เอกสารประกอบเรื่องสภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น รายวิชาฟิสิกส์ ฉบับพื้นๆ

1. 1
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟิสิกส์ 2 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น
 สมดุลเนื่องจากแรง
 สมดุลเนื่องจากโมเมนต์ของแรง หรือ ทอร์ก
 สภาพยืดหยุ่นของของแข็ง
สมดุลเนื่องจากแรง
ทบทวนเรื่องการแตกแรงเพื่อหาแรงลัพธ์
ขั้นตอนการแตกแรงเพื่อหาแรงลัพธ์
ขั้น 1 แตกแรงที่อยู่ ในแนวเอียงให้อยู่ ในแนวแกน X และแกน Y
ขั้น 2 หาแรงลัพธ์ในแนวแกน X และแกน Y
ขั้น 3 หาแรงลัพธ์สุดท้ายจาก 𝐹ลัพธ์ = √𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2
สมดุลกล ( Equilibrium )
คือ วัตถุที่ไม่เปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ เราเรียกวัตถุที่อยู่ในลักษณะนี้ว่า สมดุล
เราสามารถจาแนกการสมดุลออกเป็น 2 ชนิด ได้ดังนี้
1. สมดุลสถิต ( Static equilibrium ) คือ สมดุลของวัตถุที่อยู่นิ่ง เช่น สมุดวางอยู่บนโต๊ะ
2. สมดุลจลน์ ( Kinetic equilibrium ) คือ สมดุลของวัตถุที่ไม่อยู่นิ่ง เช่น วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว
คงตัว หรือ หมุนด้วยอัตราเร็วคงตัว
เราสามารถจาแนกการสมดุลตามลักษณะการเคลื่อนที่ได้ 2 แบบดังนี้
1. สมดุลเนื่องจากแรง คือ สมดุลของวัตถุที่อยู่นิ่ง หรือ เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
2. สมดุลเนื่องจากโมเมนต์ของแรง หรือทอร์ก คือ สมดุลของวัตถุที่อยู่นิ่ง หรือ หมุนด้วยอัตราเร็วคงที่
สมดุลเนื่องจากแรง ผลจะทาให้วัตถุวัตถุที่อยู่นิ่ง หรือ เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนวเดิมได้

2. 2
สาเหตุที่ทาให้วัตถุสมดุลเนื่องจากแรงได้
เนื่องจากแรงที่กระทาต่อวัตถุทั้งหมดรวมกันเป็นศูนย์ (  F

= 0 ) จะเห็นได้ว่า เหตุผลนี้จะเกี่ยวข้อง
โดยตรงกับกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน และ เมื่อพิจารณาตามแนวระดับ และแนวดิ่ง จะได้ดังนี้
 ในแนวระดับ ( แนวแกน x ) , FX = 0 จะได้ แรงซ้าย = แรงขวา
 ในแนวดิ่ง ( แนวแกน y ) , FY = 0 จะได้ แรงบน = แรงล่าง
ตัวอย่างที่ 1 วัตถุมวล 2 กิโลกรัม วางอยู่บนพื้น จะมีแรงกระทากี่แรง คือแรงอะไรบ้าง และมีขนาดเท่าใด
จะมีแรงกระทาต่อวัตถุมวล 2 กิโลกรัมทั้งหมด 2 แรง
คือ 1. แรง W

คือ น้าหนักของวัตถุ ( แรงดึงดูดของโลกที่กระทาต่อวัตถุ )
2. แรง N

คือ แรงปฏิกิริยา ( แรงที่พื้นกระทาต่อวัตถุ )
หาขนาดของแรงทั้งสอง
เมื่อ W

= m g = ( 2 )(10 ) = 20 นิวตัน ( N )
พิจารณาในแนวดิ่ง จะได้  yF

= 0
W

+ N

= 0
N

= - W

แทนค่า W

จะได้ N

= - 20 นิวตัน
ตอบ 1. แรง W

มีขนาด 20 นิวตัน
2. แรง N

มีขนาด 20 นิวตัน แต่มีทิศตรงข้ามกับ W

ตัวอย่างที่ 2 วัตถุมวล 5 กิโลกรัม ถูกแรง 20 นิวตัน กระทาให้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ไปบนพื้นจากรูป จะมี
แรงกระทากี่แรง คือแรงอะไรบ้าง และมีขนาดเท่าใด
2 kg
W

N

วิธีคิด
5 kg
W

N

วิธีคิดF
 F

f


3. 3
จะมีแรงกระทาต่อวัตถุมวล 5 กิโลกรัมทั้งหมด 4 แรง
คือ 1. แรง W

คือ น้าหนักของวัตถุ ( แรงดึงดูดของโลกที่กระทาต่อวัตถุ )
2. แรง N

คือ แรงปฏิกิริยา ( แรงที่พื้นกระทาต่อวัตถุ )
3. แรง F

คือ แรงที่กระทาต่อวัตถุ
4. แรง f

คือ แรงเสียดทาน ( จะมีทิศต้านกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ )
หาขนาดของแรง 4 แรง
เมื่อ W

= m g = ( 5 )(10 ) = 50 นิวตัน ( N )
พิจารณาในแนวดิ่ง จะได้  yF

= 0
W

+ N

= 0
N

= - W

แทนค่า W

จะได้ N

= - 50 นิวตัน
ตอบ 1. แรง W

มีขนาด 50 นิวตัน
2. แรง N

มีขนาด 50 นิวตัน แต่มีทิศตรงข้ามกับ W

เมื่อ F

= 20 นิวตัน ( N )
พิจารณาในแนวระดับ จะได้  xF

= 0
F

+ f

= 0
f

= - F

แทนค่า F

จะได้ f

= - 20 นิวตัน
ตอบ 3. แรง F

มีขนาด 20 นิวตัน
4. แรง f

มีขนาด 20 นิวตัน แต่มีทิศตรงข้ามกับ F

ตัวอย่างที่ 3 กล่องใบหนึ่งมีมวล 3 กก. วางนิ่งอยู่บนพื้นระดับถ้า s = 0.8 , k = 0.7 เมื่อออกแรง F

=
30 N กระทาต่อกล่องดังรูป กล่องจะเป็นอย่างไร
จากตัวอย่างที่ 3 ถ้าถามว่า กล่องใบนี้มีสภาพสมดุลเนื่องจากแรงหรือไม่ นักเรียนก็จะตอบไม่ได้ เมื่อไม่สามารถ
หาค่าแรงเสียดทานได้ เพราะฉะนั้นต้องหาให้ได้ว่า แรงเสียดทานสูงสุดระหว่างพื้นกับกล่องใบนี้ มีค่าเท่ากับ
30 N หรือไม่
= 30 N
3 kg

4. 4
ดังนั้น นักเรียนต้องมีความรู้เรื่อง แรงเสียดทาน และวิธีการหาแรงเสียดทาน
ในที่นี้ การหาปริมาณ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้น หาได้จากสมการดังต่อไปนี้
f = N
เมื่อ f คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นระหว่างผิวสัมผัสนั้น มีหน่วยเป็น นิวตัน
 คือ สัมประสิทธิความเสียดทานระหว่างผิวสัมผัสนั้น
N คือ แรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นเนื่องวัตถุกระทาต่อพื้นขณะนั้น มีหน่วยเป็น นิวตัน
แรงเสียดทาน ที่เกิดขึ้นระหว่างพื้น จะมี 2 ชนิด
1. แรงเสียดทานสถิต คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นเมื่อมีแรงมากระทาต่อวัตถุและวัตถุยังอยู่นิ่ง ซึ่ง แรง
เสียดทานสถิต จะมีค่าตั้งแต่ศูนย์จนถึงค่ามากที่สุด โดยค่ามากที่สุดจะเกิดขณะที่วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ได้พอดี
เขียนสมการได้ดังนี้ fS = SN
2. แรงเสียดทานจลน์ คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นในขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
เขียนสมการได้ดังนี้ fk = kN
ดังนั้นจากตัวอย่างที่ 3 ต้องหาค่าแรงเสียดทานสถิต( fS ) และ แรงเสียดทานจลน์( fk )
จะได้ว่า กล่องใบนี้ไม่สมดุลเนื่องจากแรง จะมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 2 เมตรต่อวินาทียกกาลังสอง
วัตถุอยู่นิ่ง
วัตถุเคลื่อนที่
F

= 30 N
3 kg
N

W

1. fS = SN
fS = (0.8)(30) = 24 N
2. fk = kN
fk = (0.7)(30) = 21 N
แสดงว่า กล่องใบนี้ไม่อยู่ในสภาพสมดุล
เพราะ  F

 0
จะได้  F

= 30 – 24 = 6
m a = 6
a = 2 m/s2
fS
fk

5. 5
2. วัตถุที่กาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
เช่น รถวิ่งด้วยความเร็วคงที่ กล่องไถลลงบนพื้นเอียงด้วยความเร็วคงที่
ตัวอย่างที่ 4 กล่องใบหนึ่งมีมวล 5 กก. จะต้องออกแรง F

เท่าใด จึงทาให้วัตถุนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่บน
พื้นที่มีค่าสัมประสิทธิความเสียดทานดังนี้ s = 0.6 , k = 0.4
จากโจทย์ แสดงว่า วัตถุกาลังเคลื่อนที่ เพราะแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นคือแรงเสียดทานจลน์
หา แรง F

