1. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ฟ สิ ก ส บทที่ 7 การเคลื่ อ นที่ แ บบหมุ น
ตอนที่ 1 การขจดเชงมม ความเรวเชงมม และ ความเรงเชิงมุม
ั ิ ุ ็ ิ ุ
การกระจัดเชิงมุม (θ ) คือ มุมที่กวาดไป (เรเดียน)
ความเรวเชงมมเฉลย ( ω ) คือ อัตราสวนของการ
็ ิ ุ ่ี
ขจัดเชิงมุมตอเวลาที่ใชกวาดมุมนั้น ( rad / s )
θ
เฉลี่ย = t
ω
π
และ ω = 2T , ω = 2π f T คือ คาบของการเคลอนท่ี (วินาที)
่ื
f คือ ความถี่ของการเคลื่อนที่ (Hz)
1. ลอหมนอนหนง หมนได 25 เรเดียน ในเวลา 10 วินาที จงหาอตราเรวเชงมมเฉลยของ
 ุ ั ่ึ ุ ั ็ ิ ุ ่ี
การหมนลอน้ี
ุ  ( 2.5 rad /s )
วธทา
ิี ํ
ความเรงเชงมม ( α ) คือ อตราสวนของความเรวเชงมมทเ่ี ปลยนตอเวลาทใช ( rad / s2 )
 ิ ุ ั  ็ ิ ุ ่ี  ่ี
ω −ωo
α = t
ความเร็ว และ ความเรงเชงมม ถือเปนปริมาณเวกเตอร สามารถหาทิศทางได โดยใชกฎ
 ิ ุ 
มอขวา โดยใชมือขวากําแกนหมุน แลวใหนิ้วทั้งสี่วนตามการเคลื่อนที่ นวหวแมมอ
ื ้ิ ั  ื
จะชี้ทิศของ การกระจด ความเร็ว และ ความเรงเชิงมุมทันที
ั
2. ลออนหนง ในตอนแรกหมนดวยความเรวเชงมมคงตว 50 เรเดียน/วินาที ตอมา ลดลง
ั ่ึ ุ  ็ ิ ุ ั 
เหลือ 10 เรเดียน/วินาที ในเวลา 10 วินาที จงหาความเรงเชงมม
 ิ ุ ( –4 rad /s2 )
วธทา
ิี ํ
72

2. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ควรทราบ 1. เมอเปรยบเทยบการเคลอนทแบบเสนตรง และการเคลื่อนที่แบบหมุน
่ื ี ี ่ื ่ี 
s ⇒ θ , a ⇒ α , u ⇒ ωo , v ⇒ ω
การเคลอนทแบบเสนตรง
่ื ่ี  การเคลือนทีแบบหมุน
่ ่
v = u+at ω = ωo + α t
S = (u+ v ) t
2
ω +ω
θ = ( o2 ) t
S = ut + 1 a t2
2 θ = ωo t + 1 α t2
2
v2 = u 2 + 2 a s ω2 = ωo 2 + 2 α θ
2. v = ωR เมือ v คือ ความเร็วเชิงเสน ( เมตร/วินาที )
่
a = αR a คือ ความเรงเชิงเสน ( เมตร/วินาที2 )
(คือ ความเร็วและความเรงของมวลทีเ่ คลือนทีตามเสนรอบวง)
่ ่
3. วตถกอนหนงหมนรอบตวเองดวยความเรวเชงมม 5 เรเดียน/วินาที เมื่อใหแรงกระทําในทิศ
ั ุ ่ึ ุ ั  ็ ิ ุ
เดียวกับการหมุน ปรากฏวาวัตถุกอนนั้นมีความเรงเชิงมุม 2 เรเดียน/วินาที2 จงหาวาถาให
แรงกระทํานาน 10 วินาที คาความเรวเชงมม ณ.วินาทีที่ 10 นั้นมีคาเทาใด
 ็ ิ ุ ( 25 rad/s )
วธทา
ิี ํ
4. วงลอวงหนึ่งมีเสนผาศูนยกลาง 1 เมตร เรมหมนรอบแกนจากหยดนงดวยแรงขนาดหนง
่ิ ุ ุ ่ิ  ่ึ
ทําใหลอนั้นมีความเร็วปลาย 40 เรเดียน/วินาที ในเวลา 10 วินาที จงหาคาความเรงเชงมม
  ิ ุ
วธทา
ิี ํ ( 4 rad/s2 )
5. จากขอที่ผานมา จงหามมทวงลอนนกวาดไปได
ุ ่ี  ้ั ( 200 rad )
วธทา
ิี ํ
73

3. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
6. ลออนหนงใชเ วลา 3 วินาที ในการหมุนไปไดมุมทั้งหมด 234 เรเดียน วดความเรวเชงมม
 ั ่ึ ั ็ ิ ุ
ขณะนั้นได 108 เรเดียน/วินาที จงหาความเร็วเชิงมุมตอนเริมตน
่ ( 48 rad/s )
วธทา
ิี ํ
7. จากขอที่ผานมา จงหาความเรงเชงมมของการหมน
 ิ ุ ุ ( 20 rad/s2 )
วธทา
ิี ํ
8. ลออนหนง มีรัศมี 2 เมตร หมนจากหยดนงจนมความเรวเชงมมคงตว 100 เรเดียน/วินาที
ั ่ึ ุ ุ ่ิ ี ็ ิ ุ ั
ในเวลา 20 วินาที จงหาความเรงเชงมม
 ิ ุ (5 rad /s2)
วธทา
ิี ํ
9. จากขอที่ผานมา จงหามุมที่หมุนไปไดทั้งหมดตั้งแตตน (1000 เรเดียน)
วธทา
ิี ํ
74

4. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
10. จากขอที่ผานมา จงหาความเรว และความเรงที่ผิวลอ ณ.วินาทีที่ 20
็ (200 m/s, 10 m/s2)
วธทา
ิี ํ
11. รถจกรยานคนหนงแลนเปนเสนตรงพบวาลอมความเรงเชงมม 2 rad/s2 ถาลอรถมีเสนผา
ั ั ่ึ      ี  ิ ุ
ศูนยกลาง 1 เมตร จงหาระยะทางที่เคลื่อนที่ไดใน 20 วินาที นบจากเรมตน
ั ่ิ  (200 ม.)
วธทา
ิี ํ
12. มวล 0.5 kg เคลอนทเ่ี ปนวงกลมรอบจดหมนดวยรศมี 2 เมตร จากหยดนงจนมความเรว
่ื  ุ ุ  ั ุ ่ิ ี ็
เชงเสน 20 m/s เมอเวลาผานไป 10 วินาที จงหาจานวนรอบทเ่ี คลอนทได
ิ  ่ื  ํ ่ื ่ี (7.96 รอบ)
วธทา
ิี ํ
75

5. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ตอนที่ 2 โมเมนตความเฉื่อย และ โมเมนตของแรง
โมเมนตความเฉื่อย ( I ) คือ สภาพตานการหมุนของวัตถุ
หากโมเมนตความเฉอย ( I ) มีคามาก ความเรงเชงมม (α) จะมคานอย ( หมุนยาก )
 ่ื  ิ ุ ี 
กรณีวัตถุเล็กๆ หมุนรอบจุดหมุน หรือ วงลอ โมเมนตความเฉอยจะหาคาไดจาก
 ่ื  
I = m R2
เมือ I = โมเมนตความเฉือย (kg . m2)
่ ่
m = มวล (kg)
R = รศมการหมนของมวลนน (m)
ั ี ุ ้ั
หากรอบแกนหมุนมีมวลยอยๆ หลายชินหมุนพรอมกัน การหาโมเมนตความเฉือย ใหหาโมเมนต
้ ่
ความเฉือยของมวลแตละกอน แลวนํามารวมกัน
่
2
I = m 1 R1 + m2 R 2 + m3 R 3
2
2
I = Σ mR2
13. จากรูป มวล 3 กอน เคลอนทรอบแกน
่ื ่ี
หมนเดยวกนพรอมกน จงหาโมเมนตแหง
ุ ี ั  ั  
ความเฉอยของการหมนน้ี (39 kg.m2)
่ื ุ
วธทา
ิี ํ
14(En 41) ทรงกระบอกเสนผาศูนยกลาง 0.12 เมตร เมอดงเชอกท่ี
่ื ึ ื
พนรอบทรงกระบอกดวยแรง 9.0 นิวตัน พบวาเชอกมความเรง
ั   ื ี 
0.36 เมตรตอวนาท2 จงหาโมเมนความเฉอยของทรงกระบอก
 ิ ี ่ื
1. 0.05 kg.m2 2. 0.09 kg.m2
3. 0.12 kg.m2 4. 1.20 kg.m2 (ขอ 2)
วธทา
ิี ํ
76

6. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
ในกรณีวตถุรปรางอืนๆ เราอาจหาคาโมเมนตความเฉื่อยไดดังนี้
ั ู ่
รูปรางวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนตความเฉื่อย
ทรงกลมตัน รอบแกนผาน
มวล m รัศมี R จุดศูนยกลาง I = 2 mR 2
5
ทรงกลมกลวง รอบแกนผานจุดศูนย
มวล m รัศมี R กลาง I = 2 mR 2
3
ทรงกระบอกตัน รอบแกนของทรง
มวล m รัศมี R กระบอก I = 1 mR 2
2
ยาว L
แผนกลมบาง รอบแกนผานศูนยกลาง
มวล m รัศมี R ตังฉากกับแผน
้ I = 1 mR 2
2
แผนกลมบาง รอบแกนผานศูนยกลาง
มวล m รัศมี R บนระนาบของแผน I = 4 mR 2
1
แทงวัตถุเล็ก รอบแกนผานศูนยกลาง
มวล m ยาว L มวล ตั้งฉากกับแทง I = 12 mL2
1
การหมนของวตถทงหมดในตารางน้ี เปนการหมุนรอบแกนผานศูนยกลางมวล และ
ุ ั ุ ้ั
เปนสมมาตรของวัตถุซึ่งแกนนั้นตองอยูกับที่ ถาเลื่อนแกนหมุนไปเปนระยะ L ขนานกับ
แกนสมมาตรเดม โมเมนตความเฉือยจะเพิมขึนอีก m L2 โมเมนตความเฉือยรวม
ิ ่ ่ ้ ่
จึงตองนํา m L2 บวกเพิ่มเขาไปดวย
โมเมนตของแรง คือ แรง x รศมการหมน
ั ี ุ
τ = FR
เมือ τ (เรยกวา ทอรก) คือ โมเมนตของแรง (N⋅m)
่ ี 
F คือ แรงที่ทําใหเกิดการหมุน (N)
R คือ รศมการหมน (m)
ั ี ุ
และ τ = Iα
77

7. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
15. จากรปจงหาทอรกทกระทาตอวตถน้ี
ู  ่ี ํ  ั ุ
วธทา
ิี ํ F=5N
.
R = 0.2 m
O
( 1 N.m )
16. ลอวงหนึงมีโมเมนตความเฉือยรอบแกนหมุน 500 กิโลกรัม.เมตร2 จงหาคาทอรกท่ี
่ ่  
ทําใหวงลอนี้หมุนดวยความเรงเชิงมุม 4 เรเดียน/วินาที2 ( 2000 N.m )
วธทา
ิี ํ
17. จงหาทอรกททาใหลอมวล 8 กิโลกรัม รัศมี 25 เซนตเิ มตร หมุนดวยความเรง 3 เรเดียน/วินาที2
 ่ี ํ  
1. 0.5 N.m 2. 1.0 N.m 3. 1.5 N.m 4. 2.0 N.m (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ
18. จงหาทอรกที่ใชในการทําใหจานกลมที่มีโมเมนตความเฉื่อย 5 กิโลกรัม.เมตร2 เริมหมุน
่
จากหยุดนิ่งจนกระทั่งมีความเร็วเชิงมุม 30 เรเดียน/วินาที ใน 10 วินาที
1. 15 N.m 2. 22 N.m 3. 44 N.m 4. 88 N.m (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ
19. จงหาทอรกที่ใชในการทําใหจานกลมที่มีโมเมนตความเฉื่อย 10 กิโลกรัม.เมตร2 เริมหมุน
่
จากหยุดนิ่งจนกระทั่งมีความเร็วเชิงมุม 20 เรเดียน/วินาที ใน 5 เรเดียน (400 N.m)
วธทา
ิี ํ
78

8. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
20. จงหาทอรกที่ใชในการทําใหจานกลมที่มีโมเมนตความเฉื่อย 20 กิโลกรัม.เมตร2 เริมหมุน
่
จากหยดนงจนกระทงมอตราเรว 7 รอบ/วินาที ใน 10 วินาที
ุ ่ิ ่ั ี ั ็ (88 N.m)
วธทา
ิี ํ
21. เครืองยนตของเฮลิคอปเตอรลาหนึง สงทอรกขนาด 1000 นิวตัน.เมตร กระทําตอใบพัด
่ ํ ่
ซึงมีโมเมนตความเฉือย 200 กิโลกรัม.เมตร2 จงหาวาจะตองใชเวลานานเทาใด จึงทําให
่ ่
ความเรวของใบพดหมน 420 รอบ/นาที จากเรมตนอยนง
็ ั ุ ่ิ  ู ่ิ (8.8 วินาที)
วธทา
ิี ํ
22. มเู ลตวหนงมโมเมนตความเฉอย 3 กิโลกรัม เมตร2 จงหาทอรกคงที่ซึ่งจะทําใหอัตรา
 ั ่ึ ี  ่ื
เร็วของมูเ ลเพิมจาก 2 รอบ/วนาทเี ปน 5 รอบ/วินาทีใน 6 รอบ
่ ิ  (33 N. m)
วธทา
ิี ํ
23. วงลอมีรัศมี 25 Cm หมุนโดยไมมีแรงเสียดทานดวยความเรงเชิงมุม 2.25 rad/s2 เมือมีแรง
่
คงที่ 90 นิวตัน กระทําในแนวเสนสัมผัสกับวงลอ จงหาโมเมนตความเฉือยของวงลอ
่
1. 0.1 kg.m2 2. 1.0 kg.m2 3. 10.0 kg.m2 4. 40.0 kg.m2 (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ
79

9. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
24. คานเบา AB ยาว 3 เมตร ปลาย A มีมวล 5 กิโลกรัม 5
ติดอยู สวนปลาย B เปนจดหมนตรงททาใหคานหมน
 ุ ุ ึ ่ี ํ  ุ A
ไดคลองในระนาบราบ เมือมีแรง F ขนาด 36 นิวตัน
่ 3m F
2m
กระทําอยางตั้งฉากกับคานกระทําหางจาก B ไปเปน B
ระยะ 2 เมตร ดังรูป ปลาย A จะมีความเรงเชิงมุมกีเ่ รเดียนตอวินาที2
1. 0.0 2. 0.8 3. 1.6 4. 2.4 (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ตอนที่ 3 โมเมนตัมเชิงมุม และ กฏทรงโมเมนตมเชงมม
ั ิ ุ
โมเมนตัมเชิงมุม (L) คือ ผลคูณระหวางโมเมนตความเฉือย (I) กบความเรวเชงมม (ω)
่ ั ็ ิ ุ
L = Iω
เมือ L คือ โมเมนตมเชงมม (kg.m2 . rad/s)
่ ั ิ ุ
I คือ โมเมนตความเฉือย (kg.m2)
่
ω คือ ความเร็วเชิงมุม (rad/s)
พิจารณา L = Iω และ α = ω t
L = Iαt ω = αt
L = τt
25. ถาเหวี่ยงมวล 0.2 กิโลกรัม ดวยเชือกยาว 4 เมตร ใหเคลื่อนที่เปนวงกลมในระนาบ
ระดบ ถาความเร็วเชิงมุมมีคา 10 เรเดียน/วินาที จงหาโมเมนตมเชงมม
ั ั ิ ุ ( 8 kg.m2 / s )
วธทา
ิี ํ
80

10. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
26. วัตถุมวล 0.2 กิโลกรัม ผูกติดกับปลายขางหนึ่งของเสนเชือกยาว 2 เมตร จับปลายอีก
ขางหนึ่งเหวี่ยงใหวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลม ในระนาบระดับดวยอัตราเร็วคงที่ 10 เมตร/
วินาที จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุน้ี ในหนวยกิโลกรัม.เมตร2/วินาที
1. 2 2. 4 3. 8 4. 16 (ขอ 2)

วธทา
ิี ํ
กฏทรงโมเมนตมเชงมม กลาววา “ หากทอรกมีคาเปนศูนย โมเมนตมเชงมมจะมคาคงตว”
ั ิ ุ ั ิ ุ ี ั
นนคอ
่ั ื ΣL1 = ΣL2
27. ชายคนหนึ่ง ถือดัมเบลไวสองมือ ยืนบนเกาอี้ที่หมุนไดอยางเสรีไมมีแรงเสียดทานและมี
แกนหมุนอยูในแนวดิงขณะทีเ่ ขากางมือออก โมเมนตความเฉอยของชายคนนนและเกาอเ้ี ทา
 ่  ่ื ้ั  
กับ 2.25 กิโลกรัม.เมตร2 ความเรวเชงมมเรมตนในการหมน 5 เรเดียน/วินาที เมือเขาหุบ
็ ิ ุ ่ิ  ุ ่
แขนทงสองเขาหาตว โมเมนตความเฉอยรวมเทากบ 1.80 กิโลกรัม.เมตร2 อัตราเร็วเชิงมุม
้ั  ั  ่ื  ั
ในการหมุนขณะหุบแขนมีคาเทาใด (6.25 rad/s)
วธทา
ิี ํ
28. นําวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ผูกติดกับปลายเชือกแลวเหวี่ยงใหเปนวงกลมดวยความเร็วเชิงมุม
15 เรเดียน/วินาที ตอมาดึงเชือกใหหดสั้นเขาทําใหรัศมีวงกลมลดลงและมีความเร็วเชิงมุม
เปลี่ยนเปน 5 เรเดียน/วินาที ถาตอนแรกโมเมนตความเฉือยเทากับ 2.5 กิโลกรัม.เมตร2
่
แลวโมเมนตความเฉอยตอนหลงมคาเทาใด
  ่ื ั ี  (7.5 kg.m2)
วธทา
ิี ํ
81

11. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
29(En 40) วัตถุมวล 50 กรัม ผูกติดกับปลายเชือกซึ่งลอดผานรูหลอดเล็กๆ ปลายเชือกขางหนึ่ง
ดึงยืดไวดวยแรงคาหนึ่งแลวเหวี่ยงใหเปนวงกลมรัศมี 1 เมตร ถาดึงเชือกใหรัศมีวงกลมเปน
50 เซนติเมตรทันที วตถจะเคลอนทดวยอตราเรวเชงมมเทาไรในหนวยเรเดยน/ วินาที
ั ุ ่ื ่ี  ั ็ ิ ุ   ี
ถาเดมมอตราเรวเชงมม 3 เรเดยนตอวนาที
 ิ ีั ็ ิ ุ ี  ิ (12 rad/s)
วธทา
ิี ํ
30. ชายคนหนึ่งยืนอยูบนแปนหมุน ในขณะทเ่ี หยยดแขนออกเขาหมนดวยอตราเรว 0.50
ี ุ  ั ็
รอบ/วินาที แตเ มอเขาดงแขนเขาขางตว อัตราเร็วเปลียนเปน 0.75 รอบ/วินาที จงหาอัตรา
่ื ึ   ั ่
สวนของโมเมนตความเฉือยของระบบตอนแรกตอตอนหลัง
่
1. 2 2. 4 3
3. 2 9
4. 4 (ขอ 3)
3 9
วธทา
ิี ํ
31. ชายคนหนึ่งมีมวล 80 กิโลกรัม ยืนอยูบนขอบของมาหมุนเด็กเลนที่อยูนิ่งที่ระยะ 4 เมตร
จากจุดศูนยกลาง ชายคนนเ้ี ดนไปตามขอบของมาหมนดวยอตราเรว 1 เมตร/วินาที เทียบกับ
ิ  ุ  ั ็
พื้น การเคลื่อนที่นี้จะทําใหมาหมุน หมุนดวยอัตราเร็วเชิงมุมเทาใด ถามาหมนมโมเมนต
  ุ ี
ความเฉอย 10000 กิโลกรัม.เมตร2
่ื (–0.032 rad/s)
วธทา
ิี ํ
82

12. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
32. ลอวงกลมหมุนอยูในระนาบระดับโดยมีแกนหมุนอยู B
ในแนวดิ่ง ดัง รูป ดวยอัต ราเร็วคงที่ โมเมนตัมเชิง
มุ มของล อมีทิศใด (ข อ 2) A
1. A 2. B 3. C 4. D C D
วธทา
ิี ํ
""!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!
ตอนที่ 4 การทํางานในการหมุน
เราสามารถคานวณหางานในการหมนตวไดจาก
ํ ุ ั 
W = τθ
และ กําลังในการหมุนหาคาไดจาก
P= W t
P = τθ t เพราะ W = τ θ
P = τω เพราะ ω = θt
เมือ W คือ งานที่เกิดจากการหมุน
่
P คือ กําลังของการหมุน
33. เครืองยนตขนาด 50 กิโลวัตต หมุนลอในอัตรา 3500 รอบ/นาที จงหาทอรกที่เกิดจาก
่
เครืองยนตในตอนนี้
่ ( 136.36 N.m )
วธทา
ิี ํ
""!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!!
ตอนที่ 5 พลังงานจลนของการหมุน
พลังงานจลนของการหมุน
หาจาก Ek = 1 I ω2
2
83

13. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
34. มาหมุนชุดหนึงมีโมเมนตความเฉือยรอบแกนหมุนในแนวดิง 900 กิโลกรัม.เมตร2 ถาผลัก
่ ่ ่
ใหหมนในอตรา 2 รอบตอนาที จงหาพลังงานจลนของมาหมุนนี้
 ุ ั (19.7 จล)
ู
วธทา
ิี ํ
35(En 40) วัตถุมวล 0.1 กิโลกรัม และ 0.3
กิโลกรัม ติดอยูกับปลายทั้งสองของแทง
โลหะเบายาว 1.00 เมตร ดังรูป จงหา
พลังงานจลนของการหมุน ถาแทงโลหะ
หมุนรอบแกน AB 10 เรเดียน/วินาที
1. 3.75 J 2. 5.63 J 3. 7.50 J 4. 15.0 J (ไมมคาตอบ)
ี ํ
วธทา
ิี ํ
ถาวัตถุกลิ้ง (หมนพรอมกบเคลอนทไป)
ุ  ั ่ื ่ี
พลังงานจลน = พลังงานจลนของการเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่
+ พลังงานจลนของการเคลื่อนที่แบบหมุน
Ek = 1 mv2 + 1 I ω2
2 2
36. แผนไมกลมมีรัศมี 0.5 เมตร มวล 2 กิโลกรัม และโมเมนตความเฉือย 0.25 กิโลกรัม
่
เมตร2 เคลือนทีในแนวตรง โดยมีความเร็วของศูนยกลางมวล 4 เมตรตอวนาที จงหาพลัง
่ ่  ิ
งานจลนของแผนไมน้ี เมื่อวัตถุเคลื่อนที่โดยหมุนกลิ้งรอบศูนยกลางมวล
   (24 J)
วธทา
ิี ํ
84

14. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
37(มช 37) แผนไมกลมแบนรัศมี 8.0 เซนตเิ มตร มวล 280 กรัม กําลังกลิ้งไปตามพื้นราบ
อยางสม่ําเสมอโดยไมมีการไถล ศูนยกลางมวลของแผนไมมีความเร็ว 0.16 เมตร/วินาที
พลังงานจลนของแผนไมในการกลิ้งครั้งนี้ รวมทั้งสิ้นมีคาเทาใด กาหนดโมเมนตความเฉอย
ํ  ่ื
ของแผนไมเทากับ 9.0 x 10–4 kg.m2
1. 1.8 x 10–3 จลู 2. 3.58 x 10–3 จล ู
3. 5.38 x 10–3 จล ู 4. 7.18 x 10–3 จล ู (ขอ 3)
วธทา
ิี ํ
38. วัตถุมวล m มีโมเมนตความเฉือย I และมีโมเมนตัมเชิงมุม L จะมีพลังงานจลนเทาใด
่
1. I 2 2. mI2
2L 3. L2
2I 4. mL2
2I (ขอ 3)
2L
วธทา
ิี ํ
39. ทอทรงกระบอกกลวงกลิ้งไปตามพื้นระดับโดยไมไถล จงหาอัตราสวนระหวางพลังงาน
จลนของการหมนตอพลงงานจลนของการเลอนตาแหนง ( I ทรงกระบอก = m r2)
 ุ  ั  ่ื ํ 
1. 1
2 2. 1 3. 2 4. 4 (ขอ 2)
วธทา
ิี ํ
85

15. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
40. แผนโลหะกลมมวล 1 กิโลกรัม รศมี 0.2 เมตร มโมเมนต
ั ี
ความเฉอย 0.02 กิโลกรัม . เมตร2 เคลื่อนที่จากหยุดนิ่ง
่ื
ลงมาตามพื้นเอียงดังรูป จนศูนยกลางมวลต่ํากวาเดิม 1 เมตร
จงหาความเรวสงสดของแผนโลหะนเ้ี มอ
็ ู ุ  ่ื
ก. เคลื่อนที่แบบไถล ข. เคลื่อนที่แบบกลิ้ง (4.47 m/s , 3.65 m/s)
วธทา
ิี ํ
41. ปลอยวงลอรัศมี 40 เซนตเิ มตร กลิ้งลงมาจากเนิน ณ ตําแหนงที่สูง 3.6 เมตร จงหา
อตราเรวเชงมมเมอถงปลายลางเนน
ั ็ ิ ุ ่ื ึ  ิ
1. 15 rad/s 2. 30 rad/s 3. 45 rad/s 4. 60 rad/s (ขอ 1)
วธทา
ิี ํ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
86

16. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
แบบฝ ก หั ด ฟ สิ ก ส บทที่ 7 การเคลื่ อ นที่ แ บบหมุ น
การขจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และ ความเรงเชิงมุม
1. วตถกอนหนงหมนรอบตวเองดวยความเรวเชงมม 5 เรเดียน/วินาที เมอใหแรงคควบกระทา
ั ุ ่ึ ุ ั  ็ ิ ุ ่ื  ู ํ
ทางเดียวกับการหมุนปรากฎวาวัตถุกอนนั้นมีความเรงเชิงมุม 2 เรเดียน/วินาที2 จงหาวาถา
ใหแรงคูควบกระทํานาน 10 วินาที ความเรวเชงมมของวตถเุ ปนเทาใด
็ ิ ุ ั   (25 red/s)
2. วงลอวงหนึ่งมีเสนผาศูนยกลาง 1 เมตร เริมหมุนรอบแกนจากหยุดนิงดวยแรงคูควบคูหนึง
่ ่   ่
ปรากฎวาวงลอนั้น มีความเร็วปลายเปน 40 เรเดียน/วินาที ในเวลา 10 วินาที จงหาความ
เรงเชิงมุมและมุมที่รัศมีของวงลอกวาดไปไดเปนเทาใด ( 4 rad/s2 , 200 rad)
3. ลออนหนงใชเ วลา 3 วินาที ในการหมุนไปเปนมุมทั้งหมด 234 เรเดียน วดความเรวเชงมม
 ั ่ึ ั ็ ิ ุ
ขณะนั้นได 108 เรเดียน/วินาที จงหาความเรงเชงมมของการหมน
 ิ ุ ุ ( 20 rad/s2)
4. ใบพัดลมเครืองหนึงหมุนดวยอัตรา 600 รอบ/นาที ในเวลา 5 วินาที จากหยุดนิ่ง จงหา
่ ่
ความเรงเชิงมุมของใบพัดลมนี้ ( 4π rad/s2)
π
5. ความเรวเชงมมของลออนหนงลดลงดวยอตราคงทจาก 1000 รอบตอนาทีเหลือ 400 รอบ
็ ิ ุ  ั ่ึ  ั ่ี
ตอนาที ในเวลา 5 วินาที จงหาความเรงเชิงมุมและจํานวนรอบที่หมุนไดในชวงเวลา 5

