методические указания для самостоятельного изучения предмет высшая математика

1
Министерство образования и науки ЛНР
ГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”
РАССМОТРЕНО
на заседании
УТВЕРЖДАЮ
цикловой комиссии Заместитель директора
компьютерных дисциплин по учебной работе
«__»_________________г. _______________ О. Н. Каранда
Протокол №_____________ «___»________________г.
Председатель ЦК
______________Т. А. Матвеева
МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА
ВЫ С ШАЯ МАТ ЕМАТ ИК А
для студентов 2 курса специальностей
«Электроснабжение»
«Технология подземной разработки»
«Эксплуатация и ремонт горного электромеханического оборудования и
автоматических устройств»
«Обслуживание компьютерных систем и сетей»
Составил преподаватель:
Прилипа А.С.
Краснодон

2
ЗМІСТ
1. Вступ
2. Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Лінійна
алгебра та аналітична геометрія»
3. Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Комплексні
числа. Основидиференціального числення»
4. Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Інтегральне
числення. Диференціальні рівняння»
5. Вимоги щодо виконання контрольноїроботи
6. Література
7. Питання до іспиту (заліку).

3
Вступ
Курс “ Вища математика ” є з’єднувальною ланкою між основним курсом
математики і спеціальними дисциплінами, складовою частиною професійного навчання
студентів. Обсяг і зміст цього курсу визначаються потребами спеціальності.
Курс “ Вища математика ” передбачає розвиток та поглиблення деяких тем і
питань, що вивчаються в основному курсі. Базові предмети становлять теоретичну основу
спеціальної підготовки студентів. Математичні моделі широко застосовуються для
спеціальної підготовки молодших спеціалістів.
Розглянуті приклади та підібрані задачі можливість вивчити і закріпити матеріал,
що викладається.
При виконанні контрольної роботи з дисципліни “Вища математика” студенти
повинні закріпити отримані знання при вивченні лекційного курсу, а також приділити
увагу вивченню розділів математичного аналізу, аналітичної геометрії, лінійної алгебри.
В результаті вивчення дисципліни студенти повинні знати:
- векторну алгебру та її застосування до задач аналітичної геометрії;
- лінії та поверхні другого порядку; розв’язування СЛАР; елементи матричної алгебри;
елементи лінійної алгебри; границі та неперервність функції; диференціальне числення
функції однієї та декількох змінних;
- неозначений інтеграл; подвійний інтеграл та його застосування;
- диференціальні рівняння першого порядку, вищих порядків, що допускають пониження
порядку, а також лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та їх
системи; ряди та їх застосування до наближених обчислень;
вміти:
- складати та аналізувати математичні моделі простих реальних інженерних задач;
- підбирати дані, необхідні для побудови розв’язків задач та оцінювати їх необхідну
точність;
- вибирати наперед не заданий метод дослідження;
- виводити аналітичні залежності в процесі розв’язання задач;
- розв’язувати простіші механічні та економічні задачі;
- доводити розв‘язки задач до практично придатних результатів та контролювати
правильність розв’язків;
- оперувати з розмірними величинами.

4
Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Лінійна алгебра
та аналітична геометрія»
Теми для самостійного вивчення.
1.Матриці та дії над ними.
2.Визначники та їх властивості.
3.Обернена матриця. Ранг матриці
4.Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. Матричний запис системи лінійних
рівнянь.
5.Системи лінійних рівнянь Метод Гаусса.
6.Вектори і лінійні дії з ними. Скалярні і векторні величини.
7.Декартова та прямокутна системи координат. Лінійна залежність векторів.
8.Вектори в системі координат.
9.Скалярний та мішаний добуток векторів.
10.Лінії на площині та їхні рівняння
11.Пряма на площині.
12.Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.
Відстань від точки до прямої.
13.Площина в просторі
14.Пряма лінія в просторі. Пряма і площина.
15.Поняття лінії другого порядку. Коло. Еліпс.
16.Лінії другого порядку. Гіпербола. Парабола.
Термінологічний словник.
Дії над векторами
1. Додавання векторів 2. Віднімання векторів
b
a a
b
a+b
a+b
b
a a-b
3. Множення на число (приклади)
b
2b -0,5 b
Вектори у декартовій системі координат
 zyxzyx a;a;akajaiaa 
,
 ABABAB zzyyxxAB  ;; .
Довжина вектора
222
zyx aaaa 
.
Напрямні косинуси
a
ax
cos
,
a
ay
cos
,
a
az
cos
.
Дії над векторами, заданими у координатній формі
 zzyyxx ba;ba;baba 
,
 zzyyxx ba;ba;baba 
,
α
β
γ
x
y
z
O
ax
ay
az
a

5
 zyx a;a;aa  
.
Умова колінеарності векторів z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a

.
Скалярний та векторний добутки векторів
добуток скалярний векторний
позначення
),(, baba

  baba

,,
тип величини число вектор
означення
 baba

,cos bac

 , якщо:
1) c

перпендикулярний
векторам a

и b

;
2) трійка векторів a

,b

,c

−
права;
3)
 babac

,sin
властивості
     
 
2
aaa
cbcacba
bababa
abba








      
 
0



aa
cbcacba
bababa
abba





добутки ортів
0
1


jkijki
kkjjii




jikji
kkjjii


0
обчислення
в ДСК zzyyxx babababa 

zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba



основні
задачі
довжина вектора
aaa


косинус кута між векторами
 
ba
ba
ba 
 
,cos
проекція вектора на інший
вектор
b
ba
aпрb





умова перпендикулярності
0 ba

площа паралелограма,
побудованого на векторах
a

та b

baS


площа трикутника
2
ba
S



висота паралелограма
a
ba
a
S
ha 




висота трикутника
a
ba
a
S
ha 



 2

6
Мішаний добуток векторів
позначення cba

або
 cba

,,
означення   cba


властивості
cababcbcabacacbcba


обчислення
у ДСК
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba 

основні задачі
умова компланарності трьох векторів
0cba

орієнтація трійки векторів:
0cba

− права трійка ;
0cba

− ліва трійка
об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах
cba

,, cbaV педапаралелепі


об’єм піраміди, побудованої на векторах cba

,,
cbaVпіраміди

6
1

ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
x
y
S=( l;m)
N=(A;B)
O
M0( x0 ;y0 )
y
O
M0( x0 ;y0 )
φ
α
a
p
b
x
Найпростіше рівняння Рівняння з кутовим коефіцієнтом
    000  yyBxxA .
bkxy  ,
tgk  .
Загальне рівняння Рівняння прямої, яка проходить у
0 CyBxA . заданому напряму (рівняння в’язки)
 00 xxkyy  .
Канонічне рівняння Рівняння у відрізках на осях
m
yy
l
xx 00 


.
1
b
y
a
x
.

7
Нормальне рівняння
0sincos  pyx  .
Рівняння прямої, яка проходить
через дві точки
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx





; 12
12
xx
yy
k



.
Умова паралельності прямих 12 kk  .
Умова перпендикулярності прямих 1
2
1
k
k 
.
Кут  між прямими (гострий) 21
12
1 kk
kk
tg



.
Відстань від точки М до прямої
  pyxMd MM   sincos ,
або
  22
BA
CyBxA
Md MM



.
КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Еліпс та гіпербола
крива Еліпс з фокусами
на вісі Ох
Гіпербола з фокусами
на вісі Ох
рівняння
12
2
2
2

b
y
a
x
, ba 
12
2
2
2

b
y
a
x
піввісі
(2а, 2b – вісі)
a – велика
b –мала
a – дійсна
b – уявна
відстань від центра
до фокусів
22
bac  22
bac 
координати
фокусів
F1(c; 0); F2(-c; 0) F1(c; 0); F2(-c; 0)
ексцентриситет
a
с

 1 a
с

 1
рівняння
директрис

a
x  






c
a
x
2

a
x  






c
a
x
2
рівняння асимптот
–– x
a
b
y 
x
y
O
M1
M2
x1x2
y1
y2

8
відстані від точки
М до фокусів
MxarMF  11
MxarMF  22
MxarMF  11
MxarMF  22
рисунок
b
-b
-a/
a-a x
y
F2 F1
c-c
a/
c
b
-b
-a/ a-a
x
y
F2 F1
-c a/
Параболи, симетричні відносно осі Ох
рівняння
pxy 22
 pxy 22

фокуса 





0;
2
p
F 





 0;
2
p
F
рівняння
директриси
2
p
x 
2
p
x 
рисунок x
y
p/2
F
-p/2
O
x
y
p/2
F
-p/2
O
Параболи, симетричні відносно осі Оу
рівняння
pyx 22
 pyx 22

фокуса 





2
;0
p
F 






2
;0
p
F
рівняння
директриси
2
p
y 
2
p
y 
рисунок
x
y
p/2 F
-p/2 O
x
y
p/2
F-p/2
O

9
Зсунені криві
Коло
    22
0
2
0 Ryyxx 
O
x0
y0
x
y R
Еліпс
    12
2
0
2
2
0




b
yy
a
xx
Гіпербола
    12
2
0
2
2
0




b
yy
a
xx
O
x0
y0
y
ab
x x0
y0
y
x
ab
Параболи
   0
2
0 2 yypxx     0
2
0 2 yypxx 
x
y
x0
y0
x
y
x0
y0
   0
2
0 2 xxpyy     0
2
0 2 xxpyy 
O x
y
xо
yо
O x
y
xо
yо

10
ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ
Будь-яке лінійне рівняння зі змінними x, y, z можна розглядати як рівняння у декартових
координатах площини у просторі. Різні форми рівняння площини наведені у таблиці 1.
Таблиця 1
Назва Загальний вигляд Геометричний зміст параметрів
канонічне
(рівняння
площини,
яка
проходить
через
задану
точку)
      0000  zzCyyBxxA
N
M0(x0;y0;z0)
А, В, С-координати вектора
нормалі до площини;
000 ,, zyx - координати точки, яка
належить площині
загальне 0 DCzByAx А, В, С-координати вектора
нормалі до площини
у відрізках
на осях 1
c
z
b
y
a
x
x
y
z
c
a
bO
cba ,, - координати точок
перетину площини з осями
OyOx, та Oz відповідно
нормальне 0coscoscos  pzyx 
x


p
z
y

O
 ,, - кути, які створює
нормаль проведена з початку
координат з осями
OyOx, та Oz
рівняння
площини, яка
проходить
через три точки
0
131313
121212
111




zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx  111 ,, zyx ,
 222 ,, zyx та
 333 ,, zyx - координати трьох
точок, які належать площині
Якщо у рівнянні відсутній доданок з якою-небудь змінною, то площина паралельна
відповідній координатній осі; наприклад, площина, яку задано рівнянням
0 DCzAx , паралельна осі
Oy .
Якщо у рівнянні відсутні доданки з двома змінними, то площина паралельна
відповідній координатній площині; наприклад, площина, яку задано рівнянням
0 DAx , паралельна площині
Oyz.

11
Якщо у загальному або у нормальному рівнянні площини відсутній вільний член,
тобто рівняння має вигляд 0 CzByAx , площина проходить через початок
координат.
Наведемо рівняння координатних площин :
Oxy – 0z ; Oyz – 0x ; Oxz – 0y .
Кут між площинами  та  дорівнює гострому куту між їх нормалями N та
N
, тобто
  222222





CBACBA
CCBBAA
NN
NN
;ˆcos



.
Умовою паралельності двох площин є колінеарність їх нормалей :
 NN
, тобто 





C
C
B
B
A
A

.
Умовою перпендикулярності двох площин є перпендикулярність їх нормалей :
 NN 
,тобто
0  NN
.
Відстань від точки М до площини, заданої за допомогою рівняння
0 DCzByAx , обчислюється за формулою
 
222
CBA
DCzByAx
Md
MMM



.
Пряму у просторі ми будемо розглядати як лінію перерізу двох площин; лінію, будь-які
точки якої задають вектор, колінеарний заданому, або траєкторію руху зі сталою
швидкістю заданої точки. Різні форми рівнянь прямої наведені у таблиці 2.
Таблиця 2
Назва Загальний вигляд рівнянь,
рисунок
Геометричний зміст
параметрів
загальні





0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
N1=(A1;B1;C1)
N2=(A2;B2;C2)
Пряма розглядається як лінія
перерізу двох площин з нормалями
 1111 ;; CBAN  та
 2222 ;; CBAN 

12
канонічні
n
zz
m
yy
l
xx 000 




x
z
y
O
M0(x0;y0;z0)
S=(l;m;n)
nml ,, - координати напрямного
вектора прямої;
 000 ,, zyx - координати точки, яка
належить прямій
параметричні








tnzz
tmyy
tlxx
0
0
0
nml ,, - координати напрямного вектора
прямої;
 000 ,, zyx - координати точки, яка
належить прямій.
рівняння
прямої, яка
проходить
через дві
точки
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx







  111 ,, zyx та
 222 ,, zyx - координати двох
точок, які належать прямій
Кут між двома прямими – це гострий кут, який створено напрямними векторами
цих прямих
 
21
21
21
SS
SS
s;ˆscos


.
Умовою паралельності двох прямих є колінеарність їх напрямних векторів :
2121 SSss 
, тобто 2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l

.
Умовою перпендикулярності двох прямих є перпендикулярність їх напрямних
векторів :
2121 SSss  ,тобто
021  SS .
Гострий кут , який створений нормаллю до
площини, заданої рівнянням
0 DCzByAx , та
напрямним вектором прямої, доповнює кут  між прямою
та площиною до
0
90 :

S
N

13
222222
nmlCBA
nCmBlA
NS
NS
cossin




 
.
Умовою перпендикулярності прямої та площини є
колінеарність нормалі до площини та напрямного вектора прямої :
NSs   , тобто C
n
B
m
A
l

.
Умовою паралельності прямої та площини є
перпендикулярність нормалі до площини та напрямного
вектора прямої :
NSs  ,тобто
0 NS .
Правило Крамера.
Це правило можна застосувати, якщо кількість рівнянь і кількість невідомих
співпадають. Невідомі визначають за формулами
31 2
1 2 3, ,
xx x
x x x
 
  
  
( 0  ), де  визначниксистеми і його складають з
коефіцієнтів при невідомих, а у визначниках 1 2 3, ,x x x   коефіцієнти при відповідних
невідомих замінені вільними членами.
Матричний спосіб.
Запишемо систему у матричному вигляді. Для цього введемо матриці виду:
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
, ,
a a a x b
A a a a X x B b
a a a x b
     
            
     
     
.
Запишемо систему у матричному вигляді A X B  . Розв’язок цього рівняння має вигляд
1
X A B
  , де 1
A
є оберненою матрицею до матриці A.
Метод Гауса.
Ідея методу Гауса полягає у зведенні розширеної матриці системи за допомогою
елементарних перетворень матриці до трикутної матриці.
NS
N
S

14
Варіанти індивідуальних завдань.
Завдання №1. Подані матриці А та В, числа α та β. Знайти:
а) С=αА + βВ; б) D = А · ВТ ; F = ВТ · А.
У кожному варіанті перша матриця– А, друга – В, перше число – α, друге – β.
1. 







213
021
, 







121
113
, 2, 3 2. 







211
322
, 







123
101
, -1, 2
3. 







123
111
, 





103
212
, 2, 2 4. 







210
102
, 







123
211
, 4, 3
5. 







212
213
, 







103
201
, -1, -2 6. 







221
114
, 







023
311
, -3, 1
7. 





 232
111
, 







124
311
, 3, 2 8. 







210
320
, 







103
213
, -2, 3
9. 







121
132
, 







115
321
, -2, 4 10. 







112
331
, ,
133
211








2, -2
11. 





 312
321
, 







113
501
, 4, 4 12. 







120
201
, 







120
201
, 4, -2
13. 







123
420
, 







201
312
, 2, 3 14. 







310
021
, 







240
113
, 3, 2
15. 







122
211
, 







431
122
, -3, -1 16. 







232
012
, 







001
123
, 3, 3
17. 







286
420
, 







422
311
, 4,2 18. 







332
221
, 







322
103
, -2, 4
19. 







320
135
, 







334
421
, 2, -4 20. 







122
101
, 







421
312
, 3, -5
21. 







132
212
, 







110
130
, 4, -3 22. 







135
212
, 







112
023
, -1, -2
23. 







515
231
, 







211
222
, 2, -2 24. 







213
311
, 







204
319
, 2, 4

15
25. 







354
312
, 





 114
210
, 2, 3 26. 







143
531
, 





 321
422
, 3, -4
Завдання №2.
Обчислити визначникматриці двома засобами:
а) розкладенням за елементами рядка чи стовпця;
б) методом трикутників;
в) методом Саррюса.
Знайти матрицю А-1, якщо матриця А дорівнює:
Варіанти завдання 2 та 3.
1.













212
211
322
2.













120
212
113
3.













122
110
321
4.













034
322
111
5.












110
113
212
6.













113
322
211
7.













012
423
321
8.











414
211
111
9.













131
243
112
10.










212
315
112
11.












51110
235
327
12.












315
143
121
Задана матриця А. Знайти її ранг за допомогою елементарних перетворень.
1.













1143
2210
0132
2.













1120
1322
1101
3.













1102
1132
2311
4.













9936
6624
3312
5.












2270
1231
0212
6.













1031
1124
0132
7.












1232
1314
1230
8.













6053
2211
2132
9.













1231
3223
2011

16
10.













4421
1101
3322
11.













9396
6264
3132
12.













11371
1312
4021
13.













1210
1232
2101
14.













10962
8644
2322
15.













2132
2210
1321
16.













2131
0264
0132
17.













1210
2123
4312
18.













1231
2120
1011
19.













2312
4113
2201
20.













4222
2103
2213
21.












2021
5313
4232
22.












51525
3963
8642
23.













1013
2122
0131
24.













11250
3232
4011
25.












3212
1013
2101
Розв’язати систему лінійних рівнянь двома засобами:
а) по правилу Крамера;
б) матричним засобом.
1.








;022
,12
,1322
321
321
321
ххх
ххх
ххх
2.








;12
,522
,63
32
321
321
хх
ххх
ххх
3.








;522
,1
,032
321
32
321
ххх
хх
ххх
4.