พิจารณาแรงในแนวระดับ จากรูป
จะได้  xF

= 0
F

+ f

= 0
F

= - f

…………….. ( 1 )
หาค่าแรงเสียดทาน f

จาก fk = kN ( เพราะวัตถุเคลื่อนที่ )
แทนค่า fk = (0.4)N…………….. ( 2 )
หาค่า N

พิจารณาในแนวดิ่ง จะได้  xF

= 0
W

+ N

= 0
N

= - W

(W

= ( 5 )(10 )
)
แทนค่า W

จะได้ N

= - 50 นิวตัน
แทนค่า N

ใน ( 2 ) จะได้ fk = (0.4)( -50 ) = - 20 นิวตัน
แทนค่า fk ซึ่ง ก็คือ แรงเสียดทาน f

ใน ( 1 )
จะได้ F

= - ( - 20 ) = 20 นิวตัน
ตอบ แรง F

มีขนาด 20 นิวตัน ทิศทางดังรูป
5 kg วิธีคิด ต้องแสดงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ

6. 6
คาถาม จงเติมคาลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
จงพิจารณาวัตถุต่อไปนี้จากรูป จงหาว่าจะมีแรงกระทากี่แรง คือแรงอะไรบ้าง ขนาดเท่าใด
1. 2.
3.
วัตถุกาลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร็วคงที่
4.
วัตถุกาลังเคลื่อนที่ลงด้วยความเร็วคงที่
5.
วัตถุกาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
6.
วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ได้พอดี
4kg
3 kg
6 kg
S = 0.6 , k =
0.4
4 kg 4 kg
vv
6 kg
S = 0.8 , k =
0.7

7. 7
ตัวอย่างที่ 4 จากรูป จงหาขนาดของแรง F ที่ทาให้วัตถุเคลื่อนที่อย่างสม่าเสมอ ถ้า
5
4
cosθ 
ความรู้เรื่องการหาองค์ประกอบของแรง
จากรูป
จากรูป มีแรง P

และ R

ที่สามารถหาแรงองค์ประกอบในแนวแกน x และ แนวแกน y ได้
ส่วนแรง Q

แรงทั้งหมดจะกระทาไปในแนวแกน x ไปทางขวามือทั้งหมด
ลองพิจารณาการหาองค์ประกอบของแรง P

จากรูป ก แรง P

สามารถหาแยกแรงเป็นองค์ประกอบของแรง P

ในแนวราบ และในแนวดิ่งได้ดังรูป
เราหาขนาดของแรง P

ในแนวแกน x และแรง P

ในแนวแกน y ได้เมื่อทราบค่ามุม  ดังรูปข้างล่างy
จะได้ขนาดของแรง xP

= P

cos
และ yP

= P

sin
45 N
k=
3
2

F

ตัวอย่างนี้ นักเรียนต้องมีความรู้เรื่องการแยกแรง
หาองค์ประกอบของแรงด้วยความรู้เรื่อง ตรีโกณ
เราจะไม่สามารถหาขนาดของแรง xP

และแรง yP

ได้ถ้าเรา
ไม่ทราบค่ามุมใดมุมหนึ่ง ที่แรง P

ทากับแกน x และ แกน y
เราเพียงแค่บอกได้ว่า มีแรง P ในแนวแกน x เรียกว่าแรง xP

และมีแรง P

ในแนวแกน y เรียกว่าแรง yP


P

Q

Q
R

R
ก ข ค
P

yP

xP

P
yP

xP


8. 8
เพราะฉะนั้น
ตัวอย่าง จงหาองค์ประกอบของแรงต่อไปนี้ จากรูป ในแนวขนานกับพื้น และตั้งฉากกับพื้น
ก.
ให้แรง 10 N คือ แรง M

ดังนั้น แรง xM

เป็น แรงตั้งฉากกับพื้น = M

sin 60 = (10)( 0.866) = 8.66 N
แรง yM

เป็น แรงขนานกับพื้น = M

cos 60 = (10)( 0.50) = 5.0 N
ข.
ให้แรง 10 N คือ แรง M

ดังนั้น แรง xM

เป็น แรงขนานกับพื้น = M

cos 30 = (10)( 0.866) = 8.66 N
แรง yM

เป็น แรงตั้งฉากกับพื้น = M

sin 30 = (10)( 0.50) = 5.0 N
องค์ประกอบของแรง Q

ในแนวราบ และในแนวดิ่ง องค์ประกอบของแรง R

ในแนวราบ และในแนวดิ่ง
Q

R


10 N60
องค์ประกอบของแรง Q

ในแนวราบ =………………..
องค์ประกอบของแรงQ

ในแนวดิ่ง =………………..
องค์ประกอบของแรง R

ในแนวราบ =………………..
องค์ประกอบของแรง R

ในแนวดิ่ง =………………..
10 N
xM

M

60
10 N
30

10 N
40

30
40

yM

xM

M
 yM


9. 9
จากตัวอย่างที่ 4 จากรูป จงหาขนาดของแรง F ที่ทาให้วัตถุเคลื่อนที่อย่างสม่าเสมอ ถ้า
5
4
cosθ 
นักเรียนจะต้องวาดรูป และ เขียนแรงที่กระทาต่อวัตถุหนัก 45 นิวตัน ดังภาพต่อไปนี้
วิธีคิด เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ แสดงว่า วัตถุสมดุลเนื่องจากแรง
ดังนั้น  F

= 0
และเราจะต้องหาในแต่ละแนวแกน ดังนี้
ในแนวแกน x ,  xF

= 0
xF

+ f

= 0
F cos  - f = 0
F cos  = f , ( fk = kN )
แทนค่า F (
5
4
) = (
3
2
)N …………… ( 1 )
ในแนวแกน y ,  yF

= 0
yF

+ N

+ m g = 0
F sin  + N - mg = 0
N = mg - F sin 
แทนค่า N = (45) - F (
5
3
) …………… ( 2 )
แทนค่า N จาก ( 2 ) ใน ( 1 )
F (
5
4
) = (
3
2
)( 45 - F (
5
3
) )
F (
5
4
) = 30 - F (
5
2
)
45 N
k=
3
2

F

ตัวอย่างนี้ นักเรียนต้องมีความรู้เรื่องการแยกแรงหาองค์ประกอบ
ของแรงด้วย ความรู้เรื่อง ตรีโกณ
k=
3
2

F
yF

= F

sin 
N

mg
f

xF

= F

cos 

10. 10
(
5
4
)F + (
5
2
)F = 30
6 F = (5)(30)
F = 25 N
ตอบ ขนาดของแรง F

ที่ทาให้วัตถุเคลื่อนที่อย่างสม่าเสมอ เท่ากับ 25 นิวตัน
ตัวอย่างที่ 5 วัตถุมวล 10 กิโลกรัม ไถลลงตามพื้นเอียงด้วยความเร็วคงที่ จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน
จลน์ ระหว่างวัตถุมวลนี้กับพื้นเอียงซึ่งทามุมกับแนวระดับ 37 องศา ถ้า sin 37 = 0.6 และ cos 37 = 0.8
จากรูป คิดในแนวแกนระดับกับพื้นเอียง จะได้ ( Fx

 = 0 )
f

+ W

sin 37 = 0
f + (- Wsin37 ) = 0
f - ( 100 )(0.6 ) = 0
f = 60 นิวตัน
จาก f =  N
แทนค่า 60 =  N ……….. ( 1 )
คิดในแนวแกนตั้งฉากกับพื้นเอียง จะได้ ( Fy

 = 0 )
N

+ W

cos 37 = 0
N +(- W1cos 37) = 0
N - ( 100 )( 0.8 ) = 0
N = 80
แทนค่า N จากสมการ ( 1 ) จะได้ 60 =  ( 80 )
 =
4
3
= 0.75
ตอบ สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ ระหว่างวัตถุมวลนี้กับพื้นเอียง = 0.75
37
W
f
N
37
W
NWsin37
Wcos37
f
N

11. 11
แรงใดๆ ที่ทาให้วัตถุ อยู่ในสภาพสมดุลเนื่องจากแรง เมื่อนามาแสดงด้วยเวกเตอร์โดยการสร้างรูปจะได้
1. A

+ B

+ C

+ D

แรงใดๆ ที่ทาให้วัตถุ ไม่อยู่ในสภาพสมดุลเนื่องจากแรง เมื่อนามาแสดงด้วยเวกเตอร์โดยการสร้างรูปจะได้
1. A

+ B

+ C


 F

คือ A

+ B

+ C

+ D

= 0
ผลที่ได้คือ  F

= 0 สังเกตจากเมื่อนาเวกเตอร์มาต่อกันจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นเดิมหรือจะได้เป็น
รูปเหลี่ยมปิด ( ไม่มีขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ )
ผลที่ได้คือ  F

 0 สังเกตจากเมื่อนาเวกเตอร์มาต่อกันจะไม่กลับมาที่จุดเริ่มต้นหรือ
จะไม่ได้รูปเหลี่ยมปิด ( คือมีขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ ในรูปข้างบน เวกเตอร์ดาที่ชี้จาก A ไปC )

 F

คือ A

+ B

+ C

 0
A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

A

B

C


12. 12
การแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 1 จากรูป w1 = 4 N , w2 = 8 N ส.ป.ส. ความเสียดทานทุกผิวสัมผัสเท่ากับ 0.25 จงหาแรง F
ที่ทาให้ W2 เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
วิธีทา จากโจทย์ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่แสดงว่า
ผลรวมของแรงที่กระทาต่อวัตถุเท่ากับศูนย์ (  F

= 0 )
และ จะต้องมีแรงกระทาต่อ W2 ที่เกิดขึ้นระหว่างผิวสัมผัส ซึ่งได้แก่แรงเสียดทาน ( f )
จะได้ fF

 = 0
ถ้าหาเฉพาะขนาดจะได้ F+(- f ) = 0
F = f
ถ้าหาขนาดของแรง f ได้ ก็จะได้ค่าของแรง F
f = N , N = W1 + W2
f = ( 0.25 )( 4+8 )
f = 3.00 N
ดังนั้นแรงที่จะทาให้ W2 เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ มีค่า เท่ากับ 3 นิวตัน ( เพราะ F = f )
ตัวอย่างที่ 2 จากรูป w1 = w2 = 100 N จงหาค่า  เมื่อวัตถุเริ่มเคลื่อนที่
วิธีทา
พิจารณาที่วัตถุ w1 จะได้ ดังรูป
W2
W1
W1
W2
37
W2
W1
37
W1
NW1sin37
W1cos37
f
N
T

13. 13
จากรูป คิดในแนวแกนระดับกับพื้นเอียง จะได้ ( Fx

 = 0 )
ถ้าหาเฉพาะขนาดจะได้ T + f +(- W1sin ) = 0
T + f - W1sin = 0
T + f = W1sin
T + N = W1sin …… ( 1 )
คิดในแนวแกนตั้งฉากกับพื้นเอียง จะได้ ( Fy

 = 0 )
ถ้าหาเฉพาะขนาดจะได้ N +(- W1cos ) = 0
N = W1cos …… ( 2 )
แทนค่า N จากสมการ ( 2 ) ในสมการ ( 1 ) จะได้
T +  W1cos = W1sin ………( 3 )
พิจารณาที่วัตถุ w2 จะได้ ดังรูป
จากรูป คิดในแนวแกนระดับกับพื้นเอียง จะได้ ( Fx

 = 0 )
ถ้าหาเฉพาะขนาดจะได้ T + (- f) = 0
T = f
T = N ………..( 4 )
คิดในแนวแกนตั้งฉากกับพื้นเอียง จะได้ ( Fy

 = 0 )
ถ้าหาเฉพาะขนาดจะได้ N +(- W2 ) = 0
N = W2 ….…… ( 5 )
แทนค่า N จากสมการ ( 5 ) ในสมการ ( 4 ) จะได้
T =  W2 ………( 6 )
แทนค่า T จากสมการ ( 6 ) ในสมการ ( 3 ) จะได้
 W2 +  W1cos = W1sin
แทนค่า  ( 100 )+  (100)(
5
4
) = (100)(
5
3
)
180  = 60
 =
3
1
ดังนั้นค่า  เมื่อวัตถุเริ่มเคลื่อนที่ มีค่าเท่ากับ
3
1
ตอบ
W2
T
f
N

14. 14
ตัวอย่างที่ 3 เชือกเส้นหนึ่งผูกวัตถุมวล 6 Kg ปลายอีกข้างตรึงติดกับฝาผนัง ออกแรงดึงวัตถุไปในแนวระดับ
ด้วยแรง P ทาให้เส้นเชือกเอียงทามุม 60 องศากับฝาผนัง จงหาแรงตึงของเชือกและแรง P ที่ใช้ดึง
พิจารณาในแนวแกน y ,  yF

= 0
จะได้ Tcos60 = W
T (
2
1
) = 60
T = ( 2 )( 60 ) = 120 N
พิจารณาในแนวแกน x ,  xF

= 0
จะได้ Tsin60 = P
แทนค่า T , ( 120 )(
2
3
) = P
P = 60 3 N
ตอบ ขนาดแรงตึงของเชือก ( T ) = 120 นิวตัน และแรง P = 60 3 นิวตัน
P
T60
6 Kg
W = 60 N
60
W = 60 N
T
P
Tcos60
Tsin60

15. 15
ตัวอย่างที่ 4 ทรงกลมหนัก 30 Kg วางอยู่ที่ล่อง ดังรูป จงหาแรงผนังล่องที่กระทาต่อทรงกลมนี้
จากรูป จะมีแรงกระทาต่อทรงกลม 3 แรง คือ W , NA และ NB
หาแรงที่ผนังล่องกระทาต่อทรงกลมที่ตาแหน่ง A คือ NA และที่ตาแหน่ง B คือ NB
พิจารณาในแนวแกน y ,  yF

= 0
จะได้ NA cos 37 + NB cos 53 = W
NA (
5
4
) + NB (
5
3
) = 300
4NA + 3NB = 1,500 ………………. ( 1 )
พิจารณาในแนวแกน x ,  xF

= 0
จะได้ NA sin 37 = NB sin 53
NA (
5
3
) = NB (
5
4
)
NA =
3
4
NB ……………….. ( 2 )
แทนค่า NA ใน ( 1 ) จะได้ NB = 180 N , NA = 240 N
ตอบ แรงที่ผนังล่องกระทาต่อทรงกลมที่ตาแหน่ง A คือ NA มีค่าเท่ากับ 240 นิวตัน
และ แรงที่ผนังล่องกระทาต่อทรงกลมที่ตาแหน่ง B คือ NB มีค่าเท่ากับ 180 นิวตัน
37 53
A
B
W
NBNA
37 53
5337

16. 16
ตัวอย่างที่ 5 จากรูปมวล m1 และ m2 ผูกกันด้วยเชือกผ่านรอกลื่นที่ยอดพื้นเอียง ที่มีความฝืด m1 มีค่า 1.0
กิโลกรัม m2 มีค่า 0.4 กิโลกรัม ถ้ามวลทั้งสองกาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จงคานวณค่าสัมประสิทธิ์
ความเสียดทานจลน์ระหว่างพื้นเอียงกับมวล m1 กาหนดให้ sin 37 = 0.6 และ cos 37 = 0.8
วิธีทา พิจารณาที่มวล m2กาลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร็วคงที่ แสดงว่า
สมดุล จะได้  F

= 0
T

+ m2 g = 0
T - m2g = 0
T = m2g
= ( 0.4 )( 10 )
= 4 N
พิจารณาที่มวล m1 กาลังเคลื่อนที่ลงด้วยความเร็วคงที่ แสดงว่า สมดุล
แนวขนานกับพื้นเอียง จะได้  xF

= 0
m1 gsin37+T

+ f

+ = 0
m1gsin37 –T - f = 0
( 1.0 )( 10 )(
5
3
) – ( 4 ) = f
จะได้ f = 2 นิวตัน
แต่ f =  N หาค่า N ได้จาก N = m1g cos 37 = ( 1.0 )(10) (
5
4
) = 8 นิวตัน
แทนค่า N = 8 นิวตัน ในสมการ f =  N จะได้  =
8
2
= 0.25 ตอบ
m2
m1
37
m2
m2g
T
m1
m1g sin 37
m1g sin 37
T
N
37
f
m1g

17. 17
ภาระกิจมอบหมาย
คำชี้แจง ให้นักเรียนสืบค้น เรื่องที่เกี่ยวข้องกับการสภาพสมดุล จากหนังสือแบบเรียน หรือแหล่งเรียนรู้อื่นๆ
ตอนที่ 1 สรุปสาระสาคัญที่ได้จากการสืบค้น ข้อมูล และบันทึกลงในสมุด
1. สภาพสมดุล
2. สมดุลเนื่องจากแรง
2.1 สมดุลเนื่องจากแรง 2 แรง
2.2 สมดุลเนื่องจากแรง 3 แรง
2.3 ผลของแรงลัพธ์เมื่อวัตถุ สมดุล โดยวิธีสร้างรูป
ตอนที่ 2 จงเติมคา
1. เมื่อวัตถุไม่มีการเปลี่ยนแปลงไปจากสภาพเดิม เราเรียกว่าวัตถุอยู่ในสภาพ ………………………………...
2. กล่องที่วางอยู่บนพื้น เมื่อเราออกแรงผลัก 8 นิวตันในแนวขนานกับพื้น แล้วกล่องนั้นไม่เคลื่อนที่แสดงว่า
กล่องอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่ ………. เพราะผลรวมของแรงที่กระทาต่อกล่องมีค่า…………………….
3. ขณะนั้นเราสังเกตเห็นรถยนต์คันหนึ่งกาลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ตลอดการเคลื่อนที่
ของการสังเกต แสดงว่า รถยนต์คันนี้อยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่ ………. เพราะผลรวมของแรงที่กระทาต่อ
รถยนต์คันนี้มีค่า…………………………ต่อมาคนขับเห็นคนนอนอยู่ในระยะห่าง 30 เมตร จึงเหยียบเบรค ทาให้
รถหยุดห่างจากคน 5 เมตร ช่วงที่เหยียบเบรครถอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่ ……… เพราะผลรวมของแรงที่
กระทาต่อรถยนต์มีค่า…………………………………………………………………………………..
4. แขวนวัตถุไว้ได้ด้วยเชือก โดยเชือกไม่ขาดและแกว่ง อยากทราบว่าวัตถุนั้นอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่…….
เพราะผลรวมของแรงที่กระทาต่อวัตถุนี้มีค่า………………และมีแรงกระทาต่อวัตถุนี้กี่แรง………….แรง
คือ………………………………………………………….…………………………………………………
5. ปล่อยก้อนหินให้ตกลงมาในแนวดิ่งอย่างอิสระ ก้อนหินจะอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่………….. เพราะแรงที่
กระทาต่อก้อนหินมีค่า…………………………………. และถ้าโยนก้อนหินขึ้นในแนวดิ่ง ขณะนั้นก้อนหินจะอยู่ใน
สภาพสมดุลหรือไม่………. เพราะผลรวมของแรงที่กระทาต่อก้อนหินมีค่า………………
6. แรงที่เกิดขึ้นระหว่างผิวสัมผัสของวัตถุและมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ แรงนั้นเรียกว่า………………….โดย
ผิวสัมผัสระว่างวัตถุคู่หนึ่งๆ จะมีคุณสมบัติทาให้เกิดการต้านเฉพาะตัว ซึ่งเรียกคุณสมบัตินี้ว่า…….( )ชื่อเต็ม
ว่า……………………………………ขนาดของแรงที่เกิดขึ้นนี้หาได้จากสมการดังนี้………………..
7. จากรูป จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
7.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล M กี่แรง ……………………………..
7.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………
7.3 ถ้ามวล M อยู่นิ่ง แสดงว่า ……………………………………..
7.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………
M