วินาที (–4π rad/s2 , 58.33)
π
6. มอเตอรของพัดลมเครืองหนึงกําลังหมุนดวยอัตราเร็ว 900 รอบ/นาที แลวคอยๆ หมุนชาลง
่ ่
อยางสมาเสมอจนมอตราเรว 300 รอบ/นาที ในขณะที่หมุนไปได 50 รอบ จงหา
 ํ่ ีั ็
ก. ความเรงเชงมม
 ิ ุ ข. เวลาที่ใชในการหมุนไป 50 รอบนี้ (–4π rad/s2 , 5 S)
π
7. ลอจักรยานมีรัศมี 20 เซนตเิ มตร เคลือนทีดวยความเร็ว 5 เมตร/วินาที จะมอตราเรว
่ ่ ีั ็
เชิงมุมกี่เรเดียน/วินาที
1. 25 2. 50 3. 75 4. 100 (ขอ 1)
8. จกรยานคนหนงเรมเคลอนทออกไปดวยความเรงเชงมม 2 เรเดียน/วินาที2 ถาลอจักรยาน
ั ั ่ึ ่ิ ่ื ่ี   ิ ุ
มีรัศมี 0.5 เมตร จงหาระยะทางที่จักรยานเคลื่อนที่ไดใน 10 วินาที นบจากเรมตน (50 ม.)
ั ่ิ 
9. มวล 0.5 กิโลกรัม เคลอนทเ่ี ปนวงกลมรอบจดหมน ดวยรัศมี 2 เมตร จากหยุดนิ่ง โดยมี
่ื  ุ ุ
อตราเรงคงท่ี จนมีความเร็วเชิงเสน 20 เมตร/วินาที เมอเวลาผานไป 10 วินาที จงหา
ั  ่ื 
จานวนรอบทเ่ี คลอนทได
ํ ่ื ่ี (7.96 รอบ)
87

17. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
โมเมนตแหงความเฉอย และ ทอรก
  ่ื 
10. วัตถุมวล 100 กรัม และ 200 กรัม ติด
อยูกับปลายทั้งสองของแทงโลหะเบายาว
20 cm 100 cm
100 g A 200 g
120 เซนตเิ มตร ดังรูป จงหาโมเมนต B
ความเฉือยรอบแกน AB (0.204 kg.m
่ 2)
11. จากรูป จงคานวณหาทอรก เมือ F มีคา 10 นิวตัน
ํ  ่ (10 N.m)
1m O
F = 10 N
12. จงหาทอรกที่ใชในการทําใหจานกลมที่มีโมเมนตความเฉื่อย 20 กิโลกรัม.เมตร2 เริมหมุน
่
จากหยดนงจนกระทงมอตราเรว 7 รอบ/วินาที ใน 10 วินาที
ุ ่ิ ่ั ี ั ็ (88 N.m)
13. เครืองยนตของเฮลิคอปเตอรลาหนึง สงทอรกขนาด 1000 นิวตัน.เมตร กระทําตอใบพัด
่ ํ ่
ซึงมีโมเมนตความเฉือย 200 กิโลกรัม.เมตร2 จงหาวาจะตองใชเวลานานเทาใด จึงทําให
่ ่
ความเรวของใบพดหมน 420 รอบ/นาที จากเรมตนอยนง
็ ั ุ ่ิ  ู ่ิ (8.8 วินาที)
14. มเู ลตวหนงมโมเมนตความเฉอย 3 กิโลกรัม เมตร2 จงหาทอรกคงที่ซึ่งจะทําใหอัตรา
 ั ่ึ ี  ่ื
เร็วของมูเ ลเพิมจาก 2 รอบ/วนาทเี ปน 5 รอบ/วินาทีใน 6 รอบ
่ ิ  (33 N. m)
15. วงลอมีรัศมี 25 Cm หมุนโดยไมมีแรงเสียดทานดวยความเรงเชิงมุม 2.25 rad/s2 เมือมีแรง
่
คงที่ 90 นิวตัน กระทําในแนวเสนสัมผัสกับวงลอ จงหาโมเมนตความเฉือยของวงลอ
่
1. 0.1 kg.m2 2. 1.0 kg.m2 3. 10.0 kg.m2 4. 40.0 kg.m2 (ขอ 3)
โมเมนตตมเชงมม
 ั ิ ุ
16. ถาเหวี่ยงมวล 0.2 กิโลกรัม ดวยเชือกยาว 2 เมตร ใหเคลื่อนที่เปนวงกลมในระนาบ
ระดบ ถาความเร็วเชิงมุมมีคา 10 เรเดียน/วินาที จงหาโมเมนตมเชงมม
ั ั ิ ุ ( 8 kg.m2 / s )
17. วัตถุมวล 0.2 กิโลกรัม ผูกติดกับปลายขางหนึ่งของเสนเชือกยาว 2 เมตร จับปลายอีกขาง
หนึ่งเหวี่ยงใหวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลม ในระนาบระดับดวยอัตราเร็วคงที่ 10 เมตร/วินาที
จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุน้ี ในหนวยกิโลกรัม.เมตร2 / วินาที (4)
88