;734
,7322
,1
31
321
321
хх
ххх
ххх
5.








;1
,63
,222
32
321
321
хх
ххх
ххх
6.








;33
,3322
,22
321
321
321
ххх
ххх
ххх
7.








;22
,5322
,32
321
321
31
ххх
ххх
хх
8.








;42
,4
,823
321
31
321
ххх
хх
ххх
9.








;23
,5232
,12
321
321
32
ххх
ххх
хх

17
10.








;1
,532
,22
321
21
321
ххх
хх
ххх
11.








;322
,322
,423
321
321
321
ххх
ххх
ххх
12.








;4232
,423
,022
321
321
321
ххх
ххх
ххх
13.








;323
,322
,223
321
321
321
ххх
ххх
ххх
14.








;1
,1232
,422
32
321
321
хх
ххх
ххх
15.








;123
,322
,22
31
321
321
хх
ххх
ххх
16.








;32
,33
,12
321
21
321
ххх
хх
ххх
17.








;7234
,43
,12
321
32
321
ххх
хх
ххх
18.








;422
,1
,11543
321
31
321
ххх
хх
ххх
19.








;24
,2333
,3222
21
321
321
хх
ххх
ххх
20.








;132
,334
,132
21
321
321
хх
ххх
ххх
21.








;723
,824
,253
21
321
321
хх
ххх
ххх
22.








;3324
,34
,032
321
31
321
ххх
хх
ххх
23.








;54
,43
,142
21
321
321
хх
ххх
ххх
24.








;13265
,8422
,43
321
321
21
ххх
ххх
хх
25.








;353
,826
,6543
321
31
321
ххх
хх
ххх
26.








;732
,1223
,622
321
321
31
ххх
ххх
хх
27.








;9232
,343
,62
321
321
321
ххх
ххх
ххх
28.








;8223
,534
,15
321
321
321
ххх
ххх
ххх
29.








;234
,3223
,12
321
321
31
ххх
ххх
хх
30.








;5322
,22
,123
321
31
321
ххх
хх
ххх
Завдання 6. Задано координати вершини піраміди:
1.        364101122631 4321  ;;A,;;A,;;A,;;A .
2.        4258510032624 4321  ;;A,;;A,;;A,;;A .
3.        124133217427 4321 ;;A,;;A,;;A,;;A  .
4.        636237251412 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
5.        7610363306251 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
6.        361951532110 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
7.        111421052025 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
8.        7910605121212 4321  ,,A,,,A,,,A,,,A .
9.        641484171402 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
10.        1223622355414 4321  ,,A,,,A,,,A,,,A .

18
Знайти: 1. Довжину ребра 21 AA .
2. Кут між ребрами 21 AA та 41 AA .
3. Площу грані 321 AAA .
4. Об’єм піраміди.
5. Зробити креслення.
Відомі координати точок А, В, С та D.
1. Знайдіть координати векторів а=АВ, b=CD.
2. Знайдіть їх довжину (абсолютну величину).
3. Знайдіть координати вектора d=2a-b та його абсолютну величину.
4. Знайдіть скалярний добуток векторів а та b.
Дані за варіантами.
1 варіант А(12; 5) В(11; 4) С(1; 1) D(9; 0)
2 варіант А(12; 13) В(4; 12) С(7; 0) D(1; 7)
3 варіант А(0; 2) В(8; 3) С(5; 3) D(5; 0)
4 варіант А(11; 4) В(5; 1) С(3; 8) D(2; 5)
5 варіант А(8; 13) В(8; 12) С(5; 9) D(8; 4)
6 варіант А(7; 9) В(1; 2) С(2; 7) D(5; 5)
7 варіант А(4; 5) В(7; 1) С(1; 6) D(1; 4)
8 варіант А(10; 8) В(9; 2) С(4; 2) D(4; 7)
9 варіант А(13; 7) В(1; 0) С(1; 3) D(5; 5)
10 варіант А(7; 6) В(0; 13) С(8; 9) D(3; 7)
11 варіант А(1; 3) В(6; 3) С(7; 9) D(7; 2)
12 варіант А(1; 9) В(4; 2) С(7; 4) D(5; 2)
13 варіант А(12; 8) В(2; 2) С(5; 8) D(6; 3)
14 варіант А(9; 5) В(8; 14) С(8; 1) D(1; 8)
15 варіант А(11; 14) В(6; 2) С(1; 9) D(3; 3)
16 варіант А(1; 2) В(4; 14) С(1; 9) D(3; 5)
17 варіант А(3; 7) В(6; 13) С(5; 5) D(5; 7)
18 варіант А(5; 5) В(12; 9) С(5; 1) D(1; 6)
19 варіант А(13; 0) В(4; 11) С(0; 9) D(5; 8)
20 варіант А(11; 4) В(6; 8) С(2; 2) D(1; 6)
21 варіант А(13; 14) В(5; 0) С(1; 2) D(8; 2)
22 варіант А(11; 14) В(6; 6) С(4; 8) D(0; 0)
23 варіант А(10; 1) В(1; 7) С(7; 5) D(9; 3)
24 варіант А(9; 10) В(9; 6) С(6; 2) D(3; 2)
25 варіант А(7; 3) В(10; 14) С(1; 2) D(7; 6)
Дано координати вершин деякого трикутника АВС. Знайти:
а) рівняння сторони ВС;
б) довжину сторони ВС;
в) рівняння висоти, проведеної з точки А;
г)довжину висоти, проведенної з точки А;
д) рівняння медіани, проведенної з вершини С;

19
е) площу трикутника АВС;
ж) кут В (у радіанах з точністю до двох знаків).
Зробити малюнок!
1. А(-10; 5) В(14; -2) С(-4; 22)
2. А(-10;10) В(14;; 3) С(-4; 27)
3. А(-20; 1) В(4; -6) С(-14; 18)
4. А(-15; -7) В(9; -14) С(-9; 10)
5. А(-20; 4) В(4; -3) С(-14; 21)
6. А(-10; 12) В(14; 5) С(-4; 29)
7. А(5; 3) В(29; -4) С(11; 20)
8. А(-8; 4) В(16; -3) С(-2; 21)
9. А(-13; 5) В(11; -12) С(-7; 12)
10. А(5; 4) В(-4; 8) С(-9; -2)
11. А(4; 6) В(-4; 0) С(-1; 4)
12. А(-1; 2) В(3; -1) С(0; 4)
13. А(3; 2) В(5; -2) С(1; 0)
14. А(10; 6) В(-2; 2) С(4; -6)
15. А(2; -1) В(-1; 3) С(2; 4)
16. А(-26; -10) В(22; 24) С(-14; 24)
17. А(-3; 3) В(6; -9) С(12; 9)
18. А(1; -1) В(-2; 1) С(3; 5)
19. А(8; 4) В(-4; -4) С(12; 8)
20. А(6; 7) В(-5; 9) С(-10; -3)
21. А(3; 1) В(-5; 8) С(-10; -2)
22. А(4; -4) В(6; -10) С(10; 14)
23. А(6; -9) В(9; -6) С(-6; 30)
24. А(-4; 8) В(12; -4) С(0; 16)
25. А(2; 1) В(-1; 1) С(3; 2)
Завдання №9. Задано координати вершини піраміди. Знайти:
1. Рівняння грані 321 AAA .
2. Рівняння ребра 21 AA .
3. Кут між ребром 41 AA і гранню 321 AAA .
4. Рівняння та довжину висоти DA4 , яка опущена з вершини 4A на грань 321 AAA .
1.
       364101122631 4321  ;;A,;;A,;;A,;;A .
2.
       4258510032624 4321  ;;A,;;A,;;A,;;A .
3.
       124133217427 4321 ;;A,;;A,;;A,;;A  .
4.
       636237251412 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
5.
       7610363306251 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
6.
       361951532110 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
7.
       111421052025 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
8.
       7910605121212 4321  ,,A,,,A,,,A,,,A .
9.
       641484171402 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .

20
10.
       1223622355414 4321  ,,A,,,A,,,A,,,A .
11.
       364101122631 4321  ;;A,;;A,;;A,;;A .
12.
       4258510032624 4321  ;;A,;;A,;;A,;;A .
13.
       124133217427 4321 ;;A,;;A,;;A,;;A  .
14.
       636237251412 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
15.
       7610363306251 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
16.
       361951532110 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
17.
       111421052025 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
18.
       7910605121212 4321  ,,A,,,A,,,A,,,A .
19.
       641484171402 4321 ,,A,,,A,,,A,,,A  .
20.
       1223622355414 4321  ,,A,,,A,,,A,,,A .
1. Рівняння грані 321 AAA .
2. Рівняння ребра 21 AA .
3. Кут між ребром 41 AA і гранню 321 AAA .
4. Рівняння та довжину висоти DA4 , яка опущена з вершини 4A на грань 321 AAA .
Встановити, яка лінія задана даним рівнянням, та привести його до канонічного виду.
Зробити малюнок.
1. х2+у2+10х-6у+25=0; 2. 4х2+у2+2х-14у+14=0;
3. 8х2+24х+12у+11=0; 4. 9х2-16у2-18х+32у+137=0;
5. у2+2х-10у+31=0; 6. 16х2+4у2+64х+8у+4=0;
7. 25х2+4у2-50х+24у+111=0; 8. у2-8х+4у+12=0;
9. -16х2+25у2+128х+50у-631=0; 10. 4х2+4у2+64х-4у+253=0;
11. 36х2-144у2-360х-1152у-6588=0; 12 .х2+6х-10у+19=0;
13. 9х2+9у2-12у-32=0; 14. 4х2+9у2-16х+36у+16=0;
15. 64х2-49у2+384х+490у+2487=0; 16. 45х2+45у2+30х-13=0;
17. 121х2+9у2-968х+36у+883=0; 18. у2+8х+12у+76=0;
19. 49х2-169у2-294х-2028у+2638=0; 20. х2+8х-5у+21=0;
21. 144х2-441у2+864х-62215=0; 22.144х2+49у2-288х-6912=0;
23. х2-4х-3у-2=0; 24. 16х2+121у2-96х-1792у=0;
25. 256х2-225у2-1800у-58500=0; 26. 4х2+81у2+810у+1701=0;
27. у2-3х-10у+31=0; 28. 2х2+2у2-2х+4у-7=0;
29. у2-5х-2у-14=0; 30. 289х2-225у2+1156х+900у+65281=0.
Питання для самоконтролю.
1. Поняття визначників другого та третього порядків.
2. Влавтивості визначників.
3. Методи обчислення визначників.
4. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням визначника?
5. Матриці. Види матриць.
6. Операції над матрицями.

21
7. Обернена матриця. Алгоритм знаходження оберненої матриці.
8. Елементарні перетворення матриць.
9. Що називається рішенням СЛАР?
10. Рішення систем рівнянь за правилом Крамера.
11. Рішення СЛАР методом Гауса.
12. Рішення СЛАР за допомогою оберненої матриці.
13. Поняття вектора.
14. Скалярний, мішаний, векторний добутки векторів.
15. Види рівнянь прямої.
16. Парабола, її параметри, канонічне рівняння.
17. Гіпербола, її параметри, канонічне рівняння.
18. Еліпс, його параметри, канонічне рівняння.

22
Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля
«Комплексні числа. Основи диференціального числення»
1.Дії над комплексними числами та їх геометрична інтерпритація.
2.Тригонометрична форма комплексного числа.
3.Показникова форма комплексного числа.
4.Дійсні числа. Функція
5.Границя функції.
6.Обчислення границь функцій.
7.Неперервність функції.
8.Диференціювання функцій.
9.Диференціал
10.Похідні та диференціали вищих порядків
11.Монотонність функції. Локальний екстремум функції.
12.Найбільше і найменше значення функції.
13.Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої.
14.Схема дослідження функції та побудова її графіка.
15.Частинні похідні. Повний диференціал функції
16.Деякі застосування частинних похідних.
Алгебраїчна форма комплексного числа: iyxz 
Модуль комплексного числа: 22
yxr 
Аргумент комплексного числа:



















.b,aякщо,
,b,aякщо,
,aякщо,
x
y
arctg
,aякщо,
x
y
arctg
zArg
00
2
00
2
0
0
Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі:
1) )yy(i)xx()iyx()iyx( 21212211  ;
2) )yy(i)xx()iyx()iyx( 21212211  ;
3) )yxyx(i)yyxx()iyx()iyx( 122121212211  ;
4) 2
2
2
2
1221
2
2
2
2
2121
2222
2211
22
11
yx
yxyx
i
yx
yyxx
)iyx)(iyx(
)iyx)(iyx(
iyx
iyx











, при умові, що
022  iyx .
Тригонометрична форма: )sini(cosrz 
Дії над комплексними числами в тригонометричній формі:
1) ))sin(i)(cos(rr)sini(cosr)sini(cosr 212121222111  ;
2)   )nsinin(cosr)sini(cosr nn
 ;

23
3) ))sin(i)(cos(
r
r
)sini(cosr
)sini(cosr
2121
2
1
222
111



;
4) 110
22





 


 n,...,,k,
n
k
sini
n
k
cosr)sini(cosr nn .
Показникова форма:

 i
rez
Дії над комплексними числами в показниковій формі:
1)
)(iii
errerer 2121
2121

 ;
2) )(i
i
i
e
r
r
er
er 21
2
1
2
1
2
1 


 ;
3)   
 innni
erre ;
Перша важлива границя 1
sin
lim
0

 x
x
x
.
Друга важлива границя e
x
x
x








1
1lim .   ex x
x


1
0
1lim .
Правила диференціювання
Якщо. )x(u та )x(v - диференційовані функції, то
1.  
' ' '
( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x  
2.  
' ' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x    
3.
' ' '
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x
    
 
 
4.  
' '
( ) ( )k f x k f x  
Таблиця похідних
1. 0)const( .
2.
1
 nn
nx)x( .
3.
xx
e)e(  .
4. alna)a( xx
 .
5.  
alnx
xloga
1


.
6.  
x
xln
1


.
7.   xcosxsin 

.
8.   xsinxcos 

.
9.  
xcos
tgx 2
1


.
10.  
xsin
ctgx 2
1


.
11.   2
1
1
x
xarcsin



.
12.   2
1
1
x
xarccos



.
13.   2
1
1
x
arctgx



.
14.   2
1
1
x
arcctgx




24
Похідна складної функції
Похідна складної функції ))(( xufy  дорівнює добутку похідної цієї функції за
проміжною змінною и на похідну проміжної змінної и за змінною х. Тобто,
' '( ) '( )y f u u x  )()( xuufy 
 0Mytgk   - геометричний зміст похідної
  000 xxMyyy  - рівняння дотичної
 
 0
0
0
1
xx
My
yy 

 - рівняння нормалі.
ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ
Для дослідження функції і побудови її графіка студент повинен добре знати, що
при зростанні функції - 0y , при спаданні - 0y і розуміти різницю між необхідною
та достатньою умовами існування екстремума функції а також необхідною і достатньою
умовами існування точок перетину.
  00  xy або не існує – необхідна умова існування екстремуму;
  00  xy або не існує – необхідна умова існування точок перетину.
Із цих умов знаходяться критичні точки.
Достатня умова для існування екстремуму в т. 0M або точки перегину – зміна
знака відповідно першої і другої похідної при переході через критичну точку.
0y – функція зростає ↗ ; 0y – функція спадає ↘ ;
0y – функція вгнута 

; 0y – функція опукла

 .
Диференціювання складних функцій з кількома змінними
1.  V,Ufz  , де
 
 




y,xVV
y,xUU
, то
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
zx














 ,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
zy














 .
2.  V,Ufz  , де
 
 




xVV
xUU
, то
x
v
v
z
x
u
u
z
dx
dz











 .
3.  y,xfz  , де  xfy  , то
x
y
y
z
x
z
dx
dz








 .
4.  y,xfz  , dy
y
z
dx
x
z
dz 





 .
5.
xy
z
yx
z




 22
, у точках неперервності.

25
Завдання №1.Записати в тригонометричній та показниковій формах комплексні числа 1z
і 2z . Обчислити 3z .
№ 1z 2z 3z 4z № 1z 2z 3z 4z
1.1.
i22  i 3 21zz
2
2
2
1 zz 
1.11 i44  i122  21zz
)( 21 zz 
1.2.
i22  i 3
2
2
1
z
z )( 21 zz  1.12 i44 
i122 
2
2
3
1 zz 2
2
2
1 zz 
1.3.
i22  i 3
2
2
3
1 zz )( 21 zz  1.13 i44  i273 
2
2
1
z
z )( 21 zz 
1.4.
i22  i 3
2
2
1






z
z
21 zz  1.14 i44  i273
2
3
21 zz
2
2
2
1 zz 
1.5.
i33 i31
1
2
2
z
z 2
2
2
1 zz 
1.15 i44 
i273 
21zz
2
2
2
1 zz 
1.6.
i33 i31
4
1
2






z
z 21 2zz 
1.16 i55 
i273 
2
2
1
z
z )( 21 zz 
1.7.
i33 i21
2
3
21 zz )( 21 zz 
1.17 i33 i82 
2
2
3
1 zz )( 21 zz 
1.8.
i55 i31 21zz
2
2
2
1 zz 
1.18 i55 i44 
2
2
1






z
z
21 zz 
1.9.
i55 i737 
2
2
1
z
z )( 21 zz 
1.19 i1 i273 
1
2
2
z
z 2
2
2
1 zz 
1.10.
i44  i122 
2
2
3
1 zz
2
2
2
1 zz 
1.20 i22 i1255
4
1
2






z
z
21 2zz 
Завдання 2. Знайти область визначення функцій.
1. ;
2
2
lg
x
x
y


 2. y = ;2
xx  3. y = ;
2
1
x
x


4. y = ;
652
 xx
x
5. y = lg ;
4
52
xx 
6.y = 1x ;124
x
7. y = );32lg(1  xx 8. y = ;
4
1
2


x
x
9. y = ;
65
1
2


xx
x
10. y = arccos ;
3
21 x
11. y = ;34 xx  12. y = ;
)1lg(
2


x
x
13. y = arccos(2x-3) + ;4 x 14. y = 2 x1
1
+ arcsin );4lg(
2
3
x
x


15. y = e ;
252
1
ч

26
16. y = arcsin );4lg(
2
3
x
x


17. y = 
 x35
1
log3 (8-4x); 18. y = ;765 32
 xxx
19.y = arccos ;
5
42 x
20. y = ;
)22(log
2
2 

x
x
21. y = log5 ;
2
62
xx 
22. y = arccos ;
3
82 x
23. y = ;3101 xx  24. y = 
 x24
1
log3 (x );232
 x
25. y = 6
1
282 
 x
x ; 26. y = ;
23
62
2


xx
x
27. y = 
 43
1
2
xx
arcsin ;
3
2x
28. y = e
x
x
4
1
2 
+ ;3x 29.y = ;
)54lg(
)32arccos(
2


xx
x
30. y = log2 .
3
5
2
x
x
x



Завдання 3. Обчислити границі функцій не використовуючи правило Лопіталя:
Вар а) б) в) г)
1
112
53
lim
4
4


 xx
xx
x 992
34
lim 2
2
3 

 xx
xx
x 2
2
0 32
11
lim
xx
xx
x 


20
cos1
lim
x
x
x


2
95
768
lim 2
2


 x
xx
x 932
2154
lim 2
2
3 

 xx
xx
x 5
21
lim
5 

 x
x
x x
xtgx
x 2cos1
lim
0 
3
13
12
lim 2
2


 xx
xx
x 34
6144
lim 2
2
3 

 xx
xx
x 2
16
lim
2
4 

 x
x
x x
xx
x 4cos1
3sin
lim
0 
4
43
172
lim 2
2


 xx
xx
x 862
1252
lim 2
2
4 

 xx
xx
x 12
21
lim
3 

 x
x
x
2
2
0 4
cos1
lim
x
x
x


5
273
1
lim 3
3


 xx
x
x 752
23
lim 2
2
1 

 xx
xx
x 109
19
lim 210 

 xx
x
x
xx
xx
x 2sin
coscos
lim
2
0


6
2
2
232
41
lim
xx
xx
x 

 253
4
lim 2
2
2 

 xx
x
x x
xx
x 5
33
lim
0


2
2
0
5sin
lim
x
x
x
7
54
12
lim 2
2


 xx
x
x 23
1
lim 2
2
1 

 xx
x
x 1252
2
lim 24 

 xx
x
x x
x
x 12sin
2
lim 20
8
536
132
lim 2
2


 xx
xx
x 252
23
lim 2
2
2 

 xx
xx
x 21
222
lim
3 

 x
x
x x
xtg
x 3sin2
2
lim
0
9
 
2
2
2
1
lim
x
x
x


   
52
3
0 52
311
lim
xx
xx
x 

 23 9
1213
lim
x
xx
x 


30
sin
lim
x
xtgx
x


10
 
232
1
lim 3
3


 xx
x
x 2911
143
lim 2
2
1 

 xx
xx
x 133
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x x
xx
x 20 cos1
4sin
lim

11
12
32
lim


 x
x
x 12
1
lim 2
2
3 

 xx
x
x 49
25
lim 27 

 x
x
x
2
2
0 9
3cos1
lim
x
x
x


12 32
3
432
32
lim
xxx
xx
x 

 253
128
lim 2
2
2 

 xx
xx
x 3
21
lim
3 

 x
x
x
.
5
2sin
lim
0 x
x
x

27
13
xx
xx
x 

 2
2
3
14
lim
5245
5112
lim 2
2
5 

 xx
xx
x x
x
x
24
lim
0


.
3sin
4
lim
0 x
xtg
x
14
33
687
lim 4
24


 xx
xx
x 2012
65
lim 2
2
2 

 xx
xx
x 225 625
5
lim
x
x
x 


xxctg
x
38sinlim
0
15
1526
413
lim 2
2


 xx
xx
x 5112
5143
lim 2
2
5 

 xx
xx
x 33
62
lim
2
0 

 x
xx
x xx
x
x 3sin
4cos1
lim
0


16 32
1755
lim 3
23


 xx
xxx
x
128
143
lim 2
2
2 

 xx
xx
x 992
1213
lim 23 

 xx
xx
x x
x
x 8cos1
4cos1
lim
0 


17
322
146
lim 23
23


 xx
xx
x 166
232
lim 2
2
2 

 xx
xx
x x
xx
x 2
77
lim
0


x
xx
x sin
3sin5sin
lim
0


18
12
848
lim 4
24


 x
xx
x 67
722
lim 2
2
6 

 xx
x
x 82
412
lim 24 

 xx
xx
x
.
3sin
5
lim
0 x
xctg
x
19
5107
9
lim 3
3


 xx
x
x 1252
4495
lim 2
2
4 

 xx
xx
x xx
xx
x 24
472
lim
2
4 


x
x
x 6sin
lim 2
2
0
20 1235
464
lim 23
23


 xxx
xxx
x
20113
20
lim 2
2
5 

 xx
xx
x
158
122173
lim 25 

 xx
xx
x
x
x
x 2
2
0 cos1
5
lim

Завдання 4. Дослідити на неперервність функцію та класифікувати точки розриву:
1).









.2:,4
;21:,
;1:,1
2
xякщо
xякщоx
xякщоx
y 2).











.
4
:,1
;
4
0:,tg
;0:,4


xякщо
xякщоx
xякщоx
y
3).











.
2
3
:,1
;
2
3
0:,sin
;0:,1


xякщо
xякщоx
xякщоx
y 4).











.
2
:,3
;
2
0:,ctg
;0:,


xякщо
xякщоx
xякщоx
y
5).









.3:,1
;30:,
;0:,cos
xякщо
xякщоe
xякщоx
y x
6).









.1:,1
;10:,
1
;0:,
xякщо
xякщо
x
xякщоx
y
7).









.2:,1
;12:,3
;2:,0
2
xякщоx
xякщоx
xякщо
y 8).









.2:,1
;20:,
;0:,2
xякщо
xякщоx
xякщоx
y

28
9).









.2:,
;21:,2
;1:,2
2
xякщоx
xякщоx
xякщо
y 10).









.1:,)2(
;10:,
;0:,2
2
2
xякщоx
xякщоx
xякщо
y
11).









.3:,2
;30:,1
;0:,cos
xякщоx
xякщо
xякщоx
y 12).












.
2
:,
2
;
22
:,sin
;
2
:,1



xякщоx
xякщоx
xякщо
y
13).









.0:,sin
;02:,
;2:,2
2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
y 14).









.3:,5
;30:,2
;0:,2
xякщоx
xякщо
xякщоx
y
15).











.
2
:,
2
;
2
0:,ctg
;0:,4


xякщоx
xякщоx
xякщоx
y 16).









.1:,3
;11:,1
;1:,3
2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
y
17).









.2:,7
;20:,12
;0:,
2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
y 18).









.1:,1
;10:,12
;0:,2
2
xякщо
xякщоx
xякщоx
y
19).











.0:,
1
;02:,
;2:,4
xякщо
x
xякщоx
xякщоx
y 20).









.2:,10
;20:,
;0:,2
3
xякщоx
xякщоx
xякщо
y
21).









.2:,4
;20:,
;0:,1
2
xякщо
xякщоx
xякщоx
y 22).











.
2
:,2
;
2
0:,tg
;0:,sin


xякщо
xякщоx
xякщоx
y

29
23).












.:,
;
2
:,sin
;
2
:,3




xякщоx
xякщоx
xякщо
y 24).









.2:,)2(
;22:,4
;2:,2
2
2
xякщоx
xякщоx
xякщо
y
25).












.:,
;
4
:,ctg
;
4
:,1




xякщоx
xякщоx
xякщоx
y 26).











.0:,
1
;02:,
;2:,4
xякщо
x
xякщоx
xякщоx
y
27).









.3:,1
;31:,)2(
;1:,
2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
y 28).









.2:,6
;20:,
;0:,cos
2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
y
29).











.2:,2
1
;21:,2
;1:,3
xякщо
x
xякщо
xякщоx
y 30).









