Переменный синусоидальный ток. Расчеты в MathCAD

1. ORIGIN 1:=
Варіант
62(Рис 1-20)
Ls1 21.2:= L1 Ls1 10
3-
:= L1 0.0212= R3 25:= f 60:= j j:=
L2 0:=
Cs2 132.5:= C2 Cs2 10
6-
:= C2 0.0001325= 2  f:= 376.99112=
1. Складемо в загальному вигляді системі рівнянь за законом Кірхгофа
Напрямки обходів контурів вибираємо довільно (припустимо за годинниковою стрілкою). Оскільки
кількість вузлів схеми дорівнює 2 (вуз=2), то кількість рівнянь за І законом Кірхгофа вуз-1=2-1=1, а
рівнянь за ІІ законом - кількість віток схеми (в=3) мінус кількість рівнянь за І законом, відповідно
в-(вуз-1)=3-1=2.
Диференційна форма Символічна форма
i1- i2+ i3+ =
0
I1- I2+ I3+ = 0
L1
di1
dt

1
C2
ti2



d+ L2
di2
dt
+ = es1 ess1- I1 j  L1 I2
1
j  C2
j  L2+





+ = Es1 Ess1-
i3 R3 L2
di2
dt
-
1
C2
ti2



d- = ess3- es3- I3 R3 I2 j  L2
1
j  C2
-





- = Ess3- Es3-
2. Визначемо комплекси діючих значень струмів у всіх вітках
es3 84.6 cos t 120-( ):= t  ess3 84.6 sin t 30-( ):= t
Es1
56
2
exp j- 60 deg( ):= Es1 19.79899 34.29286j-=
Ess1
64.5
2
exp j- 131 deg( ):= Ess1 29.92179- 34.42109j-=
Es3
84.6
2
exp j- 30 deg( ):= Es3 51.80671 29.91062j-=
Визначимо реактивні опори елементів:
XL1 2  f L1:= XL1 7.99221= XL2 2  f L2:= XL2 0=
XC2
1
2  f C2
:= XC2 20.01949=

2. Z1 j  L1:= Z1 7.99221j=
- комлексні опори елементів
Z2 j
1-
C2






:= Z2 20.01949j-=
Z3 R3:= Z3 25=
У подальших розрахунках індуктивність L2 не враховуємо.
2.2 Визначимо струми у вітках схеми методом контурних струмів (рис 1.3):
Довільно вибираємо позитивні напрямки контурних струмі k11, k22
k11 * Zk12+ k22 * (-Zk12) = Ek11
k11 * (-Zk21)+ k22 * Zk22 = Ek22
Zk11 Z1 Z2+:= Zk11 12.02728j-= - власний опір першого контура;
Zk22 Z2 Z3+:= Zk22 25 20.01949j-= - власний опір другого контура;
Zk12 Z2-:= Zk21 Zk12:= Zk21 20.01949j= - опір суміжної вітки між 1 та 2 конутрами;
Ek11 Es1 Ess1-:= Ek11 49.72078 0.12823j+= - комплексна ЕРС першого контура;
Ek22 Es3-:= Ek22 51.80671- 29.91062j+= - комплексна ЕРС другого контура.
Отримали рівняння. Із них розв'язуємо систему методом Крамера:
vg
Zk11
Zk21
Zk12
Zk22






:= vg 160 300.68195j-= - головний визначник;
vg1
Ek11
Ek22
Zk12
Zk22






:= vg1 1844.382 44.96489j+= - допоміжний визначник;
vg2
Zk11
Zk21
Ek11
Ek22






:= vg2 362.31041 372.29105j-= - допоміжний визначник.
Тоді контурні струми:
Ik11
vg1
vg
:= Ik11 2.42722 4.84241j+= Ik22
vg2
vg
:= Ik22 1.46463 0.4256j+=
Струми у вітках:
I1 Ik11:= I1 2.42722 4.84241j+=
I2 Ik11 Ik22-:= I2 0.96259 4.41682j+=
I3 Ik22:= I3 1.46463 0.4256j+=

