Ένα επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι και την εξίσωση της εφαπτομένης μίας συνάρτησης. Τα θέματα είναι διαβαθμιζόμενης δυσκολίας και καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης μέχρι και το εν λόγω κεφάλαιο

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα μέχρι και εξίσωση
εφαπτομένης
10 Δεκεμβρίου 2016
Θέμα 1
1. Πότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις f : A −→ R και g : B −→ R είναι ίσες;
2. Να αποδείξετε ότι:
√
x =
1
2
√
x
, για κάθε x > 0
και ότι η
√
x δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0.
3. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής (Θ.Ε.Τ.).
Να σχεδιάσετε και το σχετικό σχήμα.
4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμέ-
νες:
(αʹ) Κάθε συνάρτηση έχει εφαπτομένη σε κάθε σημείο της.
(βʹ) Για μία συνεχή συνάρτηση f : [α, β] −→ R με f(α) > 0 και f(β) >
0 ισχύει ότι f(x) > 0, για κάθε x ∈ [α, β].
(γʹ) Η συνάρτηση f(x) = |x2| δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0 ενώ
είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x = 0.
(δʹ) Η συνάρτηση f(x) =
1
x
, x = 0 είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το
πεδίο ορισμού της.
(εʹ) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και παραγωγί-
σιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
Θέμα 2
Δίνεται μία συνάρτηση f : (0, +∞) −→ R για την οποία ισχύει η σχέση:
f2
(x) + x2
+ 2x ln x + ln2
x ≤ 2xf(x) + 2f(x) ln x, για κάθε x > 0
1. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) = x + ln x.
1

2. 2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο A(1, f(1)).
4. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = (f ◦ f)(x) έχει τουλάχιστον μία λύση.
5. Να λύσετε την ανισότητα:
f x2 + 1 > f(x)
Θέμα 3
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 −
3
√
x2.
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
2. Να μελετήσετε την f ως προς την παραγωγισιμότητα σε όλο το πεδίο
ορισμού της.
3. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα σε όλο το
πεδίο ορισμού της.
4. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και στη συνέχεια ότι η εξίσωση f(x) = x2
έχει ακριβώς δύο ρίζες, αντίθετες.
5. Να δείξετε ότι για την παράγωγο f της f ισχύει ότι f (−x) = −f (x)
για κάθε x στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.
6. Να βρείτε δύο σημεία της γραφικής παράστασης της f με αντίθετες τε-
τμημένες, στα οποία οι εφαπτόμενες της f να τέμνονται κάθετα.
Θέμα 4
Δίνεται μία συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση f : R −→ R η οποία είναι
παραγωγίσιμη στο 0 και στο 1 και για την οποία ισχύει η σχέση:
f(xy) = f(x)f(y), για κάθε x, y ∈ R
1. Να δείξετε ότι f(0) = 0 και f(1) = 1.
2. Να δείξετε ότι f
1
x
=
1
f(x)
για κάθε x = 0.
3. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R Υπόδειξη: Δείξτε
με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής ότι f (x0) = lim
h→1
f(hx0) − f(x0)
h − 1
για
κάθε x0 = 0.
4. Να δείξετε ότι f (x) = f (1)f(x) για κάθε x = 0.
5. Να υπολογίσετε το f (0) και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης
της f στο x0 = 0.
6. Να δείξετε ότι
f (xy)
f (1)
= f (x)f (y) για κάθε x, y ∈ R.
2