Khóa luận: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm, HAY, 9 ĐIỂM

DỊCH VỤ VIẾT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
VIETKHOALUAN.COM
i
ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG
BÙI KIM TÙNG
LIÊN HỆ TẢI BÀI KẾT BẠN ZALO:0917 193 864
WEBSITE: VIETKHOALUAN.COM
ZALO/TELEGRAM: 0917 193 864
MAIL: BAOCAOTHUCTAPNET@GMAIL.COM
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM
VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC CHO HỌC SINH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

VIETKHOALUAN.COM
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.
TP.Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016
TÁC GIẢ LUẬN VĂN
Vũ Thị Phương Dung
Bùi Kim Tùng

VIETKHOALUAN.COM
iii
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, chúng tôi đã cố gắng nỗ lực
hết sức mình. Để hoàn thành tốt khóa luận này, chúng tôi đã nhận được sự động viên,
giúp đỡ tận tình của Quý thầy, cô, gia đình và bạn bè. Nhân đây chúng tôi xin được gửi
lời cảm ơn chân thành nhất.
Đầu tiên, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong Khoa
Toán – Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để
chúng tôi có được nền tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý báu làm hành
trng cho chúng tôi sau này.
Đặc biệt, chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phạm Sỹ Nam. Thầy là người đã
giảng dạy những kiến thức nền tảng, tận tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa luận một
cách tốt nhất. Tiếp xúc với thầy chúng tôi học hỏi được cách thức làm việc khoa học, sự
nhiệt tình, tính cẩn thận trong nghiên cứu và những bài học bổ ích trong cuộc sống.
Chúng tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm
động viên, khích lệ tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Cuối cùng, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong hội
đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn
thiếu sót giúp chúng tôi rút được kinh nghiệm cho khóa luận cũng như quá trình nghiên
cứu sau này. Rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của Quý thầy, cô cũng như sự góp ý
chân thành của các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016
Tác giả khóa luận
Vũ Thị Phương Dung – Bùi Kim Tùng

VIETKHOALUAN.COM
1
MỤC LỤC Trang
Trang phụ bìa .................................................................................................................................................i
Lời cam đoan..................................................................................................................................................ii
Lời cảm ơn..................................................................................................................................................... iii
Mục lục ..............................................................................................................................................................1
Danh mục các cụm từ viết tắt................................................................................................................3
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài......................................................................................................................................4
II. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................................................5
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................................................................5
IV. Đóng góp của luận văn .....................................................................................................................5
Chương I
KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm............................................................................6
1.1. Định nghĩa.....................................................................................................................................6
1.2. Ý nghĩa...........................................................................................................................................7
1.3. Vai trò của đạo hàm trong chƣơng trình Toán phổ thông.......................................9
1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống................................................................................9
2. Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức..................................................................... 10
2.1. Khái niệm năng lực................................................................................................................ 10
2.2. Các cấp độ nhận thức............................................................................................................ 11
3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT
3.1. Về việc học của học sinh..................................................................................................... 12
3.2. Về giảng dạy của giáo viên ................................................................................................ 13
3.3. Biện pháp.................................................................................................................................... 13

VIETKHOALUAN.COM
2
Chương II
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH.
1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm.............................................................................. 14
2. Bài tập ứng dụng đạo hàm.............................................................................................................. 23
2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số....................................................... 23
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị.................................................................................... 32
2.3. Ứng dụng đạo hàm chứng minh phƣơng trình có nghiệm................................... 39
2.4. Ứng dụng đạo hàm giải phƣơng trình........................................................................... 43
2.5. Ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình ................................................................... 49
2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phƣơng trình..................................................................... 54
2.7. Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ
phƣơng trình có nghiệm 62
2.8. Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức.......................................................... 80
2.9. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số............... 99
2.10. Ứng dụng đạo hàm để giải bài tập có liên quan đến thực tiễn .......................113
KẾT LUẬN ................................................................................................................................................118
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................................119

VIETKHOALUAN.COM
3
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT
 : Với tất cả.

 : Tƣơng đƣơng.

 : Thuộc.
 : Tồn tại ít nhất.
 : Suy ra.
 : Vô cùng.

 ; : Khoảng.

 ;, ; : Nửa khoảng.

 ;: Đoạn.
VT: Vế trái.
VP: Vế phải.
PT: Phƣơng trình.
THPT: Trung học phổ thông.
GV: Giáo viên.
HS: Học sinh.
SGK: Sách giáo khoa.
HD: Hƣớng dẫn.
PPDH: Phƣơng pháp dạy học.

VIETKHOALUAN.COM
4
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Môn Toán là môn học tạo nhiều cơ hội giúp học sinh (HS) phát triển năng lực và
phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ duy trừu tƣợng, chính xác, hợp logic, phƣơng pháp
khoa học trong suy nghĩ, suy luận, từ đó rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo.
Trong chƣơng trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng
giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lƣợng kiến thức và thời gian của chƣơng trình
môn Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ trọng khá lớn trong các đề thi THPT quốc
gia và đề thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học, Cao đẳng và Trung cấp chuyên
nghiệp. Bởi vậy, việc sử dụng đạo hàm của hàm số để giải toán là một nội dung rất cần
thiết và hữu ích đối với các em HS lớp 12.
Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chƣơng trình toán phổ thông, là một trong hai
phép tính cơ bản của giải tích. Đạo hàm là công cụ giúp chúng ta nghiên cứu các tính
chất của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn
của hàm số. Vận dụng tính chất của đạo hàm còn giúp HS giải đƣợc các bài toán Đại
số nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, bất đẳng thức…
Ngoài ra, đạo hàm còn ứng dụng trong lĩnh vực khác nhƣ: bài toán tính vận tốc, gia tốc
của một chuyển động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế, trong chuyển động…
Thực tế dạy học Toán ở trƣờng THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn
khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong những nguyên nhân chính là do
các em không hiểu sâu sắc khái niệm và những ứng dụng của kiến thức này.
Chính vì những lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài để nghiên cứu:
“Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực
cho học sinh”.

VIETKHOALUAN.COM
5
II. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của khóa luận là phân loại các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ
thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực
trong học Toán.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:
+ Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm.
+ Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS.
IV. Đóng góp của luận văn
Về mặt lý luận, tổng hợp các kiến thức về năng lực, cấp độ nhận thức và phân
tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chƣơng trình phổ thông.
Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy
và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng.

VIETKHOALUAN.COM
6
Chương I
KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo
hàm. 1.1. Định nghĩa.
1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
1.1.1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng ( a , b) và x0(a,b).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim f ( x ) f ( x0 )
x x
xx0
0
thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số y f ( x) tại điểm x0 , ký hiệu là f '(x0 )
hoặc y '( x0 ) , tức là: f '( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 )
x x
xx0
0
1.1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Cách 1:Tính trực tiếp f '( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 )
x x
xx0
0
Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 , ta thực hiện 4 bƣớc:
Bƣớc 1: Cho x0 số giax, tínhy f ( x0x) f (x0 )
Bƣớc 2: Lập tỉ số x
y
Bƣớc 3: Tính f '( x ) lim y .
0
xx0 x
Bƣớc 4: Kết luận.
[9]

VIETKHOALUAN.COM
7
1.1.2. Định nghĩa đạo hàm cấp cao.
Giả sử hàm số y fxcó đạo hàm tại mỗi điểm xa; b . Khi đó, hệ thức y '
f 'x xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm y ' f 'xlại có đạo hàm tại x
thì ta gọi đạo hàm của y ' là đạo hàm cấp hai của hàm số y fx tại x và kí hiệu là y ''
hoặc f ''( x).
Chú ý:
+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y fxđƣợc định nghĩa tƣơng tự và kí hiệu là y ''' hoặc
f '''( x) hoặc f3
x.
+ Cho hàm số y fxcó đạo hàm cấp n1, kí hiệu là fn1
xn , n 4.
Nếu fn1
x có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của f ( x) , kí
hiệu là y
n
hoặc fn
x.
f
n
xf
n

1

x'
1.2. Ý nghĩa.
1.2.1. Ý nghĩa hình học.
1.2.1.1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho hàm số y f ( x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x0( a, b). Gọi (C) là
đồ thị của hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số y f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của
(C) tại điểm M 0x0 ; fx0. [9]

VIETKHOALUAN.COM
8
1.2.1.2. Bài tập liên quan:
Loại 1: Phƣơng trình tiếp tuyến tại tiếp điểm Mx0 ; y0.
Loại 2: Phƣơng trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trƣớc.
1.2.2. Ý nghĩa vật lý.
1.2.2.1.Vận tốc tức thời.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của vị trí theo thời gian.
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phƣơng trình s s (t ) , với s s (t ) là một hàm số
có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số
s  s (t ) tại t0 : vt 0 s 't0.
1.2.2.2. Cường độ tức thời.
Nếu điện cƣờng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q Qt với
Q Qt là một hàm số có đạo hàm thì cƣờng độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0
là đạo hàm của hàm số Q Qttại t0 : It 0 Q 't0.
1.2.3. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Đạo hàm cấp hai f ''(t ) là gia tốc tức thời của chuyển động s f (t ) tại thời điểm t.
Xét chuyển động xác định bởi phƣơng trình s f (t ) , trong đó s s (t ) là một hàm số có
đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là vt f 't. Lấy số gia
t tại t thì v (t) có số gia tƣơng ứng làv . Tỷ số

v
t đƣợc gọi là gia tốc trung bình của
chuyển động trong khoảng thời giant . Nếu tồn tại v '(t ) limv
 (t), ta gọi v '(t ) (t )
t0t
là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Vì v '(t ) (t ) nên (t ) f ''(t ).

VIETKHOALUAN.COM
9
1.3. Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông.
Trong chƣơng trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ
vai trò chủ đạo. Đạo hàm là công cụ mạnh giúp chúng ta nghiên cứu nhiều tính chất
của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn…
Phƣơng pháp đạo hàm giúp chúng ta giải nhiều bài toán đại số nhƣ: giải phƣơng trình,
bất phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống.
Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế
học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết sắp hàng,....Vì thế, đạo hàm là một công
cụ quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực. Do vậy đạo hàm có
nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống. Chẳng hạn:
+ Nhiệt độ thay đổi trong thời gian nhất định.
+ Vật tốc của một vật thể rơi tự do trong khoảng thời gian nhất định.
+ Dòng điện qua mạch trong thời gian nhất định.
+ Sự biến thiên của thị trƣờng chứng khoán trong khoảng thời gian nhất định.
+ Sự gia tăng dân số trong khoảng thời gian nhất định.
+ Nhiệt độ gia tăng theo tỉ trọng trong bình gas.
+…
 Vật lý điện tử:
Nếu ta xem Q(t) là một hàm số biểu diễn điện tích có trong 1 đoạn dây dẫn ở một thời
điểm t, thì đạo hàm Q'(t) s cho ta cƣờng độ dòng điện chạy qua đoạn dây đó.
Dễ thấy, khi xét khoảng thời gian giữa hai thời điểm t1, t2 bất kì, lƣợng điện tích chạy
qua tiết diện của đoạn dây là: Q(t 2 )Q(t1 )

VIETKHOALUAN.COM
10
Khi đó, cƣờng độ dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích trên một đơn vị thời
gian) trong khoảng thời gian này đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Itb
Q (t
2
)
 Q(t
1
)
t
2 t1
Cƣờng độ dòng điện tức thời I(t) ở một thời điểm t1 bất kì có thể đƣợc tính bởi giới hạn
sau: I lim Q (t 2 ) Q(t 1 )
t 2 t1
t1t2
 Trong hoá học:
Trong Hóa học, chúng ta có các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm đó là: bài
toán về tốc độ phản ứng.
 Các bài toán kinh tế :
Qua số liệu thông kê, ngƣời ta nhận định rằng, doanh thu của công ty FPT sau t năm
tính từ đầu năm 2010 là: R (t ) 5t 2
 7t 90 tỷ đồng. Hãy tính tốc độ thay đổi phần
trăm doanh thu của công ty vào đầu năm 2016 ?
 Trong xây dựng:
Bài toán cực tiểu của Bác Thợ Xây (ứng dụng đạo hàm tìm cực đại, cực tiểu) Bạn muốn
xây dựng một bình chứa nƣớc hình trụ thể tích 160 m3
. Đáy bằng bê tông giá 250.000
VND/m2
, thành bằng tôn, giá 100.000 VND/m2
, bề mặt bằng nhôm không han giá 150.000
VND/m2
. Vậy kích thƣớc của bình chứa nƣớc nhƣ thế nào để số tiền xây
dựng nó là ít nhất ?
Nhƣ vậy: Đạo hàm cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn
đề trong thực tế. Do vậy, trong dạy học khái niệm đạo hàm thông qua các bài tập cần
giúp học sinh thấy rõ ứng dụng này.
2. Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức.
2.1. Khái niệm năng lực.
Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí
của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm
bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.

VIETKHOALUAN.COM
11
Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn,
trong đó năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển
năng lực chuyên môn. Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng ở một lĩnh vực nhất
định, ví dụ nhƣ năng lực toán học, năng lực ngôn ngữ [1].
Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời quan
hệ chặt ch với nhau.
2.2. Các mức độ nhận thức.
2.2.1. Nhận biết.
Bao gồm việc ngƣời học có thể nhớ lại các điều đặc biệt hoặc tổng quát, trọn
vẹn hoặc một phần các quá trình, các dạng thức, cấu trúc đã đƣợc học. Ở cấp độ
này ngƣời học cần nhớ lại đúng điều đƣợc hỏi đến.
Từ khóa đánh giá: Trình bày, nhắc lại, mô tả, liệt kê…
2.2.2. Thông hiểu.
Ở cấp độ nhận thức này ngƣời học cần nắm đƣợc ý nghĩa của thông tin, thể
hiện qua khả năng diễn giải, suy diễn, liên hệ.
Từ khóa đánh giá: Giải thích, phân biệt, khái quát hóa, cho ví dụ, so sánh…
2.2.3. Vận dụng.
2.2.3.1. Mức độ thấp.
Ngƣời học có khả năng áp dụng thông tin đã biết vào tình huống, điều kiện mới.
Từ khóa đánh giá: Vận dụng, áp dụng, tính toán, chứng minh, giải thích, xây dựng…
Ngƣời học có khả năng chia các nội dung, các thông tin thành những phần nhỏ
để có thể chỉ ra các yếu tố, các mối liên hệ, các nguyên tắc cấu trúc của chúng.
Từ khóa: Phân tích, lý giải, so sánh, lập biểu đồ, phân biệt, hệ thống
hóa… 2.2.3.2. Mức độ cao
Ngƣời học có khả năng đƣa ra nhận định, phán quyết của bản thân đối với một
vấn đề dựa trên các chuẩn mực, các tiêu chí đã có.

VIETKHOALUAN.COM
12
Từ khóa: Đánh giá, cho ý kiến, bình luận, tổng hợp, so sánh…
Đạt đƣợc cấp độ nhận thức cao nhất này ngƣời học có khả năng tạo ra cái mới,
xác lập thông tin, sự vật mới trên cơ sở những thông tin, sự vật đã có.
Từ khóa: Thiết lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất….
Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng
lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2].
3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT
3.1. Về việc học của học sinh:
Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất
lƣợng học tập môn Toán chƣa thật sự cao, vẫn chƣa đồng đều. Chất lƣợng chỉ tƣơng
đối ổn định ở lớp chọn và lớp nâng cao. Còn đa số các lớp thuộc chƣơng trình chuẩn
chất lƣợng thƣờng rất thấp. Theo suy nghĩ của chúng tôi, có những nguyên nhân sau:
+ Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập trên
lớp và trong sách giáo khoa chƣa thực sự phù hợp với các đối tƣợng học sinh.
+ HS thƣờng mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập, chẳng hạn làm
sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cơ bản…
+ Có nhiều lỗ hỏng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học Toán. Khả
năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chƣa linh động trong việc xử lý các tình huống
Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế.
+ Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc
ý thức phấn đấu, vƣơn lên.
+ Chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế,
đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa biết đƣợc đạo hàm đƣợc ứng dụng vào việc gì.
[2]

VIETKHOALUAN.COM
13
3.2. Về giảng dạy của giáo viên:
+ GV chƣa có các bài tập phù hợp để giúp HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm đƣợc
học. Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ
minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà.
+ GV thƣờng đƣa ra câu hỏi nêu vấn đề nhƣng chƣa thực sát tình huống thực tế.
+ Trong quá trình giảng dạy GV chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lƣợng kiến thức
và ít chú trọng đến cách dẫn dắt HS tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức.
+ Trong quá trình giảng dạy thực tập tại các trƣờng THPT chúng tôi nhận thấy nhiều
GV chuẩn bị bài rất công phu, bên cạnh đó vẫn còn một số GV chuẩn bị nội dung và
bài giảng chƣa đúng với trọng tâm, chƣa thật chu đáo. Trong qua trình giảng dạy chƣa
khơi dậy đƣợc niềm say mê và hứng thú học tập. Chƣa góp phần tích cực vào việc xác
lập động cơ học tập đúng đắn cho HS. [2]
3.3. Biện pháp:
Nhằm khắc phục đƣợc hạn chế trên, chúng tôi cho rằng, trong dạy học GV nên
thiết kế bài tập minh họa trên lớp và bài tập về nhà theo các mức độ nhận thức: nhận
biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao. Sở dĩ cần làm điều này bởi điều này
giúp HS hiểu rõ nội dung kiến thức. HS yếu, kém cho đến HS khá, giỏi đều hiểu khái
niệm căn bản và tất cả đối tƣợng đều có cơ hội để học tập trong một tiết học.

VIETKHOALUAN.COM
14
Chương II
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH
1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm.
1.1. Bài tập nhận biết.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về định nghĩa đạo hàm qua các câu hỏi sau đây:
Câu 1: Cho hàm số y f ( x ) x 2
3x . Giá trị của hàm số tại x 3 là?
0
A. f (3) 6 C. f (3) 3
B. f (3) 0 D. f (3)6
Đáp án: B.
Câu 2: Cho hàm số y f (x) . Số gia của đối số tại x0 là?
A.x0 x0 x C.y0 y0 y
B.x x x0 D.y y y0
Đáp án: B.
Câu 3: Cho hàm số y f (x) . Số gia hàm số tại x0 là?
A.y fx0x fx0 C.y fxx fx
B.y fx fx0 D.y fx0x fx0
Đáp án: A.
Câu 4: Cho hàm số y f (x) xác định tại x0 . Đạo hàm của hàm số y f (x) tại x0 là?
A. f ( x0 ) C. lim f ( x ) f ( x0 ) (nếu tồn tại giới hạn).
x x0
f ( x ) f ( x0 )
x0
B.
f ( x ) f ( x0 )
x  x D. lim (nếu tồn tại giới hạn)
0
x x0
xx0
Đáp án: D.

VIETKHOALUAN.COM
15
1.2. Bài tập thông hiểu.
Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống.
3x . Số gia của đối số tại x0 3 là ……………?
Đáp án:x x3
3x . Số gia của hàm số tại x0 3 là ……………?
Đáp án:y f (3x ) f (3) 3x2
x
3x xác định tại x 3 . Khi đó f '(3) lim y =......?
0
x3 x
Đáp án: f '(3) lim y  lim3x2
x  lim(3x ) 0
x x
x3 x3 x3
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số fx x 2
 2 x1 tại x01bằng định nghĩa?
Bài giải: Hàm số fx x 2
 2 x1 xác định trong một lân cận của x01. Ta có:
f (1) 0
...(1)... lim x2 2 x 1 0  lim( x1)2
 lim( x 1) 0
x1
x1 x 1 x1 x1
Vậy ...(2)... 0 .
Đáp án: (1) : lim f ( x ) f (1) ; (2): f '(1)
x1 x1
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số fx x 2
 x tại x0 0 bằng định nghĩa?
Bài giải: Giả sửx là …(1)… tại x0 0 . Ta có:
f (0) 0
y ...(2)...
y  ...(3)... ; lim y  ...(4)...
x
x x0
Vậy f '(0)1.

VIETKHOALUAN.COM
16
Đáp án:
(1): số gia của đối số
(2) : f0x f0x2
x 0=x.(x1)
(3) :
x.(x1)
x1
x
(4) : limx 11
x0
1.3. Bài tập vận dụng.
1.3.1. Dạng toán 1:
Tính đạo hàm của hàm số y f ( x) tại điểm x0 bằng định nghĩa.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc:
Bƣớc 1: Giả sửx là số gia của đối số tại x0 . Tínhy fx0x fx0.
Bƣớc 2: Lập tỉ sốy
x
Bƣớc 3: Tìm limy
x0x
Cách 2: Hàm số y fx xác định trong một lân cận của x0 .
Ta có: f '(x0 ) lim f (x ) f (x0 )
x x0
xx0
Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số fx 2 x 2
 4 x1 tại x01.
HD:
Cách 1:

VIETKHOALUAN.COM
17
Giả sửx là số gia của đối số tại x01. Ta có:
f (1)1
y f1x f1 21x2
 41x 1 (1) 2x2
 1 1 2x2
y 2x2
 2x
x x
lim y  lim 2x

 0
x
x 0 x0
Vậy f '(1) 0.
Cách 2:
Hàm số fx 2 x 2
 4 x1 xác định trong một lân cận của x01. Ta có:
f (1) 1
lim f (x ) f (1) = lim 2x2 4x 1 (1) = lim 2(x1)2
 lim 2

x 1 0
x1 x 1 x1 x 1 x
1x1 x1
 
Vậy f '(1) 0.
Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số fx 4 x 7 tại x02.
3 x
HD:
Cách 1:
Giả sửx là số gia của đối số tại x02 . Ta có:
f (2)3
y f2x f2
42x 7
 (3)
15 4x
 3
x
32x 5x 5x
y  1
x x
5
lim
y
 lim
 1

1
 
x 0x x0 5x 5
Vậy f '(2)
1
5 .

VIETKHOALUAN.COM
18
Cách 2:
4 x 7
Hàm số fx xác định trong một lân cận của x02 . Ta có:
3 x
f (2)3
4 x 7 4 x 7 3(3 x)
f ( x ) f (2) (3)
lim  lim 3 x  lim 3 x
x 2 x 2 x 2
x2 x2 x2
= lim x 2  lim 1 1
(x 2)(3 x ) 3 x
x2 x2 5
Vậy f '(2) 1 .
5
Bài tập 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số fxx 2
 x1 tại x0 3.
x1
HD:
Cách 1:
Giả sửx là số gia của đối số tại x0 3. Ta có:
f (3)13
4
y f3x f33x2
 3x 1 13 4x2
 15x
4x16
3x 1 4
y 4x2
 15x
x x.(4x16)
y

4x
2
 15x

4x15 15
lim  lim  lim 
x x.(5x 20) 4x16
x 0 x 0  x0 16
 
Vậy f '(3)15 .
16
Cách 2:
x 2
 x1
Hàm số fx xác định trong một lân cận của x0 3. Ta có:
x1

VIETKHOALUAN.COM
19
f (3)13
4
f ( x ) f (3)
x 2
 x1

13
4 x 2
 9 x 9 4 x 3  15
lim  lim x1 4  lim  lim
  
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 4 x2 4( x1) 16
x 1 x 3
Vậy f '(3) 16
15
.
Cho hàm số
 f (x ) x x
f (x) 1
0 .
 f2 (x ) x x0
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0 .
Ta thực hiện theo các bƣớc sau:
Bƣớc 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 .
Bƣớc 2: Tính đạo hàm bên trái: f '( x
) lim f ( x ) f ( x0 ) .
0 xx0

x x
0
Bƣớc 3: Tính đạo hàm bên phải: f '( x
) lim f ( x ) f ( x0 ) .
0 xx0

x x
0
Bƣớc 4: Nhận xét hoặc giải f '( x
) f '( x
) , từ đó đƣa ra kết luận.
0 0
Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số fx
x 2
 3x x1
tại x0 1.

x 1 x1
HD:
f (1)2
f '(1
) lim f ( x ) f (1)  lim  x 1 (2)  lim  ( x1)  lim(1)1
x 1 x 1
x1

x1

x1
 x1 x1

f '(1
) lim f ( x ) f (1)  lim x 2
 3 x (2)  lim ( x 1)( x 2)  lim( x 2) 1
x 1 x 1 x1
x1

x1

x1

x1

Vì f '(1
) f '(1
)1 nên hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x1và f '(1)1.
0

VIETKHOALUAN.COM
20
sin x x 0

x 0 tại x0 0.
Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số fx0

x 0
tanx
HD:
f (0) 0
f '(0
) lim f ( x ) f (0)  limsin x 0  limsin x 1
x 0 x x
x 0
x 0
x0

f '(0
) lim f ( x ) f (0)  limtan x 0  lim tan x 1
x 0 x x
x0
x0
x0

Nhận xét rằng f '(0
) f '(0
)1.
Vậy hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x0 0 và f '(0)1.
2 x 2
 7 x 3
x
1


2x1 2 .
Bài tập 3: Cho hàm số fx
 x1

a
2

Xác định a để hàm số trên có đạo hàm tại x0
1
2 . Tính đạo hàm tại điểm đó.
HD:
f


1


a 2
lim f ( x ) lim 2 x 2
 7 x 3  lim 2 x 1x 3 lim

x 3

5
x1 x1 2 x 1 x1 2 x1 x1 2
2 2 2 2
Để hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x 1 , trƣớc hết hàm số y f ( x) phải liên
0
2
tục tại điểm x0 
1
, do đó:
1
 lim f (x ) a
5
f 
2  2 x 1 2
2
Hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x0
1  1 
 lim f (x)
5
và f '  .
2  2  x 1 2
2

VIETKHOALUAN.COM
21
Bài tập 4: Cho hàm số
x 2
; x1
.
y f (x)
ax b ; x1
Tìm a , b để f ( x) có đạo hàm tại điểm x01.
HD:
f (1) lim f ( x)1
x1
lim f ( x ) a b
x1
Để hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x01, trƣớc hết hàm số y f ( x) phải liên tục
tại điểm x1, do đó: f (1) lim f ( x ) lim f ( x ) a b 1 b 1 a
0 x1
x1
f '(1
) lim f ( x ) f (1)  lim x2
1  lim x 1x1 lim( x 1) 2
x 1
x1 x 1 x1
x1 x1 x1
f '(1
) lim f ( x ) f (1)  lim ax b 1  lim ax 1 a 1  lim a( x1)  a
x 1 x1
x1
 x 1 x1

x1
 x 1 x1

Hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x01 f '(1
) f '1
 a 2
Thay a 2 vào b 1 a ta đƣợc b1
Vậy hàm số y f ( x) có đạo hàm tại điểm x01 khi và chỉ khi a 2, b1.
Tính đạo hàm của hàm số y f ( x) trên khoảnga , b bằng định nghĩa.
Bƣớc 1: Tínhy fxx fx .
Bƣớc 2: Lập tỉ số

y
x .
Bƣớc 3: Tìm limy
.
x0x
Lưu ý: Trong phép tính này điểm x coi nhƣ cố định cònx thì tiến về 0.

VIETKHOALUAN.COM
22
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số y f ( x ) x3
trên khoảng,bằng định nghĩa.
HD:
Với mọi x thuộc khoảng,, ta có:
y fxx fx
  xx3
 x3
 x 3 x 2
 3xxx2



y
x 3 x 2
 3 x.xx2
lim y  lim 3 x 2
 3 x.x

x 2 3x2
x
x0 x0   
Vậy hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng,và f '( x ) 3 x2
.
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y f ( x ) x 3
 5 x 2
 2 x 3 trên khoảng0, bằng
định nghĩa.
HD:
Với mọi x thuộc khoảng0,, ta có:
y fxx fx
  xx3
 5xx2
 2xx 3 x3 5x2 2x 3

 x. 3 x 2
 3x.xx2
 10x 5x 2


y
x 3 x 2
 3 x.xx2
 10 x 5x 2
lim y  lim 3 x 2
 3 x.xx2
 10 x 5x 2 3 x 2
 10 x 2
x
x 0 x0  
Vậy hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng0,và f '( x ) 3 x 2
 10 x 2.

VIETKHOALUAN.COM
23
2. Bài tập ứng dụng đạo hàm.
2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số.
2.1.1. Bài tập nhận biết.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số qua
các câu hỏi sau đây:
Câu 1: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số f ( x) đồng biến trên
khoảng K khi nào?
A. f '( x ) 0,xK C. f '( x ) 0,xK
B. f '( x ) 0,xK D. f '( x ) 0,xK
Đáp án: D.
Câu 2: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số f ( x) nghịch biến trên
khoảng K khi nào?
A. f '( x ) 0,xK C. f '( x ) 0,x K
B. f '( x ) 0,xK D. f '( x ) 0,x K
Đáp án: B.
Câu 3: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng K và f '( x ) 0,xK .
Khi đó hàm số f ( x) :
A. Đồng biến trên khoảng K.
B. Nghịch biến trên khoảng K.
C. Không đổi trên khoảng K.
D. Vừa nghịch biến, vừa đồng biến trên khoảng
K. Đáp án: C.

VIETKHOALUAN.COM
24
Câu 4: Hàm số đồng biến đƣợc biểu thị bằng mũi tên theo hƣớng:
A. Đi lên từ trái sang phải. C. Đi xuống từ trái sang phải.
B. Đi lên từ phải sang trái. D. Đi xuống từ phải sang trái.
Đáp án: A.
Câu 5: Hàm số nghịch biến đƣợc biểu thị bằng mũi tên theo hƣớng:
A. Đi lên từ trái sang phải. C. Đi xuống từ trái sang phải.
B. Đi lên từ phải sang trái. D. Đi xuống từ phải sang trái.
Đáp án: C.
2.1.2. Bài tập thông hiểu.
 2 x2
 4 . Tập xác định của hàm số đã cho là ………..
Đáp án: D 
 2 x2
 4 . Đạo hàm của hàm số đã cho là ………….
Đáp án: f '
( x ) 3 x 2
 4x
Câu 3: Hoàn thành bảng biến thiên sau:
x  -3 0 4 
y ' - 0 …(1)… 0 ...(2)… 0 +
 3 
...(3)…
y 0 0
Đáp án: (1): +
(2): – (3):
Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên. Hãy điền vào chỗ còn thiếu của nhận xét sau:
Bảng biến thiên:

VIETKHOALUAN.COM
25
x  4 
f '( x) – 0 +
f ( x)
1
Nhận xét:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ...(1)… và ...(2)… trên khoảng (; 4)
. Đáp án: (1): (4;)
(2): nghịch biến
Câu 5: Điền vào chỗ còn thiếu để đƣợc bài toán hoàn chỉnh.
Xét sự biến thiên của hàm số y f ( x ) 2 x 3
 6 x1
Tập xác định D 

x1
y ' 6 x2
 6 ; y ' 0 ...(1)... 0
x1
x  …(2)… …(3)… 
y ' …(4)… 0– 0 …(5)…
5 
y
 –3
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng …(6)…; nghịch biến trên khoảng1,1 .
Đáp án: (1): 6 x2
 6 (4): +
(2): –1 (5): +
 
 
(3): 1 (6): ,1 và 1,

VIETKHOALUAN.COM
26
2.1.3. Bài tập vận dụng.
2.1.3.1. Dạng toán 1:
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y f ( x) .
Thực hiện theo các bƣớc sau:
Bƣớc 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bƣớc 2: Tính đạo hàm f '( x) .
Bƣớc 3:Tìm các giá trị tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bƣớc 4: Lập bảng biến thiên.
Bƣớc 5: Dựa vào bảng biến thiên kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm
số. Bài tập 1: Xét sự biến thiên của hàm số y x 4
 2 x2
 3 . HD:
y ' x4 2 x2 3'
 4 x3 4x
 x 0
y
' 0 4 x 3 4 x 0
x1
x  -1 0 1 
y ' - 0 + 0 - 0 +
 3 
y
2 2
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng1, 0 và1,; nghịch biến trên các khoảng
,1 và0,1 .

VIETKHOALUAN.COM
27
Bài tập 2: Xét sự biến thiên của hàm số y
x
10 x2
HD:
Tập xác định D 
10, 10
 
 x '
10
x D 10, 10
y '    0,
10  x2
 10 x 2
 10 x2
x  10 10
y ' +

y

Vậy hàm số đồng biến trên D.
Bài tập 3: Xét sự biến thiên của hàm số y cos x 1cos 2x
2
HD:
Tập xác định D .
Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên chỉ xét trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn0, 2.
'
y '
 cos x
1
cos 2 x
 sin x sin 2x
 2 
x
0
2

4
2
3 3
y ' - 0 + 0 - 0 +
y

VIETKHOALUAN.COM
28
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
2  k 2 ; k 2

và
4  k 2 ; 2 k 2

;
 3   3 
nghịch biến trên các khoảng

0 k 2 ; 2 k 2

và

 k 2 ;4 k 2

với k .
3
   3 
2.1.3.2. Dạng toán 2:
Tìm giá trị của tham số m để hàm số f ( x, m) đồng biến (nghịch biến) trên D.
Hàm số f ( x, m) đồng biến (nghịch biến) trên D
 f '( x, m) 0 f '( x, m) 0,xD và f '( x) 0 có hữu hạn điểm thuộc D. (*)
Để giải quyết bài toán (*) ta thƣờng đi theo hai hƣớng:
Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận.
Hướng 2: Đƣa f '( x) về dạng tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu.
Bài tập 1: Tìm m để hàm số y
1
3 x 3
 mx 2
 x 2m3
a) Đồng biến trên .
b) Đồng biến trên khoảng0,.
HD:
a) y ' x 2
 2mx1 , y ' 0 có tối đa 2 nghiệm.
Hàm số đồng biến trên nên y ' x 2
 2mx 1 0(x ) ' m 2
 1 01 m1
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khi m1,1.
b) y ' 0 có tối đa 2 nghiệm nên hàm số đồng biến trên khoảng0,
Nên y ' x 2
 2mx 1 0 (x 0) do đó m
x2
1
(x 0)
2x

VIETKHOALUAN.COM
29
 f '( x) 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.
Xét hàm số f ( x)x2
1 trên0;ta có: f 'x 2 x2
 2
4x2
2x
 f '( x ) 0
2 x2
 2
 0 2 x2 2 0 x1;x
0 x1 4x2

Trên khoảng0,dấu của f '( x) phụ thuộc vào dấu của tam thức 2 x2
 2 .
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm f ( x) nhƣ sau:
x 0 1 
f '( x) - 0 +
f ( x) 1
Từ bảng biến thiên suy ra m
x2
1
(x 0) x1.
2x
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng0,khi m1.
Bài tập 2: Tìm m để hàm số y x 3
 ( m 1) x 2
 (2m 2
 3m 2) x 2m2
3 đồng biến trên
khoảng2,.
HD:
Tập xác định: D , y ' 3 x 2
 2( m 1) x (2m 2
 3m 2) , y ' 0 có tối đa 2 nghiệm.
Hàm số đồng biến trên2, do đó y ' 0,x 2,
Trong bài toán này không thể cô lập đƣợc m nên ta dùng cách 2.
Hàm số đồng biến trên
2,
 khi
m 1 7 m 2
 7 m 7 3
3  2 do đó2 m 2
 3
Vậy m2,  hàm số đã cho đồng biến trên khoảng2, .
 2

VIETKHOALUAN.COM
30
Bài tập 3 : Tìm m để hàm số y ( m 1) x 3
 3( m 1) x 2
 3(2m 3)x m nghịch biến trên.
HD:
Tập xác định: D 
y ' 3( m 1) x 2
 6( m 1) x 3(2m3) ; y ' 0 có tối đa 2 nghiệm
Hàm số nghịch biến trên nên y ' 0,x 
Nhận thấy y ' chƣa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trƣờng hợp:
+ TH1: m1 khi đó y '3 0,x nên hàm số nghịch biến trên .
+ TH2: m 1 khi đó y ' là tam thức bậc 2 nên hàm số nghịch biến trên
m 1 0
 m1
 y ' 0,x
( m 1) 2
 (2 m 3)( m 1) 0
Vậy m1hàm số y ( m 1) x 3
 3( m 1) x 2
 3(2m 3)x m nghịch biến trên .
Lƣu ý:
+ Nếu trong y ' chỉ chứa tham số m bậc nhất, ta s cô lập đƣợc m nên có thể dùng cách 1
để giải quyết bài toán.
+ Nếu không cô lập đƣợc m và dấu của y ' là dấu của một tam thức bậc hai có
chứa tham số, chúng ta thƣờng dùng cách 2 để giải:
y m,x D m min y,xD , nếu tồn tại min y.
y  m,x D m max y ,xD , nếu tồn tại max y.
2.1.3.3. Dạng toán 3: Chứng minh: f ( x ) g ( x ),xD .
Chứng minh: f ( x) g ( x),x D h( x) f ( x) g ( x) 0,xD
Ta xét hàm số h ( x) , lập bảng biến thiên, từ đó kết luận.
 
Bài tập 1 : Chứng minh rằng: sin x tan x 2 x,x 0,  .
 2

VIETKHOALUAN.COM
31
HD:
 
Xét hàm số: h ( x ) sin x tan x 2 x,x 0, 
 2
1 cos x (1 cos x ) 2
 1 cos x  
h '( x ) cos x  2  0,x 0, 
cos
2
cos
2
x
x  2
h '( x) 0 khi x 0
Suy ra h ( x) đồng biến trên nửa khoảng

0, 

.
 2
   
Do đó: h ( x ) h (0),x 0,  sin x tan x 2 x 0,x 0, 
 2  2
 sin x tan x 2 x,x
 0,
 .
 2
Kiến thức bổ sung:
+ Hàm số h ( x) đồng biến trên đoạna , bthì h( a )
+ Hàm số h ( x) nghịch biến trên đoạna , bthì h( a )
Bài tập 2 : Chứng minh rằng: cos x 1
x2
,x
2
h( x ) h(b),xa, b
 h( x ) h(b),xa, b .
0.
HD:
x2
Xét hàm số h ( x ) cos x 1 trên 0 .
2 
h '(x) sin x x; h ''(x) cos x 1 0,x 
Suy ra h ( x) đồng biến trên . Do đó h '( x) 0 có không quá một nghiệm.
Mặt khác h '(0) 0 nên x 0 là nghiệm duy nhất của h '( x) 0 .
Lập bảng biến thiên ta đƣợc h( x ) h(0) 0
Vì x 0 nên h( x ) h(0) 0
 h ( x ) cos x 1
x 2
 0,x 0 cos x 1
x2
,x 0
22

VIETKHOALUAN.COM
32
2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị qua các câu hỏi sau:
Câu 1: Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 thì x0 , f ( x0 ) lần lƣợt đƣợc gọi là?
A. Giá trị cực đại – Cực đại. C. Điểm cực đại – Giá trị cực đại.
B. Cực đại – Giá trị cực đại D. Giá trị cực đại – Điểm cực đại.
Đáp án: C.
Câu 2: Hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng ( a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì:
A. f '( x0 ) 0 C. f '( x0 ) 0
B. f '( x0 ) 0 D. f '( x0 ) 0
Đáp án: C.
Câu 3: Hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 thì điểm x0 đƣợc gọi là?
A. Điểm cực đại của hàm số. C. Cực đại của hàm số.
B. Điểm cực tiểu của hàm số. D. Cực tiểu của hàm số.
Đáp án: A.
Câu 1: Hòa thành bảng biến thiên sau:
t  2 5 
f '
t – 0 + 0 –
 …(2)…
ft
…(1)…


VIETKHOALUAN.COM
33
Nhận xét:
Hàm số đạt cực đại tại …(3)…
Hàm số đạt cực tiểu tại …(4)…
Đáp án: (1): CT (3): x 2
(2): CĐ (4): x 5
Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên và điền nội dung còn thiếu ở phần nhận xét:
x  –5 0 5 
f '( x) – 0 + 0 – 0 +
 6 
f ( x)
2 2
Nhận xét:
Hàm số f ( x) đạt cực đại tại …(1)…, fCD ...(2)... ...(3)...
Hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại …(4)…, fCT ...(5)... ...(6)...
Đáp án: (1): x 0 (2): f (0) (3): 6
(4): x 5, x5(5): f (5) (6): 2
Câu 3: Dựa vào nội dung phần nhận xét. Hoàn thành bảng biến thiên:
x  …(1)… …(2)… 
f '( x) …(3)… 0 + 0 …(4)…
 15
f ( x) …(5)…
…(6)… 
Nhận xét:

VIETKHOALUAN.COM
34
Hàm số f ( x) đạt cực đại tại x 3 , f CD f (3)15
Hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x1 , f CT f (1) 0
Đáp án: (1): 3 (4): –
(2): 5 (5):
(3): – (6): 0
2.2.3.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số bằng bảng biến thiên.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG:
Bƣớc 1: Tìm tập xác định của hàm số f ( x)
Bƣớc 2: Giải phƣơng trình f '( x) 0
Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
+ Nếu f '( x) đổi dấu từ – sang + khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt
cực đại tại x0 .
+ Nếu f '( x) đổi dấu từ + sang – khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt
cực tiểu tại x0 .
+ Nếu f '( x) không đổi dấu khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số không
đạt cực trị tại x0 .
Bài tập 1: Tìm cực trị của hàm số y f ( x )
1
3 x 3

1
2 x 2
 2 x 2 .
HD:
Tập xác định: D .
f '( x ) x 2
 x 2

x1
f '( x ) 0 x 2
 x 2 0
x 2

VIETKHOALUAN.COM
35
x  –1 2 
f '( x) + 0 – 0 +
19

f ( x) 6

4
3
Vậy
Hàm số đạt cực đại tại x1 và giá trị cực đại y  f (1)19 .
CD
6
Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và giá trị cực đại y  f (2) 4 .
CT
3
Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số y f ( x )2 x 4
 4 x2
 6 .
HD:
Tập xác định: D
f '( x )8 x 3
 8 x8 x ( x2
1)
f '( x ) 08 x ( x2
 1) 0
x 0

x1
x  –1 0 1 
f '( x) + 0 – 0 + 0 –
8 8
f ( x)
 6 
Vậy
Hàm số đạt cực đại tại x1; x1và giá trị cực đại yCD f (1) 8 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 và giá trị cực đại yCT f (0) 6 .

VIETKHOALUAN.COM
36
Bài tập 3: Tìm cực trị của hàm số y f ( x ) 3 x 4
 12 x3
16 .
HD:
Tập xác định: D 
f '( x ) 12 x 3
 36 x 2
 12 x 2
( x 3)

x 0
f '( x ) 0 12 x 2
( x 3) 0
x 3
x  0 3 
f '( x) – 0 – 0 +
 
f ( x) –65
Vậy
Hàm số đạt tiểu đại tại x 3 và giá trị cực tiểu yCT f (3)65 .
Hàm số đã cho không có cực đại.
Bài tập 4: Tìm cực trị của hàm số y f ( x) x 3 .
2 x1
HD:
 1 
Tập xác định D   .
 2 
7
f '(x )  0,xD
(2x1)2
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài tập 5: Tìm cực trị của hàm số y f (x)
2x 2
 x
1
.
x1
HD:

VIETKHOALUAN.COM
37
Tập xác định: D

1.
f '( x) 2x 2
 4x
x12

f '( x) 0 2x 2
 4x 0x2
 2

x 0
x 1
x  –2 –1 0 
f '( x) + 0 – – 0 +
–9  
f ( x)
  –1
Vậy
Hàm số đạt cực đại tại x2 và giá trị cực đại yCD f (2)9 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 và giá trị cực đại yCT f (0)1.
Từ các bài tập trên ta có nhận xét:
+ Đối với hàm bậc ba thì phƣơng trình f '( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần
và đủ để hàm số có cực trị.
+ Đối với hàm bậc bốn vì đạo hàm là hàm bậc ba nên hàm chỉ có thể có một cực trị
hoặc ba cực trị. Hàm số có một cực trị khi phƣơng trình f '( x) 0 có một hoặc hai
nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép). Hàm số có ba cực trị khi phƣơng trình
f '( x) 0 có ba nghiệm phân biệt.
+ Đối với hàm số y f ( x ) cx
ax


d
b
, ( ac 0) vì hàm số có đạo hàm không đổi
dấu trên tập xác định nên hàm số không có cực trị.
+ Đối với hàm số y f ( x )
ax 2
 bx c , ( am 0) nếu có cực trị thì s có hai cực trị và
mx n

VIETKHOALUAN.COM
giá trị cực đại luôn nhỏ hơn giá trị cực tiểu của hàm số.

VIETKHOALUAN.COM
38
2.2.3.2. Phương pháp tìm cực trị hàm số bằng đạo hàm cấp 2.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG:
Bƣớc 1: Tìm tập xác định của hàm số f ( x)
Bƣớc 2: Tìm đạo hàm f '( x) và giải phƣơng trình f '( x) 0 . Kí hiệu xi (i1, 2,....) là các
nghiệm của nó.
Bƣớc 3: Tính f ''( x ), f ''( xi ) .
+ Nếu f ''( xi ) 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi .
+ Nếu f ''( xi ) 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi .
Bài tập 1: Tìm cực trị của hàm số y f ( x ) x 3
 3 x2
 2
HD:
Tập xác định: D .
f '( x )3 x 2
 6x

x 0
f '( x ) 03 x 2
 6 x 0
x 2
f ''( x )6 x 6
Ta có:
f ''(0) 6 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x 0 và giá trị cực tiểu là yCT f (0) 2 .
f ''26 0 nên hàm số đạt cực đại tại x 2 và giá trị cực đại là yCD f (2) 6 .
Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số y f ( x ) cos x1 cos 2 x1
2
HD:
Tập xác định: D . f '( x) sin xsin 2x
sin x 0 x k
f '( x ) 0 sin x sin 2 x 0 sin x (1 2 cos x ) 0
1  2 , k
cos x x  k 2
2 3
 
f ''( x) cos x 2 cos 2x

VIETKHOALUAN.COM
39
Ta có: f ''( k ) cos( k ) 2 cos( k2)1 2 0
Do đó hàm số đạt cực đại tại x k, k và giá trị cực đại là yCD fk cos k
1
2 .
f ''

2 k 2
 cos

2
 2 cos

4

1
 1
3
 0
 33322
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x2 k 2 , k và giá trị cực tiểu là
3
 2  7
y
CT  f  k 2 .
3 4
 
2.3. Ứng dụng đạo hàm chứng minh phương trình có nghiệm.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để chứng minh phƣơng trình
có nghiệm qua các câu hỏi sau đây:
Câu 1: f '( x) 0 có tối đa 1 nghiệm trên D thì số nghiệm tối đa của f ( x) 0 trên D là:
A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
Đáp án: B.
Câu 2: Nếu f '( x) 0 có đúng 2 nghiệm trên D thì số nghiệm của f ( x) 0 trên D là:
A. Đúng 3 nghiệm. C. Ít nhất 3 nghiệm.
B. Tối đa 3 nghiệm. D. Nhiều hơn 3 nghiệm.
Đáp án: A.
Câu 3: Nếu f ( x) 0 có 3 nghiệm trên D thì số nghiệm của f '( x) 0 trên D là:
A. Ít nhất 2 nghiệm. C. Nhiều nhất 2 nghiệm.
B. Có 2 nghiệm. D. Có đúng 2 nghiệm.
Đáp án: A.