3. 2.3 Визначимо струми методом двох узлів:
вузлова напруга Uab визначається за формулою Uab
EY( )
Y
:=
EY
Y
1
Z1
1
Z2
+
1
Z3
+:= Y 0.04 0.07517j-= -сума провідностей віток схеми;
EY
Es1- Ess1+( )
Z1
Es3-
R3
+:= - алгебраїчна сума добутків ЕРС та провідностей усіх віток).
EY 2.08831- 7.41758j+=
За формулою отримую таку напругу:
Uab
EY( )
Y
:= Uab 88.42239- 19.27063j+=
Обчисливши вузлову напругу, за другим законом Кірхгофа знайдемо струми I1, I2 та I3.
Ivp1
Es1 Ess1- Uab+
Z1
:= Ivp1 2.42722 4.84241j+=
Ivp2
Uab
Z2-
:= Ivp2 0.96259 4.41682j+=
Ivp3
Es3- Uab-
Z3
:= Ivp3 1.46463 0.4256j+=
Струми, отримані за двома методами розрахунку однакові.
3. Визначемо показання ватметра
3.1 Повна комплексна потужність знаходиться за формулою Sw Iw Uw:= Iw , де
Uw Ivp2 Z2:= Uw 88.42239 19.27063j-= - напруга на ватметрі;
Iw Ivp1-:= Iw 2.42722- 4.84241j-= - спряжений струм, що протікає через ватметр.
У моєму випадку Uw = Uab
Струм, І1 вбігає в клему струму ватметра, тому Iww 2.42722- 4.84241j+:=
Sw Iww Uw:= Sw 121.30429- 474.95152j+= - повна потужність
Re Sw( ) 121.30429-= - активна потужність
3.2 Визначемо активну потужність за формулою Pw Uw Iw cos( ):= , де
Uw і Iw - діючі значення напруги та струму;
- кут між комплексами напруги та струму.
u i-:= u

4. Перетворимо напругу і струм з алегбраїчної форми запису в показникову:
Uw 88.42239 19.27063j-= Iw 2.42722- 4.84241j-=
Uw 90.49793=
- модуль комплексного значення струму і напруги
Iw 5.41668=
arg Uw( )
deg
12.2947-=
- аргументи комплексного значення струму і напруги.
arg Iw( )
deg
116.62194-=
Підставивши всі значення в формулу отримаємо:
P Uw Iw cos
arg Uw( )
deg
arg Iw( )
deg
-






deg






:= P 121.30426-=
Потужності, отримані за двома методиками розрахунку, однакові.
4. Для побудови топографічної діаграми обчислюємо потенціали усіх точок схеми,
прийнявши потенціал точки "а" рівним нулю.
Для зовнішнього контура afbdea:
a 0:=
f a Es3-:= f 51.80671- 29.91062j+=
b f I3 R3-:= b 88.42239- 19.27063j+=
d b Es1+:= d 68.6234- 15.02223j-=
e d I1 Z1-:= e 29.92179- 34.42109j-=
as e Ess1-:= as 1.06581- 10
14-
= - це приблизно нуль
X1
0
Re I1( )






:= X2
0
Re I2( )






:= X3
0
Re I3( )






:=
Y1
0
Im I1( )






:= Y2
0
Im I2( )






:= Y3
0
Im I3( )






:=
Координати векторів для струмів Re
a
Re
f
20






Re
b
20






Re
d
20






Re
e
20






Re
as
20






































:= Im
a
Im
f
20






Im
b
20






Im
d
20






Im
e
20






Im
as
20






































:=
Re2
a
Re
b
20














:= Im2
a
Im
b
20














:=
Координати середньої вітки
Координати значень потенціалів

5. Побудуємо топогорафічну діаграму напруг, сумещену з векторною діаграмою струмів
(рис.2.4) в масштабах mu=40 В/см; mi=0,7 А/см.
1.72105- 0.08019- 1.56068 3.20155 4.84241
4.421-
2.709-
0.997-
0.715
2.427
кривая 1
кривая 2
кривая 3
кривая 4
кривая 5
Re
X1
X2
X3
Re2
Im Y1, Y2, Y3, Im2,

6. 5. Для запису миттєвого значення, наприклад, для студента Петренко І.Е., керуючись
вказівкою, попередньо виражаючи комплекс струму у показниковій формі:
I1 2.42722 4.84241j+= I1 5.41668= i arg I1( ):= i 1.10616=
I1p 5.42 e
j 63.38 deg
:= - значення струму першої вітки у показниковій формі.
I1m I1 2:= I1m 7.66034= - амлітудне значення струму першої вітки.
i t( ) I1m sin t deg 63.38 deg+( ):= - миттєве значення струму
i0 I1m sin 0 deg i+( ):=
i30 I1m sin 30 deg i+( ):=
i60 I1m sin 60 deg i+( ):=
i90 I1m sin 90 deg i+( ):=
i120 I1m sin 120 deg i+( ):=
i150 I1m sin 150 deg i+( ):=
i180 I1m sin 180 deg i+( ):= - значення миттєвого струму для побудови синусоїди.
i210 I1m sin 210 deg i+( ):=
i240 I1m sin 240 deg i+( ):=
i270 I1m sin 270 deg i+( ):=
i300 I1m sin 300 deg i+( ):=
i330 I1m sin 330 deg i+( ):=
i360 I1m sin 360 deg i+( ):=
i t( )
i0
i30
i60
i90
i120
i150
i180
i210
i240
i270
i300
i330
i360








































:= t
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360




































:=

7. 0 100 200 300 400
10-
5-
5
10
i t( )
t
6. Для виконання цього пункту введемо додаткову індуктивність у вітку.
Система рівнянь за законами Кірхгофа для розрахунків струмів має вигляд: