Вирівнювання мережі трилатерації параметричним методом

1. Лекція № 4
Вирівнювання мережі трилатерації параметричним
методом
МЕТОДИ ВИРІВНЮВАННЯ БАГАТЬОХ ВИМІРЯНИХ
ВЕЛИЧИН
ЗМ1 ПАРАМЕТРИЧНИЙ МЕТОД ВИРІВНЮВАННЯ

2. Рисунок 1 – Схема мережі трилатерації
Таблиця 1 – Виміряні значення довжин
сторін
№ сторін
мережі
Кінцеві
пункти сторін
Виміряні
сторони Si,м
1 1-2 7637,62
2 2-4 5615,18
3 1-4 4152,4
4 1-5 4046,4
5 4-5 2020,91
6 5-6 5714,11
7 4-6 4742,55
8 3-6 4273,22
9 3-4 8698,76
10 2-3 7869,8
11 2-6 6473,66
Вибір варіанту: Si +n, де n – номер по
списку в сантиметрах.
Як додаткові умови приймемо, що координати пункту 2, які не підлягають вирівнюванню,
рівні: X2 = 6 481139,55 м; Y2 = 7 499241,33 м.
Дирекційний кут лінії 2 – 1, який орієнтує вирівняну мережу в площині Гауса, також не
підлягає зміні, будемо вважати рівним α21 = 70° 30 ́ 31 ́ ́.
Ходову лінію для обчислення наближених дирекційних кутів проведемо через пункти 2 –
1 – 5 – 4 – 6 – 3 – 2 .

3. У загальному, процес вирівнювання мережі трилатерації
параметричним методом складається з таких етапів:
1) обчислення попередніх координат визначуваних пунктів;
2) розв’язок обернених геодезичних задач, обчислення
коефіцієнтів і вільних членів рівнянь поправок;
3) складання та розв’язання нормальних рівнянь;
4) обчислення координат пунктів, які визначають і поправок
у виміряні сторони;
5) оцінка точності виконаних вимірів.

4. Рівняння поправок для виміряної сторони виглядає так:
Vki = - aki ζk – bki ηk + aki ζi + bki ηi + lki , (1)
де ζ і η поправки в наближені координати пунктів, які визначають
(параметри)
aki = cos αki bki = sin αki lki = S°ki – S ́ki,
де S°ki – сторона обчислена за наближеними координатами пунктів, які
визначають; S ́ki – виміряна сторона.
Отже, для побудови рівнянь поправок (1) потрібно знайти наближені
(попередні) координати пунктів, які невідомі.

5. Обчислення наближених координат пунктів
1) значення координат «твердого» пункту, які не підлягають вирівнюванню (X2;Y2).
2) ±θ=∑L, (якщо внутрішній кут мережі є правим (-), а якщо лівим (+))
3) α0=αі±180° (αі>180° – “–180°“, αі<180° – “+180°“) , де αі-1 – дирекційний кут
попередньої лінії.
4) α=α0±θ
5) S ́ki2 = Δx2+ Δy2

6. cos αi = (- a² + b2 + c²) / 2bc
cos βi = (a² - b² + c²) / 2ac
cos γi = (a² + b² - c²) / 2ab
(2)
Значення кутів αi, βi, γi, зазначених у таблиці можуть бути отримані
за формулами :
Так, як за умовою азимут ліній 2- 1 та координати пункту 2 не підлягають зміні,
то очевидно, що поправки ζ і η, які можуть бути отримані в результаті
вирівнювальних обчислень не повинні викликати зміни напрямку лінії 2 – 1. Це
буде лише тоді , коли ζ1/η1 = tg α12, тобто η1 = ζ1 tg α12. Тому при складанні
рівнянь поправок, пов’язаних з пунктом 1, поправка η1 повинна бути змінена
добутком у вигляді ζ1 tg α12.
Розрахунок дирекційного кута за попереднім кутом
і 1 пр
і 1 л
180
180


  
  
  
o
o
, де αі-1 – дирекційний кут попередньої лінії, βпр (βл) – кут правий (лівий).