.1:,ln
;10:,1
;0:,2
xякщоx
xякщоx
xякщоx
y
Завдання 5. Знайти похідні даних функцій:
Частина 1.
1) а) 126 23
 xxxy , б)   xxy 3sin13
 , в)
;
e
e
y x
x



1
1
2) а) 152 24
 xxy б)
x
x
e
e
y



1
1
, в) ;12
 xarctgy
3) а) 12
2sin


x
x
y
б) 126 23
 xxxy , в) ;xxy 
4) а) xxxy 264 35
 б)   xxy 3cos12
 в)
;
2
3



x
x
arctgy
5) а) xxxy 263 35
 б)
2
cos
x
x
y 
в) ;11 3 32
 xxy
6) а)
83
74 xxxy  б) x
y
1
arccos
в)
;
1
1
ln x
tgx
tgx
y 



7) а) 142 3
 xxy б)   x
exxy 22
16  в) x
x
y
cos1
sin1
ln



;

30
8) а) x
x
y
ln1
ln4


б) 142 3
 xxy в) y = ln(ex + );1 2x
e
9) а) 14
3sin4
2


xx
x
y
б)   xxy 2cos1 в)
;
1
ln
2


x
x
y
10) а) 173 2
 xxy б)   x
exy 13  в)
;
1
1
2
xx
y


11) а) б) 4
210
4
3 x
xy 
в) y = tg2 (x3+1);
12) а) 423 23
 xxxy б) 1
3cos
23


xx
x
y
в) y = arctg
.
1
13
x
x


13) а)
73
8623 xxxy  б) в) y = arctg .xx 
14) а) xxxy 81418 27
 б) xey x
sin в) y = sin2 3x
15) а) xxxy 76 45
 б)   xarctgxy 215  в) y = ;ln1 2
x
16) а)   xxy 3cos82
 б) x
x
y
2sin
3

в) y = arctg ;12
x
17) а)
3
623 xxy  б) в) x
x
y
cos21
sin
ln


;
18) а) xxxy 81418 21
 
б) xey x
2sin
 в)
;
5
533 45
x
xxy 
19) а)
77
1
6 3
3
5
 x
x
xy
б)   xtgxy 215 2
 в)
;
1
1
2
xx
y


20) а)   1282
 xxy б) xtg
x
y
2
3 2

в)
x
ey arccos
Частина 2.
1). ;4tg23 32sin
xxy x
 ;)(ctg ln x
xy  ;
2
12
ln
x
x
y



.0)cos(sin  yxxy
2). );4ln(3 2arcsin
xxy x
   ;2tg ln x
xy  ;
3
12
sin
x
x
y



.0cos)sin(  xyyxx
3). ;
2
sin32 43tg x
xy x
   ;ctg sin x
xy  ;
12
cos3


x
x
y
.03 2
 xye x
y
13
ln


x
x
y
  xtgxy 412

  xtgxy 412


31
4). ;
2
cos22 43arctg x
xy x
   ;ctg tgx
xy  ;
12
tg3


x
x
y
.0
3
2
2

x
y
e xy
5). ;ctg4 4 32cos
xxy x
   ;sin
2
x
xy  ;
1
2
tg


x
x
y
.02sin2  yxyx
6). ;tg34 4 22arccos
xxy x
   ;ctg
2
x
xy  ;
1
2
cos


x
x
y
  .012sin2  xyx
y
7). ;2sin5 3 2ctg 2
xxy x
   ;arccos
2
x
xy  ;
1
12
cos



x
x
y
.0)arctg( 2
 xyxy
8). ;
2
cos25 3 2arctg 2 x
xy x
   ;2sin 3x
xy  ;
2
12
ctg



x
x
y
  .02tg 2
 yxyx
9). ;
2
cos32
3
x
xey
x
tg
   ;2ctg 5x
xy  ;
12
sin 3


x
x
y
  .0arccos 2

y
x
y
10). ;
2
sin42
arctg x
xey
x
   ;2tg cos x
xy  ;
12
tg3


x
x
y
.0arccos 2






xy
y
x
11). ;2tg26 4cos 2
xxy x
   ;
2sin2 x
xy  ;
12
ln 3
x
x
y


.0arcsin 2






yx
x
y
12).  ;2ln36 3arccos
xxy x
   ;12 tgx
xy  ;
12
cos3
x
x
y


  .0sin 2
2

y
x
yx
13). ;
2
ctg22 3cos x
xy x
   ;13
2
2x
xy  ;
2
1
arcsin



x
x
y
  .0sintg  yxyx

32
14). ;
2
cos22 3arcsin x
xy x
   ;3sin
2
x
xy  ;
2
1
ctg



x
x
y
  .0costg  xyxy
15).
  ;2tg6 4 313sin
xxy x
 
;
2
cos
2ctg x
x
y 





 ;
12
ln 3


x
x
y
  .0
122



y
x
e yx
16).  ;12ln6 4 33arctg
 xxy x
  ;2ctg cos x
xy  ;
32
tg3


x
x
y
  .0sin 2

x
y
yx
17). ;2sin4 33
ctg
xxy
x
   ;3tg
3
x
xy  ;
1
12
cos



x
x
y
  .0sin2cos  xyxy
18). ;2cos4 3 22
arctg
xxy
x
   ;2tg
2
3x
xy  ;
1
12
ctg



x
x
y
  .0cossin  xyxy
19).
  ;
3
ctg43 312cos x
xy x
 
  ;2ln
2
x
xy  ;
1
1
arccos



x
x
y
.032
 xye yx
20). ;3sin3 4 32arccos
xxy x
   ;2ln tgx
xy  ;
1
1
cos3



x
x
y
  .03tg
3
 yxexy
21). ;3sin2 3 2tg 2
xxy x
   ;2cos
2
x
xy  ;
2
1
arctg



x
x
y
  .0sin 22
 xyyx
22). ;ctg2 3 2arctg 2
xxy x
   ;2cos
2
x
xy  ;
2
1
tg



x
x
y
  .0arcsin 23
 xyyx
23). ;3cos232
sin
xxey
x
   ;arctg 3x
xy  ;
2
12
tg



x
x
y
  .0sinctg  yxxy
24). ;2tg53 22
arcsin
xxey
x
   ;arctg cosx
xy  ;
2
1
sin



x
x
y
  .0ctgsin  yxxy

33
25). ;
2
cos25 4ctg x
xy x
   ;arcsin 2x
xy  ;
2
12
sin
x
x
y



.0arccos 2






xy
y
x
26). ;
2
sin35 4arcctg x
xy x
   ;arctg
2
2x
xy  ;
3
12
ctg
x
x
y



.0arcsin 2






yx
x
y
27). ;3sin23 4 32tg
xxy x
   ;arctg
3
x
xy  ;
1
1
cos



x
x
y
  .0ctg 22
 xyye x
28). ;2cos43 3 22arctg
xxy x
   ;ctg 2ln x
xy  ;
52
4
tg



x
x
y
  .0ctg 22
 xyye x
29). ;ctg2 4 3sin
xxy x
   ;tg cosx
xy  ;
12
3
ln


x
x
y
  .0cos 222
 yxex y
30). ;3ln52 4arcsin
xxy x
   ;2cos sin x
xy  ;
32
3


x
x
ctgy
  .0sin 222
 yxey x
Завдання 6. Дослідити функції за допомогою диференціального числення та
побудувати їх графіки:
1). ;151294 23
 xxxy .
3 2
3
x
x
y


2). ;36158 23
 xxxy .
1
12



x
xx
y
3). ;31292 23
 xxxy .
2
1
ln



x
x
y
4). ;1096 23
 xxxy .x
exy 

5). ;11215 23
 xxxy
 
.
12 2
3


x
x
y
6). ;21292 23
 xxxy .2 x
exy 

7). ;26
23
23
 x
xx
y .
3
1
ln



x
x
y
8). ;101294 2
 xxxy  .1ln  xxy

34
9). ;496 23
 xxxy .
12
2


x
x
y
10). ;46
23
23
 x
xx
y .
12


x
x
y
11). ;61232 23
 xxxy .
3
2
ln



x
x
y
12). ;101232 23
 xxxy .arctg2 xxy 
13). ;1293 23
 xxxy .
ln
x
x
xy 
14). ;1093 23
 xxxy .
2
2 x
x
y 
15). ;123
5
6
5
23
 x
xx
y .ln xxy 
16). ;8
2
5
6
2
3
 xx
x
y .2
x
exy


17). ;63 23
 xxy .1 xxy 
18). ;3122110 23
 xxxy .
1
2
2
x
x
y 
19). ;2395 23
 xxxy .
2
2


x
x
y
20). ;1392 23
 xxy
  .
1
1
2
2



x
x
y
21). ;32
2
5 23
 xxxy .ln2 xxy 
22). ;31838 23
 xxxy .2arctg xxy 
23). ;52 23
 xxy .
2
3 2



x
x
y
24). ;323
 xxxy .
1
12



x
xx
y
25). ;542 23
 xxxy .
42


x
x
y
26). ;5634 23
 xxxy .
1
222



x
xx
y
27). ;121292 23
 xxxy .
2
arctg2
x
xy 
28). ;6159 23
 xxxy .arctg xxy 

35
29). ;23 23
 xxy .
ln
2
x
x
y 
30). ;248 234
xxxy   .1ln 2
 xy
Завдання 7.
Розв’язати задачу:
1. Коштовність обладнання підприємства зменшується пропорційно швидкості
зменшення коштовності обладнання. Визначте коштовність обладнання через три роки,
якщо спочатку вона складала 20400 гривень
2. Коштовність обладнання підприємства за п’ять років зменшилась до 20500 гривень.
Обчислити, якою вона була спочатку, якщо коштовність обладнання зменшується
пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання.
3. Визначте найбільшу площу стоянки, яку можна огородити тином довжиною 200 метрів.
4. Вікно має форму прямокутника, закінченим півколом. При заданому периметрі знайти
такі його розміри, щоб воно пропускало найбільше світла. Р=6м.
5. Необхідно зробити дерев’яну коробку з квадратним дном без кришки найбільшого
об’єму. Знайдіть розміри коробки, якщо площа поверхні дерева, з якого необхідно зробити
коробку складає 80см.
6. Знайдіть розміри будівлі, на яку буде витрачено найменша кількість цегли, якщо висота
будівлі складає 3м, площа 30м .
7. Необхідно виділити прямокутну площину землі в 1024м2, огородити її тином та
розділити загородкою на три рівних частини паралельно одній із сторін площини. Які
потрібні розміри площини, щоб на побудову тинів пішла найменша кількість матеріалу.
8. Трати на рекламу впливають на валовий прибуток R(a) відповідно закону:
R(a)=R(1+a1/3)? Де R- прибуток у відсутності реклами. При яких значеннях R оптимальні
трати на рекламу перебільшать прибуток за відсутністю реклами?
9. Прямокутний лист жерсті має лінійні розміри 5*8дм. У чотирьох його кутах вирізають
однакові квадрати і роблять відкриту коробку, загинаючи краї під прямим кутом. Яка
максимально можлива місткість цієї коробки?
10. Знайти вираз для об’єма реалізованої продукції у=у(t) та його значення при t=2,
якщо відомо, що крива попиту має вид: p(y)=3-2y, норма акселерації 1/l=1.5, норма
інвестицій m=0.6, у(0)=1.
12. Коштовність обладнання підприємства за п’ять років зменшилась до 20500
гривень. Обчислити, якою вона була спочатку, якщо коштовність обладнання
зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання.
13. Визначте найбільшу площу стоянки, яку можна огородити тином довжиною 200
метрів.
14. Вікно має форму прямокутника, закінченим півколом. При заданому периметрі
знайти такі його розміри, щоб воно пропускало найбільше світла. Р=6м.
16. Знайдіть розміри будівлі, на яку буде витрачено найменша кількість цегли, якщо
висота будівлі складає 3м, площа 30м .
17. Необхідно виділити прямокутну площину землі в 1024м2, огородити її тином та
розділити загородкою на три рівних частини паралельно одній із сторін площини. Які
потрібні розміри площини, щоб на побудову тинів пішла найменша кількість матеріалу.

36
18. Трати на рекламу впливають на валовий прибуток R(a) відповідно закону:
R(a)=R(1+a1/3)? Де R- прибуток у відсутності реклами. При яких значеннях R оптимальні
трати на рекламу перебільшать прибуток за відсутністю реклами?
19. Прямокутний лист жерсті має лінійні розміри 5*8дм. У чотирьох його кутах
вирізають однакові квадрати і роблять відкриту коробку, загинаючи краї під прямим
кутом. Яка максимально можлива місткість цієї коробки?
20. Знайти вираз для об’єма реалізованої продукції у=у(t) та його значення при t=2,
якщо відомо, що крива попиту має вид: p(y)=3-2y, норма акселерації 1/l=1.5, норма
інвестицій m=0.6, у(0)=1.
22. Коштовність обладнання підприємства за п’ять років зменшилась до 20500
гривень. Обчислити, якою вона була спочатку, якщо коштовність обладнання
зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання.
23. Визначте найбільшу площу стоянки, яку можна огородити тином довжиною 200
метрів.
24. Вікно має форму прямокутника, закінченим півколом. При заданому периметрі
знайти такі його розміри, щоб воно пропускало найбільше світла. Р=6м.
Завдання 8. Перевірити слідуючи рівності.
1. y ,
2
x
z
y
z
yx
z








при z = e y
x
2. ,
2
z
y
z
y
x
z
x 





при z = x sin
x
y
3. ,zxy
y
z
y
x
z
x 





при z =
x
y
xxy cos
4. ,02
2
2
2






y
z
x
z
при z =
x
y
arctg
Знайти диференціали другого порядку від функцій:
5. z =
x
y
xin 6. z = 22
yx
xy

7. z = xytg2
8. z = ln( )22
yx  9. z =
y
x
arctg 10. z = )cos( 22
yx 
Впевніться, що
xy
z
yx
z




 22
для;
11.z = ( )sincos xyx  12. z = )ln( y
ex  13. z =
yx
yx


2
2
14.z = )arcsin(xy 15. z = y xln
16. ,ln2
xyz  Знайти
ду
дz
дz
zд
,
2
2

37
17. ,/arccos xyz  Знайти
ду
дz
дx
дz
,
18. ,ln
2
1
y
x
z  Знайти ,,
2
2
дz
zд
дx
дx
19. ,2
xyz  Знайти
дx
дz
дy
дz
,
20. ,
22
2yx
ez 
 Знайти
ду
дz
дz
zд
,
2
2
Зайти 2
22
2
2
;;
дy
zд
дxдy
zд
дx
zд
від функцій:
21.    xyyxyxz cossin  22.  yxz cossin 
23.  yxtgz  ln 24.
33

 x
yz
1. Яка форма комплексного числа називається алгебраїчною (тригонометричною,
показовою)?
2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.
3. Що називається границею функції? Розкриття невизначеностей.
4. Чудові границі.
5. Яка функція називається неперервною? Класифікація точок розриву.
6. Поняття похідної функції, її фізичний та геометричний зміст.
7. Правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій.
8. Похідна другого порядку, її фізичний зміст.
9. Схема дослідження функції на монотонність та екстремум функції.
10. Умови існування екстремуму функції.
11. Схема дослідження функції на опуклість та точки перегину.
12. Асимптоти та способи їх знаходження.
13. Схема дослідження функції.

38
Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля
«Інтегральне числення.»
1.Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних
інтегралів.
2.Основні методи інтегрування.
3.Інтегрування раціональних функцій.
4.Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
5.Інтегрування тригонометричних функцій.
6.Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніця.
7.Методи обчислення визначених
інтегралів.
8.Невласні інтеграли. Наближене обчислення визначених інтегралів.
9.Деякі застосування визначеного інтеграла
10.Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.
11.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
12.Лінійні та однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
13.Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами
14.Системи лінійних диференціальних рівнянь.
Властивості невизначеного інтеграла
1. а)     xfdxxf 

 .
б)      dxxfdxxfd .
в)      Cxfxdf .
2. а)      constA,dxxfAdxxAf .
б)           dxxfdxxfdxxfxf 2121 .
в)     CbaxF
a
dxbaxf 
1
, якщо      CxFdxxf .
Інтегрування способом підстановки
    
 
 
 
 dxxf
dxdtt
dxtd
xt
dtttf  







 .
Інтегрування способом за частинами
  vduvuudv .
Таблиця невизначених інтегралів
1.  



1
1
1




,C
x
dxx ; 8.   Cxsinlndxctgx ;
2. Cxln
x
dx
 ; 9.   Ctgx
xcos
dx
2
;

39
3.   C
aln
a
dxa
x
x
; 10.   Cctgx
xsin
dx
2
;
4.   Cedxe xx
; 11.  

C
a
x
arctg
aax
dx 1
22
;
5.   Cxcosdxxsin ; 12. Ckxxln
kx
dx



2
2
;
6.   Cxsinxdxcos ; 13.  

C
a
x
arcsin
xa
dx
22
;
7.   Cxcoslndxtgx ; 14.  




C
ax
ax
ln
aax
dx
2
1
22
.
Формула Ньютона - Лейбниця для обчислення визначених інтегралів
       aFbFxFdxxf
b
a
b
a
 .
Спосіб підстановки у визначених інтегралах
    
   
   
 dxxf
axtпри;dxdtt
bxtпри;xt
dtttf
b
a
 




 

 .
Спосіб інтегрування за частинами у визначених інтегралах
   
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Формули для розв’язування прикладних задач
1. Площа плоскої фігури
а)     
b
a
xf;dxxfS 0,
(криволінійної трапеції).
б)         xfxf;dxxfxfS
b
a
1212   .
2. Довжина дуги

40
а)    xyyякщо,dxyl
a
b
'
x  
2
1 .
б)      
 









  tпараметр,
tyy
txx
якщо,dtyxl '
x
'
t
22
.
3. Об’єм тіл обертання
 dxxyV
b
a
x  2
 ;  
d
c
y dyyxV 2
 ;
        xfxfякщо,dxxfxfV
b
a
x 12
2
1
2
2   ;
4. Площа поверхні обертання
    dxyxyP '
x
b
a
x
2
12   .
Завдання1. Обчислити невизначені інтеграли.
1.1. а)    dxxx 76 23
б) 15x
dx
в) xdxxsin
1.2. а)    dxxxx 125 34
б)
  
3
202x
dx
в) xdxx 2cos
1.3. а)    dxxx 763 2
б)
  
3
15x
dx
в) xdxxsincos2
1.4. а)    dxxx 765 24
б) 16x
dx
в)arctgxdx
1.5. а)    dxxxx 326 253
б)
  
4
32x
dx
в) x
dx
xtg 2
2
cos
1.6. а)    dxxxx 326 258
б)
  
3
23x
dx
в)arcctgxdx
1.7. а)    dxxxx 152 23
б)
  
7
45x
dx
в) xdxln
1.8. а)    dxxxx 653 234
б)
  
8
16x
dx
в) 
dx
x
x
3
2
1
1.9. а)    dxxxx 523 47
б) 14x
dx
в) 
dx
x
x
52
1.10.а)    dxxxx 323 47
б) 14x
dx
в) xdxxcos3
1.11.а)    dxxxx 832 23
б)
  
4
25x
dx
в) xdxxln
1.12.а)    dxxxx 42
53 б)
  
3
78x
dx
в) xdxx 2sin2
1.13.а)    dxxxx 26 254
б)
  