VIETKHOALUAN.COM
40
Câu 4: Nếu f '( x) 0 vô nghiệm trên D thì số nghiệm của f ( x) 0 trên D là:
A. 0 (Vô nghiệm). C. Nhiều hơn 2 nghiệm.
B. Tối đa 1 nghiệm. D. Bằng 2 nghiệm.
Đáp án: B.
Câu 1: Cho hàm số fxcó đạo hàm trêna;bvà fxcó n nghiệm (n là số nguyên
dƣơng lớn hơn 1) trêna;bthì …….
Đáp án: f 'xcó ít nhất n1nghiệm trêna;b
Câu 2: Nếu hàm số fxcó đạo hàm trêna;bvà ……. thì fxcó nhiều nhất một
nghiệm trêna;b .
Đáp án: f 'xvô nghiệm trêna;b
Câu 3: Nếu fxcó đạo hàm trêna;bvà f 'xcó nhiều nhất n nghiệm (n là …(1)… )
trêna;bthì fxcó nhiều nhất …(2)… nghiệm trêna;b.
Đáp án: (1): số nguyên dƣơng
(2): n1
Một số kiến thức về phương trình và nghiệm của phương trình.
Định lí Rolle:
Nếu f ( x) là hàm liên tục trên đoạna;bcó đạo hàm trên khoảnga;bvà f ( a ) f (b) thì
tồn tại ca;bsao cho f '(c) 0 .
Hệ quả 1: Nếu hàm số fxcó đạo hàm trêna;bvà fxcó n nghiệm (n là số
nguyên dƣơng lớn hơn 1) trêna;bthì f 'xcó ít nhất n1nghiệm trêna;b.

VIETKHOALUAN.COM
41
Hệ quả 2: Nếu hàm số fxcó đạo hàm trêna;bvà f 'xvô nghiệm trêna;b
thì fxcó nhiều nhất 1 nghiệm trêna;b .
Hệ quả 3: Nếu fxcó đạo hàm trêna;bvà f 'xcó nhiều nhất n nghiệm (n là số
nguyên dƣơng) trêna;bthì fxcó nhiều nhất n1 nghiệm trêna;b.
Các hệ quả trên đƣợc suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm
là nghiệm bội (khi fxlà đa thức).
Bài tập 1: Chứng minh phƣơng trình 3 x 5
 15 x 8 0 có một nghiệm duy nhất.
HD:
Hàm f ( x ) 3 x 5
 15 x8 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên .
Ta có:
f (0)8 0
f (1) 10 0
f (0). f (1)8.10 0
Suy ra tồn tại x00;1 sao cho f ( x0 ) 0 . Nghĩa là phƣơng trình f ( x) 0 có nghiệm.
Mặt khác ta có f '( x ) 15 x 4
 15 0,x nên hàm số đã cho luôn đồng biến.
Vậy phƣơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
Bài tập 2: Chứng minh phƣơng trình x13
 x 6
 3 x 4
 3 x2
 1 0 có nghiệm duy nhất.
HD:
Đặt f ( x ) x13
 x 6
 3 x 4
 3 x2
1
+ Với x1;: f ( x ) x 6
( x 7
 1) 3 x 2
( x2
 1) 1 0 .Vậy f ( x) 0 vô nghiệm.
+ Với x0;1 : f ( x ) x13
 (1 x2
) 3
 0 . Vậy f ( x) 0 vô nghiệm.
+ Với x; 0: f '( x ) 13 x12
 6 x 5
 12 x 3
 6 x 13 x12
 6 x ( x 1) 2
 0 nên f
đồng biến. Bảng biến thiên:

VIETKHOALUAN.COM
42
x  0
f '( x) +
1
f ( x) 
Vậy trên; 0phƣơng trình f ( x) 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phƣơng trình f ( x) 0 có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3: Chứng minh phƣơng trình 2 x 2
x 211có một nghiệm duy nhất.
HD:
Hàm f ( x ) 2 x 2
x 2 xác định và liên tục trên2; .
 x 2
 x (5 x8)
2;
f '( x ) 2 2 x x 2    0,x
2 x 2 x 2
 
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng2; .
Hàm số liên tục trên đoạn
 
có f (2)  0, f (3)18
2; 3
Vì 0 1118nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực
c2;3sao cho f (c)11tức là một nghiệm của phƣơng trình f ( x) 0 . Vì hàm số đồng
biến trên2; nên c là nghiệm duy nhất của phƣơng trình đã cho.
Bài tập 4: Chứng minh phƣơng trình x 5
 x 2 0 có nghiệm duy nhất và nghiệm đó
lớn hơn 9
8 .
HD:
Xét hàm số f ( x ) x 5
 x 2 trên .

VIETKHOALUAN.COM
43
f '( x ) 5 x4
1
 1 4
x  y 20
4 4
5 5 5
4

f '( x ) 0 5 x 1 0 1 4

x  y 20
4 4
5 5 5

Lập bảng biến thiên thì phƣơng trình có nghiệm duy nhất là x0 và nghiệm đó là dƣơng.
Vì x0 là nghiệm của phƣơng trình f ( x) 0 nên x0
5
 x0 2 0 x0
5
 x0 2
2 2x0 (Dấu bằng không xảy ra)
 x0
10
 8 x0 x0
9
 8 x0 9
8 .
Bài tập 5: Chứng minh phƣơng trình x 5
 x 2
 2 x 1 0 có đúng một nghiệm.
HD:
x 5
 x 2
 2 x 1 0
(1) x 5
 ( x 1) 2
 0 x 0 ( x 1) 2
 1 x 5
 1 x1
Xét hàm số f ( x ) x 5
 x 2
 2 x1 trên
1;

.

Hàm số f ( x) liên tục trên
1;

.

Suy ra hàm số f ( x) liên tục trên đoạn1; 2.
Ta có: f (1)3 0 ; f (2) 23 0 ; f (1). f (2)3.23 0
Khi đó hàm số f ( x) có nghiệm trên khoảng1; 2
f '( x) 5 x 4
 2 x 2 (2 x 4
 2 x) (2 x 4
 2) x 4
 2 x( x 3
 1) 2( x 4
 1) x 4
 0,x1
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên
1;

.

Từ (1), (2), (3) suy ra phƣơng trình đã cho có đúng một nghiệm.
2.4. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình.
(1)
(2)
(3)
Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để giải phƣơng trình qua các câu hỏi
sau đây:

VIETKHOALUAN.COM
44
Câu 1: x0 là nghiệm của phƣơng trình f ( x) 0 khi và chỉ khi:
A. f '( x0 ) 0 C. f ( x0 ) 0
B. f '( x) 0 D. f ( x) 0
Đáp án: C.
Câu 2: Cho f ( x) là số hàm liên tục trên đoạna;bcó đạo hàm trên khoảnga;bvà f (a
) f (b) thì ?
A. Tồn tại ca;bsao cho f '(c)  0 . C. Tồn tại ca;bsao cho f (c)  0 .
B. Tồn tại ca;bsao cho f '(c)  0 . D. Tồn tại ca;bsao cho f (c)  0 .
Đáp án: A.
Câu 3: Giả sử hàm số f ( x) đồng biến( nghịch biến) trên khoảng I và tồn tại x0 I sao
cho fx0 0 thì ?
A. Phƣơng trình f ( x0 ) 0 có nghiệm duy nhất x0 I
B. Phƣơng trình f '( x0 ) 0 có nghiệm duy nhất x0 I
C. Phƣơng trình f ( x) 0 có nghiệm duy nhất x0 I
D. Phƣơng trình f '( x) 0 có nghiệm duy nhất x0 I
Đáp án: C.
Câu 1: Cho hàm số f ( x) liên tục và xác định trên đoạn1; 2. Có f 'x
0,x1; 2 . Suy ra hàm số fx…(1)… trên …(2)…
Ta có: f ( x0 ) 0 .

