе у = 3х², -1 ≤x≤ 1, а
точка М является серединой одной из
сторон каждого треугольника. Среди
этих треугольников выбран тот, который
имеет наибольшую площадь. Найти эту
площадь.
74. Решение уравнения sin6x+cos8x=1
Если 0 ≤ а ≤ 1, то а k ≤ a для любого k ∈ N , k ≥ 2,
причем а k = a справедлив о только при а = 0 и а = 1.
Полагая a = sin 2 x, получаем sin 6 x ≤ sin 2 x. Причем,
sin 6 x = sin 2 x, только, если sin x = 0 и sin x = 1.
Аналогично, cos8 x ≤ cos 2 x, причем cos8 x = cos 2 x, если
cos x = 0 и cos x = 1. Складывая неравенств а ,
получаем sin 6 x + cos8 x ≤ 1 при х ∈ R.
sin 6 x + cos8 x = 1, если либо sin x = 0, либо cos x = 0, т.е. sin 2 x = 0,
πn
откуда x = , n ∈ Z.
2
75. Задачи к главе У111
§1. Задача 6. Пусть М – множество точек плоскости с
координатами (х;у) таких, что числа 3х, 2у, 9-у являются
длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь
фигуры М.
Задача 7. Найти все пары целых чисел х и у, для которых
верны неравенства 3y-x<5, x+y>26, 3x-2y<46.
§2.Задача 2. Найти множество точек координатной
плоскости, удовлетворяющих уравнению:1)х2+у2+4х-6у-3=0; 2)
8х3у=у4.
1)(х+2)2+(у-3)2=0;
2)8х3у-у4=0, у(2х-у)((х+у)2+3х2)=0. Так как (х+у)2+3х2=0 только
при х=0 и у=0, то решение – совокупность прямых у=0 и 2х-
у=0.
76. Задача 13. Дана система неравенств
2 + 2 ≤ x,
x y 4
+ ≥,
x y 2
2
−
x y 2 + −x ≥ .
16 8 0
Найти площадь фигуры, координаты точек которой
удовлетворяют: 1)первому неравенству системы; 2) первым
двум неравенствам системы; 3) всем трем неравенствам
системы.
1)Первое неравенство равносильно совокупности неравенств
(х-2)2+у2≤4, )(х+2)2+у2≤4. Круги с r=2 с центрами (-2;0) и (2;0).
2)Второму неравенству соответствует квадрат с вершинами
(-2;0), (0;2), (2;0), (0;-2).
3)Третье неравенство запишем в виде (х-4)2-у2≥0, или (х+у-
4)(х-у-4) ≥0.
77. §3. Задача 1.Найти все значения а, при которых
существует ровно одна пара действительных
чисел (х;у), удовлетворяющих уравнению
. 2 x + 4 x + 2 y − 8 y + 10 − a = 0
2 2
Решение.
Запишем уравнение в виде
2(х+1)² + 2(у-2)²= a, откуда следует, что исходное
уравнение имеет единственное решение (-1;2)
при a = 0.
78. Подготовка к ЕГЭ
Тематические тесты
• позволяют проверить уровень сформированности
элементарных знаний и умений учащихся по каждой
теме курса
78