18. 18
8. จากรูป จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
8.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล M กี่แรง ……………………………..
8.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………
8.3 ถ้ามวล M อยู่นิ่ง แสดงว่า ……………………………………..
8.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………
9. จากรูป จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
9.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล M กี่แรง ……………………………..
9.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………
9.3 ถ้ามวล M อยู่นิ่ง แสดงว่า ……………………………………..
9.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………
10. จากรูป วัตถุมวล M ตกอย่างอิสระ จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
10.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล M กี่แรง ……………………………..
10.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………
10.3 มวล M ตกลงอย่างอิสระ แสดงว่า ……………………………………..
10.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………
11. จากรูป วัตถุมว M วางอยู่บนพื้นเอียง จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
11.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล M กี่แรง ……………………………..
11.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………
11.3 ถ้ามวล M อยู่นิ่ง แสดงว่า ……………………………………..
11.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………
ตอนที่ 3 จงหาคาตอบ
1. วัตถุหนัก 1,000 นิวตัน วางอยู่บนพื้นและผูกด้วยเชือกเบายาว 2.5 เมตร ออกแรง F
ในแนวระดับดึงวัตถุให้สูงจากพื้น 1.0 เมตรดังรูป จงหาขนาดของแรง F มีค่ากี่นิวตัน
MM
M
M
M
2.5 เมตร
1.0 เมตร
F

19. 19
2. จากรูป เมื่อสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่าง มวล 2 กิโลกรัม และ
3 กิโลกรัม เป็น 0.8 จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างพื้นกับ
มวล 3 กิโลกรัม ขณะที่ระบบมีความเร็วคงที่
3. วัตถุหนัก 36 นิวตัน วางอยู่บนพื้นราบ เมื่ออกแรงดึงวัตถุ 20 นิวตัน ในแนวทามุม 53 กับแนวราบวัตถุจะ
เคลื่อนที่ได้พอดี สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างพื้นกับวัตถุเป็นเท่าไร
4. จากรูปพื้นเอียงและพื้นราบมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน
เท่ากับ  ปรากฏว่ามวล 40 กิโลกรัมเคลื่อนที่ลงตามพื้น
เอียงด้วยอัตราเร็วคงที่ จงหาค่า 
2 kg
3 kg
7 kg
37
40 kg
20 kg

20. 20
ตอนที่ 4 แบบฝึกทักษะ
1. จากรูป จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
1.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล m กี่แรง ……………………………………..…………
1.2 มีแรงอะไรบ้าง……………………………………………………………………
1.3 ถ้ามวล m อยู่นิ่ง แสดงว่า ………………………………………………………..
1.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………………………….
2. จากรูป วัตถุมวล m ถูกไม้ดันไว้ระหว่างผนัง จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
2.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล m กี่แรง ………………………………………………
2.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………………………..
2.3 ถ้ามวล m อยู่นิ่ง แสดงว่า ……………………………………………………….
2.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร ……………………………………………
3. จากรูป จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
3.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล m กี่แรง ………………………………………………
3.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………………………..
3.3 ถ้ามวล m อยู่นิ่ง แสดงว่า ……………………………………………………….
3.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร ……………………………………………
4. จากรูป วัตถุมวล m ถูกโยนขึ้น ขณะที่กาลังเคลื่อนที่ขึ้น จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
4.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล m กี่แรง ……………………………………………..
4.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………………………
4.3 ขณะที่มวล m กาลังเคลื่อนที่ขึ้น แสดงว่า ……………………………………..
4.4 เขียนสมการของแรงลัพธ์ได้อย่างไร …………………………………………..
5. จากรูป วัตถุมวล m กาลังเคลื่อนที่ลงบนพื้นเอียงด้วยความเร็วคงที่ จงพิจารณาแล้วเติมข้อความให้ถูกต้อง
5.1 มีแรงกระทาต่อวัตถุมวล m กี่แรง ………………………………………………
5.2 มีแรงอะไรบ้าง…………………………………………………………………..
5.3 ขณะที่มวล m กาลังเคลื่อนที่ลงมาด้วยความเร็วคงที่ แสดงว่า
m
m
m
Mm
m

21. 21
สมดุลเนื่องจากโมเมนต์ของแรง หรือ ทอร์ก
แรงขนาน และ แรงคู่ควบ
แรงขนาน แรงที่มีแนวแรงขนานกัน
แรงคู่ควบ แรงขนานที่มีขนาดเท่ากันและมีทิศตรงข้ามกัน
จากรูป รูปใดเป็นแรงขนาน หรือแรงคู่ควบ
แรงขนาน คือ …………………………………………………………………………………………………
แรงคู่ควบ คือ …………………………………………………………………………………………………
การหมุน เกิดจาก การออกแรงกระทาต่อวัตถุ และแนวแรงที่กระทาต่อวัตถุจะต้องไม่ผ่านจุดหมุน
จากรูป การหมุนของวัตถุจะเกิดขึ้นกับรูปใด………………………………………………………
โมเมนต์ ของแรงคือผลคูณระหว่างขนาดของแรงกับระยะจากจุดหมุนไปตั้งฉากกับแนวแรง
โดย M

= โมเมนต์ของแรง มีหน่วยเป็น นิวตันเมตร ( N.m )
F

= แรงที่กระทาต่อวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน ( N )
r = ระยะจากจุดหมุนไปตั้งฉากกับแนวแรง มีหน่วยเป็น เมตร ( m )
แรง F
แรง F
รูป A รูป B รูป C
= F r
A
B
A B A
B
A
B
A
B
ก ข ค ง จ
ฝากล่อง
แรง F

22. 22
รูป การเกิดโมเมนต์
 โมเมนต์จะเกิดขึ้นได้ 2 ลักษณะ คือ โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา และ โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา
 การหมุน จะเกิดได้ 2 ลักษณะ คือ การหมุนตามเข็มนาฬิกา และ การหมุนทวนเข็มนาฬิกา
ข้อสังเกต อาจกล่าวได้ว่า โมเมนต์ คือ การหมุน
จากรูป เรื่องการหมุน และ การเกิดโมเมนต์
 รูปใดเกิดการหมุนหรือโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา………………………………………………………………
 รูปใดเกิดการหมุนหรือโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา………………………………………………………………
โมเมนต์ของแรงคู่ควบ คือ ผลคูณของขนาดของแรงใดแรงหนึ่งกับระยะทางตั้งฉากกับแนวแรงทั้งสอง
สมดุลเนื่องจากโมเมนต์ของแรง ผลจะทาให้วัตถุวัตถุที่อยู่นิ่ง หรือ หมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงที่
F

r
r
จุดหมุน
จุดหมุนจุดหมุน
r
ก
ข
ค
120
120
6 cm
50 N
50 N
จากรูป จงหาขนาดของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ
วิธีทา
M = F. r
M = (50)(6x10-2
)cos30
M = 3(0.866) Nm
M = ……………. Nm
จากรูป จงหาขนาดของโมเมนต์ของแรง T เมื่อ
T = 20 N
วิธีทา
M = F. r
M = (20)(6x10-2
)sin30
M = 1.2(0.5) Nm
M = ……………. Nm
30
T
6 cm
F

F


23. 23
สาเหตุที่ทาให้สมดุลเนื่องจากโมเมนต์ของแรง
เนื่องจากโมเมนต์ของแรงที่กระทาต่อวัตถุทั้งหมดรวมกันเป็นศูนย์ ( M

= 0 )
จะได้ ผลรวมโมเมนต์มีค่าเท่ากับ ศูนย์
 M

= 0
 ตามM

+  ทวนM

= 0
 ตามM -  ทวนM = 0
 ตามM =  ทวนM
ตัวอย่าง กล่องความหนาแน่นสม่าเสมอดังรูป สูง 1.00 เมตร กว้าง 0.50 เมตร มีน้าหนัก 2,000 นิวตัน วางอยู่
บนพื้นระดับซึ่งมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างผิวสัมผัสเป็น 0.4 แรง F

ในแนวระดับที่ตาแหน่งสูง h
จากพื้น
ก. แรง F

กระทาต่อวัตถุในแนวระดับมีค่า
เท่าใด วัตถุจึงจะเริ่มเคลื่อนที่พอดี
ข. ระยะสูงสุดที่ แรง F

กระทาต่อวัตถุมีค่า
เท่าใด วัตถุจึงจะไม่ล้มก่อนไถล
วิธีทา ก. จากรูป
เนื่องจากวัตถุอยู่ในสมดุล
ดังนั้น W = N และ F = f
f มีค่ามากที่สุดได้เท่ากับความเสียดทานสถิต
fs = sN
= 0.4 x 2.0 x 103 N
= 800 N
ดังนั้นแรงสูงสุดที่จะทาให้ไถลได้ F = 800 N
ตอบ แรงที่ทาให้วัตถุเริ่มจะเคลื่อนที่พอดีมีค่าเท่ากับ 800 นิวตัน

24. 24
ข. ถ้า h เป็นระยะสูงสุดที่ แรง F

กระทาต่อวัตถุแล้ววัตถุไม่ล้มก่อนไถล
เนื่องจากวัตถุยังคงอยู่ในสมดุลก่อนไถลหรือล้ม ดังนั้น
โมเมนต์ของแรงคู่ควบ N

, W

= โมเมนต์ของแรงคู่ควบ F

, sf

W x d = F x h
200 ( N ) x
2
0.50
( m ) = 800 ( N ) x h
h = 0.625 m
ตอบ ระยะสูงสุดที่แรง F

กระทาต่อวัตถุเท่ากับ 62.5 เซนติเมตร
ตัวอย่าง กระดานสปริงสาหรับกระโดน้า หนัก 400 นิวตัน มีหลักยึดกับ
กระดานสปริงที่ A และ B ซึ่งห่างกัน 4
1 ของความยาวของกระดานสปริง ดัง
รูป จงหาขนาดและทิศของแรง A และ B กระทาต่อกระดานสปริง ขณะที่นัก
กระโดดน้า หนัก 600 นิวตันที่ปลายคาน C ยืนนิ่งอยู่
วิธีทา ให้ O เป็นจุดกึ่งกลางของกระดานสปริง
AF

เป็นแรงที่เสา A ยึดกระดานสปริง
BF

เป็นแรงที่เสา B ดันกระดานสปริง
l เป็นความยาวของกระดานสปริง AC
เนื่องจากกระดานสปริงอยู่ในสมดุล ดังนั้น 

n
1i
iF

= 0 และ 

n
1i
iM = 0
ให้แรงที่มีทิศขึ้นมีเครื่องหมาย + และแรงที่มีทิศลงมีเครื่องหมาย – ( สมมุติให้ทิศของแรงที่ A และ B
เป็นดังรูป ถ้าสมมุติผิดเครื่องหมายจะได้ตรงข้ามกับที่สมมุติ )
จาก 

n
1i
iF

= 0
FB – FA – 400 (N) – 600 (N) = 0 ………………………. ( 1 )
ให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย + โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย – และให้แกนหมุน
ผ่านจุด B ( อาจคิดผ่านจุด A ก็ได้ โดยจะหาค่า FB ได้ก่อน )
จาก 

n
1i
iM = 0
N

W
 h
d
A B
C
A
B
O C
600 N400 N

25. 25
( FA x
4
l
) – ( 400 N x
4
l
) – ( 600 N x
4
3l
) = 0 ………………………. ( 2 )
จาก ( 2 ) FA = 2,200 N
แทนค่า FA ใน ( 1 ) FB = 3,200 N
ตอบ แรงที่เสา A กระทาต่อกระดานสปริงเท่ากับ 2,200 นิวตันในทิศดิ่งลง
แรงที่เสา B กระทาต่อกระดานสปริงเท่ากับ 3,200 นิวตันในทิศดิ่งขึ้น
ตัวอย่าง บันไดขนาดสม่าเสมอวางพิงกาแพงเกลี้ยงโดยปลายล่างทามุม 60กับ
พื้นดังรูปบันไดหนัก 300 นิวตัน
ก. จงเขียนแผนภาพของแรงที่กระทาต่อบันได
ข. ถ้าคนมีมวล 60 กิโลกรัมยืนบนบันไดที่ระยะ
4
1
ของความยาว
บันไดจากพื้น แรงที่พื้นและกาแพงกับบันไดเป็นเท่าใด
วิธีทา ก. แผนภาพของแรงจะเป็นดังรูป มีแรงเนื่องจากน้าหนักของบันได
300 N กระทาที่กลางบันได ( สม่าเสมอ ) แรงเสียดทานที่พื้นกระทาต่อ
บันได Bf

และแรงที่พื้นดันปลายบันไดในทิศตั้งฉาก BN

กระทาที่ปลาย
ล่างของบันได และแรงที่ปลายที่กาแพงดันปลายบันไดในทิศตั้งฉาก AN

มีน้าหนักของคนเพิ่มขึ้นที่ระยะ ( 4
1 ) ของความยาวบันไดจากพื้น ตาม
โจทย์ในข้อ ข.
ข. ให้คาน AB ยาว l AO = BO =
2
l
และ BM =
4
l
คนมีมวล 60 kg หนัก 600 N ยืนที่ M
เนื่องจากคานอยู่นิ่ง ดังนั้น จาก 

n
1i
iF

= 0
แนวระดับ แรงมีทิศไปทางซ้ายเป็น – แรงมีทิศไปทางขวาเป็น +
AN - Bf = 0 ………………………………( 1 )
แนวดิ่ง แรงมีทิศขึ้นเป็น + แรงมีทิศลง เป็น –
BN - 300 (N) – 600 (N) = 0
BN = 900 N
จาก 

n
1i
iM = 0
60
60
O
M
B
A
300 N
600 N

26. 26
ให้ B เป็นแกนหมุน โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเป็น + โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ
( 300 N x
2
l
cos60) + ( 600 N x
4
l
cos60) – ( AN x lsin60) = 0 ……… ( 2 )
จะได้ AN = 1385.6 N
แทนค่า AN ในสมการ ( 1 ) Bf = 1385.6 N
ตอบ แรงเสียดทานที่พื้นกระทากับบันได 1,385.6 นิวตัน
แรงที่พื้นกระทากับบันไดในทิศตั้งฉาก 900 นิวตัน
แรงที่กาแพงกระทากับบันไดในทิศตั้งฉาก 1,385.6 นิวตัน
เสถียรภาพของสมดุล คือ ความมั่นคงของวัตถุขณะที่วางตัวอยู่ในลักษณะต่างๆ ขณะที่อยู่ในสภาพสมดุล
เสถียรภาพของสมดุลมีได้ 3 แบบ
1. สมดุลเสถียร ( stable equilibrium ) เป็นสภาพที่วัตถุ เมื่อได้รับแรงกระทาแล้วยังสามารถ
กลับมาวางตัวอยู่ในลัษณะเดิมและตาแหน่งเดิมได้
2. สมดุลสะเทิน ( neutral equilibrium ) เป็นสภาพที่วัตถุ เมื่อได้รับแรงกระทา และเคลื่อนที่ ไม่
กลับที่เดิม แต่เมื่ออยู่นิ่งแล้ววางตัวในลักษณะเดิมได้
3. สมดุลไม่เสถียร ( unstable equilibrium ) เป็นสภาพที่วัตถุ เมื่อได้รับแรงกระทา แล้วไม่
สามารถอยู่ในลักษณะเดิมได้

27. 27
ตัวอย่าง จงพิจารณาภาพ การวางตัวของขวดมีเสถียรภาพอย่างไร
ก. สมดุลเสถียร จากรูป ก. เมื่อผลักขวดให้เอียงไปจากเดิมเล็กน้อยแล้วปล่อยมือ ขวดจะเคลื่อนที่
กลับมาอยู่ในลักษณะเดิมได้
ข. สมดุลสะเทิน จากรูป ข. เมื่อผลักขวดอย่างไรก็ตาม ขวดจะเคลื่อนตัวไม่กลับที่เดิม แต่อยู่นิ่งใน
ลักษณะเดิมได้
ค. สมดุลไม่เสถียร จากรูป ค. เมื่อผลักขวดให้เอียงจากเดิมเล็กน้อยแล้วปล่อยมือ ขวดจะล้ม ไม่
อยู่ในลักษณะเดิมได้
คาถาม จงพิจารณาภาพ การวางตัวของวัตถุทรงกลมมีเสถียรภาพอย่างไร
ก. ตอบ………………………..
ข. ตอบ……………………………
ค. ตอบ……………………….
เฉลย ก. ตอบ สมดุลไม่เสถียร ข.ตอบ สมดุลเสถียร ค. ตอบ สมดุลสะเทิน
ก ข ค
ก ค

28. 28
เสถียรภาพของสมดุล พิจารณา จากจุดศูนย์กลางมวล
1. สภาพสมดุลเสถียร จากรูป เดิมขวดอยู่ในสมดุล เมื่อมี
แรงกระทาต่อขวดให้เอียงไปเล็กน้อย ศูนย์กลางมวล (
C.M. ) ของขวด จะเปลี่ยนตาแหน่งอยู่ในระดับสูงขึ้น ซึ่ง
หมายถึง พลังงานศักย์ที่สูงขึ้นเมื่อเอียงไปทางใดทางหนึ่ง
น้าหนัก W

จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกับแรงที่พื้นดันวัตถุในทิศ
ตั้งฉาก N

ทาให้เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่จะทาให้ขวดกลับมาตั้งอยู่ในลักษณะเดิม
2. สภาพสมดุลสะเทิน จากรูป เมื่อออกแรงผลักขวด
ไม่ว่าจะผลักอย่างไร ขวดจะกลิ้งโดยศูนย์กลางมวล
ของขวดอยู่สูงจากพื้นเท่าเดิม ( ขวดที่สมมาตร )
พลังงานศักย์ของจุดศูนย์กลางมวลเท่าเดิม และแนว
น้าหนัก W

