Dokumen tersebut membahas tentang kesalahan dan ketidakpastian dalam pengukuran, termasuk kesalahan sistematis, kesalahan random, perambatan kesalahan, distribusi data hasil pengukuran, model distribusi Poisson dan binomial, serta konsep batas deteksi dan jumlah minimum yang dapat terdeteksi dalam pencacahan radiasi.
2. Kesalahan Pengukuran
• Kesalahan:
• Kesalahan sistematis
• Pengulangan menghasilkan nilai kesalahan yang sama
• Pengukuran voltase dipengaruhi oleh suhu. Kesalahan tidak teramati lagi ketika
pengukuran dengan suhu dijaga konstan.
• Jika diketahui negatif atau positif (dari kalibrasi), dapat dikoreksi
• Kesalahan random
• Kesalahan berubah dalam rentang dan positif/negatif
• Persamaan model
2
e = x − xw
𝑒𝑟𝑒𝑙 =
𝑒
𝑥𝑤
=
𝑥
𝑥𝑤
− 1
x : nilai hasil pengukuran
xw : nilai seharusnya
e : perbedaan, kesalahan (error)
4. Kesalahan Random
• Kesalahan random atau ketidakpastian
• Noise termal dalam pengukuran voltase
• Resistansi elemen kontak pada pengukuran berbasis resistansi
• Medan elektromagnet
• Kesalahan sistematis dan random tidak terpisahkan
• Efek kesalahan random ditampilkan dalam fungsi distribusi nilai
hasil pengukuran.
4
𝐹 𝑥 = 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑋 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 =
𝑑𝐹 𝑥
𝑑𝑥
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
5. Data Random
• Nilai hasil pengukuran berubah tiap percobaan.
• Hasil pengukuran dipengaruhi oleh random (acak). Misalnya dilakukan
pengukuran tinggi badan manusia (x). Semua peserta kuliah diambil
sebagai sampel pengukuran.
5
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xave x
168 170 172 175 176 177 180 182 175 4,8
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xave x
174 174 174 174 176 176 176 176 175 1,07
Kelas A
Kelas B
Karakteristik suatu kelompok
data hasil pengukuran
Rerata empiris (aritmatis)
Sebaran empiris (varian)
ҧ
𝑥 = 1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑠2 = ∆𝑥 2 = 1
𝑛−1
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 2
Semakin kecil varian (sebaran empiris) maka semakin sedikit
nilai pengukuran tersebar di sekitar rerata empiris.
6. Histogram Data Random
• Distribusi nilai pengukuran
• Data dikelompokkan dalam beberapa kelas dengan interval tertentu.
• Jumlah data mr yang termasuk dalam kelas Kr.
• Jumlah total data n.
• Frekuensi relatif (mr/n).
6
Kelas
Kr
Interval Frekuensi
mr
Frekuensi
Relatif
K1 150 x < 165 2 0,02
K2 165 x < 170 18 0,18
K3 170 x < 175 30 0,30
K4 175 x < 180 32 0,32
K5 180 x < 185 16 0,16
K6 185 x < 200 2 0,02
7. Karakterisasi Data
• Kumpulan data
• Frekuensi
7
x1, x2, x3, , xi, , xn
F (x) = ------------------------------
Jumlah kejadian dengan nilai x
Jumlah keseluruhan kejadian
8. Distribusi Gauss (Normal)
• Suatu fungsi distribusi dari variabel acak X
• Nilai f(x) menyatakan probabilitas dari variabel
acak lebih kecil dari x.
• Luasan di bawah kurva
• Probabilitas (1-) berada dalam suatu rentang
• Distribusi Normal
• Banyak hasil pengukuran memiliki distribusi
Normal.
8
f(x) = P(X = x)
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒 Τ
− 𝑥−𝜇 2 2𝜎2
Interval konfidensi
x
− x x
+
Simetris pada
x
+ = + z x
− = − z
= level konfidensi (1−) = probabilitas
Titik maksimum (x=).
Semakin kecil makin terkonsentrasi di sekitar x=.
( : probabilitas di luar rentang / kesalahan)
9. Probabilitas Proses Biner
• Fungsi distribusi dapat diprediksi dari hasil pengukuran yang
berulang (repetisi).
• Proses biner: ada 2 hasil (sukses, gagal).
• Sejumlah inti radioaktif dalam periode waktu t. Proses biner ekivalen
dengan sejumlah inti yang diamati yang meluruh.
• Probabilitas sukses: p = 1 - exp(-t)
9
10. Model Fungsi Distribusi Proses Biner
• The Binomial Distribution.
• This is the most general model and is widely applicable to all constant-p processes. It is,
unfortunately, computationally cumbersome in radioactive decay, where the number of nuclei is
always very large, and is used only rarely in nuclear counting applications.
• The Poisson Distribution.
• This model is a direct mathematical simplification of the binomial distribution under conditions
that the success probability p is small and constant. In practical terms, this condition implies that
we have chosen an observation time that is small compared with the half-life of the source. Then
the number of radioactive nuclei remains essentially constant during the observation, and the
probability of recording a count from a given nucleus in the sample is small.
• The Gaussian or Normal Distribution.
