2. MUTLAK DEĞER
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan
uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.
Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x|≥ 0 dır.
3. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
|x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
|x - y| = |x| - |y|
|xn| = |x|n
y 0 olmak üzere,
|x| – |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
a ≥ 0 ve x olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.
4. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
|x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
|x – a| + |x – b|
ifadesinin en küçük değeri a ≤ x ≤ b koşuluna uygun bir x
değeri için bulunan sonuçtur.
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve
K = |x – a| – |x – b|olmak üzere,
x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük
değeri bulunur.
5. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
a) |x| < a ise, –a < x < a dır.
b) |x| ≤ a ise, –a ≤ x ≤ a dır.
a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.
b) |x| ≥ a ise, x ≤ –a veya x ≥ a dır.
6. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
a < b ve c olmak üzere,
|x + a| + |x + b| = c
eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.
1. Yöntem
Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.
x + a = 0 ise, x = –a dır.
x + b = 0 ise, x = –b dir.
Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)
–b ≤ x, –b < x ≤ –a ve x > –a dır.
7. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
Bu üç durumda inceleme yapılır.
1. Durum
–b ≤ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b ≤ x koşulunu
sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
2. Durum
–b < x ≤ –a ise, –x – a + x + b = c olur.
Bu denklemin kökü –b < x ≤ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin
de köküdür.
3. Durum
x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu
sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen
denklemin çözüm kümesidir.
8. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
2. Yöntem
a < b ve c olmak üzere,
|x + a| + |x + b| = c ... (*)
eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.
(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)
1- Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,
(*) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = [–b, –a] dır.
9. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
2-Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,
(*) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = dir.
3-Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,
(*) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c
den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın
yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (*) daki
denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu
durumda (*) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç {–b – D, –a + D} olur.
10. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
Örnekler
| 3-5|-| 3-1|+|-5| işleminin sonucu nedir?
Çözüm: 3<5 ise 3-5<0 |3-5|=-3+5
3>1 ise 3-1>0 |3-1|= 3-1
-5<0 ise |-5|= -(-5)=5
| 3-5|- |3-1|+|-5|=(-3+5)-(3-1)+5
=- 3+5- 3+1+5= 11-23
11. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
Örnekler
xR ve X<0 olduğuna göre |x|+|-2x|-|-x|+3x ifadesi neye eşittir?
Çözüm:
x<0 ise |x|= -x
|-2x|= |2x|= -2x
|-x|= |x|=-x
|x|+|-2x|-|-x|+3x= -x-2x-(-x)+3x=-3x+x+3x=x
(-7)2+
4
(-5)4+
3
(-2)3
|-7|+|-5|+(-2)= 7+5-2=10
12. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
Örnekler
|(5-2x)/3|=2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
|(5-2x)/3|=3
(5-2x)/3=2 veya (5-2x)/3=-2
5-2x=6 5-2x=-6
x=-1/2 x=11/2
Ç={-1/2,11/2}’ dir.
13. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
Örnekler
|5x-7|= -3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
Her xR için |5x-7|> 0 olduğundan
|5x-7| ifadesinin negatif olması imkansızdır.
Buna göre |5x-7 | = -3 denkleminin çözüm kümesi dir.
14. MUTLAK DEĞER
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
Örnekler
x|x-3|= 4 denkleminin kaç tane kökü vardır.
Çözüm:
a.x|x-3|= 4
x3 için x(x-3)= 4
x2-3x-4=0
(x-4)(x+1)=0
x=4, x= -1 x 3 olduğuna göre x=-1 kök değil.
b. x<0 için
x(-x+3)=4
-x2+3x-4=0
x2-3x+4=0 Çözüm=
Çözüm kümesi = {4}