ยังคงอยู่ในแนวแรง N

จึงไม่เกิดโมเมนต์ของแรงคืนให้กลับที่เดิม ทาให้ขวดอยู่ ณ
ตาแหน่งใหม่ทุกครั้ง
3. สภาพสมดุลไม่เสถียร จากรูป เมื่อขวดถูกผลักเอียงไป
เล็กน้อย เมื่อจุดศูนย์กลางมวลของขวดพ้นแนวปากขวดที่
เป็นฐาน ขวดจะล้มต่อไปด้วยโมเมนต์ของน้าหนักที่ทาให้
ขวดหมุน ขวดจะไม่วางตัวกลับไปดังเดิม พลังงานศักย์ของ
จุดศูนย์กลางมวลต่าลงหลังจากเอียงเกินขอบของปากขวด
ซึ่งแคบ
กราฟของพลังงานศักย์ของจุดศูนย์กลางมวล ในกรณีทั้งสามอาจเขียนเทียบกับมุมเอียง  โดย
ประมาณ แสดงได้ดังรูป
C.M.
C.M.
C.M. C.M.
C.M.
C.M.
สมดุลเสถียร สมดุลสะเทิน สมดุลไม่เสถียร
PE

PE PE
 

29. 29
ภาระกิจมอบหมาย
คำชี้แจง ให้นักเรียนสืบค้น เรื่องที่เกี่ยวข้องกับสมดุลเนื่องจากทอร์กหรือโมเมนต์ของแรง จากหนังสือแบบเรียน
หรือแหล่งเรียนรู้อื่นๆ
ตอนที่ 1. สรุปสาระสาคัญที่ได้จากการสืบค้น ข้อมูล และบันทึกลงในสมุด
1. ทอร์กหรือโมเมนต์ของแรง
2. สมดุลเนื่องจากทอร์กหรือโมเมนต์ของแรง
ตอนที่ 2. เติมคา หรือข้อความลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
1. ความพยายามที่จะทาให้วัตถุเกิดการหมุน เรียกว่า ……………………หรือ………………………………………………
2. เมื่อเราออกแรงกระทาต่อวัตถุ แล้วทาให้วัตถุเกิดการหมุน แสดงว่ามีการเกิด……………………..ซึงปริมาณนี้มี
หน่วยเป็นนิวตัน.เมตร ( N.m )
3. การหมุนของวัตถุใดๆ เมื่อเทียบกับการหมุนของเข็มนาฬิกาจะมีได้กี่ลักษณะ………ลักษณะ คือ
……………………………………………………………………………………………………………………………….
4. ถ้าเราออกแรงกระทาต่อวัตถุแล้ว ทาให้วัตถุยังอยู่ในสภาพอยู่นิ่ง ได้ นอกจากจะมีผลรวมของแรงที่กระทาต่อ
วัตถุมีค่าเป็นศูนย์ ( 0 ) แล้ว ยังมีอีกเหตุผลหนึ่งคือ เพราะ ผลรวมของ………………………………………ที่กระทา
ต่อวัตถุมีค่าเป็นศูนย์ ( 0 ) ด้วย
5. ผลคูณระหว่างแรงกับระยะห่างระหว่างแรงถึงจุดหมุน ( r.F 
) คือ ………………………………………………………..
6. ถ้าเราออกแรงกระทาต่อวัตถุแล้ว ทาให้วัตถุหมุนเร็วขึ้น แต่วัตถุยังอยู่กับที่ แสดงว่าผลรวมของแรงที่
กระทาต่อวัตถุมีค่า……………………. ผลรวมของ………………………………ที่กระทาต่อวัตถุมีค่า……………………
7. คานไม้หนัก m g มีวัตถุหนัก 1W

, 2W

, 3W

แขวนไว้ และถูกมีเชือกแขวนไว้ จนคานอยู่ในแนวระดับ
7.1 มีแรงกระทาต่อคานกี่แรง………………………………………………………
7.2 คานอยู่นิ่งแสดงว่าคานอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่…………………………
7.3 มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ……………………………………………………
7.4 จากข้อ 7.3 คือ…………………………………………………………………
7.5 แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา ……………………………………
8. คานไม้สม่าเสมอหนัก m g ถูกยึดติดผนังกาแพง และสามารถหมุนโยกได้ มีเชือกดึงไว้ดังรูป มีวัตถุหนัก
W

แขวนอยู่ที่ปลายคาน
8.1 มีแรงกระทาต่อคานกี่แรง……………………………………………………
8.2 คานอยู่นิ่งแสดงว่าคานอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่…………………………….
8.3 มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ……………………………………………………
8.4 จากข้อ 8.3 คือ…………………………………………………………………
8.5 แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา ……………………………………

30. 30
9. คานไม้สม่าเสมอหนัก m g ถูกยึดติดกับพื้น และสามารถหมุนโยกได้ มีเชือกดึงไว้ดังรูป มีวัตถุหนักW

แขวนอยู่ที่ปลายคาน
9.1 มีแรงกระทาต่อคานกี่แรง…………………………………………
9.2 คานอยู่นิ่งแสดงว่าคานอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่………………
9.3 มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ………………………………………
9.4 จากข้อ 9.3 คือ……………………………………………………
9.5 แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา …………………………………………………………………………….
10. บันไดสม่าเสมอหนัก W

วางพิงกาแพงผิวเกลี้ยงและปลายด้านหนึ่งวางนิ่งบนพื้นฝืด
10.1มีแรงกระทาต่อบันไดกี่แรง……………………………………………………..
10.2ถ้าบันไดอยู่นิ่งแสดงว่าอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่…………………………
10.3มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ……………………………………………………
10.4จากข้อ 10.3 คือ……………………………………………………………….
10.5แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา เมื่อปลายล่างของบันไดเป็นจุด
หมุน…………………………………….
ตอนที่ 3 จงแสดงวิธีทา
A. บันไดอันหนึ่งยาว L หนัก 80 นิวตัน วางพิงกาแพงเกลี้ยงทามุม 53 จุดศูนย์ถ่วงของคานอยู่ห่างจากปลาย
ล่าง L / 3 จงหาแรงเสียดทานที่พื้นกระทาต่อบันได
B. กล่องสี่เหลี่ยมกว้าง 1.2 เมตร สูง 2.0 เมตร หนัก 15 กิโลกรัม วางบนพื้นที่มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน 0.6
จะต้อง ออกแรงผลักในแนวขนานกับพื้นขนาด 50 นิวตัน สูงจากพื้นเท่าไร กล่องจึงเริ่มล้ม

31. 31
ตอนที่ 4 แบบฝึกทักษะ
1. คานไม้หนัก m g มีวัตถุหนัก 1W

, 2W

, 3W

แขวนไว้ และถูกวางไว้ จนอยู่นิ่ง ถ้าตาแหน่งที่คานวางเป็นจุดหมุน
a) มีแรงกระทาต่อคานกี่แรง………………………………………………………
b) มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ……………………………………………………
c) จากข้อ 1.2 คือ…………………………………………………………………
d) คานอยู่นิ่งแสดงว่าคานอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่……………………………..
e) แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา ……………………………………
2. คานไม้สม่าเสมอหนัก m g ถูกยึดติดผนังกาแพง และสามารถหมุนโยกได้ มีเชือกดึงไว้ดังรูป มีวัตถุหนัก W

แขวนอยู่
ที่ปลายคาน
a) มีแรงกระทาต่อคานกี่แรง……………………………………………………
b) มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ……………………………………………………
c) จากข้อ 2.2 คือ…………………………………………………………………
d) คานอยู่นิ่งแสดงว่าคานอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่……………………………..
e) แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา ……………………………………
3. คานไม้สม่าเสมอหนัก m g ถูกยึดติดกับพื้น และสามารถหมุนโยกได้ มีเชือกดึงไว้ดังรูป มีวัตถุหนัก W

แขวนอยู่ที่
ปลายคาน
a) มีแรงกระทาต่อคานกี่แรง…………………………………………………
b) มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ………………………………………………
c) จากข้อ 3.2 คือ……………………………………………………………
d) คานอยู่นิ่งแสดงว่าคานอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่…………………………
e) แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา …………………………………………………………………………….
4. บันไดสม่าเสมอหนัก W

วางพิงกาแพงผิวเกลี้ยงและปลายด้านหนึ่งวางนิ่งบนพื้นฝืด
a) มีแรงกระทาต่อบันไดกี่แรง…………………………………………………
b) มีโมเมนต์ทั้งหมดกี่ลักษณะ………………………………………………
c) จากข้อ 4.2 คือ……………………………………………………………
d) บันไดอยู่นิ่งแสดงว่าอยู่ในสภาพสมดุลหรือไม่…………………………
e) แรงใดที่ทาให้เกิดโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา เมื่อปลายล่างของบันไดเป็นจุดหมุน…………………………………….
W3W2W1

32. 32
สภาพยืดหยุ่นของของแข็ง
สภาพยืดหยุ่น
เราได้ศึกษาสมดุลของวัตถุและแรงที่เกี่ยวข้อง โดยไม่คานึงถึงส่วนที่แรงเหล่านั้นมีผลต่อรูปร่างของวัตถุ
ถ้าแรงที่กระทาต่อวัตถุมีค่ามากพอก็จะทาให้วัตถุเกิดการผิดรูป( deformation ) หรือการแตกหักได้ ในหัวข้อนี้
จะศึกษาผลของแรงที่ทาให้วัตถุเปลี่ยนรูปร่างซึ่งอาจคืนสภาพเดิมหรืออาจไม่คืนสภาพเดิมหลังหยุดออกแรง
กระทาและการนาความรู้ที่เกี่ยวข้องไปใช้ประโยชน์
เมื่อนาวัตถุบางชนิด เช่น เหล็ก ทองแดง หรือแก้วที่เป็นแท่งหรือเส้นลวด มายึดปลายข้างหนึ่ง จากนั้น
ออกแรงดึงปลายอีกข้างหนึ่ง จะพบว่า ความยาวของเส้นลวดวัตถุยืดออกและส่วนที่ยืดออกแปรผันตรงกับ
ขนาดของแรงดึงเมื่อแรงยังอยู่ในขอบเขตหนึ่ง ความจริงข้อนี้เรียกว่า กฎของฮุก ( Hooke,s Law ) เมื่อเพิ่ม
แรงดึงต่อไปเรื่อยๆ จะพบว่าความยาวของเส้นวัตถุที่ยืดออกจะไม่แปรผันตรงกับขนาดของแรงดึงอีกต่อไป ดัง
กราฟในรูป 1.
จากกราฟ จะเห็นว่า ในช่วง oa เป็นไปตามกฎของฮุก
จุด a ซึ่งเป็นตาแหน่งสุดท้ายที่ความยาวเส้นโลหะยืดออกแปรผัน
ตรงกับขนาดของแรงดึง จุดนี้เรียกว่า ขีดจากัดการแปรผันตรง
( proportional limit ) ถ้าออกแรงดึงเส้นโลหะให้ยืดอีกเล็กน้อย
จนถึงจุด b เมื่อหยุดออกแรงดึงเส้นโลหะจะกลับไปอยู่ในสภาพ
เดิมและความยาวสุดท้ายเท่ากับความยาวเริ่มต้น จุดนี้เรียกว่า
ขีดจากัดสภาพยืดหยุ่น ( elastic limit )
ส่วนช่วงของกราฟตั้งแต่จุด b เป็นต้นไปเส้นโลหะเริ่ม
เปลี่ยนรูปไปอย่างถาวร และถ้าออกแรงดึงถึงจุด c จุดนี้เรียกว่า จุดคราก ( yield point ) ซึ่งเป็นจุดที่ความยาว
ของเส้นโลหะเพิ่มอย่างรวดเร็ว ขณะที่แรงดึงเพิ่มเล็กน้อย เมื่อออกแรงดึงต่อไป จนเลยจุด d เส้นโลหะจะขาดจุด
นี้เรียกว่า จุดแตกหัก ( breaking point )
ช่วง ob เรียกว่า การผิดรูปแบบยืดหยุ่น ( elastic deformation ) และสภาพของวัตถุในช่วง ob
เรียกว่า สภาพยืดหยุ่น ( elasticity ) ซึ่งเป็นสมบัติของวัตถุที่มีการเปลี่ยนรูปร่างเมื่อมีแรงมากระทา และสามารถ
กลับสู่รูปเดิมเมื่อหยุดออกแรงกระทา
ช่วง bd เรียกว่า การผิดรูปแบบพลาสติก ( plastic deformation ) ซึ่งเป็นสมบัติของวัตถุที่เปลี่ยน
รูปร่างไปอย่างถาวร โดยวัตถุยังไม่ฉีกขาดหรือแตกหัก
a
b c d
o
F
l
รูป 1. กราฟระหว่างแรงดึงกับความยาว
ของเส้นโลหะที่เพิ่มขึ้น
คนเรา ถ้าโดนเค้นมากๆ ก็จะเกิดความเครียดตามมา ถ้าถึงจุดครากสภาพ
จิตใจถูกแรงกดดันนิดหน่อยก็มีอารมณ์ ถ้าถึงจุดแตกหักก็จะเป็น….

33. 33
วัตถุส่วนใหญ่มีทั้งสภาพยืดหยุ่นและสภาพพลาสติกในตัวเอง โดยมีสภาพยืดหยุ่นเมื่อมีแรงกระทามีค่า
น้อย และมีสภาพพลาสติกเมื่อแรงกระทามีค่ามาก วัตถุบางชนิดมีแต่สภาพพลาสติก เช่น ดินน้ามัน ขนมปัง เป็น
ต้น
แรงที่ทาให้วัตถุผิดรูป
แรงที่กระทาต่อวัตถุแล้วมีผลให้วัตถุผิดรูปไป มี 3 แบบ ได้แก่
1. แรงดึง ( tensile forces ) เป็นแรงที่กระทาต่อวัตถุ มีผลให้วัตถุมีความยาวเพิ่มขึ้น
2. แรงอัด ( forces of compression ) เป็นแรงที่กระทาต่อวัตถุ มีผลให้วัตถุมีความยาวลดลง
3. แรงเฉือน ( shear forces ) เป็นแรงที่กระทาบนผิววัตถุ มีผลให้ผิววัตถุเลื่อนไปหรือทาให้แท่งวัตถุ
บิดรูปร่างไปจากเดิมตาวแนวยาว แรงกรณีหลังที่ทาให้แท่งวัตถุบิดไป เรียกว่า แรงบิด ( forces of
torsion ) ซึ่งเป็นแรงเฉือนชนิดหนึ่ง
รูป 2. แรงที่กระทาต่อวัตถุและผลของแรงทาให้วัตถุผิดรูป
ความเค้นและความเครียด ( Stress and Strain )
เมื่อออกแรงดึงเส้นลวดโลหะโดยนาวัตถุมาแขวน ดังรูป 3. ถ้าพิจารณา
ส่วนของเส้นลวดขณะอยู่ในสมดุล แรงดึงทั้งสองปลายของเส้นลวดจะมีขนาด
เท่ากัน และทุกๆส่วนของภาคตัดขวางของเส้นลวดจะได้รับแรงกระทาอย่าง
สม่าเสมอด้วยเช่นกัน
ให้ F เป็นแรงดึงซึ่งกระทาในแนวตั้งฉากกับพื้นที่หน้าตัด A ของเส้นลวด
อัตราส่วนระหว่างแรงดึงและพื้นที่ภาคตัดขวางเรียกว่า ความเค้นดึง (
tensile stress ) แทนด้วยสัญญลักษณ์  ( อ่านว่า ซิกมา sigma ) และเขียน
เป็นความสัมพันธ์ได้ว่า
ความเค้นดึง =
ตัดขวางพื้นที่ภาค
แรงดึง
ก. แรงดึง ข. แรงอัด ค. แรงเฉือน
W
F
F
นักเรียน ต้องกำรเป็นคนแบบยืดหยุ่น หรือ แบบพลำสติก
พื้นที่ภาคตัดขวาง ของลวด
รูป 3.เป็นพื้นที่รูปอะไร
รูป 3. แรงที่กระทาต่อเส้นลวด

34. 34
หรือ  =
A
F
ความเค้นเป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยในระบบเอสไอเป็น นิวตันต่อตารางเมตร ( N/m2 )
ขณะที่ออกแรงดึงเส้นลวดจะยืดออก ถ้าให้ L0 เป็นความยาวเดิมของเส้นลวด และ L เป็นความยาวที่
เพิ่มขึ้น อัตราส่วนระหว่างความยาวที่เพิ่มขึ้นกับความยาวเดิม เรียกว่า ความเครียดดึง ( tensile strain ) แทน
ด้วยสัญญลักษณ์  ( อ่านว่า เอพซิลอน epsilon ) และเขียนเป็นความสัมพันธ์ไดว่า
ความเครียดดึง =
มความยาวเดิ
เพิ่มขึ้นความยาวที่
หรือ  =
0L
L
เนื่องจากความเครียดเป็นอัตราส่วนระหว่างความยาวที่เปลี่ยนไปกับความยาวเดิม ซึ่งมีหน่วยเดียวกัน
ความเครียดจึงไม่มีหน่วย
ตัวอย่าง ลวดโลหะเส้นหนึ่งยาว 120 เมตร เส้นผ่านศูนย์กลาง 2.2 มิลลิเมตร ออกแรงดึงขนาด 380
นิวตัน ทาให้ลวดโลหะมีความยาวเป็น 120.10 เมตร จงหาความเค้นดึงและความเครียดดึงในลวดโละ
วิธีทา พื้นที่หน้าตัดของลวดโลหะ A =
4
d2

= 3.14x
 
4
m102.2
2-3

= 3.8x10- 6 m2
ความเค้นดึง  =
A
F
= 2-6
m103.8
N380

= 1.0x108 N/m2
ความเครียดดึง  =
0L
L
=
m120
m120-120.10
= 8.3x10-4
ตอบ ความเค้นดึงและความเครียดดึงในลวดโลหะเท่ากับ 1.0x108 นิวตันต่อตารางเมตร และ 8.3x10-4
ตามลาดับ
ควำมเค้น และ ควำมเครียด เกี่ยวข้องกับ
สภำพยืดหยุ่นของวัตถุอย่ำงไร…

