10_συνδυαστικά_θέματα

1. Συνδυαστικά Θέματα
2016-2017
Μαθηματικά Προσανατολισμού

2. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου Συνδυαστικά Θέματα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 1 -
Θέμα 1
Δίνεται η συνάρτηση Rx,
1e
e
)x(f x
x



α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία
καμπής.
δ. Να αποδείξετε ότι: )6(f)9(f)9(f)6(f xxxx
 για κάθε x>0
ε. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη
διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων ακριβώς
σε ένα σημείο με τετμημένη )1,0(x0

στ. Να αποδείξετε ότι:  
0
x
0
00
x2lnxdx)x(f
Θέμα 2
Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση R),0(:g 
με g(1)=-1 και 2)1(g  για την οποία ισχύει:
2
x
1
xln)x(g)x(g  για κάθε x>0
α. Να αποδείξετε ότι x1
exln)x(g 

β. Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα xx και τις
ευθείες x=1 και x=λ με 0<λ<1
δ. Να υπολογίσετε το )λ(Elim
0x 

Συνδυαστικά Θέματα

3. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου Συνδυαστικά Θέματα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 2 -
Θέμα 3
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση R)e,0(:f  με f(1)=0,
για την οποία ισχύει: xln))x(fln()x(f  για κάθε )e,0(x 
και η συνάρτηση Rx,e)x(g x1
 
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
β. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι )xln1ln()x(f 
γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
δ. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο
οποίο ο ρυθμός μεταβολής ελαχιστοποιείται.
ε. Να ορίσετε τη συνάρτηση gf 
στ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό )π,1(x0
 τέτοιο ώστε
  0
x
3
)x(gf
0
0

ζ. Να αποδείξετε ότι
0
0
2x
1
2
x
xln2
dx
x
xln20

Θέμα 4
Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα
),1[  για την οποία ισχύουν:
● 0)x(f  για κάθε ),1[x 
● 0)1(f)1(f 
α. Να αποδείξετε ότι f(x)>0 για κάθε ),1(x 
β. Να αποδείξετε ότι
2
1x
xlnx
2

 για κάθε ),1(x 
γ. Να αποδείξετε ότι
x
)x(f
)x(f  για κάθε ),1(x 
δ. Έστω δύο συναρτήσεις g, h συνεχείς στο [α, β]
i. Αν ισχύει g(x)>h(x) για κάθε ]β,α[x  να αποδείξετε ότι:

4. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου Συνδυαστικά Θέματα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 3 -
 
β
α
β
α
dx)x(hdx)x(g
ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό )2,1(x0
 τέτοιο ώστε:

2
10
0
dx)x(f
x
2
)x(f
Θέμα 5
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις RR:g,f  με f(0)=2
για τις οποίες ισχύει: x2
e)x(g)x(f)x(g)x(f  για κάθε Rx 
α. Να δείξετε ότι x
e2)x(f  και x
e
2
1
)x(g 
β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο Μ(α,f(α)),α>0
γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται
από τη Cf την ευθεία α
e2y  και τον άξονα yy
δ. Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα xx με
ταχύτητα υ=2 μονάδες μήκους/s, να βρείτε τον ρυθμό
μεταβολής του Ε(α) τη χρονική στιγμή κατά την οποία η
εφαπτομένη (ε) τέμνει τον xx στο σημείο Κ(1,0)
ε. Θεωρούμε τη συνάρτηση Rx),x(gx2)x(h 2
 .Να αποδείξετε
ότι υπάρχει μοναδικό )1,0(x0
 τέτοιο ώστε 
1
0
0
dx)x(h)x(h
Θέμα 6
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση R),0[:f  με f(0)=0 για
την οποία ισχύουν:
● 0)x(f  για κάθε x>0
●
2
x))x(f(f  για κάθε x>0

5. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου Συνδυαστικά Θέματα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 4 -
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει )x(f)x(f 22

γ. Να λύσετε την εξίσωση
  11)1|x|2x(f)1|x(|ff 221

δ. Αν η συνάρτηση f είναι επιπλέον γνησίως μονότονη ,τότε:
i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ),0[ 
ii. Να αποδείξετε ότι x)x(f  για κάθε ]1,0[x 
iii. Να αποδείξετε ότι  
1
0 2
1
dx)x(f
Θέμα 7
Δίνεται η συνάρτηση R),0(:f  για την οποία ισχύει:
)1x4(ex)x(f x
1
2
 για κάθε ),0(x 
α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
β. Αν η f παρουσιάζει ελάχιστο το
4
4
e





 να δείξετε ότι ο τύπος
της είναι 0x,ex)x(f x
1
4

γ. Να αποδείξετε ότι:
i. Η f είναι κυρτή για κάθε ),0(x 
ii. 4
x
x1
x
2x3
e



για κάθε ),0(x 
iii.  
2
1
e5dx)x(f2
δ. Να υπολογίσετε το όριο:
xln
)x(fln
lim
x 

6. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου Συνδυαστικά Θέματα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 5 -
Θέμα 8
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις R),0(:g,f  για
τις οποίες ισχύουν:
● 9)x(f)x(g  για κάθε ),0(x 
● 1)x(f)x(g  για κάθε ),0(x 
● Η f είναι γνησίως αύξουσα.
α. Να αποδείξετε ότι
)2(f
2
dx
)x(f
14
2

β. Να αποδείξετε ότι η g είναι κοίλη
γ. Αν η g τέμνει τον xx σε σημείο με τετμημένη 0x0
 και η
εφαπτομένη της στο σημείο αυτό διέρχεται από το σημείο
Α(0,-1) τότε να αποδείξετε ότι:
i. H g είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το πρόσημό της
ii.
9
1
x0

δ. Αν επιπλέον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g
και 1)x(f)x(h  έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο





 0,
9
1
B και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της g , τον άξονα xx και την
ευθεία
9
7
x  τότε να αποδείξετε ότι 2E 
Θέμα 9
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση RR:f  για την οποία
ισχύει: x1)x(f)x(f3
 , για κάθε Rx  .
α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R
και στη συνέχεια να βρείτε το πρόσημό της.
β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία
καμπής.

7. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου Συνδυαστικά Θέματα
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 6 -
γ. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την
αντίστροφή της.
δ. Να αποδείξετε ότι   )1(fx)0(f)x(f4 11 
 για κάθε 1x 
ε. Να αποδείξετε ότι
x31
)x(f3
11x
2)x(f





για κάθε )31,11(x 
στ. Να αποδείξετε ότι 5dx)x(f
22
20

Θέμα 10
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση R]2,1[:f  με συνεχή
πρώτη παράγωγο , f(1)=2 και 0)x(f  για κάθε ]2,1[x 
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και στη συνέχεια
να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1
f 
β. Αν η 1
f 
είναι συνεχής και ισχύει 0dt)t(fdt)t(f
2
1
)2(f
)1(f
1
 

τότε:
i. Να βρείτε το f(2)
ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα )2,1(x0

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο  )x(f,xA 00
να είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): x+y=0
γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη
διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων σε
ακριβώς ένα σημείο με τετμημένη )2,1(x0

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν )2,1(x,x 21
 τέτοια ώστε:
)x(f
1
)x(f
2
1