VIETKHOALUAN.COM
45
Khi đó: x0 là …(3)… của phƣơng trình.
Đáp án: (1): đồng biến (3): nghiệm duy nhất
(2): khoảng1; 2
Câu 2: Tồn tại x0 sao cho f '( x0 ) 0 . Ta có: f ''x
0,x Suy ra …(1)… có tối đa 1 nghiệm trên
 f ( x) 0 có …(2)…
Đáp án: (1): f '( x) 0 (2): tối đa 2 nghiệm trên
Một số kiến thức cơ bản về hàm số và đạo hàm.
Định lý 1. Giả sử hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu
b) Nếu
f 'x 0 với mọi x I thì hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng I .
f 'x 0 với mọi x I thì hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng I .
Mệnh đề 1. Giả sử hàm số f đồng biến( nghịch biến) trên khoảng I và tồn tại x0 I sao
cho fx0 0 thì phƣơng trình f ( x) 0 có nghiệm duy nhất x0 I
Chứng minh.
Giả sử phƣơng trình f ( x) 0 có hai nghiệm x1 , x2 I .
Khi đó: fx1 0 và fx2 0 hàm số f đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng I nên
fx1 fx2 0 x1 x2
Mệnh đề 2. Giả sửx , xlà hai hàm xác định trên khoảng I và với x I thì
  x,x thuộc khoảng K . Nếu hàm F (t) đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng K và
F x F x xx với mọi x I .
  3 x
2
 12 0 . Điều kiện: 2  x 6
Bài tập 1: Giải phƣơng trình: 3 x 2 6 x
3
HD:

VIETKHOALUAN.COM

VIETKHOALUAN.COM
46
Xét hàm số fx 2  2 
3 x 2 6 x 3 x 12 trên đoạn  ; 6
 3 
f 'x
3 2  2 
  6 x 0,x ; 6
.
 x
2 3 x 2 2 6  3 
fx 2  2 
3 x 2 6 x 3 x 12
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ; 6
 3 
Ta có: f2  3.2
2
12221212 0
3.22 6 2
Suy ra x 2 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Từ cách giải trên, ta nhận thấy phƣơng trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể dùng
cách phân tích để đƣa về cách giải sau.
Cách khác:
 3 x
2
 12 0
    
 3x
2
 4 0

3 x 2 6 x 3 x 2 6 x
3 x 2 6 x
3 x 2 6 x
   3x 2

 0 x 2
 4 x 2  3x 2x 2 0 x 2

4
 
3 x 2 6 x  3 x 2 6 x 
Bài tập 2: Giải phƣơng trình: x 4 x 4 2 x
2
 16 10 0 . Điều kiện: x 4
HD:
Điều kiện: x 4 .
   
 2 x
2
   1610 trên nửa đoạn4; 
Xét hàm số f x x 4 x 4
f 'x
1

1

2x
 0, x 2
2 2
x 4 x 4 x
2
16
Suy ra: fx x 4 x 4 2 x
2
 1610 đồng biến trên4;
f 5 0 . Suy ra x 5 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Bài tập 3: Giải phƣơng trình: 3
x
 5
x
 6 x 2
HD:

VIETKHOALUAN.COM
47
Ta có: 3
x
 5
x
 6 x 2 3
x
 5
x
 6 x 2 0 .
Xét hàm số fx 3
x
 5
x
 6 x 2 trên . f 'x 3
x
ln 3 5
x
ln 5 6
lim f '

x

 lim

3
x
ln 3 5
x
ln 5 6


x
x
lim f '

x

 lim 3
x
ln 3 5
x
ln 5 6

.
x
x
Suy ra, tồn tại x0 sao cho f '( x0 ) 0 . f ''x 3
x
ln 32
 5
x
ln 52
 0,x
 f '( x) 0 có tối đa 1 nghiệm trên nên f ( x) 0 có tối đa 2 nghiệm trên 
và

 3 5 6 2 0 ; f
 
 112  0 .
f 1 0
Suy ra phƣơng trình có hai nghiệm là x 0, x1
Bài tập 4: Giải phƣơng trình:4 x
2
 1x x 3 5 2 x 0 . Điều kiện: x
5
2
HD:
Với x
5
2 . Ta có:
4 x
2
 1x x 3 5 2 x 0 4 x
2
 1x 3 x 5 2x

 4x
2
 12x 5 2x 1 5 2x
Xét hàm số ft tt
2
 1 t
3
 t với t và f 't 3t
2
 1
0,t R Suy ra ft t
3
 t đồng biến trên . Ta có:
4 x
2
 12 x 5 2 x 1 5 2 x f2 x f 5 2 x 2 x 5 2x
 5  5

 x
5

0

0
 x 
0
 x  2 1 21
 2  2   x
1 21 4
 2
 5  2 x
 2
 2 x 5  0


 4 x  4 x x
4


VIETKHOALUAN.COM
48
Bài tập 5: Giải phƣơng trình: x
3
 2 x
3
3 x 2 2 0
HD:
Ta có: x
3
 2 x
3
3 x 2 2 0 x
3
 x 3 x 2
3
3 x 2
Xét hàm số ft t 3t với t .
f 't 3t 2 1 0,t . Suy ra ftt 3  t đồng biến trên .
Ta có: x
3
 x 3 x 2
3
3 x 2 fx f3
3 x 2 x
3
3 x 2
 x
3
 3 x 2 x
3
 3 x 2 0 x 1x
2
 x 2
0x
1


x2
Vậy x2, x1 là hai nghiệm của phƣơng trình.
Bài tập 6: Giải phƣơng trình: 2
x
1
 2
x 2
x
 ( x1)
2
HD:
Ta có: 2
x
1
 2
x 2
 x
 x
2
 2 x 1 2
x
1
 x 1 2
x 2
x
 x
2
 x (*)
Xét hàm số ft 2
t
 t với t .f 't 2
t
ln 2 1 0,t .
Suy ra: ft 2
t
 t đồng biến trên .
Từ (*) ta có: 2
x
1
 x 1 2
x 2
x
 x
2
 x fx 1 fx
2
 x x 1 x
2
 x
 ( x 1)
2
 0 x1
Vậy x1 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Bài tập 8: Giải phƣơng trình: log
 x2  x 3 
 x
2
 3 x 2 .
 
3
2 x
2
 4 x 5

 
HD:
Ta có: log 3 x
2
 x 3  x 2
 3 x 2  log
3x 2
 x 3 log
32 x
2
 4 x 5 x
2
 3 x 2
 2 

2 x  4 x 5

 

VIETKHOALUAN.COM
 log 3x
2
 x 3 x
2
 x 3 log 32 x
2
 4 x 5 2 x
2
 4 x 5 (*)

VIETKHOALUAN.COM
49
Xét hàm số ft log3 t t với t 0 . f 't
1
 1 0,t 0
t ln 3
(*) fx
2
 x 3 f2 x
2
 4 x 5 x
2
 x 3 2 x
2
 4 x 5
 x2 3 x 2
0x

1

x
2
Vậy x2, x1 là hai nghiệm của phƣơng trình.
2.5. Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình.
Hoàn thành bài trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình qua các
câu hỏi sau đây:
Câu 1: Hàm số y f ( x) đồng biến (tăng) trên K vàx1 , x2 K , x1 x2 , kết luận nào
sau đây đúng?
A. f ( x1 ) f ( x2 ) C. f ( x1 ) f ( x2 )
B. f ( x1 ) f ( x2 ) D. f ( x1 ) f ( x2 )
Đáp án: A.
Câu 2: Hàm số y f ( x) nghịch biến (giảm) trên K vàx1 , x2 K , x1 x2 , kết luận
nào sau đây đúng?
A. f ( x1 ) f ( x2 ) C. f ( x1 ) f ( x2 )
B. f ( x1 ) f ( x2 ) D. f ( x1 ) f ( x2 )
Đáp án: C.
Câu 3: Hàm số y f ( x) đồng biến (tăng) trên K và f ( x1 ) f ( x2 ) thì:
A. x1 x2 C. x1 x2
B. x1 x2 D. Chƣa thể kết luận.

VIETKHOALUAN.COM
Đáp án: B

VIETKHOALUAN.COM
50
Câu 4: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K đồng thời f '( x ) 0,x K , phƣơng trình
f '( x) 0 vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó ta khẳng định nào
sau đây đúng?
A. Hàm số y f ( x) nghịch biến trên K. C. Hàm số y f ( x) không đổi trên K.
B. Hàm số y f ( x) đồng biến trên K. D. Cả 3 ý trên đểu sai.
Đáp án: B
Câu 5: Cho hàm số y f ( x) nghịch biến trên K, khi đó phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình f '( x) 0 vô nghiệm
trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K.
B. Hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình f '( x) 0 vô nghiệm
trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K và f '( x ) 0,xK.
C. Hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình f '( x) 0 vô nghiệm
trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K và f '( x ) 0,xK.
D. Hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K đồng thời f '( x ) 0,xK.
Đáp án: C
Câu 1: Hoàn thành bài giải sau:
Giải bất phƣơng trình: x 6 5 2 x 2
Bài giải:
x 6 5 2x 2 x 6 2x 2 5 0 (*)
Điều kiện: …(1)…
Nhận xét: Với x 3thì vế trái của (*) nhận giá trị bằng 0
Xét hàm số f ( x ) x 6 2 x 25 liên tục trên nửa khoảng ...(2)…
Do f '( x) ....(3)... 0,x (1,) nên hàm số f ( x) đồng biến trên [1,)

VIETKHOALUAN.COM
51
Nhƣ vậy, bất phƣơng trình (*) f ( x) f (3) x 3
Kết hợp với điều kiện ta nhận các nghiệm 1 x 3
Đáp án: (1): x1 (2): [1,)
(3):
1

1
2 x 6 2 x 2
Câu 2: Hoàn thành bài giải sau:
Giải bất phƣơng trình: x 5
 x 3
  4
1 3 x
Bài giải:
x 5
 x 3
  4 x 5
 x 3
 40 (*)
1 3x 1 3x
Điều kiện: x 1
3
Nhận xét: Với x1 thì vế trái của (*) nhận giá trị bằng …(1)…
5 3  1
Xét hàm số f ( x ) x  x  13 x 4 liên tục trên nửa khoảng ,
 
 3
 1  1
Do f '(x) ...(2)... 0,x ,
3
nên f ( x) đồng biến trên nửa khoảng  , 
   3
Nhƣ vậy, bất phƣơng trình (*) f ( x) f (1) x1
Kết hợp với điều kiện của bất phƣơng trình ta nhận đƣợc  1
x, 
 3
Đáp án: (1): 0 (2): 5 x 4
 3x2
 3 (3): x1
2 1 3x
Định nghĩa: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng, đoạn:
+ Hàm số y f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếux1 , x2 K, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
+ Hàm số y f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếux1 , x2 K, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )

VIETKHOALUAN.COM
52
Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K đồng thời phƣơng trình f '( x) 0 vô nghiệm
trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó:
+ Hàm số y f ( x) đồng biến trên K khi và chỉ khi f '( x ) 0,xK.
+ Hàm số y f ( x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi f '( x ) 0,xK.
Phương pháp giải bất phương trình bằng cách sử dụng đạo hàm.
Nếu hàm số y f ( x) tăng liên tục trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì:
 f ( x ) f ( x ) x x
 0  0
 x K xK
 f (u ( x )) f ( v ( x )) u ( x ) v ( x)
 
u( x ), v ( x ) K u( x ), v ( x)K
Nếu hàm số y f ( x) giảm liên tục trên K (K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì:
 f ( x ) f ( x ) x x
 0  0
 x K x K
 f (u ( x )) f ( v ( x )) u ( x ) v ( x)
 
u( x ), v ( x ) K u( x ), v ( x)K
Bài tập 1: Giải các bất phƣơng trình sau:
5
a) 3 3 2 x  2 x 6
2 x1
b) x 3
 3 x 2
 6 x 16 2 3 4 x
HD:
a) Điều kiện:
1
2 x
3
2
5
Xét hàm số: f ( x ) 3 3 2 x  2x
2 x1
Ta dễ dàng chứng minh đƣợc f ( x) là hàm nghịch biến.

VIETKHOALUAN.COM
53
f '( x)
3

5
 2 và f (1) 6
3 2 x 2 x1
Do đó: f ( x) 6 f (1) x1
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phƣơng trình là: 1 x
3
2
b) Điều kiện :2 x 4
Xét hàm số f ( x ) x 3
 3 x 2
 6 x 16 4 x , ta có:
f '( x)
3( x 2
 x1)

1
 0
2
x 3
 3 x 2
 6 x16 4 x
Suy ra f ( x) đồng biến
Mặt khác f1 2 3 . Do vậy bất phƣơng trình: f ( x ) 2 3 f (1) x1
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phƣơng trình là:2 x1
Bài tập 2: Tìm tập nghiệm của bất phƣơng trình
x 3
 2 x 2
 5 x 6 (3 x 4) 3 x3
HD:
x 3
 2x 2
 5x 6 (3x 4) 3x 3 (2)
Điều kiện x1. Ta có:
(2) x 3
 2 x 2
 x (3 x 4) 3 x 3 6 x 6
 x 3
 2x 2
 x ( 3x 3)3
 2( 3x 3)2
 3x3 (*)
Đặt y 3 x 3 thì y 0 , khi đó: (*) x 3
 2x 2
 x y 3
 2 y y (**)
Xét hàm số f (t ) t 3
 2t 2
 t .
f '(t ) 3t 2
 4t1 (có lúc âm, lúc dƣơng với t1)
Trở lại kết hợp x 3
 2 x 2
 5 x 6 (3 x 4) 3 x 3 và x1ta suy ra đƣợc:

VIETKHOALUAN.COM
54
x 3
 2 x 2
 5 x 6 0 ( x 2)( x 2
 4 x 3) 0 x 2 ( do x1)
Nhƣ vậy với t là biến đặc trƣng cho x 2 và y 0 .
Ta có thể xét t 0 .
Khi ấy f '(t ) 3t 2
 4t 1,t 0
x 0
Từ đó (**) f ( x ) f ( y ) x 3 x 3
x 2
 3 x
 3 21
x
 32

3 
21
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là x ;
2
 
2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình.
Câu 1: Hàm số y f (x) có f '(x ) 0x . Khi đó y f (x) đồng biến trên khoảng nào?
A. (0,) C. (,)
B. (,0) D. Cả ba ý trên đều sai.
Đáp án : C
Câu 2: Hàm số y f ( x) có f '(x ) 0x . Khi đó y f (x) đồng biến hay nghịch biến
trên khoảng nào?
A. Đồng biến trên (0,) C. Nghịch biến trên (,)
B. Nghịch biến trên (,0) D. Cả ba ý trên đều sai.
Đáp án: C
Câu 3: Biết hàm số ftt 3
 t nghịch biến trên . Nếu a 3
 a b 3
 b kết luận nào
sau đây đúng:
A. a b C. Chƣa thể kết luận
B. a b D. Đáp án khác.
Đáp án: A

VIETKHOALUAN.COM
55
Câu 4: Biết hàm số ft t 3
 t đồng biến trên . Nếu a 3
 a b 3
 b kết luận nào sau
đây đúng:
A. a b C. Chƣa thể kết luận
B. a b D. Đáp án khác.
Đáp án: A.
Câu 5: Hàm số ft t 2
 đồng biến trên khoảng nào ?
t1
A. (,1) C. (1,)
B. (0,1) D. Cả 3 ý trên đều sai
Đáp án: C.
Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chổ trống.
 x 1 7 y 4
Câu 1: Giải hệ phƣơng trình:


  4
 y 1 7 x

Bài giải:
Điều kiện: ...(1)...
Trừ vế theo vế x 1 7 y y 1 7 x x 1 7 x y 1 7 y
Xét hàm số ft t 1 7 t với t1;7
f 't ...(2)... 0,t1;7
 ft t 1 7 t đồng biến trên khoảng1; 7
Ta có: x 1 7 x y 1 7 y fx f y ...(3)...
Khi đó: x 1 7 x 4 x 1 4 7 x x 1 4 7 x 8 7 x
5 x 7
 5 x 7
 x 5 4 7 x

x 2
 6 x 87  0
  x3 4 6

x3 4 6

Nghiệm của hệ: x y3 4 6

VIETKHOALUAN.COM
56
Đáp án:
1 x 7 1 1
(3): x y
(1): (2): 
1 y  7 2
t 1 2 7 t
 x  2y  ( y  x )( xy 2)
Câu 2: Giải hệ phƣơng trình:
2

x
2
 y
2
 2

Bài giải:
2
x
 2
y
 ( y x )( xy 2)  2x 2yy xxy x
2
 y
2
 x  2 y  y 3 x 3


 2
Ta có:
 y
2
 2
 
 y
2
 2
x 2
 2
 y
2
 2
x
2
  x 
Ta có: 2
x
 2
y
 y
3
 x
3
 2
x
 x
3
 2
y
 y
3
Xét hàm số ft 2
t
 t
3
,t và f 't ...(1)... 0,t
Suy ra ft 2
t
 t
3
đồng biến trên khoảng ...(2)...
Ta có: 2
x
 x
3
 2
y
 y
3
 ...(3)... x y
 x  2y  y 3 x 3  x y x y x y1
 2  
Khi đó:x2  y2  2

x2 y2 2

x2 1

x y1
   
 

Đáp án: (1): 2
t
ln 2 3t
2
(2):; (3): fx fy
 2 2
x 91 y 2 y
Bài tập 1: Giải hệ phƣơng trình:


 y 2
91 x 2  x2

HD:
Điều kiện:x
 2


y 2
Trừ vế theo vế: x 2
 91 y 2
 91 y 2 y 2
 x 2 x 2
 x 2
 91 x 2 x 2
 y
2
 91 y 2 y2
Xét hàm số ft t2 91 t 2t2 trên2;

VIETKHOALUAN.COM
57
f 't
t

1
 2t 0, t 2; ftđồng biến trên khoảng2; 
t2
 91 2 t 2
 x 2
   y2 fx fy x y
Ta có: x 2
 91 y 2
 91
x 2 y 2
Khi đó: x 2
 91 x 2 x 2
 x 2
 91 x 2 x2
 0
Xét hàm số fx x2 91 x 2 x2 trên2;
f 'x
x 1  1  1
  2 x x  2 
x 2
 91 2 x  2 x2
91 2 x  2
 
Ta có:
x 2 x 2
 4 x 2
 91 4 91 x2
 9195
 1  1  1  2 1 20
x 2
 91 95 x2
 91 95
Suy ra: f 'x
 1  1
2;
 x 2  0, x
 x2
 91  2 x 2
Suy ra: fx x 2 91 x 2 x2 đồng biến trên khoảng2;
f3 32
 91 3 2 32
 10 1 9 0 x 3 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình
x 2
 91 x 2 x2
 0
Nghiệm của hệ: x = y = 3
Bài tập 2: Giải hệ phƣơng trình:

x x
2
 2 x 2 3
y1
1

y y
2
 2 y 2 3
x1
1
HD:
Trừ vế theo vế
x x
2
 2 x 2 y y
2
 2 y 2 3
y
1
 3
x
1
 x x
2
 2 x 2 3
x
1
 y y
2
 2 y 2 3
y1
Xét hàm số ft t t
2
 2t 2 3
t
1
,t 
t1
f 't 1  3
t
1
ln 3 t 2  2t 2  t 1  3t
1
ln 3
t
2
 2t 2 t 2
 2t 2

Khóa luận: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm, HAY, 9 ĐIỂM

Khóa luận: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm, HAY, 9 ĐIỂM

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Khóa luận: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm, HAY, 9 ĐIỂM

Similar to Khóa luận: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm, HAY, 9 ĐIỂM (20)

More from Viết Thuê Khóa Luận _ ZALO 0917.193.864 default

More from Viết Thuê Khóa Luận _ ZALO 0917.193.864 default (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Khóa luận: Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm, HAY, 9 ĐIỂM