35. 35
มอดูลัสของยัง ( Young’s modulus )
เมื่อมีแรงกระทาต่อวัตถุ เช่นลวดโลหะชนิดหนึ่งๆ จะทาให้เกิดความเค้นและความเครียดในลวดนั้น โดย
ความเครียดที่เกิดขึ้นจะแปรผันโดยตรงกับความเค้น เมื่อขนาดของแรงดึงไม่เกินขีดจากัดของการยืดหยุ่น และจะ
เป็นค่าคงตัวประจาสาหรับวัสดุหนึ่งๆ ค่านี้เรียกว่า ค่ามอดูลัสของยัง ( Young’s modulus )
โดย วัตถุที่มีมอดูลัสของยังสูง แสดงว่า วัตถุนั้นทนต่อการเปลี่ยนแปลงความยาว หรือเปลี่ยนความยาว
ได้น้อยขณะที่มีความเค้นมาก
สมการทางคณิตศาสตร์ ที่ได้จากการทดลอง เป็นดังนี้
มอดูลัสของยัง =
ความเครียด
ความเค้น
หรือ  =


 =
0LL
AF

เมื่อ  คือ มอดูลัสของยัง หรือ ค่าคงตัวของการยืดหยุ่นของสาร
มีหน่วยเป็น นิวตันต่อตารางเมตร ( N/m2 )
ทำควำมเข้ำใจ… กลับตัวอย่ำงต่อไปนี้
นะครับ…แล้วลองทำอีกครั้ง…
วัตถุที่เมื่อ โดยเค้นมาก แต่มีความเครียดน้อย แสดงว่า
วัตถุนั้น ทนต่อสภาพยืดหยุ่นได้ดี … ถึงจะโดนเค้นมาก… แต่การเปลี่ยนแปลง
เกิดขึ้นน้อย ( ผิดรูปจากเดิมน้อย )
แสดงว่าทนต่อสภาพยืดหยุ่นได้ดี
หรือเรียกว่ามีมอดูลัสของยังสูง…

36. 36
ตัวอย่างที่ 1 ลวดเหล็กกล้าเส้นหนึ่งยาว 4 เมตร มีพื้นที่หน้าตัด 0.8 ตารางเซนติเมตร ผูกวัตถุมวล
7,000 กิโลกรัม แขวนห้อยไว้ในแนวดิ่ง พบว่าลวดเหล็กกล้านี้ยืดออก 1.75x10- 2 เมตร ลวดเหล็กกล้าเส้นนี้มีค่า
มอดูลัสของยังเท่าใด ( ให้ g = 10 m/s2 )
วิธีทา จากสมการ  =
0LL
AF

แทนค่าจะได้  =
  
  m101.75m100.8
m4N107000
2-24-


= 2.0 x1011 N/m2
ตอบ ลวดเหล็กกล้าเส้นนี้มีมอดูลัของยังเท่ากับ 2.0 x1011 นิวตันต่อตารางเมตร
ตัวอย่างที่ 2 ลิฟต์มวล 600กิโลกรัม บรรทุกผู้โดยสาร 10 คน ซึ่งมีมวลเฉลี่ยคนละ 80 กิโลกรัม ถ้า
ลิฟต์มีความเร่งสูงสุด 2.0 เมตรต่อวินาที2 จงหาความเครียดดึงในสายเคเบิลทาด้วยเหล็กกล้าที่แขวนลิฟต์ ซึ่งมี
พื้นที่หน้าตัด 4.0 ตารางเซนติเมตร ในขณะที่ลิฟต์กาลังเคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่งสูงสุด ( ให้ g = 9.8 m/s2 และ
 = 2.0 x1011 N/m2 )
วิธีทา แนวคิด
ความเครียดดึง หาได้จาก
แต่ข้อมูลที่โจทย์กาหนด ไม่สามารถหาความเครียดดึง
จากอัตราส่วนนี้ได้
จึงต้องหาจากความสัมพันธ์
มอดูลัสของยัง =
 =
หรือ  =

37. 37
ขณะลิฟต์เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่ง สมการการเคลื่อนที่ของลิฟต์ เขียนได้ดังนี้
T - mg = ma
เมื่อ T เป็นความตึงของสายเคเบิล
แทนค่าจะได้ T - ( 1400 kg x 9.8 m/s2 ) = ( 600 + 800 )kg x 2.0 m/s2
T = 2800 kg m/s2 + 13720 N
= 16520 N
หาค่าความเค้นจาก  =
A
F
เมื่อ F ที่นี้ คือ T เป็นแรงที่ทาให้เกิดความตึงของสายเคเบิล
แทนค่า  = 24-
m104.0
N16520

= 4130 x 104 N/m2
และ  = มอดูลัสของยังของสายเคเบิลเหล็กกล้า = 2.0 x1011 N/m2
 = ความเครียดดึงในสายเคเบิล
จาก  =


จะได้  =
Ε
σ
แทนค่า  = 211
24
N/m102.0
N/m104130


= 2.06x10- 4
ตอบ ความเครียดดึงในสายเคเบิลเท่ากับ 2.06x10- 4
คำชี้แจง ให้นักเรียนสืบค้น เรื่องที่เกี่ยวข้องกับการสภาพสมดุล จากหนังสือแบบเรียน หรือแหล่งเรียนรู้อื่นๆ
ถ้าลิฟต์เคลื่อนที่ลง ด้วยความเร็วคงที่…
ความเครียดในสายเคเบิล จะเป็นอย่างไร…
ลองทาแบบฝึกหัดดูซิครับ…
โดยใช้ตัวอย่างที่ 2 เป็นแนวทาง…
สังเกตตรงสมการ
T - mg =
ma
เมื่อเคลื่อนด้วยความเร่ง
ถ้าเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ สมการนี้
T - mg = ma
ไม่ถูกแน่…

38. 38
ภาระกิจมอบหมาย
ตอนที่ 1. ให้นักเรียนสรุปสาระสาคัญที่ได้จากการสืบค้น ข้อมูล และบันทึกลงในสมุด
1. สภาพยืดหยุ่น
2. ความเค้น
3. ความเครียด
4. มอดูลัสของยัง
ตอนที่ 2. ให้นักเรียนเติมคา หรือข้อความลงในช่องว่างให้ถูกต้อง
1. วัตถุที่สามารถกลับคืนสู่สภาพเดิมได้เมื่อถูกแรงกระทาให้เกิดการเปลี่ยนรูปร่างจากเดิม เรียกว่าวัตถุนั้นมี…
……………………………………………………………………………………………………………….
2. จุดครากของวัตถุคือ………………………………………………………………………………………….
3. จุดแตกหักของวัตถุคือ………………………………………………………………………………………..
4. ช่วงพลาสติกของวัตถุคือ…………………………………………………………………………………….
5. ช่วงยืดหยุ่นของวัตถุคือ………………………………………………………………………………………
6. ขีดจากัดความยืดหยุ่นของวัตถุคือ……………………………………………………………………………
7. กฏของฮุกซ์กล่าวว่า…………………………………………………………………………………………
8. ความเค้นคือ…………………………………………………………………………………………………
9. ความเครียดคือ…………………………………………………………………………………….…………
10. ค่ามอดูลัสของยังคือ………………………………………………………………………………………….
11. จากรูป ลวดโลหะมีความยาว 15 เซนติเมตร มีมวล 50 กิโลกรัม แขวนอยู่ ผลที่เกิดขึ้นทาให้ลวด
โลหะมีความยาวเป็น 15.02 เซนติเมตร โดยลวดโลหะมีขนาด 2 x 10- 2 ตารางเซนติเมตร
11.1 มีแรงกระทาต่อลวดโลหะเท่าไร………………………………………………………
11.2 พื้นที่หน้าตัดของลวดโลหะมีขนาดเท่าไร ……………………………………………
11.3 ลวดโลหะมีความเค้นกี่นิวตันต่อตารางเมตร………………………………………….
11.4 ลวดโลหะมีความยาวเปลี่ยนไปเท่าไร…………………………………………………
11.5 เกิดความเครียดกับลวดขนาดเท่าใด……………………………………………………
11.6 สมการที่ใช้หาความเค้นของลวดโลหะนี้ คือ……………………………………………
11.7 สมการที่ใช้หาความเครียดของลวดโลหะนี้คือ …………………………………………
11.8 สมการที่ใช้หาค่ามอดูลัสของยังของลวดโลหะนี้ คือ……………………………………
11.9 ค่ามอดูลัสของยังของลวดโลหะนี้มีค่าเท่ากับ ……………………………….นิวตันต่อตารางเมตร
11.10 ถ้าใช้เป็นลวดโลหะชนิดอื่นค่ามอดูลัสของยังจะเท่ากันหรือไม่………………………
W

39. 39
ตอนที่ 3 จงแสดงวิธีทา
1. การทดลองเพื่อวัดค่ามอดูลัสของยัง โดยใช้มวล 500 กิโลกรัม แขวนกับลวดโลหะยาว 3 เมตร และมีพื้นที่
ภาคตัดขวาง 0.2 ตารางเซนติเมตร ทาให้ลวดมีความยาวเพิ่มขึ้น 0.4 เซนติเมตร จงหาความเค้น
ความเครียด และมอดูลัสของยังของโลหะนี้
2. วัตถุมวล 45 กิโลกรัม นาไปแขวนกับลวดโลหะที่มีความยาวเดิม 3 เมตร พื้นที่หน้าตัด 0.45 ตารางมิลลิเมตร
ถ้าลวดนี้มีค่ามอดูลัสของยังเป็น 5x1010 N/m2 จงหาความยาวของลวดโลหะในขณะที่มีวัตถุแขวนอยู่