2. Ο πρωτόγονος άνθρωπος για να μην χάσει την κατσίκα,
που μόλις είχε εξημερώσει ,την έδεσε με ένα σχοινι σε
ένα ξύλινο πάσσαλο.
Όταν γύρισε να την πάρει είδε ότι η κατσίκα τρώγοντας
το χορτάρι είχε φτιάξει ένα σχήμα πάνω στη γη.
Δραστηριότητα 1η
3. ΅
1) Γιατι άραγε η κατσίκα έφτιαξε αυτό το σχήμα και όχι κάποιο άλλο π.χ.τo
τετράπλευρο ABΓΔ
Άρα για να ορίσουμε μαθηματικά την έννοια « ΚΥΚΛΟΣ »
ΟΡΙΣΜΟΣ
Κύκλος είναι τα όλα σημεία του επιπέδου που απέχουν την
ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο.
Το Ο λέγεται κέντρο του κύκλου ,και η σταθερή απόσταση ΟΑ λέγεται
ακτίνα του κύκλου.
Μήπως έγινε αυτό το σχήμα γιατί η κατσίκα έφαγε το χορτάρι μέχρι εκεί που της επέτρεπε το σχοινί;
Δηλαδη μέχρι εκείνα τα σημεία που απέχουν από το καρφί απόσταση όσο το μήκος του
τεντωμένου σχοινιού
4. Εργασία
(στοιχεία του κύκλου ,όργανα κατασκευής)
Συμπλήρωσε τις λέξεις που λείπουν:
Στο διπλανό σχήμα το ΑΒ είναι ..... .....................του κύκλου
και το ΒΓ λέγεται ............................. του κύκλου
Στο παράδειγμα της κατσίκας
το σχοινί δίνει την έννοια τ.... ...................
το καρφί του.......................................
και το φαγωμένο χορτάρι .του.......................................;
Το όργανο μας βοηθά να τον κατασκευάσουμε τον κύκλο είναι
ο ..................................
η διάμετρος
χορδή
ης ακτίνας
κέντρου
Κυκλικού δίσκου
διαβήτης
5. Δραστηριότητα 2η
Οι αρχαίοι έδωσαν το σχήμα του κύκλου σε αντικείμενα της καθημερινής τους ζωής για
διαφορετικούς λόγους κάθε φορά. Π.χ. Τροχό ς –νομίσματα ...
Ποιά ανάγκη πιστεύετε (εκτός της καλαισθησίας ) έκανε τους ανθρώπους ανέκαθεν να κατασκευάζουν
στρογγυλά (κυκλικά ) τα νομίσματα;
6. Ας εξετάσουμε το εμβαδό του του σημερινού κέρματος των 2 €
και το εμβαδόν που θα είχε αν είχαμε επιλέξει να το φτιάξουμε σε σχήμα τετραγώνου
με πλευρά ίση με την διάμετρο του κύκλου
Ας δεκτούμε (για ευκολία στους υπολογισμούς ) ότι η ακτίνα του κέρματος είναι ρ=15 mm οπότε η πλευρά ΑΒ
του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι α=30 mm
Εκύκλου = πρ2
≈. ...........................
=……………………….
Ετεταγώνου = α2
=…………………….
=……………………………
706.5mm2
(30mm)2
900mm2
3.14∙(15 mm)2
7. Συμπέρασμα :
Αν συγκρίνουμε τα δύο εμβαδά βλέπουμε ότι
το Εκύκλου είναι .................... από το Ετετραγώνου
Επομένως τρεις από τους λόγους που επιλέγουμε τα κυκλικά κέρματα είναι :
α. ...........................................................................................................
β. ............................................................................................................
γ. ............................................................................................................
μικρότερο
Κάνουμε οικονομία στο υλικό
Κουβαλάμε λιγότερο βάρος
Δεν έχουν γωνίες ώστε να σκίζουν τις τσέπες μας
9. Δραστηριότητα 3η Τετραγωνισμός του κύκλου
Για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός σχήματος το συγκρίνουμε με την μονάδα
μέτρησης.
Από τη στιγμή που διαλέξανε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το
τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα τέθηκε και το πρόβλημα
του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων. Δηλαδή να κατασκευάσουν, με
κανόνα και διαβήτη , ένα τετράγωνο που να έχει ίσο εμβαδό με το
συγκεκριμένο σχήμα ώστε να το συγκρίνουν εύκολα με τη μονάδα μέτρησης.
Διατύπωση
Θέλουμε να κατασκευάσουμε , με κανόνα και διαβήτη, ένα
τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός
δοθέντος κύκλου.
Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα.
10. Σε άλλα σχήματα πχ. τρίγωνα , πολύγωνα η κατασκευή ήταν εύκολη.
Ο τετραγωνισμός του κύκλου, όμως απασχόλησε πολλούς ερευνητές
για πολλούς αιώνες και υπήρξε το μεγάλο εμπόδιο πάνω στο οποίο
σκόνταψαν μεγάλα ονόματα.
Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι
ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή.
Στη συνέχεια ασχολήθηκαν πολλοί όπως οι:
Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ),
ο Αρχιμήδης (267-212 π.χ),
ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) ,
ο Πάππος (3ος αι. μ.χ)
Αλλά και κατά την διάρκεια των επόμενων αιώνων πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί
ασχολήθηκαν με το πρόβλημα χωρίς να δίνουν αποδεκτή λύση
Αυτό είχε ως αποτέλεσμα η φράση «τετραγωνίζω τον κύκλο» να υιοθετηθεί ως συνώνυμη του
««επιδιώκω το ακατόρθωτο / το καταδικασμένο σε αποτυχία».επιδιώκω το ακατόρθωτο / το καταδικασμένο σε αποτυχία».
Μόλις , το 19ο μ.χ αιώνα ( 1882 ) ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν
απέδειξε ότι το πρόβλημα είναι ΑΔΥΝΑΤΟ να λυθεί αφού απέδειξε ότι
11. Ένας τρόπος ,με τον οποίο, μπορεί κανείς να θυμάται τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π είναι η
φράση:
Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και
3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3
ον, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.
2 3 8 4 6 2 6
Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του
αριθμού π
(Χατζηδάκης (1872-1942), καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών ).
.
π=3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
( ένας άρρητος υπερβατικός αριθμός)
ο αριθμός π που υπάρχει στον τύπο του εμβαδού του κύκλου έχει
άπειρα δεκαδικά ψηφεία
