Documentul discută despre compunerea oscilațiilor perpendiculare cu aceeași frecvență, prezentând ecuațiile mișcărilor oscilatorii și traiectoriile rezultate, care pot fi elipse sau drepte, în funcție de diferența de fază. De asemenea, se abordează efectul frecvențelor diferite asupra traiectoriilor și se introduce metoda figurilor Lissajous pentru măsurarea frecvențelor prin compararea a două oscilații sinusoidale. Această metodă evidențiază relația dintre forma figurilor obținute și raportul frecvențelor oscilațiilor și defazajul acestora.

1. Compunerea oscilatiilor
perpendiculare
ELEVI:
BREBAN ALEXANDRU
CRACIUNESCU DRAGOŞ
CLASA 11 B
PROF. STANESCU RAMONA

2. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare cu
aceeasi frecvenţă
• În această lucrare se utilizează
metoda compunerii a două mişcări
oscilatorii armonice de aceeaşi
pulsaţie, dar care se efectuează pe
două direcţii perpendiculare, Δ1,
Δ2. Elongaţia mişcării oscilatorii a
unui punct material M care se
deplasează după direcţia Δ1, în
jurul punctului fix O, este dată de
ecuaţia(1):

3. • Dacă facem ca simultan
dreapta Δ1 să execute ea însăşi
o mişcare oscilatorie armonică,
de aceeaşi pulsaţie ω, dar după
direcţia Δ2, perpendiculară pe
Δ1 şi tot în jurul punctului O,
atunci la acelaşi moment t,
elongaţia acestei mişcări va
fi(2):
• În relaţiile (1)si (2) mărimile (x,
y), (A, B), (ω, φ1, φ 2)
reprezintă respectiv elongaţiile,
amplitudinile, pulsaţia şi fazele
iniţiale, iar între cele două
mişcări există în general o
diferenţă de fază:

4.  Compunerea celor două oscilaţii va da o
mişcare rezultantă a punctului material;
forma traiectoriei se află prin eliminarea
timpului din relaţiile (1) şi (2)
 Și se obţine ecuaţia(5):
 În mod similar, înmulţim ecuaţiile sistemului
(4) respectiv prin sinφ2, sinφ1 şi facem
diferenţa. Se găseşte(6):
 Prin ridicarea la pătrat a ecuaţiilor (5) şi (6)
şi adunarea membru cu membru, rezultă(7):

5. • Astfel, traiectoria mişcării rezultante, descrisă de ecuaţia (7),
reprezintă ,în cazul general, o elipsă înscrisă în dreptunghiul de
laturi 2A şi 2B.
• Pentru diferite valori ale diferenţei de fază δφ, traiectoria mişcării
rezultante poate fi o dreaptă sau poate trece în elipse cu axe şi
excentricităţi diferite.

6. CAZUL 1:
 Pentru, k = 0,1,2…, ecuaţia (7) devine(8):
 Deci traiectoria este o dreaptă care trece prin
originea sistemului de coordonate, fiind diagonala
dreptunghiului de laturi 2A, 2B din cadranele I şi III.
 Considerând k = 0, deci φ1=φ 2 =φ, din relaţiile (1) şi
(2) se găseşte elongaţia mişcării rezultante:
OM²=x²+y²=(A²+B²)sin²(ωt+φ)
OM=sin(ωt+φ)(9)
 Din acest rezultat trebuie să reţinem că mişcarea
punctului M este de asemeni o mişcare oscilatorie,
de aceeaşi pulsaţie cu cea a mişcărilor componente.

7. CAZUL 2:
• Pentru, k=0,1,2,…, mişcarea este
oscilatorie ca şi în cazul precedent ,
efectuată după dreapta de ecuaţie:
reprezentând diagonala ce trece prin
cadranele II şi IV.

8. CAZUL 3:
 Pentru cazul
 Mişcările componente sunt în cvadratură de fază(10):
 În conformitate cu ecuaţia (7), mişcarea rezultantă
are ca traiectorie o elipsă raportată la semiaxele A şi
B:
 După ecuaţiile (10), mişcarea se efectuează în sens
orar.
 Dacă semiaxele sunt egale A=B, mişcarea are loc pe
un cerc de ecuaţie: x²+y² =A² (12)

9. CAZUL 4:
 Pentru cazul
 Din ecuaţia mişcării componente:
 Rezultă pentru traiectorie tot o elipsă sau un cerc,
date de relaţiile (11) şi (12), sensul de parcurs fiind
cel antiorar.
 Traiectoria mişcării rezultante şi sensul de
parcurgere, când mişcările se efectuează pe direcţii
perpendiculare, iar defazajul
variază între 0 şi 2π sunt redate în figură.

10. • Din figurile din dreapta respectiv din ecuaţiile
ce descriu figurile observăm că dacă:
• Δ ф =0, obţinem o dreaptă cu panta pozitivă;
• 0<Δ ф <-90, obţinem o elipsă cu orientarea opusă
faţă de sensul acelor de ceasornic ;
• Δ ф =-90, obţinem un cerc cu orientarea opusă faţă
de sensul acelor de ceasornic ;
• -90<Δ ф <-180, obţinem o elipsă cu orientarea
opusă faţă de sensul acelor de ceasornic;
• Δ ф =-180, obţinem o dreaptă cu panta negativă ;
• -180<Δф <-270, obţinem o elipsă cu orientarea
acelor de ceasornic;
• Δ ф =-270, obţinem un cerc cu orientarea acelor de
ceasornic ;
• -270<Δф<-360, obţinem o elipsă cu orientarea
acelor de ceasornic ;

11. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de frecvenţe
diferite
• Identificand uy = b sin(np+ j) = +b sinj si y(x = 0) = +d,rezulta:
휑 =
푑
푏
• Un rationament analog conduce la rezultatul:
휑 =
푐
푎
• Dacă se consideră că defazajul este inclus în oscilaţia orizontală.
• Dacă şi frecvenţele oscilaţiilor care se compun sunt diferite, traiectoriile
obţinute, au o forma complicată, în funcţie de raportul frecvenţelor şi de
diferenţa de fază.
• Dacă raportul frecvenţelor nu este un număr raţional, curba care descrie
traiectoria acoperă treptat întreaga arie.

12. Metoda figurilor Lissajous
• Metoda figurilor Lissajous este cea mai frecventă metodă de măsurare a
frecvenţelor prin comparaţie. Această metodă a fost inventată de către
fizicianul francez Jules Lissajous , metodă care constă în compunerea a două
oscilaţii sinusodiale ale căror direcţii sunt perpendiculare. El a constatat că dacă
raportul frecvenţelor celor două oscilatii este un număr raţional , m si n fiind
numere întregi, se obţin figuri a căror formă depinde de raportul frecvenţelor
celor două oscilaţii şi de defazajul dintre ele.

13. Bibliografie
1. newton.phys.uaic.ro/data/pdf/Osc_Unde.pdf
2. Manual de Fizică clasa a 11-a (F1)
3. en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve