3. УРОКИ АЛГЕБРИ У 9 КЛАСІ
(за програмою 12 рiчної школи)
ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
І семестр — 32 години (2 години на тиждень),
ІІ семестр — 38 годин (2 години на тиждень),
усього — 70 годин
№
уро
ку
Змiст навчального матерiалу
(тема уроку)
Кiль
кiсть
годин
Дата
про
веден
ня
При
мiтки
Тема 1. Нерівності 16
1, 2 Числові нерівності. Доведення числових
нерівностей
2
3, 4 Основні властивості числових нерівнос
тей
2
5, 6 Почленне додавання і множення
нерівностей. Застосування числових
нерівностей для оцінювання значення
виразу
2
7 Розв’язування задач 1
8 Числові нерівності. Основні властивості
числових нерівностей. Контрольна робо
та № 1
1
9 Нерівність з однією змінною. Система та
сукупність нерівностей з однією змінною
1
10 Числові проміжки. Переріз і об’єднання
проміжків
1
11, 12 Лінійна нерівність з однією змінною 2
13, 14 Розв’язування систем (сукупностей)
лінійних нерівностей з однією змінною
2
15 Підсумковий урок з теми «Нерівності» 1
16 Контрольна робота № 2 1
4 С. П. Бабенко
№
уро
ку
Змiст навчального матерiалу
(тема уроку)
Кiль
кiсть
годин
Дата
про
веден
ня
При
мiтки
Тема 2. Квадратична функція 22
17–
19
Функції. Властивості функції: нулі
функції, проміжки знакосталості, зрос
тання і спадання функції
3
20,
21
Найпростіші перетворення графіків
функцій
2
22,
23
Функція y ax bx c= + +2
, її властивості та
графік
2
24,
25
Квадратна нерівність. Розв’язування
квадратних нерівностей
2
26 Підсумковий урок з теми «Функції.
Властивості функції. Функція
y ax bx c= + +2
. Розв’язування
квадратних нерівностей»
1
27 Контрольна робота № 3 1
28 Графік рівняння з двома змінними 1
29,
30
Системи рівнянь з двома змінними.
Графічний спосіб розв’язання систем
рівнянь з двома змінними
2
31–
33
Розв’язування систем рівнянь
з двома змінними
3
34–
36
Розв’язування текстових задач
складанням систем рівнянь
з двома змінними
3
37 Підсумковий урок з теми «Системи
рівнянь з двома змінними»
1
38 Контрольна робота № 4 1
Тема 3. Елементи прикладної
математики
10
39, 40 Математичне моделювання 2
41, 42 Відсоткові розрахунки. Формула
складних відсотків
2
Усі уроки алгебри. 9 клас 5
4. №
уро
ку
Змiст навчального матерiалу
(тема уроку)
Кiль
кiсть
годин
Дата
про
веден
ня
При
мiтки
43,
44
Випадкова подія. Ймовірність випадко
вої події
2
45,
46
Статистичні дані. Способи подання
даних
2
47 Підсумковий урок з теми
«Елементи прикладної математики»
1
48 Контрольна робота № 5 1
Тема 4. Числові послідовності 12
49 Числові послідовності. Властивості чис
лових послідовностей
1
50,
51
Арифметична прогресія. Формула п го
члена арифметичної прогресії
2
52,
53
Сума перших п членів арифметичної
прогресії
2
54 Геометрична прогресія 1
55 Геометрична прогресія. Формула п го
члена геометричної прогресії
1
56,
57
Сума перших п членів геометричної про
гресії
2
58 Нескінченна геометрична прогресія
( q < 1) та її сума
1
59 Підсумковий урок з теми
«Числові послідовності»
1
60 Контрольна робота № 6 1
Тема 5. Повторення і систематизація
навчального матеріалу
10
61 Числові нерівності 1
62 Розв’язування лінійних нерівностей
та їх систем
1
6 С. П. Бабенко
№
уро
ку
Змiст навчального матерiалу
(тема уроку)
Кiль
кiсть
годин
Дата
про
веден
ня
При
мiтки
63 Функції, властивості функції, власти
вості квадратичної функції
1
64 Розв’язування рівнянь та нерівностей
з однією змінною
1
65 Розв’язування систем рівнянь з однією
змінною
1
66 Числові послідовності 1
67 Розв’язування прикладних задач 1
68 Контрольна робота № 7 1
69,
70
Розв’язування задач 2
Усі уроки алгебри. 9 клас 7
5. ТЕМА 1. НЕРIВНОСТI
І. Числовi нерiвностi та їх властивостi (8 год)
Урок № 1
Числовi нерiвностi. Доведення числових нерiвностей
Мета: домогтися засвоєння учнями:
означення, що виражає залежнiсть мiж вiдношеннями «бiльше»,
«менше», «дорiвнює» й знаком рiзницi лiвої та правої частин не
рiвностi;
поняття числової нерiвностi, уявлення про види числових нерiв
ностей;
поняття «довести нерiвнiсть», змiсту алгоритму доведення не
рiвностей.
Сформувати вмiння:
вiдтворювати змiст вивчених понять та алгоритмiв;
застосовувати їх для розв’язування завдань на порiвняння число
вих i буквених виразiв та доведення нерiвностей у найпростiших
випадках.
Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Числовi нерiвностi».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Вступне слово вчителя про:
особливостi вивчення алгебри в 9 класi;
органiзацiю навчального процесу в 9 класi ( робимо акцент на не
обхiдностi пiдготовки до державної пiдсумкової атестацiї);
будову пiдручника.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Учитель перевiряє лiтнє домашнє завдання (якщо таке було задано).
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Усвiдомленому сприйняттю учнями необхiдностi вивчення основ
ного питання уроку (означення, що виражає залежнiсть мiж вiдно
шеннями «бiльше», «менше», «дорiвнює» й знаком рiзницi лiвої та
правої частин нерiвностi), пропонуємо учням завдання:
1) Який iз записiв: 25 > 17, 0,32 < 0,4, 0,5 = 1,4 – 0,9 зайвий? Чому?
2) Який iз записiв: 25 > 17, 0,32 < 0,4, 0,5 < 1,4 – 0,9 зайвий? Чому?
8 С. П. Бабенко
Пiд час обговорення результатiв виконання завдання пiдводимо
учнiв до висновку про те, що в 7 класi було вивчено питання про
види, властивостi й способи перетворення виразiв, якi не мiстять
дiлення на змiнну (цiлi вирази); у 8 класi вивчалися види, власти
востi й способи перетворень виразiв, якi мiстять дiлення на змiнну
(дробовi вирази). Отже, в 9 класi виникає необхiднiсть узагальнити
знання про види виразiв та логiчний зв’язок мiж ними. Це i є основ
ною дидактичною метою вивчення роздiлу «Нерiвностi».
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте числа:
1) 7,8 i 7,08; 2) 12
1
3
i 12
1
4
; 3) –17,5 i –18,5.
2. Подайте у виглядi квадрата двочлена вираз:
1) x x2
10 25+ + ; 2) m m2
6 9− + ; 3) z n zn2 2
2+ − .
3. Порiвняйте з нулем значення виразу:
1) 2 1− ; 2) a2
1+ ; 3) ( )− −a 1
2
.
4. Який знак має добуток ab, частка
a
b
, якщо:
1)a i b — числа одного знака; 2) a i b — числа рiзних знакiв?
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Означення, що виражає залежнiсть мiж вiдношеннями «бiльше»,
«менше», «дорiвнює» й знаком рiзницi лiвої та правої частин не
рiвностi.
2. Види числових нерiвностей.
3. Алгоритм доведення числових нерiвностей.
4. Приклади доведення числових нерiвностей.
Конспект 1
Числовi нерiвностi
1. Означення
a b> , якщо a b− > 0; a b< , якщо a b− < 0; a b= , якщо a b= .
2. A B> , A B< — строгi нерiвностi;
A B≤ , A B≥ — нестрогi нерiвностi.
5 8< , a2
0≥ — правильнi нерiвностi;
( )a − ≤2 0
2
, 3 4> — неправильнi нерiвностi.
Усі уроки алгебри. 9 клас 9
6. 3. Щоб довести нерiвнiсть A B≤ , тобто довести, що вона є правильною
при заданих умовах, треба:
1) скласти рiзницю лiвої та правої частин нерiвностi;
2) перетворити складену рiзницю так, щоб можна було визначити її знак;
3) зробити висновок.
4. Приклад. Довести нерiвнiсть ( ) ( )a a a− < −4 2
2
.
Доведення. Розглянемо рiзницю
( ) ( )a a a a a a a− − − = − − + − = − <4 2 4 4 4 4 0
2 2 2
.
Отже, ( ) ( )a a a− < −4 2
2
при будь якому a.
Вивчення матерiалу уроку починається з формулювання за
гального означення понять «бiльше», «менше» або «дорiв
нює», що є узагальненням правил порiвняння рiзних видiв
дiйсних чисел, якi було вивчено протягом попереднiх рокiв
навчання в школi. Пiд час вивчення цього питання слiд звер
нути увагу учнiв на те, що сформульоване означення є унiвер
сальним, тобто може бути використане не тiльки для порiв
няння будь якого виду чисел, але й для порiвняння виразiв.