7. Наведемо з врахуванням вищесказаного виведення рівнянь поправок для всіх
одинадцяти виміряних ліній вирівнюваної мережі :
Лінія 2-1
cos α2.1 ζ1+ sin α2.1 η1 + l2.1 = v2.1 ;
v2.1 = sec α2.1 ζ1 + l2.1.
Лінія 2-4
v2.4 = cos α2.4 ζ4+ sin α2.4 η4 + l2.4.
Лінія 1-4
v1.4 = - cos α1.4 ζ1 - sin α1.4 tg α2.1 ζ1 + cos α1.4 ζ4 + sin α1.4 η4 + l1.4
Лінія 1-5
v1.5 = - cos α1.5 ζ1 - sin α1.5 tg α2.1 ζ1 + cos α1.5 ζ5 + sin α1.5 η5 + l1.5
Лінія 5-4
v5.4 = - cos α5.4 ζ5 - sin α5.4 η5 + cos α5.4 ζ4 + sin α5.4 η4 + l5.4.
Лінія 5-6
v5.6 = - cos α5.6 ζ5 - sin α5.6 η5 + cos α5.6 ζ6 + sin α5.6 η6 + l5.6.
Лінія 4-6
v4.6 = - cos α4.6 ζ4 - sin α4.6 η4 + cos α4.6 ζ6 + sin α4.6 η6 + l4.6.
Лінія 6-3
v6.3 = - cos α6.3 ζ6 - sin α6.3 η6 + cos α6.3 ζ3 + sin α6.3 η3 + l6.3.
Лінія 3- 4
v3.4 = - cos α3.4 ζ3 - sin α3.4 ζ4 + cos α3.4 η3 + sin α3.4 η4 + l3.4.
Лінія 3-2
v3.2 = - cos α3.2 ζ3 - sin α3.2 η3 + l3.2.
Лінія 2-6
v2.6 = cos α2.6 ζ6 - sin α2.6 η6 + l2.6.

8. vki ζ1 ζ3 η3 ζ4 η4 ζ5 η5 ζ6 η6 lki
V2.1 sec α 2.1 l2.1
V2.4 cos α 2.4 sin α 2.4 l2.4
V1.4
- cos α
1.4 - sin α
1.4 tg
α2.1
cos α 1.4 sin α 1.4 l1.4
V1.5
- cos α
1.5 - sin α
1.5 tg
α2.1
cos α 1.5 sin α 1.5 l1.5
V5.4 cos α 5.4 sin α 5.4
- cos α
5.4
- sin α 5.4 l5.4
V5.6
- cos α
5.6
- sin α 5.6 cos α 5.6 sin α 5.6 l5.6
V4.6
- cos α
4.6
- sin α 4.6 cos α 4.6 sin α 4.6 l4.6
V6.3 cos α 6.3 sin α 6.3
- cos α
6.3
- sin α 6.3 l6.3
V3.4
- cos α
3.4
- sin α 3.4 cos α 3.4 sin α 3.4 l3.4
V3.2
- cos α
3.2
- sin α 3.2 l3.2
V2.6 cos α 2.6 sin α 2.6 l2.6
Коефіцієнти рівнянь поправок в загальному вигляді

9. Коефіцієнти і вільні члени рівнянь поправок
№ Лінії ζ1 / a ζ3 / b η3 / c ζ4 / d η4 /e ζ5 / f η5 / g ζ6 / h η6 / i lki S v
1 2 - 1 2,997 0 2,997 0,028
2 2 – 4 -0,219 0,967 0 0,757 -0,001
3 1 - 4 2,091 -0,910 -0,415 0 0,756 -0,057
4 1 - 5 0,800 -0,998 0,070 0 -0,128 0,014
5 5 - 4 -0,127 -0,992 -0,127 0,992 0 0 -0,042
6 5 - 6 0,702 0,712 -0,702 -0,712 0 0 0,054
7 4 - 6 -0,900 -0,435 0 0 0,071
8 6 - 3 -0,555 -0,832 0,550 0,832 0 0 0,113
9 3 - 4 -0,763 -0,646 0,763 0,646 0 0 -0,146
10 3 - 2 -1,000 -0,018 1,340 0,822 0,048
11 2 - 6 -0,850 0,527 0,250 -0,073 -0,046
∑ 5,878 -2,318 -1,496 0,661 0,650 -0,423 1,774 -1,897 0,212 1,590 4,631
∑v²=0,054
2
Знач.
невідо
мих
0,0095 1,3135
-
1,2176
0,0773 0,0160
-
0,0390
-
0,0412
0,1558
-
0,3096
- - -