4
53x
dx
в) xdxx 3cos

41
1.14.а)    dxxx 52 36
б)
  
4
75x
dx
в) xdxxsin3
1.15.а)    dxxxx 34
6837 б) 116x
dx
в) xdxarctg33
1.16.а)    dxxxx 9723
б)
  
2
318x
dx
в) xdxarcsin
1.17.а)    dxxx cossin1 б)
   312x
dx
в)    xdxx cos1
1.18.а)    dxxx 52 24
б)  
dx
x
x
12
в)    xdxx ln1
1.19.а)  

 dxxxx 32
6337 б)  dx
x
xln
в) arcctgxdx5
1.20.а)    dxxxx 1334 23
б)
  
3
3x
dx
в)  xdxx cos)42(
Завдання2. Обчислити визначені інтеграли.
2.1. а)  

2
1
23
6 dxxxx б) 
4
0
7sinsin

xdxx
2.2. а)  

2
1
23
2 dxxx б)   
3
0
3cos1

xdxx
2.3. а)   
6
5
23
1 dxxx б)
3
1
1
2
1
dxe
x
x
2.4. а)  

1
2
3
13 dxxx б) 
2
4
2
sin
1


dx
x
2.5. а)   
4
3
3
16 dxxx б)
3
1
1
2
2
1
dx
x
x
2.6. а) 
4
6
3sin


xdx б)

0
3sin xdx
2.7. а) 
2
1
3
2 dxx
б)
4
1 5
1
dx
x
2.8. а)  

2
2
2
16 dxxx б)
e
xdx
1
ln
2.9. а)  

4
3
3
26 dxxx б)
1
0
arctgxdx
2.10.а) 

4
6
5sin


xdx б) 
4
0
cos

xdxx

42
2.11.а) 

3
4
4cos


xdx б)  

4
3
2
16 dxxx
2.12.а)  
1
0
1dxx б)

1
0
dxxe x
2.13.а) 
2
0
sincos

xdxx б) 
1
0
32
1dxxx
2.14.а)  

3
2
4
86 dxxx б)  
3
0
2
1x
dx
2.15.а)  

4
3
3
26 dxxx б)
e
xdx
1
ln
2.16.а)  
1
0
32
1 dxxx б) 
2
4
2
sin
1


dx
x
2.17.а) 
2
0
3
sincos

xdxx б) 
1
0
43
1dxxx
2.18.а)  

3
2
4
125 dxxx б) 
 
2
1
2
1
2
1 x
dx
2.19.а)  

4
3
3
324 dxxx б)
e
xdxx
1
ln
2.20.а)  
1
0
2
1 dxxx б) 
4
0
2
cos
1

dx
x
Завдання3. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:
3.1. 0,4 2
 yxy ;
3.2. 0,6,2
 yxyxy ;
3.3. 9,4,0,42
 xxyxy
3.4. 1,,  
xeyey xx
;
3.5. 2,4 2
 xyxy ;
3.6. 032,  
yxxy ;
3.7. 5,4  yxxy ;
3.8. 4,5,  xyxxy ;
3.9.
2
,,sin

 xxyxy ;
3.10. 4
3
2
,
3
2
2
 xy
x
y ;
3.11. 0,
3
,  yxtgxy

;
3.12. 0,,ln  yexxy ;
3.13. xyxxxy  4,1,422
;
3.14. 0,05,042  yyxyx ;
3.15. 3,0,0,3
3
1 2
 xxyxy ;
3.16. 0,4 2
 yxxy ;
3.17. 065,2
 yxxy ;
3.18. xxyxy 3
2
1
,
4
1 22
 ;
3.19. 32,62
 xyxy ;
3.20. 3,0,0,322
 xxyxxy
Завдання4. Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь.

43
4.1. а) 011 22
 xyyyx ;
б) 2
x
x
y
y  ;
в) 2
123 xyyy  .
4.11а)  08  dxyedye xx
б) tgxyxxy  )2( 2
в) xyyy cos323  .
4.2.а) ydyxydydxy 22
4  ;
б) xxyctgxy sin2 ;
в) xxyy 36 2

4.12а) 014 22
 dyxydxyx ;
б) 03sin2cos  xxyy ;
в) 2423  xyyy .
4.3 а) ydyxydydxy 22
3 
б)   ctgxyxy 24 
в) 1223  xyyy
4.13а) dxxydyyxydyxdx 22
36  ;
б)
x
ytgxy
cos
1
'  в) x
eyyy 
 3106
4.4 а) 023 22
 dyxydxyx
б) xyctgxy sin
в) xyyy cos23 
4.14 а)
43
)8(



x
yy
yy
б) xxxyy cossinsin 
в) x
eyy 4
84 

4.5 а)  05 22
 dxyedye xx
б)  2
4
4


 x
x
y
y
в) 13208  xyyy
4.15а) 015 22
 xyyy
б) 01'2
xyyx
в x
eyyy 5107 
4.6 а) 045 22
 dyxydxyx
б) 1
1
4


 x
x
y
y
в) x
eyyy 3
5106 

4.16 а) 0ln  yxyy
б) 4
22' xyxy 
в) xyyy cos323 
4.7 а) 01
1
1
2
2




y
x
yy
б) xxyy 3sin3cos 
в) xyyy cos23 
4.17а)  xx
yeye 1
б) xyyx 
в) 391223 3'''
 xyyy
4.8 а)   04  dxedyey xx
б)  ухху 324 2

в) 2323  xyyy
4.18а)
 
13
4



y
yx
yy
б) xyyx sin
в) 12632 2'''
 xxyy
4.9 а) 04 22
 xxyyx
б) хуху  2
3
в) 1352  xyyy
4.4 а) x
yy
yy



5
52 2
б) 322
 xyyx
в) x
eyyy 
 5106
4.10
а) dxxyydyxydyxdx 22
222 
б)  2
2 хуху 
в) x
eyyy 5107 
4.20 а)
53
42



y
x
y
б) 4
)1(2)1(  xyyx
в) x
eyyy 3
596 

44
1. Метод інтегрування дробово-раціональних функцій.
2. Метод інтегрування деяких тригонометричних функцій.
3. Метод інтегрування деяких ірраціональних функцій.
4. Інтегрування способом підстановки.
5. Інтегрування способом за частинами.
6. Означення визначеного інтеграла, його геометричний і фізичний зміст, умови
існування. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона – Лейбніца.
7. Заміна змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
8 Застосування визначеного інтегралу до розв’язання деяких задач геометрії: обчислення
площі плоскої фігури, довжини лінії, об’єму тіла обертання.

45
Вимоги щодо виконання контрольної роботи
1. Номер варіанта дорівнює порядковому номеру студента у академічному журналі.
У кожній задачі треба обрати завдання з номером відповідним до варіанту.
2. Заповніть титульний лист.
3. Контрольна робота виконується чорнилом будь-якого кольору, крім червоних у
зошиті в клітинку. У зошиті повинні бути поля для зауважень викладача.
4. Перед рішенням кожної задачі вказується її умова, замінивши загальні дані
конкретними зі свого варіанта. Розташовувати задачі необхідно в порядку зростання їхніх
номерів, зберігаючи нумерацію.
5. Розв’язок задач обов’язково супроводжуються поясненнями, необхідними
рисунками або графіками та посиланнями на відповідні теоретичні поняття та формули.
6. Робота, виконана з якими-небудь порушеннями перерахованих вище вимог, не
зараховується і повертається студенту для переробки.
7. Студент, що не виконав контрольну роботу, до іспиту (заліку) не допускається.

46
Літе ратура з вищої мате матики, що є у бібліоте ці коле дж у.
№
п/п ЛІТЕРАТУРА
ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА
1
Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы:
Учеб. пособие для техникумов/
О.Н.Афанасьева и др.-М.: Наука, 1987- 208 с
2
Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней
школы – 2-е издание, перераб. и доп.-М.: Наука, 1989.
3
Алгебра и начала анализа ч.I,II. учебник для техникумов/ под ред.
Г.Н.Яковлева.-М.:Наука,1978
4
Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. алгебра та геометрія для економістів:
Навчальний посібник. Вид.3-є.-К.:Вид-во Європ.ун-туфінансів, інформ.
систем, менеджм. і бізнесу,2000
5
Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища
математика.-К.:Національна академія управління,1999
6 Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика:Підручник.-К.:Либідь, 1996
7
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер,
Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред.проф.Н.Ш.Кремера.-
2-е изд., перераб. и доп.-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998
8
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для втузов- 5-е
изд.,испр.-М.: Высш.шк.,1999
9
Вища математика: основні розділи:Підручник:У двох книгах. Книга 1/
за ред. Г.Л.Кулініча.-К.:Либідь,1995
ДОВІДНИКИ
1 Куринной Г.Ч. Математика:Справочник.-Харьков: Фолио; Ростов н/Д:
Феникс,1997
2 Цыпкин А.Г. Справочникпо математике для средних учебных
заведений.- 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988

методические указания для самостоятельного изучения предмет высшая математика

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to методические указания для самостоятельного изучения предмет высшая математика

Similar to методические указания для самостоятельного изучения предмет высшая математика (19)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

методические указания для самостоятельного изучения предмет высшая математика