• The third important distribution is the Gaussian, which is a further simplification if the average
number of successes is relatively large (greater than 25 or 30). This condition will apply for any
situation in which we accumulate more than a few counts during the course of the measurement.
This is most often the case so that the Gaussian model is widely applicable to many problems in
counting statistics.
10
11. Distribusi Binomial
• Prediksi probabilitas P (x) suatu pencacahan x untuk jumlah
percobaan n dengan probabilitas sukses p
11
P 𝑥 =
𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝑥 = 1
ҧ
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑝 𝑛
𝑠2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 2
𝑃 𝑥
𝑠2 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝 = ҧ
𝑥 1 − 𝑝
12. Distribusi Poisson
• Probabilitas kecil: jumlah inti besar dan waktu observasi pendek.
12
P 𝑥 =
𝑝𝑛 𝑥𝑒−𝑝𝑛
𝑥!
P 𝑥 =
ҧ
𝑥 𝑥
𝑒− ҧ
𝑥
𝑥!
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝑥 = 1
ҧ
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑝 𝑛
𝑠2 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 2𝑃 𝑥 = 𝑝𝑛 = ҧ
𝑥
Sejumlah 1000 orang dicari yang sedang berulangtahun.
p = 1/365.
13. Pencacahan Radiasi
• Perambatan kesalahan (galat)
• Pencacahan dengan durasi waktu yang sama
• Cacah total : x
• Cacah latar : y
• Hasil pencacahan x = 1120 dan y = 520
• Durasi pencacahan 5 detik
13
u = x − y
𝑠𝑢
2 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
2
𝑠𝑥
2 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
2
𝑠𝑦
2+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
2
𝑠𝑧
2 + ⋯
𝑠𝑥 = 𝑥 = 1120
𝑠𝑦 = 𝑦 = 520
𝑠𝑢 = 𝑠𝑥
2
+ 𝑠𝑦
2
= 𝑥 + 𝑦 = 1640 = 40,4 Cacah neto = 600 40,4
𝑟𝑥 =
1120
5
= 224 𝑟𝑦 =
520
5
= 104
Laju cacah neto = 120 18,1 CPS
u = f(x, y, z, )
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 1
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −1
𝑢 = ത
𝑢 ± 𝑠𝑢
14. Pencacahan Berulang
• Pencacahan dilakukan sebanyak n kali (replikasi)
• Rerata dan varian
• Pencacahan peluruhan radioaktif
• Varian s2 = x untuk x merupakan angka cacah sukses (jumlah kejadian
peluruhan dalam rentang waktu yang terbaca dari detektor)
14
x1, x2, x3, , xi, , xn
ҧ
𝑥 = 1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
Σ
𝑛
= x1+ x2 + x3 + + xi + , + xn
𝑠Σ
2
= 𝑠𝑥1
2 + 𝑠𝑥2
2 + ⋯ + 𝑠𝑥𝑛
2 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = Σ
𝑠 ҧ
𝑥 =
𝑠Σ
𝑛
=
Σ
𝑛
=
𝑛 ҧ
𝑥
𝑛
=
ҧ
𝑥
𝑛
15. Batas Deteksi
• Estimasi ukuran kinerja sistem pencacahan "batas deteksi".
• Probabilitas deteksi sinyal lemah (detection probability, Pv) dan
fluktuasi sistemik (false alarm probability PFA).
15
T : total
B : background
LC : cacah minimum
Lima titik (C, D, E, F dan G) merupakan pilihan
berbeda.
𝑃𝐷 = න
𝐿𝐶
∞
𝑃 𝑁𝑇 𝑑𝑁𝑇
𝑃𝐹𝐴 = න
𝐿𝐶
∞
𝑃 𝑁𝐵 𝑑𝑁𝐵
16. Cacah Minimum Terdeteksi
• Minimum Detectable Amount (MDA)
• Pilihan PD = 0,95 dan PFA = 0,05 (level LC dipilih menyatakan 19 dari 20
kejadian cacah lebih besar dari MDA atau 1 deklarasi salah dari 20
kejadian)
• Tidak ada aktvitas real
• (hanya background)
• MDA (kesalahan 5%)
• Adanya aktivitas nyata
16
𝑁𝑆 = 𝑁𝑇 − 𝑁𝐵
𝑠𝑁𝑆
2
= 𝑠𝑁𝑇
2
+ 𝑠𝑁𝐵
2
𝑁𝑆 = 0 𝑠𝑁𝑇
= 𝑠𝑁𝐵
𝑠𝑁𝑆
2
= 2𝑠𝑁𝐵
2
𝑀𝐷𝐴 = 𝐿𝐶 = 1,64 𝑠𝑁𝑆
= 1,64𝑠𝑁𝐵
2 = 2,33𝑠𝑁𝐵
𝑁𝐷 = 𝐿𝐶 + 1,64 𝑠𝑁𝐷
𝑠𝑁𝐷
2
= 𝑠𝑁𝑇
2
+ 𝑠𝑁𝐵
2
= 𝑁𝑇 + 𝑁𝐵
𝑠𝑁𝐷
2
= 𝑁𝐷 + 2𝑁𝐵
𝑁𝐷 = 1,64 2𝑁𝐵 + 𝑁𝐷 + 2𝑁𝐵 = 4,65 𝑁𝐵 + 2,71 Persamaan Curie