10. На наступному етапі здійснюємо перехід від 11 рівнянь згідно алгоритму способу
найменших квадратів. З рішення нормальних рівнянь знаходимо 9 невідомих (поправок
в наближені значення координат пунктів, які визначаються)
Таблиця коефіцієнтів і вільних членів нормальних рівнянь
a] b] c] d] e] f] g] h] i] l] S]
[a 13,9529 0 0 -1,8939 -0,8627 -0,7978 0,056 0 0 0 10,4545
[b 1,8897 0,9725 -0,5826 -0,4931 0 0 -0,3075 -0,461 -1,369 -0,352
[c 1,1103 -0,4931 -0,4174 0 0 -0,4615 -0,692 -0,024 -0,0063
[d 2,2856 0,922 -0,0162 0,1264 -0,8106 -0,391 0 -0,8543
[e 2,7144 0,1264 -0,983 -0,3919 -0,189 0 0,4246
[f 1,5044 0,3037 -0,4930 -0,500 0 0,1274
[g 1,4956 -0,5000 -0,507 0 -0,0089
[h 2,3329 0,9062 0,2639 0,0098
[i 1,6671 0,1638 -0,0061
[pl 1,973 0,4787
[ps 10,2673

11. Найімовірніші поправки V довжини сторін знаходять
підстановкою знайдених поправок ζ і η в рівняння поправок (1).
Вирівняні (кінцеві) значення сторін знаходять шляхом додавання
поправок V до виміряних сторін.
Для оцінювання точності перш за все знаходять середню
квадратичну похибку виміру сторони за формулою:
     m vv / n k 0,0542 / 11 9 0,17 м    
де n – кількість вимірів; k – кількість параметрів.

12. Виміряні і вирівняні значення сторін мережі
№
сторони мережі
Кін
цеві пункти
сторін
Виміря
ні сторони Si, м
Найімовірніші
поправки
Vi, м
Значення
вирівняних сторін Si, м
№
пункту мережі
Значення вирівняних параметрів
(координат) (Хі;Yі), м
1
2 -
1
7637,6
2 0,03 7637,65
1 6484042,03 75074441,59
2
2 –
4
5615,1
8 0 5615,18
3
1 -
4
4152,4
0 0,06 4152,34
2 6481139,55 7499241,33
4
1 -
5
4046,4
0 0,04 4046,44
5
5 -
4
2020,9
1 0,04 2020,87
3 6481651,47 7500528,35
6
5 -
6
5714,1
1 0,05 5714,16
7
4 -
6
4742,5
5 0,07 4742,62
4 6479278,27 7503998,74
8
6 -
3
4273,2
2 0,11 4273,33
9
3 -
4
8698,7
6 0,15 8698,61
5 6480398,83 7505680,32
10
3 -
2
7869,8
0 0,05 7869,85
11
2 -
6
6473,6
6 0,05 6473,61
6 6484020,74 7504083,83

13. При вирівнюванні мережі трилатерації параметричним методом, одержані
поправки додаються до довжин сторін мережі
Дирекційний кут наступної сторони рівний дирекційному куту попередньої
сторони плюс 180° та мінус кут, що лежить справа по ходу
Якщо задано початкові та кінцеві координати пунктів сторони Kі, то довжину даної
сторони можна визначити за теоремою Піфагора
Вхідними даними до вирішення прямої геодезичної задачі є координати одного з пунктів
сторони, її довжина та дирекційний кут
У результаті розв'язку прямої геодезичної задачі одержують координати другого
(невідомого) пункту сторони
Вхідними даними до вирішення оберненої геодезичної задачі є: координати кінцевих
пунктів сторони
У результаті розв'язку оберненої геодезичної задачі одержують довжину сторони та її
дирекційний кут
При вирівнювання мережі трилатерації, внутрішні кути трикутників визначають за
теоремою косинусів
Якщо через kx , ky та ix , iy позначити найімовірніші координати двох будь-яких сусідніх пунктів, що входять в
мережу трилатерації, то рівняння поправок, що відповідає даний стороні можна записати у вигляді
'2)(2)( kiSkyiykxixkiv  , де 2)(2)( kyiykxixkiS  – це довжина сторони KI визначена за
вирівняними значеннями координат kx , ky та ix , iy ;