Пiсля формулювання означення вчитель має систематизувати
знання учнiв щодо видiв нерiвностей за їх знаком та змiстом. При
цьому можна провести паралелi iз видами числових рiвностей. Пара
лель бажано проводити й пiд час вивчення властивостей числових
нерiвностей, тобто учнi мають усвiдомити: як рiвностi, так i нерiв
ностi являють собою записи певного виду, але за змiстом подiляють
ся на правильнi й неправильнi.
З розгляду видiв нерiвностей цiлком логiчно випливає питання
про доведення того факту, що задана нерiвнiсть є правильною (або
неправильною). Таким чином, учитель формує уявлення учнiв про
змiст поняття «довести нерiвнiсть» i послiдовнiсть дiй у ходi дове
дення нерiвностi (алгоритм доведення нерiвностi), яка далi iлюстру
ється вiдповiдним прикладом на доведення числової нерiвностi.
VІ. Формування вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте з нулем рiзницю лiвої та правої частин правильної не
рiвностi: 1) a b< ; 2) m n> ; 3) p≤ 4; 4) 8 > y; 5) n ≤ −7.
2. Порiвняйте a i b, якщо:
1)a b− = −5; 2) a b− = 37, ; 3) a b− = −2 1; 4) a b− = −π 4.
10 С. П. Бабенко
3. Спростiть вираз: 1) ( )5 2a + ; 2)( ) ( )10 2 10 4a a− − − ; 3) ( ) ( )b b b− − +1 1
2
.
Виконання письмових вправ
1. Порiвняйте числа x i y, якщо рiзниця x y− дорiвнює: 8; 0; –1,5.
2. Позначте на координатнiй прямiй точки, що зображають числа p,
q i r, якщо p r< , r q< .
3. Порiвняйте числа: 1)
3
5
i
15
26
; 2)
1
3
i 0,4; 3) −
11
13
i −
3
4
.
4. Порiвняйте значення виразiв ( )5 2 2a a+ − i 3 4a − при a = −3; a = 0 1, .
Доведiть, що при будь якому значеннi a значення першого виразу
бiльше за вiдповiдне значення другого виразу.
5. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )2 3 5 7 8a a a− + < + ; 2) ( )( )a a a a− + > + −4 5 302
;
3) ( ) ( )b b b− > −5 10
2
; 4) ( ) ( )( )a a a a+ < + +7 3 4 .
6. Доведiть нерiвнiсть:
1) a b ab2 2
2+ ≥ ; 2) a a2
9 6+ ≥ ;
3) ( )m m n mn+ ≥ ; 4) ( )( )2 21 5 52
y y y− > + − .
7. Нехай a > 0, b < 0. Порiвняйте з нулем вираз:
1)a b− ; 2) 2 3a b− ; 3) b a− ; 4) 7 9b a− ; 5)
a
a b5 −
; 6)
b
b a−
.
З метою кращого засвоєння учнями змiсту матерiалу уроку ре
комендується пiд час виконання вправ неодноразово повторю
вати вiдповiднi означення (включаючи також i умову рiвностi
чисел). Важливо сформувати в учнiв умiння виконувати по
рiвняння чисел через геометричнi уявлення в прямому i зво
ротному порядку (одне число бiльше за друге, якщо воно ле
жить на координатнiй прямiй праворуч, i навпаки, якщо число
лежить праворуч на координатнiй прямiй, то бiльшим є воно).
Пiд час формування вмiнь застосовувати алгоритм доведення
числових нерiвностей, слiд вимагати вiд учнiв чiтких i по
слiдовних записiв у зошитах та докладних усних коментарiв.
Оскiльки цей урок є першим у темi, то на ньому бажано вико
нувати вправи на доведення нерiвностей, якi передбачають от
римання певного числового значення рiзницi лiвої та правої
частин нерiвностi. Бiльш складнi випадки, якi передбачають
видiлення повного квадрата, або iншi способи визначення зна
ка рiзницi лiвої та правої частин нерiвностi, розглядаємо на на
ступному або на цьому уроцi ( це залежить вiд рiвня навчальної
дiяльностi учнiв та сприйняття нового матерiалу).
Усі уроки алгебри. 9 клас 11
7. VІІ. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
1. Яке з наведених тверджень правильне, якщо c d− = 2?
А) c d< ; Б) c d≥ ; В) c d= ; Г) c d> .
2. Порiвняйте значення виразiв ( )a a b+ i ab.
А) ( )a a b ab+ > ; Б) ( )a a b ab+ ≥ ;
В) ( )a a b ab+ < ; Г) Порiвняти неможливо.
VІІІ. Домашнє завдання
Вивчити означення понять, розглянутих на уроцi.
Виконати вправи.
1. Порiвняйте числа m i n, якщо рiзниця m n− дорiвнює: 3; –3.
2. Позначте на координатнiй прямiй точки, що зображають числа a,
b i c, якщо c b> , b a> .
3. Розмiстiть у порядку зростання числа:
1
3
;
4
11
;
2
7
.
4. Порiвняйте значення виразiв ( )6 2 4b b− + i 10 1b + при b = −0 1, ; b = 0.
Доведiть, що при будь якому значеннi b значення першого виразу
менше вiд вiдповiдного значення другого виразу.
5. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )12 8 4 8 0 5b b b+ > + − , ; 2) ( )( )2 13 3 2 5 42
x x x x+ + < + + ;
3) ( )( )b b b− + > −3 3 142
; 4) ( ) ( )( )a a a a+ < + +7 3 4 .
6. Доведiть нерiвнiсть:
1) 4 42
+ ≥b b; 2) ( )x x x+ > −2 2 3; 3) ( )a a b ab+ + >1 .
Повторити формули скороченого множення та означення й влас
тивостi степеня з парним та непарним натуральним показником.
Урок № 2
Числовi нерiвностi. Доведення числових нерiвностей
Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:
класичних нерiвностей для суми взаємно обернених додатних чи
сел, середнього арифметичного двох невiд’ємних чисел (порiвнян
ня з їх середнiм геометричним) та доведення цих нерiвностей;
способу застосування розглянутих нерiвностей пiд час доведення
iнших нерiвностей.
Продовжити роботу з формування вмiнь:
вiдтворювати змiст вивчених понять, алгоритмiв та застосовувати
їх для розв’язування завдань на порiвняння числових та буквених
виразiв;
12 С. П. Бабенко
застосовувати набутi знання пiд час доведення нерiвностей у най
простiших випадках;
доводити нерiвностi з використанням означення, подальшого пе
ретворення рiзницi лiвої та правої частин нерiвностi та видiлення
квадрата двочлена.
Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Доведення нерiвностей».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Ретельно перевiряється правильнiсть виконання вправ домаш
ньої роботи в учнiв, якi потребують додаткової педагогiчної уваги
(зiбрати зошити на перевiрку).
Фронтальну перевiрку якостi виконання вправ домашньої роботи
можна провести у формi завдання «Знайди помилку».
Знайди помилку
1. Вiдомо, що c b> , b a> , тодi на коорди
натнiй прямiй числа a, b, c розташованi
так, як показано на рисунку.
2. Порiвняємо вирази ( )6 2 4b b− + i 10 1b + .
Розглянемо рiзницю
( ) ( )6 2 4 10 1 6 12 4 10 1 11b b b b b b− + − + = − + − − = − .
Отже, ( )6 2 4 10 1b b b− + > + .
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Створенню вiдповiдної мотивацiї на уроцi сприятиме виконання
учнями завдання.
Порiвняйте два вирази, якщо вiдомо, що рiзниця першого й дру
гого виразiв дорiвнює: а)
( )a b
ab
−
2
; б)
( )a b−
2
2
, якщо a > 0, b > 0.
Пiсля обговорення результатiв, отриманих у ходi виконання за
вдання, сумiсними зусиллями доходимо висновку: порiвняння ви
разiв шляхом визначення знака рiзницi двох виразiв та застосування
означення порiвняння чисел можна проводити навiть тодi, коли
рiзниця є буквеним виразом, що мiстить квадрат двочлена. Вивчен
ня цього питання i є основною дидактичною метою уроку. Завдання
Усі уроки алгебри. 9 клас 13
xb a c
8. на урок логiчно випливають iз цiєї мети: сформулювати загальне
правило, а також навчитися застосовувати це правило для розв’язу
вання задач на доведення нерiвностей.
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Виконання усних вправ
1. Обчислiть значення виразу:
1) 1
2
7
− ; 2)
1
3
2− ; 3)
−
−
7 5
2 5
,
,
; 4) –27:81; 5) –3,7–0,4; 6)
1
5
0 2− , ;
7) 6
1
3
⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ; 8) −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2
2
; 9) 2
5
:2
3
; 10)
5
125
5
.
2. Порiвняйте числа m i n, якщо:
1) m n− = −2; 2) n m− = −2; 3) m n− = −3 2; 4) m n= +2.
3. Подайте у виглядi квадрата вираз: 1) 4; 2) 4 2
a ; 3) a, a ≥ 0; 4) 4a.
4. Додатними чи вiд’ємними є числа a i b, якщо:
1) ab > 0; 2)
a
b
> 0; 3) ab < 0; 4) a b2
0> ?
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Доведення нерiвностi
a
b
b
a
+ ≥ 2, a > 0, b > 0.
2. Доведення нерiвностi
a b
ab
+
≥
2
, a ≥ 0, b ≥ 0.
3. Приклади застосування доведених нерiвностей.
Чинна програма передбачає формування в учнiв умiнь дово
дити нерiвностi шляхом:
зведення її до правильної числової нерiвностi;
порiвняння з нулем рiзницi частин нерiвностi з подальшим видi
ленням повного квадрата;
застосуваннянерiвностiдлядвохвзаємнооберненихдодатнихчисел;
застосування нерiвностi мiж середнiм арифметичним та геомет
ричним двох невiд’ємних чисел.
Цi вмiння мають досить широке подальше практичне застосуван
ня. Саме тому вже на цьому та другому уроках у роздiлi, присвячено
му вивченню способiв доведення нерiвностей, розглядаються такi пи
тання:
про доведення нерiвностей у випадку, якщо рiзниця лiвої та правої
частин нерiвностi є буквеним виразом;
14 С. П. Бабенко
про застосування до доведення нерiвностей спiввiдношень мiж се
реднiм арифметичним та середнiм геометричним двох невiд’ємних
чисел та сумою двох взаємно обернених додатних чисел.
Успiшному та свiдомому сприйняттю матерiалу уроку допоможе
виконання усних вправ на порiвняння з нулем буквеного виразу, на
повторення формул скороченого множення, квадрата двочлена зок
рема. Пiсля виконання цих вправ цiлком логiчним є доведення
нерiвностi для суми двох додатних взаємно обернених чисел та для
середнього арифметичного й середнього геометричного двох невiд’єм
них чисел. Пiд час доведення цих нерiвностей звертаємо увагу учнiв
на те, що порiвняння з нулем рiзницi лiвої та правої частин не
рiвностi стає можливим, якщо видiлити квадрат двочлена у здобуто
му буквеному виразi. Обов’язково треба пояснити учням, чому мова
йде про видiлення повного квадрата (а не куба, наприклад). Також
зауважуємо, що зазначеним способом можна довести й iншi не
рiвностi. Для цього розглядаємо приклад, що iлюструє спосiб мiрку
вань пiд час доведення подiбних нерiвностей. Залежно вiд рiвня
навчальних досягнень учнiв класу нерiвнiсть мiж середнiм арифме
тичним та середнiм геометричним двох невiд’ємних чисел можна
узагальнити для скiнченної кiлькостi чисел. Можна також зазначи
ти, що така нерiвнiсть називається нерiвнiстю Кошi.
Пiд час доведення нестрогих нерiвностей обов’язково зазначаємо,
що нестрогi нерiвностi вважаються доведеними, якщо наведено умо
ву, за якої досягається рiвнiсть.
Конспект 2
Доведення нерiвностей
1. Довести, що при додатних a i b правильна нерiвнiсть
a
b
b
a
+ ≥ 2, (1)
тобто сума двох додатних взаємно обернених чисел не менша нiж 2.
Доведення. Складемо рiзницю лiвої та правої частин нерiвностi та пере
творимо її:
( )a
b
b
a
a ab b
ab
a b
ab
+ − =
− +
=
−
2
22 2 2
.
Оскiльки ( )a b− ≥
2
0 i ab > 0 для будь яких додатних a i b, то
( )a b
ab
−
≥
2
0.
Отже, нерiвнiсть доведено.
Нерiвнiсть перетворюється на рiвнiсть за умови, що a b= .
Усі уроки алгебри. 9 клас 15
9. 2. Довести, що при невiд’ємних a i b правильна нерiвнiсть
a b
ab
+
≥
2
, (2)
тобто середнє арифметичне двох невiд’ємних чисел не менше вiд їх серед
нього геометричного.
Доведення. Складемо рiзницю лiвої та правої частин нерiвностi та пере
творимо її:
( )a b
ab
a ab b a b+
− =
− +
=
−
2
2
2 2
2
.
Оскiльки ( )a b− ≥
2
0, то
( )a b−
≥
2
2
0. Отже, нерiвнiсть доведено.
Нерiвнiсть перетворюється на рiвнiсть за умови, що a b= .
Зауваження. Нерiвнiсть
a b
ab
+
≥
2
зручно застосовувати, якщо її записа
но у виглядi a b ab+ ≥ 2 .
3
*
. Нерiвнiсть Кошi для трьох невiд’ємних чисел a, b i c:
a b c
abc
+ +
≥
3
3
.
4. Приклади застосування
1) Довести, що при невiд’ємних a i b правильна нерiвнiсть ab ab+ ≥1 2 .
Доведення. Оскiльки a ≥ 0 i b ≥ 0, то за нерiвнiстю 2 маємо:
ab ab ab+ ≥ ⋅ =1 2 1 2 , що й треба було довести.
2) Довести нерiвнiсть
a
a
2
2
3
2
2
+
+
> .
Доведення.
a
a
a
a
a
a a
a
a
2
2
2
2
2
2 2
2
2
3
2
2 1
2
2
2
1
2
2
1
2
+
+
=
+ +
+
=
+
+
+
+
= + +
+
.
Оскiльки a2
2+ i
1
22
a +
є взаємно оберненими додатними виразами,
причому a2
2 1+ ≠ , то за нерiвнiстю 1 маємо: a
a
2
2
2
1
2
2+ +
+
> .
Отже, нерiвнiсть доведено.
VІ. Формування вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте числаk i p, якщо: 1)k p− = −3; 2)k p= +2; 3)k p+ = +2 2.
2. Порiвняйте з нулем значення виразу:
1) m2
; 2) m2
1+ ; 3) ( )m +1
2
; 4) ( )m −1
2
; 5) ( )− −m 1
2
; 6) − −m2
1.
16 С. П. Бабенко
Виконання письмових вправ
1. Доведiть, що при додатних a i b справджується нерiвнiсть
( )a b
a b
+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≥
1 1
4.
2. Що бiльше: a b3 3
+ або ( )ab a b+ , якщо a i b — нерiвнi додатнi числа.
3. Доведiть нерiвнiсть:
1)
c
c
2
1
2
+
≥ ; 2)
a
а
4
2
1
2
+
≥ ; 3) 9
1
6a
a
+ ≥ при a > 0; 4)
x
x
2
4
1
1
2+
≤ .
4*
. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )( )( )a b c abc+ + + ≥4 1 4 32 при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0;
2) 10 6 2 2 02 2
a a ab b− + + + > ; 3) a a a3 2
8 2 4+ ≥ + при a ≥ −2;
4)
b
b
2
25
2
4
+
≥ + .
На цьому уроцi вiдповiдно до мети проводиться робота з фор
мування вмiнь доводити нерiвностi iз використанням озна
чення (див. алгоритм, складений на попередньому уроцi),
а також формуються вмiння застосовувати нерiвностi для до
ведення нерiвностей. Оскiльки цей матерiал вимагає вiд учнiв
достатнього та високого рiвнiв знань та вмiнь, то є обов’язко
вим тiльки для учнiв вiдповiдного рiвня навчальних досяг
нень.
VІІ. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
1. Вiдомо, що a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1. Яка з наведених нерiвностей
є правильною? 1) a c> ; 2) a c< ; 3)
a c
ac
+
≥
2
; 4) a
a
+ >
1
2.
2. Вiдомо, що a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. Яка з наведених нерiвностей
є правильною? 1) ab < 0; 2) cd < 0; 3) ad < 0; 4) cd2
0> .
VІІІ. Домашнє завдання
Вивчити схему доведення нерiвностей, розглянутих на уроцi.
Виконати вправи.
1. Доведiть нерiвнiсть:
1) 9 3 32 2
x xy y xy− + ≥ ; 2) ( ) ( )5 3 3 2 1
2
− ≥ − +y y y ;
3) ( ) ( )8 3 10 5 8
2
b b b− < − ; 4) ( )a a+ > −1 4 1
2
.
2. Який знак має число x, якщо вiдомо, що:
1) 8 3x x< ; 2) 7 4x x> ; 3) 2 3x x< − ; 4) − > −10 2x x?
Усі уроки алгебри. 9 клас 17
10. 3. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )4 3 48
2
a a+ ≥ ; 2) ( ) ( )4 2 3 2
2
b b b+ < + − ;
3) ( )2 22 2 2
a b c a b c+ + ≥ + ; 4)
a a
a a
2
2
2
1
2
+ +
+ +
≥ .
Повторити властивостi числових рiвностей (див. табл. 4. Алгебра
в таблицях, Є. П. Нелiн).
Урок № 3
Основнi властивостi числових нерiвностей
Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту:
основних властивостей числових нерiвностей та їх наслiдкiв;
способу доведення властивостей числових нерiвностей.
Сформувати вмiння:
вiдтворювати змiст вивчених властивостей та наслiдкiв з них, їх
доведення;
застосовувати їх для виконання вправ на порiвняння буквених ви
разiв та доведення вiдповiдних нерiвностей.
Тип уроку: засвоєння знань, формування первинних умiнь.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Властивостi числових не
рiвностей».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Самостiйна робота
Варiант 1
1. Порiвняйте числа a i b, якщо вiдомо, що:
1) a b− < 0; 2) a b− = −0 2, ; 3) a b− = −2 3 3 2; 4) a b− = +3 5 6 2 .
2. Доведiть, що при будь якому значеннia справджується нерiвнiсть:
1) 3 1 4 2( ) ( )a a a+ + < + ; 2) ( ) ( )( )3 6 3 6 4a a a a+ < + + ;
3) a a a2
1− + ≥ ; 4)
a
a
2
1
2
+
≥ .
Варiант 2
1. Порiвняйте числа a i b, якщо вiдомо, що:
1) a b− > 0; 2) a b− = 34, ; 3) a b− = −2 7 5 2; 4) 2 5 3 3− = −a b.
18 С. П. Бабенко
2. Доведiть, що при будь якому значеннib справджується нерiвнiсть:
1) ( )( )7 1 7 1 49 2
b b b+ − < ; 2) ( ) ( )( )4 1 2 7 2 9b b b b− > + − ;
3) b b b b2 2
50 15 1− ≤ − + ; 4)
b
b2
1
1
2+
≤ .
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
На цьому етапi уроку доречним буде слово вчителя про те, що:
вивчення будь якого математичного поняття включає в себе ви
вчення означення, властивостей та ознак цього поняття (якщо такi
iснують), а також питання про зв’язок поняття, що вивчається, iз
вивченим ранiше матерiалом;
незважаючи на досить велику зовнiшню вiдмiннiсть, що iснує мiж
рiвностями та нерiвностями, вони мають дуже багато спiльних влас
тивостей (доречно продемонструвати кiлька найпростiших прикла
дiв iз числовими рiвностями та вiдповiдними числовими нерiвнос
тями), але при цьому мають суттєвi вiдмiннi властивостi (навести
кiлька прикладiв iз числовими рiвностями та нерiвностями).
Цiлком логiчно сформулювати такi завдання на урок:
вивчення властивостей числових нерiвностей (через їх порiвняння
з вiдповiдними властивостями числових рiвностей);
доведення властивостей числових нерiвностей iз використанням
вивченого на попереднiх уроках означення;
опанування учнями прийомiв використання доведених властивос
тей для розв’язування задач на доведення нерiвностей.
Як варiант роботи на цьому етапi уроку (за умови вiдповiдного
рiвня iнтелектуальної активностi учнiв) моделюємо проблемну ситу
ацiю (порiвняти числа), розв’язання якої неможливе без вивчення
властивостей числових нерiвностей. Отже, завданням уроку є усунен
ня протирiччя мiж тими знаннями, якими учнi володiють, та тими
знаннями, якi є необхiдними для розв’язання поставленого завдання.
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте числа x і y, якщо:
1) ( )x y− = −0 1
2
, ; 2) x y− = −3 4; 3) ( )x y c− = −1
2
.
2. Запишiть вираз у виглядi многочлена:
1) ( )m −1
2
; 2) ( )( )x x− +3 3 ; 3) ( )( )x x− +1 2 ;
4) ( )( )m m− +2 2 ; 5) ( )m m m m+2 .
Усі уроки алгебри. 9 клас 19
11. V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Основнi властивостi числових нерiвностей.
2. Наслiдки з властивостей числових нерiвностей.
3. Приклади застосування властивостей числових нерiвностей та на
слiдкiв з них.
Умiння аргументовано мiркувати пiд час оцiнки значень ви
разiв є одним з найважливiших умiнь, що передбаченi чин
ною програмою з математики. Роботу з формування таких
умiнь було розпочато на попереднiх двох уроках, проте на них
для аргументацiї дiй учнiв були використанi лише означення
порiвняння чисел та в окремих випадках опорнi нерiвностi.
На цьому уроцi учнi мають отримати на озброєння бiльш
рiзноманiтний перелiк способiв, якi представленi основними
властивостями числових нерiвностей. Пiд час закрiплення
знань про цi властивостi слiд звернути увагу учнiв на момен
ти, якi сприятимуть бiльш свiдомому засвоєнню навчального
матерiалу, а саме:
доведення властивостей ґрунтується на означеннi порiвняння чи
сел (тобто проводиться через порiвняння з нулем рiзницi лiвої та
правої частин деякої нерiвностi);
змiст властивостей бажано викласти як математичною мовою
(у виглядi серiї логiчно пов’язаних мiж собою нерiвностей), так
i в словесний формi;
властивiсть 4 (див. конспект 3) виконується в поданому виглядi
тiльки у випадку, якщо числа додатнi;
закрiплення змiсту кожної з доведених властивостей бажано про
вести на певному конкретному прикладi.
Виходячи з вище зазначеного, засвоєння знань бажано провести
iз якомога широким залученням учнiв до роботи з доведення власти
востей числових нерiвностей.
VІ. Формування вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте x та y, якщо x< 3i 3> y.
2. Вiдомо, що m n< . Якi з наведених нерiвностей є правильними?
1) m n+ < +3 3; 2) m n− < −1 1; 3) m n+ > +3 1;
4) 5 5m n< ; 5) − < −3 3m n; 6)
m n
7 7
< .
Вiдповiдь обґрунтуйте.
20 С. П. Бабенко
Конспект 3
Властивостi числових нерiвностей
1. Якщо a b> , то b a< .
2. Якщо a b> , b c> , то a c> .
3. Якщо a b> , то a c b c+ > + .
Наслiдок. a c b+ > i a b c> − .
4. 1) Якщо a b> i c > 0, то ac bc> ; 2) якщо a b> i c < 0, то ac bc< .
Наслiдок. Якщо a b> > 0, то
1 1
a b
< .
Приклади
Вiдомо, що a b< . Порiвняйте значення виразiв:
1) 3a i 3b; 2) −a i −b; 3)
1
2
+ a i
1
2
+ b; 4) − +
a
3
1 i − +
b
3
1.
Розв’язання
1) Оскiльки a b< i 3 0> , то за властивiстю 4 маємо: 3 3a b< ;
2) оскiльки a b< i − <1 0, то за властивiстю 4 маємо: − > −a b;
3) оскiльки a b< , то за властивiстю 3 маємо:
1
2
1
2
+ < +a b;
4) оскiльки a b< , то за властивiстю 4 маємо: − > −
a b
3 3
, а за властивiстю 3:
− + > − +
a b
3
1
3
1.
Виконання письмових вправ
1. Вiдомо, що a b< . Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дiстати
правильну нерiвнiсть:
1) 5 5a b* ; 2) − −9 9a b* ; 3) − −a b* ; 4)
1
2
1
2
a b* ; 5)
a b
8 8
* ; 6) − −
a b
5 5
* .
2. Вiдомо, що a b< . Використовуючи властивостi нерiвностей, за
пишiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо, якщо:
1) до обох частин нерiвностi додамо число –2;
2) обидвi частини нерiвностi помножимо на 3;
3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –1;
4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на 5.
3. Доведiть твердження:
1) якщо ac bc> i c > 0, то a b> ; 2) якщо
a
c
b
c
< i c < 0, то a b> .
4. Порiвняйте числа a i d, якщо: 1) a b< i d b> ; 2) b a− < 0 i d b− < 0.
Усі уроки алгебри. 9 клас 21
12. 5. Порiвняйте числа
c
a
i
c
b
, якщо 0 < <b a i c > 0.
6. Розмiстiть у порядку зростання числа
1
a
,
1
b
,
1
c
, якщо всi вони до
датнi й a b> , b c> .
7*. Доведiть твердження:
1) якщо a b< i b c≤ , то a c< ; 2) якщо a b< , b c< i c d< , то a d< ;
3) якщо a b≥ i c < 0, то ac bc≤ ; 5) якщо a < 0, b < 0 i a b< , то
1 1
a b
> .
8*. Доведiть, що при y> 1 значення виразу
y
y y y y
y
y
2
2 2
3
1
2 1 3
1
+
−
−
−
+
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟:
додатне.
Набiр вправ, що наведено для закрiплення знань про власти
востi числових нерiвностей та формування вмiнь їх застосову
вати до порiвняння виразiв, є традицiйним. Також тради
цiйними залишаються й вимоги, яких мають дотримуватись
учнi пiд час виконання цих вправ. Такими обов’язковими ви
могами є:
чiтке та повне вiдтворення вiдповiдних властивостей числових не
рiвностей пiд час коментування учнями дiй у ході виконання за
пропонованих вправ;
обов’язкове покрокове письмове обґрунтування дiй пiд час засто
сування властивостей числових нерiвностей.
VІІ. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
Вiдомо, що a b> > 0. Яка з наведених нерiвностей є неправильною?
1) − < −5 5а b; 2) 3 3+ > +a b; 3)
a b
3 3
< ; 4)
1 1
a b
< .
VІІІ. Домашнє завдання
Вивчити змiст та доведення властивостей числових нерiвностей
(див. конспект 3).
Виконати вправи.
1. Вiдомо, що x y> . Використовуючи властивостi нерiвностей, запи
шiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо, якщо:
1) до обох частин нерiвностi додамо 9;
2) вiд обох частин нерiвностi вiднiмемо число –3;
3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –5;
4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на –3.
22 С. П. Бабенко
2. Доведiть твердження:
1) якщо an bn> i n < 0, то a b< ; 2) якщо
a
n
b
n
< i n > 0, то a b< .
3. Порiвняйте числа m i k, якщо: 1) m n> i k n< ; 2) m n− > 0 i n k− > 0.
4. Порiвняйте числа
c
a
i
c
b
, якщо 0 < <a b i c > 0.
Виконати вправу на повторення.
Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )x x+ ≥1 4
2
; 2) ( ) ( )4 2 3 2
2
x x x+ < + − ; 3) ( )a b a b2 2
2 2+ + ≥ + .
Урок № 4
Основнi властивостi числових нерiвностей
Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту поняття «оцiни
ти значення виразу». Продовжити роботу над засвоєнням знань про
змiст властивостей числових нерiвностей та їх наслiдкiв.
Сформувати вмiння:
вiдтворювати змiст вивчених властивостей числових нерiвностей,
їх наслiдкiв та доведення цих тверджень;
застосовувати властивостi числових нерiвностей для розв’язуван
ня задач на порiвняння буквених виразiв та доведення вiдповiдних
нерiвностей;
оцiнювати значення виразу iз використанням властивостей число
вих нерiвностей та поняття подвiйної нерiвностi.
Тип уроку: доповнення знань, формування вмiнь та навичок.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Оцiнювання виразiв».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Правильнiсть виконання вправ домашнього завдання перевiря
ємо за зразком.
Учнi з високим рiвнем навчальних досягнень виконують iндивi
дуальнi завдання.
Індивiдуальнi завдання
Картка 1
1. Вiдомо, що a b> . Розташуйте в порядку зростання числа: a +8, b −4,
a +3, a,b −1,b.
Усі уроки алгебри. 9 клас 23
13. 2. Вiдомо, що a b> > 0. Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дiста
ти правильну нерiвнiсть:
1) 12 10a b* ; 2) 6a b* ; 3) − −15 14a b* ; 4) − −3 2a b* .
3. Нехай a > 0 i b > 0. Чи правильно, що:
1) якщо a b> , то a b2 2
> ; 2) якщо a b2 2
> , то a b> ?
4. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )a a a+ + >10 2 10 ; 2) ( )a a+ ≥2 8
2
.
Картка 2
1. Вiдомо, що a b> . Розташуйте в порядку зростання числа: a +2, b −8,
a +11, a,b −6,b.
2. Вiдомо, що a b> > 0. Поставте замiсть * знак > або < так, щоб дiста
ти правильну нерiвнiсть:
1) 8 6a b* ; 2) 12a b* ; 3) − −6 4a b* ; 4) − −11 3a b* .
3. Нехай a < 0 i b < 0. Чи правильно, що:
1) якщо a b< , то a b2 2
< ; 2) якщо a b2 2
< , то a b< ?
4. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )x x x+ + >4 6 4 ; 2) ( )a a+ ≥6 24
2
.
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
З метою усвiдомлення учнями необхiдностi вивчення нового ма
терiалу уроку (використання властивостей числових нерiвностей для
оцiнювання значення виразу) можна запропонувати їм виконати
вiдповiдне завдання практичного змiсту.
Завдання. Вiдомо, що ширина прямокутної дiлянки землi дорiвнює
a м, а довжина — b м, причому 145 146, ,< <a i 20 4 20 5, ,< <b . Чи виста
чить дроту для огорожi цiєї дiлянки, якщо його довжина дорiвнює 71 м?
Виконання цього завдання вимагає вiд учнiв дiй, пов’язаних з оцiн
кою значення виразу iз використанням заданих подвiйних нерiвнос
тей та властивостей числових нерiвностей. Аналiзуючи змiст та мож
ливi шляхи розв’язання цiєї задачi, учнi мають дійти висновку про
iснування певного виду практичних завдань, виконання яких вима
гає вiд них умiнь застосовувати властивостi числових нерiвностей.
Таким чином, формулюється мета: сформувати уявлення про вид за
вдань (на оцiнку значення виразу) та засвоїти знання про загальну
схему дiй пiд час розв’язування таких задач.
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте числа a i b, якщо:
1) ( )a b− = −0 2
3
, ; 2) a b= − π; 3) a b c c− = − +2
2 1.
24 С. П. Бабенко
2. Вiдомо, що a > 4. Чи правильнi нерiвностi:
1) a + >3 7; 2) a + >3 6; 3) 3 12a > ; 4) a > 0? Вiдповiдь обґрунтуйте.
3. Порiвняйте з нулем значення виразу:
1) 2 2
+m ; 2) − −2 2
n ; 3) ( )2
2
−n .
4. Вiдомо, що a b> . Порiвняйте вирази:
1) a +7 i b +7; 2) 7 2, a i 7 2, b; 3) −16 2, a i −16 2, b; 4) b −8 i a −8; 5) −
a
5
i −
b
5
.
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Що означає «оцiнити значення виразу».
2. Якi дiї та в якому порядку слiд виконати, щоб оцiнити значення
виразу? Приклад.
Пiд час формування уявлення про змiст поняття «оцiнити зна
чення виразу» вчитель має звернути увагу учнiв на те, що на
вiдмiну вiд абстрактних ситуацiй, що розглядаються в матема
тичних задачах, у реальному життi ми, як правило, маємо спра
ву не з точними значеннями величин (якi дiстаємо за допомогою
обчислень), а з наближеними значеннями величин (якi одер
жуємо в результатi вимiрювань). Саме тому пiд час розв’язуван
ня практичних задач краще ставити питання не про обчислення
значення виразiв, а про оцiнку значення виразiв, тобто про ви
значення границь (чисел), за якi не виходитиме наближене зна
чення певної величини. Таким чином, формулюється уявлення
учнiв про змiст поняття «оцiнити значення виразу» i його
вiдмiннiсть вiд змiсту завдання «знайти значення виразу».
З метою кращого засвоєння учнями послiдовностi дiй пiд час роз
в’язування задач на оцiнку значення виразу, перед вивченням ма
терiалу уроку бажано виконати вправи на повторення змiсту власти
востей числових нерiвностей та способи мiркувань пiд час їх
застосування для порiвняння виразiв та доведення нерiвностей. Для
цього учням пропонуємо виконати уснi вправи (див. актуалiзацiя…).
VІ. Формування вмiнь
Виконання усних вправ
1. Вiдомо, що 4 6< <a . Оцiнiть: 2a;
a
2
; a +1.
2. Вiдомо, що a > 3. Оцiнiть:
1
a
; −a.
3. Вiдомо, що − < <6 8x . Оцiнiть:
1) 3x; 2) −4x; 3)
x
3
; 4) x−1. Вiдповiдь обґрунтуйте.
Усі уроки алгебри. 9 клас 25
14. Конспект 4
Оцiнювання виразiв
1. Якщо про деякий вираз ( величину) A вiдомо не його точне значення,
а нерiвнiсть, яку задовольняє A:
b A c< < ,
де b i c — деякi дiйснi числа, то кажуть, що ми оцiнили значення виразу
(величини) A.
2. Якщо необхiдно оцiнити значення виразу ( )P x (величини) зi змiнною
x, про яку вiдомо, що b x c< < (b c< ), то треба:
1) встановити правильну послiдовнiсть дiй, яку слiд виконати з x, щоб
утворився вираз ( )P x ;
2) до заданої нерiвностi b x c< < застосувати вiдповiднi властивостi число
вих нерiвностей (усi властивостi числових нерiвностей, якi були розгля
нутi для нерiвностей вигляду a b< , виконуються й для подвiйних
нерiвностей) у встановленому порядку.
3. Приклад. Оцiнити периметр правильного трикутника зi стороною a см,
якщо 54 2 54 3, ,< <a .
Розв’язання. Периметр правильного трикутника зi стороною a обчис
люється за формулою: P a= 3 .
Помножимо на 3 всi частини заданої нерiвностi, запишемо результат:
54 2 54 3, ,< <a , 3 54 2 3 3 54 3⋅ < < ⋅, ,a , 162 6 3 162 9, ,< <a .
Отже, 162 6 162 9, ,< <P .
Виконання письмових вправ
1. Вiдомо, що 32 34, ,< <a . Оцiнiть значення виразу:
1) a +4; 2) 2a; 3) 3 2a − .
2. Вiдомо, що − ≤ <2 5x . Оцiнiть значення виразу:
1) 15 3, x− ; 2) −x; 3) 15 3, − x.
3. Вiдомо, що 0 5 2, < <c . Оцiнiть значення виразу:
1)
1
c
; 2)
3
c
; 3) −
2
c
.
4. Оцiнiть периметр квадрата зi стороною b см, якщо 38 42, ,< <b .
Виконання вправ на повторення
1. Видiляючи iз тричлена квадрат двочлена, доведiть нерiвнiсть:
1) x x2
4 5 0+ + > ; 2) a a2
10 30 0− + > ;
3) x xy y2 2
0+ + ≥ ; 4) x xy y2 2
0− + ≥ .
2. Розв’яжiть рiвняння
7 11
2
3 13
5
18
2 2
x x−
−
+
= .
26 С. П. Бабенко
Властивостi числових нерiвностей є пiдґрунтям для засвоєння
знань учнiв про способи розв’язування лiнiйних та не
лiнiйних нерiвностей iз однiєю змiнною. Тому на цьому уроцi,
формуючи вмiння використовувати властивостi числових не
рiвностей для оцiнювання значення виразу, продовжується
робота iз застосування знань властивостей числових нерiвнос
тей та вмiнь їх застосовувати для порiвняння значень виразiв
та доведення числових нерiвностей.
VІІ. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
1. Оцiнiть значення c, якщо 4
1
20< <
c
.
А) 4 20< <c ; Б) − < < −20 4c ; В) 0 05 0 25, ,< <c ; Г) 0 04 0 2, ,< <c .
2. Оцiнiть довжину m середньої лiнiї трикутника з основою a см,
якщо 12 6 12 8, ,< <a .
А) 10 6 10 8, ,< <m ; Б) 6 3 6 4, ,< <m ; В) 252 256, ,< <m ; Г) 12 6 12 8, ,< <m .
VІІІ. Домашнє завдання
За конспектом вивчити змiст основних понять уроку.
Виконати вправи.
1. Вiдомо, що 14 16, ,< <c . Оцiнiть значення виразу:
1) c −1; 2) 3c; 3) 2 3c + .
2. Вiдомо, що 0 3< ≤y . Оцiнiть значення виразу:
1) −y; 2) − +2 1y ; 3)
1
y
.
3. Оцiнiть периметр рiвностороннього трикутника зi стороною a дм,
якщо 17 19, ,< <a .
4. Розв’яжiть рiвняння
14
9
2
3 9
2
2
32
x x−
+
−
= .
Повторити властивостi числових рiвностей та їх застосування.
Виконати вправу на повторення.
Розв’яжiть систему рiвнянь:
1)
( )
( )
1
3
4
1
4
2
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
2)
( )
( )
2 4 3 2
2 5 2 5
− = −
+ = +
⎧
⎨
⎩
y x
x y y
,
, .
Усі уроки алгебри. 9 клас 27
15. Урок № 5
Почленне додавання i множення нерiвностей.
Застосування властивостей числових нерiвностей
для оцiнювання значення виразу
Мета: сформувати в учнiв уявлення про почленне додавання та
множення нерiвностей; розглянути теореми про почленне додавання
i почленне множення числових нерiвностей та наслiдкiв з них.
Сформувати вмiння вiдтворювати названi властивостi числових
нерiвностей та використовувати цi властивостi для оцiнки значення
виразiв, а також продовжити роботу з удосконалення вмiнь та нави
чок доведення нерiвностей, порiвняння виразiв iз використанням
означення та властивостей числових нерiвностей.
Тип уроку: застосування знань, формування первинних умiнь.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Додавання i множення чис
лових нерiвностей».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Тестове завдання (з наступною перевiркою)
Варiант 1
1) Порiвняйте з нулем рiзницю правої та лiвої частин нерiвностi
m n≤ :
А) бiльша за 0; Б) менша вiд нуля;
В) дорiвнює нулю; Г) менша або дорiвнює нулю.
2) Вiдомо, що a b> . Якому з наведених чисел може дорiвнювати
значення виразу a b− ?
А) –5; Б) 0; В) 0,3; Г) будь якому.
3) Вiдомо, що a b< . Яка з наведених нерiвностей є правильною?
А) − < −5 5a b; Б) 3 3+ > +a b; В)
a b
3 3
< ; Г) a b+ >2 .
4) Оцiнiть значення виразу −a, якщо − < <2 1a .
А) − < − <2 1a ; Б) 1 2< − <a ; В) 2 1< − < −a ; Г) − < − <1 2a .
5) Порiвняйте значення виразiв ( )2 3 5a a− + i 7 8a + при всiх допус
тимих значеннях змiнних.
А) ( )2 3 5a a− + > 7 8a + ; Б) ( )2 3 5a a− + < 7 8a + ;
В) ( )2 3 5a a− + ≤ 7 8a + ; Г) ( )2 3 5a a− + ≥ 7 8a + .
6) Порiвняйте числа m i n, якщо m a> i n a< .
А) m n> ; Б) m n< ; В) m n≤ ; Г) неможливо визначити.
28 С. П. Бабенко
Варiант 2
1) Порiвняйте з нулем рiзницю правої та лiвої частин нерiвностi
a c> .
А) бiльша за 0; Б) менша вiд нуля;
В) дорiвнює нулю; Г) бiльша або дорiвнює нулю.
2) Вiдомо, що a b< . Якому з наведених чисел може дорiвнювати
значення виразу a b− ?
А) –5; Б) 0; В) 0,3; Г) будь якому.
3) Вiдомо, що a b≥ . Яка з наведених нерiвностей є правильною?
А) 3 3a b> ; Б) a b− ≥ −5 5; В) − < −0 4 0 4, ,a b; Г) 7 3a b≥ − ?
4) Оцiнiть значення виразу
1
a
, якщо 7 11< <a .
А)
1
11
1 1
7
< <
a
; Б) − < < −
1
11
1 1
7a
; В)
1
7
1 1
11
< <
a
; Г) iнша вiдповiдь.
5) Порiвняйте значення виразiв 12 8a + i ( )4 8 0 5a a+ − , при всiх до
пустимих значеннях змiнних.
А) 12 8a + < ( )4 8 0 5a a+ − , ; Б) 12 8a + > ( )4 8 0 5a a+ − , ;
В) 12 8a + ≤ ( )4 8 0 5a a+ − , ; Г) 12 8a + ≥ ( )4 8 0 5a a+ − , .
6) Порiвняйте числа m i n, якщо m d− > 0 i d n− > 0.
А) m n> ; Б) m n< ; В) m n≤ ; Г) неможливо визначити.
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
З метою свiдомої участi учнiв у формулюваннi мети уроку
можна запропонувати їм практичне завдання геометричного
змiсту (наприклад, на оцiнку периметра та площi прямокут
ника, довжини сумiжних сторiн якого подано у виглядi по
двiйних нерiвностей). Пiд час бесiди вчитель спрямовує дум
ку учнiв на той факт, що хоча завдання є схожим на тi, що
були розв’язанi на попередньому уроцi (див. урок № 4, оцiни
ти значення виразiв), проте, на вiдмiну вiд зазначених, не
можуть бути розв’язанi тими самими засобами, оскiльки не
обхiдно оцiнити значення виразiв, що мiстять двi (а в пер
спективi й бiльше) змiннi. Таким чином, учнi усвiдомлюють
iснування протирiччя мiж знаннями, яких вони набули, та
необхiднiстю розв’язання певної задачi.
Результатом виконаної роботи є формулювання мети уроку —
вивчити питання про такi властивостi нерiвностей, якi можуть бути
застосованi у випадках, подiбних до описаних у запропонованому
учням завданнi. Отже, треба чiтко сформулювати математичною мо
вою та у словесному виглядi, а потiм довести вiдповiднi властивостi
Усі уроки алгебри. 9 клас 29
16. числових нерiвностей, навчитися їх використовувати в комплексi
з вивченими ранiше властивостями числових нерiвностей для розв’я
зування типових задач.
ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Виконання усних вправ
1. Порiвняйте числа a i b, якщо:
1) ( )a b− = −0 3
4
, ; 2) ( )a b− = −0 3
3
, ; 3) a b= + −2 1;
4) a b= + +2 1; 5) a b x x− = − +2
2 1.
2. Вiдомо, що m n< . Яка з наведених нерiвностей є правильною:
1) 2 2m n> ; 2) m n− > −2 2; 3) − > −2 2m n; 4)
1 1
m n
< ?
3. Який iз наведених виразiв набуває тiльки додатних значень:
1) x x2
10 25+ + ; 2) x x2
2 2+ + ; 3) ( )x−6
2
;
4) | |m −5 ; 5) | |m − +1 4; 6) x2
5+ ?
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Теорема про почленне додавання числових нерiвностей (iз дове
денням).
2. Теорема про почленне множення числових нерiвностей (iз дове
денням).
3. Наслiдок iз теореми про почленне множення числових нерiвно
стей (iз доведенням).
4. Приклади застосування доведених властивостей.
Свiдомому сприйняттю нового матерiалу, запропонованого на
урок, сприятиме виконання усних вправ iз вiдтворенням
означення порiвняння чисел та вiдомих учням iз попереднiх
урокiв властивостей числових нерiвностей.
Зазвичай учнi добре засвоюють змiст теорем про почленне дода
вання та множення числових нерiвностей, проте досвiд роботи свiд
чить про схильнiсть учнiв до певних хибних узагальнень. Тому з ме
тою попередження помилок пiд час застосування знань учителю
бажано звернути увагу учнiв (за допомогою прикладiв та контрпри
кладiв) на деякi контрольнi моменти:
свiдоме застосування властивостей числових нерiвностей немож
ливе без умiння записувати цi властивостi як математичною мо
вою, так i в словесному виглядi;
30 С. П. Бабенко
теореми про почленне додавання та множення числових нерiвно
стей виконуються тiльки для нерiвностей однакових знакiв;
теорема про почленне додавання числових нерiвностей вико
нується за певної умови (див. вище) для будь яких чисел, а теорема
про почленне множення (в тому виглядi, як це подано в конспек
тi 5) — тiльки для додатних чисел;
теореми про почленне вiднiмання та почленне дiлення числових не
рiвностей не вивчаються, тому у випадках, коли необхiдно оцiнити
рiзницю або частку виразiв, цi вирази подаються у виглядi суми або
добутку вiдповiдно, й потiм за певних умов використовують власти
востi почленного додавання та множення числових нерiвностей.
Конспект 5
Додавання та множення числових нерiвностей
1. Теорема. Якщо почленно додати правильнi нерiвностi однакового знака,
залишивши їх спiльний знак, то дiстанемо правильну числову нерiвнiсть.
Якщо a b< i c d< , то a c b d+ < + .
Якщо a x b1 1< < i a y b2 2< < , то a a x y b b1 2 1 2+ < + < + .
2. Теорема. Якщо почленно помножити правильнi нерiвностi однакового
знака, в кожнiй частинi яких — додатнi числа, залишивши їх спiльний
знак, то дiстанемо правильну нерiвнiсть.
Якщо 0 < <a b i 0 < <c d, то ac bd< .
Якщо a x b1 1< < i a y b2 2< < , де a1 0> , a2 0> , то a a xy b b1 2 1 2< < .
3. Наслiдок. Якщо a b< i a > 0, n — натуральне число, то a bn n
< .
4. Приклади
Вiдомо, що 11 14< <x i 1 2< <y . Оцiнiть: 1) x y+ ; 2) xy; 3) x y− ; 4)
x
y
.
Розв’язання
1) За теоремою про почленне додавання нерiвностей маємо: 12 16< + <x y .
2) За теоремою про почленне множення нерiвностей маємо: 11 28< <xy .
3) Запишемо x y− у виглядi суми: ( )x y+ − .
Оцiнимо −y: − > − > −1 2y або − < − < −2 1y . За теоремою про почленне дода
вання нерiвностей маємо: 9 13< − <x y .
4) Запишемо частку
x
y
у виглядi добутку x
y
⋅
1
.
Оцiнимо
1
y
: 1 2 1
1 1
2
< < ⇒ > >y
y
або
1
2
1
1< <
y
.
За теоремою про почленне множення нерiвностей маємо: 5 5 14, < <
x
y
.
Усі уроки алгебри. 9 клас 31
17. VІ. Формування вмiнь
Виконання усних вправ
1. Додайте та помножте почленно нерiвностi:
1) 5 4> i 7 2> ; 2) 5< a i 7 < b; 3) 1 2< <a i 3 4< <b .
2. Пiднесiть нерiвностi 3 4< , a > 2, 2 3< <a до:
1) квадрата; 2) куба.
3. Чи дiстанемо правильну нерiвнiсть того самого знака, якщо пiд
несемо до квадрата обидвi частини нерiвностi:
1) − <5 1; 2) a < 1?
Виконання письмових вправ
1. Додайте почленно нерiвностi:
1) − > −7 9 i 9 4> ; 2) 13 2 5, ,< i − < −34 13, , ; 3) 2 5 32, ,< i − < −17 0 9, , .
2. Перемножте почленно нерiвностi:
1) 0 8 12, ,< i 5 7< ; 2) 7 2 35, ,> i 0 5 0 4, ,> .
3. Пiднесiть до квадрата обидвi частини нерiвностi:
1) 9 7> ; 2) 0 9 12, ,< .
4. Вiдомо, що 2 4< <a i − < < −5 2b . Оцiнiть значення виразу:
1) a b+ ; 2) a b− .
5. Вiдомо, що 0 5 2, < <x i 2 3< <y . Оцiнiть значення виразу:
1) x y+ ; 2) x y− ; 3) xy.
6. Вiдомо, що 0 5 5, < <a i 7 9< <b . Оцiнiть значення виразу:
1) a b+2 ; 2) 2ab; 3)
a
b
.
7. Оцiнiть периметр трикутника зi сторонами a дм, b дм, c дм, якщо
2 2 1< <a , , 16 17, ,< <b , 0 9 1, < <c .
8. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )( ) ( )( )6 1 2 3 4 2 1y y y y− + < + + ;
2) ( )( ) ( )( )3 1 2 1 2 1 2 3y y y y− + > − + .
9. Вiдомо, що a b> . Доведiть, що:
1) a b+ > +5 3; 2) 1 2− < −a b.
Вправи, що пропонуються до виконання на цьому уроцi, мають
сприяти формуванню сталих навичок почленного додавання
i множення нерiвностей у простих випадках. Пiд час цього
вiдпрацьовується дуже важливий момент — перевiрка вiдпо
вiдностi запису нерiвностей умовi теорем та правильний запис
суми й добутку лiвої та правої частин нерiвностей. Пiдготовча
робота проводиться пiд час виконання усних вправ. З метою
кращого засвоєння матерiалу слiд вимагати вiд учнiв вiдтво
рення вивчених теорем пiд час коментування дiй.
32 С. П. Бабенко
Пiсля успiшного опрацювання учнями теорем у простих випад
ках можна поступово переходити до бiльш складних випадкiв (на
оцiнку рiзницi й частки двох виразiв та бiльш складних виразiв). На
цьому етапi роботи вчителевi треба уважно слiдкувати за тим, щоб уч
нi не припустилися типових помилок, намагаючись рiзницю та частку
оцiнювати за власними хибними правилами (про них див. вище).
Також на уроцi (якщо дозволяє час та рiвень засвоєння учнями
змiсту матерiалу) бажано придiлити увагу вправам на застосування
вивчених теорем для доведення бiльш складних нерiвностей.
VІІ. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
1. Оцiнiть ab, якщо 14 15, ,< <a i 2 2 2 3, ,< <b .
А) 18 19, ,< <ab ; Б) 308 345, ,< <ab ;
В) 36 38, ,< <ab ; Г) 306 385, ,< <ab .
2. Оцiнiть a b− , якщо 4 8< <a i 2 4< <b .
А) 0 6< − <a b ; Б) 2 4< − <a b ;
В) 0 4< − <a b ; Г) 4 6< − <a b .
VІІІ. Домашнє завдання
Вивчити теореми про почленне додавання i множення числових
нерiвностей (з доведенням).
Виконати вправи.
1. Додайте почленно нерiвностi:
1) − < −11 9 i − <3 7; 2) − <0 1 0 5, , i 11 18< .
2. Перемножте почленно нерiвностi:
1) 0 25 0 1, ,> i 12 8> ; 2) 0 3 0 5, ,< i 11 18< .
3. Вiдомо, що 4 5< <x i 8 10< <y . Оцiнiть значення виразу:
1) 2x y− ; 2) 0 5, xy; 3)
y
x
.
4. Оцiнiть периметр та площу прямокутника зi сторонами a см i b см,
якщо 35 4, < <a , 2 2 2< <b , .
Повторити класичнi нерiвностi:
a b
ab
+
≥
2
, a ≥ 0, b ≥ 0 i a
a
+ ≥
1
2
при a > 0.
Виконати вправу на повторення.
Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )( ) ( )( )a a a a+ − > − +5 2 5 8 ; 2) ( ) ( )x x x+ < +10 5
2
;
3) a a2
8 17 0+ + > ; 4) a b ab2 2
9 6+ ≥ .
Усі уроки алгебри. 9 клас 33
18. Урок № 6
Почленне додавання i множення нерiвностей.
Застосування властивостей числових нерiвностей для
оцiнювання значення виразу та доведення нерiвностей
Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:
властивостей числових нерiвностей та теорем про почленне дода
вання й множення нерiвностей;
наслiдкiв iз властивостей числових нерiвностей.
Формувати вмiння та навички:
вiдтворювати змiст вивчених понять;
застосовувати властивостi числових нерiвностей та теорем про по
членне додавання й множення для виконання вправ на порiвняння
виразiв, доведення нерiвностей, оцiнку значень виразiв.
Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.
Наочнiсть та обладнання: конспекти 1—5.
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Виконання письмових вправ перевiряємо тiльки в учнiв, якi по
требують додаткової педагогiчної уваги.
Тестовi завдання
Варiант 1
1. Помноживши почленно нерiвностi a > 3 i b > 5, дiстанемо таку пра
вильну нерiвнiсть:
А) a > 15; Б) ab < 15; В) ab > 15; Г) iнша вiдповiдь.
2. Додавши почленно нерiвностi a > 3 i b > 5, дiстанемо таку правиль
ну нерiвнiсть:
А) a b+ > 15; Б) a b+ > 8; В) ab > 8; Г) iнша вiдповiдь.
3. Вiдомо, що 2 3< <a , − < < −5 1b . Оцiнiть значення виразу a b+ .
А) − < + <3 2a b ; Б) − < + < −10 3a b ;
В) − > > −10 3ab ; Г) iнша вiдповiдь.
4. Вiдомо, що 2 3< <a , 0 5 13, ,< <b . Оцiнiть значення виразу ab.
А) 2 5 39, ,< <ab ; Б) 1 39> >ab , ; В) 1 39< <ab , ; Г) iнша вiдповiдь.
5. Оцiнiть значення виразу a b− , якщо вiдомо, що 1 6< <a , 4 7< <b .
А) − < − < −3 1a b ; Б) − < − <6 2a b ; В) 5 13< − <a b ; Г) 4 42< − <a b .
34 С. П. Бабенко
6. Оцiнiть значення виразу
n
m
, якщо вiдомо, що 4 5< <n , 8 9< <m .
А)
1
2
5
9
< <
n
m
; Б) 18 2, < <
n
m
; В)
4
9
5
8
< <
n
m
; Г) 0 5 2, < <
n
m
.
Варiант 2
1. Додавши почленно нерiвностi b > 7 i c > 3, дiстанемо таку правиль
ну нерiвнiсть:
А) b c+ > 21; Б) bc > 10; В) b c+ > 10; Г) iнша вiдповiдь.
2. Помноживши почленно нерiвностi b > 7 i c > 3, дiстанемо таку пра
вильну нерiвнiсть:
А) bc > 21; Б) bc < 21; В) b c+ > 10; Г) iнша вiдповiдь.
3. Вiдомо, що − < <3 1b i − < <12 13, ,a . Оцiнiть значення виразу a b+ .
А) − < + <18 2 6, ,a b ; Б) 36 13, ,< + <a b ;
В) − < + <42 2 3, ,a b ; Г) iнша вiдповiдь.
4. Вiдомо, що 17 18, ,< <m i 2 2 2 3, ,< <n . Оцiнiть значення виразу mn.
А) 374 414, ,< <mn ; Б) 2 9 31, ,< <mn ;
В) 0 5 0 6, ,< <mn ; Г) iнша вiдповiдь.
5. Оцiнiть значення виразу a b− , якщо вiдомо, що 10 14< <a , 2 5< <b .
А) 2 7< − <a b ; Б) − < − < −9 8a b ; В) 8 9< − <a b ; Г) 5 12< − <a b .
6. Оцiнiть значення виразу
a
b
, якщо вiдомо, що 7 8< <a i 9 10< <b .
А) 6 3 8, < <
a
b
; Б) 0 7
8
9
, < <
a
b
; В)
1
8
10
63
< <
a
b
; Г)
7
9
0 8< <
a
b
, .
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Ймовiрно, що пiд час перевiрки виконання вправ тестового за
вдання учнi припустяться декiлькох типових помилок. У цьому разi
мета уроку — застосування знань властивостей числових нерiвнос
тей до виконання вправ та удосконалення навичок їх застосування.
Таке формулювання мети уроку є цiлком логiчним i спрямоване на
усвiдомлення учнями необхiдностi виправлення помилок та прове
дення роботи щодо запобiгання подiбних помилок надалi. Якщо ж
бiльшiсть учнiв упораються iз запропонованими завданнями на
«вiдмiнно», мотивацiя до роботи може бути створена вчителем за до
помогою завдання пiдвищеної складностi або завдання такого типу,
яке не було розглянуто на попередньому уроцi (створюємо пробле
му). У будь якому разi вчитель має налаштувати учнiв на не
обхiднiсть формування бiльш стiйких знань властивостей числових
нерiвностей та їх наслiдкiв, а також на роботу щодо формування на
вичок застосовувати цi властивостi до виконання вправ.
Усі уроки алгебри. 9 клас 35
19. ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
Виконання усних вправ
1. Додайте почленно нерiвностi:
1) a > 2 i b > 3; 2) c < −2, d < 4.
2. Перемножте почленно нерiвностi:
1) a >
1
2
i b > 3; 2) c > 0 2, , d > 0 3, .
3. Оцiнiть a b+ , a b− , ab,
1
a
;
a
b
, якщо 2 3< <a i 1 2< <b .
4. Вiдомо, що a > −2. Чи правильно, що:
1) a + >2 0; 2) якщо c > 4, то a c+ > 2; 3)
1 1
2a
< − ?
5. Скоротiть дрiб:
1)
x x
x
4 2
2
1
−
−
; 2)
2
4 4 1
2
2
x x
x x
−
− +
.
VІ. Удосконалення навичок
Виконання письмових вправ
1. Доведiть нерiвнiсть:
1) ( )( )( )a b a c b c abc+ + + ≥ 8 , якщо a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0;
2) ( )( )( )p q p q pq+ + + ≥2 2 16 , якщо p≥ 0, q ≥ 0;
3) ( )( )a b ab ab+ + ≥4 8 , якщо a ≥ 0, b ≥ 0.
2. Доведiть нерiвнiсть:
1) a
a
+ ≥
1
2, якщо a > 0; 2) ( )x
x
2
2
1
1
1
2+ +
+
≥ .
3. Доведiть нерiвнiсть a b
a b
+ + + ≥
1 1
4, якщо a > 0, b > 0.
4. Оцiнiть значення виразу:
1) a b−2 , якщо − < < −3 2 5a , і 15 2, < <b ;
2)
a
b
5
3+ , якщо 1 12< <a , і 0 3 0 4, ,< <b .
5. Оцiнiть довжину l середньої лiнiї трапецiї з основами a i b, якщо
7 4 7 5, ,< <a і 48 49, ,< <b .
Додатковi вправи
1. Доведiть, що5 4 2 2 02 2
a a ab b+ − + + > при всiх дiйсних значенняхa ib.
2. Доведiть, що ( )( ) ( )4 2 2 21 4− + < −b b b при всiх дiйсних значеннях b.
3. Доведiть, що при a ≥ −1виконується нерiвнiсть a a a3 2
1+ ≥ + .
36 С. П. Бабенко
Вправи, що пропонуються до виконання на цьому уроцi, мають
сприяти формуванню сталих навичок використання теорем
про почленне додавання та множення нерiвностей, а також
iнших властивостей числових нерiвностей для оцiнювання зна
чень виразiв та для доведення бiльш складних нерiвностей.
Також пропонуємо учням вправи, що передбачають подальше
вдосконалення навичок порiвняння виразiв та доведення нерiвно
стей iз використанням означення порiвняння чисел.
VІІ. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
1. Вiдомо, що a b< . Якому з наведених чисел може дорiвнювати рiз
ниця a b− :
А) 5; Б) 0,5; В) –5; Г) 0?
2. Вiдомо, що x y> . Серед наведених укажiть правильнi нерiвностi:
А) x y− > −3 3; Б) − > −x y; В) 5 5x y< ; Г) 2 1 2 1x y+ > + .
3. Знаючи, що 1 2< <a i 2 3< <b , серед наведених виберiть правильну
нерiвнiсть:
А) 3 5< <ab ; Б) 2 6< + <a b ; В)
1
3
1
2
< <
a
b
; Г) 1 32
< <a .
VІІІ. Домашнє завдання
Повторити означення та властивостi числових нерiвностей.
Виконати домашню самостiйну роботу.
Домашня самостiйна робота
Варiант 1
1. Дано: a b< . Порiвняйте:
1) a +5 i b +5; 2) b −11 i a −11; 3) 5 3− b i 5 3− a; 4) 2 0 5− , b i 3 0 5− , a.
2. Дано: 4 7< <a i 3 5< <b . Оцiнiть значення виразiв:
1) a b+ , ab; 2) a b− ,
a
b
; 3) 2 7a b− ,
4
9
b
a
; 4)
0 6 0 2
0 7 0 1
, ,
, ,
b a
a b
−
−
.
Варiант 2
1. Дано: a b> . Порiвняйте:
1) a −5 i b −5; 2) b +12 i a +12; 3) − −2 b i − −2 a; 4) 2 3− b i −3a.
2. Дано: 3 8< <x , 2 7< <y . Оцiнiть значення виразiв:
1) x y+ , xy; 2) y x− ,
y
x
; 3) 3 4x y− ,
6
7
x
y
; 4)
0 6 0 1
0 8 0 3
, ,
, ,
x y
x y
−
−
.
Усі уроки алгебри. 9 клас 37
