1. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử cho u =u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :
 Công thức tính nguyên hàm:
udv uv
vdu
 Công thức tính tích phân:
b
udv uv
a
b
a
b
vdu
a
 Nhận dạng: hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác
nhau.
 Chú ý:
Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv
nhất
Làm thế nào để biết mình chọn hàm u, v chính xác rồi? 
b
Thật dễ: nếu trọn đúng u,v thì
vdu phả dễ tính hơn
vdu và
udv và
a
b
udv , nếu thằng ku nào chọn u, v xong mà tích phân sau khó hơn tích phân
a
ban đầu là đã chọn sai rồi.
1 Người soạn : Trương Văn Trọng

2. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
II. CÁC DẠNG CƠ BẢN
1. Dạng 1:
du
u
e
ax b
1
cos(ax b)
a
P(x)
sin(ax b)
P (x) cos(ax+b) dx
P '(x)dx
sin(ax b)
dv
cos(ax+b) dx
e ax
v
b
1
sin(ax+b)
a
1 ax b
e
a
Minh họa:Tính tích phân :
x sin x cos2 xdx
I
Giai
Cach 1:
1
(3sinx sin 3 x)
4
sin x cos 2 x sin x(1 sin 2 x) sinx sin 3 x
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x
Ta co :
sin 3 x
sin 3 x
1
(3sinx sin 3 x)
4
sin x cos 2 x sinx sin 3 x sin x
Suy ra, I
1
x sin x sin 3x dx
4
1
(3sinx sin 3 x)
4
1
1
x sin xdx
x sin 3xdx
4
4
Tính I1 :
I1
x sin xdx
u x
dv sin xdx
I1
x cos x
du
dx
v
sin xdx
coxdx
1
(sin x sin 3 x)
4
du
v
dx
cosx
x cos x sin x C1
Tính I2 :
2 Người soạn : Trương Văn Trọng
1
I1
4
1
I2
4

3. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I2
x sin 3xdx
u x
dv sin 3xdx
du
du
dx
v
sin 3xdx
1
cos3x
3
1
1
x cos x
sin x C2
3
9
1
1
x cos 3x
co3xdx
3
3
I1
dx
v
Cach 2:
u
du
x
dv sin x cos 2 xdx
dx
du
v
sin x cos 2 xdx
v
du
dx
cos 2 xd cos x
dx
1 3
v
cos x
3
1
1
1
1
I
x cos3 x
cos3 xdx
x cos3 x
cos 2 x cos xdx
3
3
3
3
1
1
x cos3 x
(1 sin 2 x) cos xdx
3
3
1
1
x cos3 x
(1 sin 2 x)d sin x
3
3
1
1
1 3
x cos3 x
(sin x
sin x) c
3
3
3
Bài tập áp dụng:
1.1.
x sin xdx
1.2.
(2 x 3)sin 2 xdx
1.3.
xcosxdx
1.4.
(2 x 1)cos2 xdx
2
x sin 3 xdx
1.5.
0
1.6.
sin xdx
1.7.
x sin xdx
1.8.
x sin(2 x 1)dx
3 Người soạn : Trương Văn Trọng

4. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1.9.
x3 sin(2 x2 1)dx
1.10.
x5cos( x 2 1)dx
1.11.
x sin xcos2 xdx
2
x sin 2 x cosxdx
1.12.
0
2
2
esin x s inxcos3 xdx
1.13.
0
2
1.14.
a sin 2 x bcos 2 x
e
s in2xdx
0
1.15.
x(sin x cos x)dx
1.16.
(x
1.17.
x( 3 sin x cos x)dx
1.18.
xe x dx
1.19.
(2 x 1) e x dx
1.20.
(2 x 1) e3 x 2 dx
1.21.
(x 2 2 x) e x dx
1.22.
x 3e x dx
1.23.
x 1
dx
ex
1.24.
x 2e x
dx
(x 2) 2
4
)(sin x cos x)dx
2
ex
1.25.
x
2
1 x
x2 1
x
2
2
dx
1
2. Dạng 2:
P(x) ln f (x) dx
u
dv
ln f (x)
P(x) dx
Thường gặp nhất là dạng đặc biệt sau:
4 Người soạn : Trương Văn Trọng
du
f '(x)
f (x)
v
P(x) dx

5. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
P (x) ln(ax b)dx
u ln(ax b)
dv P (x) dx
du
a
ax b
v
P (x) dx
Bài tập mẫu :
( x3
I
x2
x) ln( x 2
x) d x
Giải:
Chọn
u
ln( x 2
dv
( x3
( x 2 x) '
du
dx
x2 x
x 4 x3 x 2
v
4 3 2
x)
x2
x)dx
du
v
2x 1
dx
x2 x
x 4 x3 x 2
4 3 2
2x 1
dx
x2 x
1
v
(3x 4 4 x3 6 x 2 )
12
du
suy ra,
1
1
2x 1
(3x 4 4 x3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3x 4 4 x3 6 x 2 ) 2
dx
12
12
x x
1
1
2x 1
I
(3 x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3 x 3 4 x 2 6 x)
dx
12
12
x 1
1
1
1
(3x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
(3 x 3 4 x 2 6 x) 2
dx
12
12
x 1
1
1
(3x 4 4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2 x)
K
12
12
I
K
(3 x 3 4 x 2 6 x) 2
1
x 1
dx
2(3 x 3 4 x 2 6 x)
3x3 4 x 2 6 x
dx
x 1
2(3 x 3 4 x 2 6 x)
3x 2 ( x 1) x( x 1) 5( x 1) 5
dx
x 1
6 x 3 5 x 2 11x 5
3 4
x
2
5
x 1
dx
5 3 11 2
x
x 5 x 5ln(x 1) C
3
2
Từ đó có kết quả như sau:
I
1
(3x 4
12
4 x 3 6 x 2 ) ln( x 2
x)
1 3 4
x
12 2
Bài tập minh họa:
5 Người soạn : Trương Văn Trọng
5 3 11 2
x
x 5 x 5ln(x 1)
3
2
C

6. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.1.
ln(x 3 x) dx
2.2.
(2 x 1)ln(x3 x)dx
2.3.
ln( x 2 1 x) dx
2.4.
ln( x 2 1 x) dx
2.5.
x 2 ln( x 2 a 2
x) dx
2.6.
x 2 ln( x 2 a 2
x) dx
e
x 2 (lnx)2 dx
2.7.
1
1
2
2.8.
x ln
0
1
1 x
dx
1 x
x 2 1)
x ln(x
2.9.
x2 1
0
1
x 2 1)
x ln(x
2.10.
x
0
x2 1
dx
dx
0
2.11.
x ln 1 xdx
8
0
2.12.
ln 1 x
dx
3 (1 x) 1 x
3
x lnx
2.13.
x2 1
1
2
dx
1
x ln(1 x 2 )dx (CDKTKT 2006)
2.14.
0
3
2.15.
ln(tan x)
dx (CDTCHhai quan 2006)
sin 2 x
4
2
2.16.
ln(1 x)
dx (CD co khi 2006)
x2
1
2
x 2 ln 1
2.17.
1
1
dx
x
6 Người soạn : Trương Văn Trọng

7. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1
x 2 ln 1 x 2 dx
2.18.
0
2
2.19.
sin x ln(1 cosx)dx
0
4
2.20.
ln(tan x)dx
0
4
(x 1)2 lnx dx
2.21.
1
4
2.22.
ln(1 tan x)dx
0
5
2.23.
ln(1
2 x 1
4
x 1)
dx
x 1
tan x ln(cos x)
dx
cos x
2.24.
0
e
2.25.
( x3 1) ln x 2 x 2 1
dx
2 x ln x
1
e
ln x
2.26.
x 1
1
2
dx
3. Dạng 3 :
I
cos(ln x)
x
dx
sin(ln x)
k
u
dv
cos(ln x)
sin(ln x)
du
x k dx
v
3.1.
x cos(ln x)dx
2
e
x3 sin(ln x)dx
3.2.
1
e
3.3.
cos(ln x) d x
1
7 Người soạn : Trương Văn Trọng
sin(ln x)
x
cos(ln x)
x
xk 1
x k dx
k 1

8. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
e
cos 2 (ln x) d x
3.4.
1
4. Dạng 4 :
u
dv
e
ax b
sin( x
cos( x
)
dx
)
u
dv
e ax
b
sin( x
)
cos( x
)
sin( x
)
cos( x
)
e ax b dx
e x cos 2 x d x
4.1.
0
e x sin 2 x d x
4.2.
0
4.3.
sin 2 x
dx
ex
0
4.4.
5.
8 Người soạn : Trương Văn Trọng
dx