18. Physics Online II http://www.pec9.com บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
18. ชายคนหนึ่ง ถือดัมเบลไวสองมือ ยืนบนเกาอี้ที่หมุนไดอยางเสรีไมมีแรงเสียดทานและมี
แกนหมุนอยูในแนวดิงขณะทีเ่ ขากางมือออก โมเมนตความเฉอยของชายคนนนและเกาอเ้ี ทา
 ่  ่ื ้ั  
กับ 2.25 กิโลกรัม.เมตร2 ความเรวเชงมมเรมตนในการหมน 5 เรเดียน/วินาที เมือเขาหุบ
็ ิ ุ ่ิ  ุ ่
แขนทงสองเขาหาตว โมเมนตความเฉอยรวมเทากบ 1.80 กิโลกรัม.เมตร2 อัตราเร็วเชิงมุม
้ั  ั  ่ื  ั
ในการหมุนขณะหุบแขนมีคาเทาใด (6.25 rad/s)
19. วตถกอนหนงมมวล 50 กรัม ผูกเชือกเขาไปในหลอดเล็กๆ ซึ่งไมมีความเสียดทานอีกปลาย
ั ุ ่ึ ี
หนึ่งผูกกับมวล m เอามอจบหลอดแลวเหวยงใหมวล 50 กรัม เคลื่อนที่เปนวงกลมตาม
ื ั  ่ี 
แนวระดับดวยความเร็วเชิงมุม 3 เรเดียน/วินาที รัศมีของวงกลมเปน 20 เซนตเิ มตร แลว
เพิ่มมวล m ที่หอยเพื่อใหรัศมีของวงกลมเปลี่ยนเปน 10 เซนตเิ มตรอยางฉบพลน ถาคิดวา
 ั ั
มวล 50 กรมเปนอนภาคเลกๆ จงหาวามวล 50 กรัม เคลื่อนที่ดวยความเร็วเชิงมุมเทาใด
ั  ุ ็ 
( 12 rad/s )
งาน และ พลังงานของการหมุน
20. เครืองยนตขนาด 44 กิโลวัตต หมุนลอในอัตรา 4200 รอบ/นาที จงหาทอรกที่เกิดจาก
่
เครืองยนตในตอนนี้
่ ( 100 N.m )
21. แผนไมกลมมีรัศมี 1 เมตร มวล 4 กิโลกรัม และโมเมนตความเฉือย 1 กิโลกรัม.เมตร2
่
เคลือนทีในแนวตรง โดยมีความเร็วของศูนยกลางมวล 4 เมตรตอวนาที จงหาพลังงานจลน
่ ่  ิ
ของแผนไมน้ี เมื่อวัตถุเคลื่อนที่โดยหมุนกลิ้งรอบศูนยกลางมวล
  ( 40 J)
22. ทอทรงกระบอกกลวงกลิ้งไปตามพื้นระดับโดยไมไถล จงหาอัตราสวนระหวางพลังงาน
จลนของการหมนตอพลงงานจลนของการเลอนตาแหนง (I ทรงกระบอก = mr2 )
 ุ  ั  ่ื ํ 
1. 12 2. 1 3. 2 4. 4 (ขอ 2)
23. แผนโลหะกลมมวล 1 กิโลกรัม รศมี 0.2 เมตร มโมเมนต
ั ี
ความเฉอย 0.02 กิโลกรัม . เมตร2 เคลื่อนที่จากหยุดนิ่ง
่ื
ลงมาตามพื้นเอียงดังรูป จนศูนยกลางมวลต่ํากวาเดิม 1 เมตร
จงหาความเรวสงสดของแผนโลหะนเ้ี มอ
็ ู ุ  ่ื
ก. เคลื่อนที่แบบไถล ข. เคลื่อนที่แบบกลิ้ง (4.47 m/s , 3.65 m/s)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
89