pp liên hợp

1. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
1
1) Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm 0x hữu tỉ, khi đó
phương trình luôn phân tích thành 0( ) ( ) 0x x P x  . Từ đó ta đưa về pt đơn giản hơn.
2) Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị 0x để trong căn là bình phương hoặc lập
phương, hoặc sử dụng máy tính fx để dò nghiệm.
Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
+   2 2
x y x y x y      ; , 0x y x y x y x y    
+   3 3 2 2
x y x y x xy y    
Dạng 1. Liên hợp theo hai biểu thức chứa căn
Với dạng liên hợp đơn giản này, ta chỉ cần chọn hai biểu thức có căn phù hợp
2 2
; , 0; 0
x y
x y x y x y
x y

    

Bài 1. Giải phương trình
7
5 1 3 13
3
x
x x

    .
ĐKXĐ:
1
5
x  .
Nhận xét 5 1 (3 13) 2( 7)x x x     nên liên hợp ta có
5 1 (3 13) 7
35 1 3 13
x x x
PT
x x
   
 
  
7 7
2
35 1 3 13
x x
x x
 
 
  
7 (1)
2 1
(2)
35 1 3 13
x
x x


 
   
(2) 5 1 3 13 6x x    
Nếu 1x  thì VT (1) > 4 16  6; còn nếu 1x  thì VT (1) < 4 16  6.
Dễ thấy 1x  là nghiệm phương trình (1).
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm 1 1x  ; 2 7x  .
Bài 2. Giải các phương trình 2
3 2 1 2 3x x x x     

2. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
2
HD ĐK
Từ PT ta có:
1
(2 3) 1 0
3 2 1
x x
x x
 
    
   
Vì:
1
1
3 2 1
x
x x
 
  
nên pt có nghiệm duy nhất:
3
2
x 
Bài 3. Giải phương trình  2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x          (2) Đs x = 2.
Giải:
Ý tưởng:
Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm 2x  nên ta sẽ cố gắng
đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử  2x  . Ta có nhận xét rằng:
     2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x        và      2 2
2 3 4 3 2x x x x     
Ta đi đến lời giải như sau:
(2)  2 2 2 2
3 5 1 3 1 2 3 4x x x x x x x          
  2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x xx x x x
  
 
       
 
  2 22 2
2 3
2 0
2 3 43 5 1 3 1
x
x x xx x x x
 
    
        
 
Mặt khác, ta có:
  2 22 2
2 3
2 3 43 5 1 3 1 x x xx x x x

       
> 0 với mọi x
Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất

3. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
3
Bài 4. Giải phương trình   2
1 2 2 1 3x x x x      
Đk: 1x  . Nhận xét:       2 1 3x x nên ta nhân liên hợp
          
   
                    
    

          
       

   
    
     
     
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
1 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2
2 1 0
2 1 1 2
2 1 1 2
2 1
2 1
2 (TMÑK).2
2 0
1
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
xx
x x
x
Bài tự luyện
Bài 5. Giải phương trình
a)
3
4 1 3 2
5
x
x x

   
b) 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2 .
c)  2
1 1 4 3x x x     Đs
1
x
2
d) A – 2007 Gpt 2 3 2 6x x x    x 3
e) 2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x          . ĐS: x 2.
Bài 6. Giải phương trình:
a)  2
5 2 1 7 10 3x x x x       Đs x = 1
a)   1 1 1 2 5x x x x      ĐS: x 2.
HD a) Liên hợp theo  5 2x x   ta có:   5 1 2 1 0x x    

4. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
4
Bài 7. Giải phương trình
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x

   

(16)
Bài 8. **Giải phương trình:   2 2
3 1 4 3 2x x x x x x      
Dạng 2. Liên hợp theo nghiệm 𝐱 𝟎
Bài 9. Giải phương trình:  2
2 4 2 5 1x x x x      
Sử dụng ALPHA CALC hoặc nhẩm giá trị để các biểu thức trong căn là bình phương, ta tìm được
x 3 là một nghiệm của phương trình.
Một cách tự nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù hợp sao cho phương trình xuất hiện nhân tử x 3 .
Nếu ta liên hợp
2 x 3
x 2 4 x
x 2 4 x
với nhau, mặc dù nó xuất hiện nhân tử
x 3 nhưng biểu thức còn lại 2
2x 5x 1 không xuất hiện x 3 . Hơn nữa, sau khi nhân liên
hợp nó xuất hiện hạng tử x 2 4 x dưới mẫu số mà chưa có thể khẳng định được âm hay
dương trong tập xác định của x.
Do đó, ta suy nghĩ đi tìm hai số , 0 trong hai biểu thức    2 , 4x x     để sau khi
nhân lượng liên hợp, cả hai đều xuất hiện  3x  . Muốn vậy ta tìm hai số a, b sao cho
Muốn vậy tìm hai số , 0a b  sao cho hệ
2 0
4 0
x a
x b
   

  
đúng với 3x 
1
1
a
b
 
 

Từ đó ta thêm bớt để có liên hợp như sau:
Bài giải tham khảo
Điều kiện: 2 x 4.
       2
2 1 4 1 2 5 3 0x x x x          
  
3 3
3 2 1 0
2 1 4 1
x x
x x
x x
 
     
   

5. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
5
 
1 1
3 2 1 0
2 1 4 1
x x
x x
 
      
    
 
3
1 1
2 1 1
2 1 4 1
x
x
x x


   
    
● Xét pt (1) Với x 2;4 ta có
VT = 2x 1 5 2
VP =
1 1 1
1(3)
2 1 4 1 2 1x x x
  
     
● Từ 2 , 3 1 vô nghiệm.
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3.
Bài 10. Giải phương trình  2
3 1 6 3 14 8 0 1x x x x       ( khối B-2010)
Phân tích:
Ta tìm một số
1
6
3
x x
 
   
 
sao cho 3 1x  và 6 x là một số chính phương thỏa mãn phương trình
trên. Dễ thấy 5x  thỏa (1). (Ta có thể tìm ra nghiệm x = 5 bằng cách sử dụng máy tính fx). Vì vậy ta
đưa phương trình trên về dạng    5 0x f x  , vì vậy ta cần làm xuất hiện nhân tử chung 5x  từ vế
trái của phương trình bằng phương pháp lien hợp.
Muốn vậy tìm hai số , 0a b  sao cho hệ
3 1 0
6 0
x a
b x
   

  
đúng với 5x 
4
1
a
b
 
 

Lời giải:
TXĐ:
1
6
3
x  
        2 3 15 5
1 3 1 4 1 6 3 14 5 0 5 3 1 0
3 1 4 1 6
x x
x x x x x x
x x
 
               
   

6. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
6
 
5 0 5
3 1
3 1 0 *
3 1 4 1 6
x x
x
x x
   

    
    
Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với
1
6
3
x   . Vậy 5x  là nghiệm duy nhấy
Bài 11. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 2
12 5 3 5x x x    
Giải:
Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5
12 5 3 5 0
3
x x x x       
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
 
          
   
  
       
    
Do
2 2 2 2
1 1 2 2
0
12 4 5 3 12 4 5 3
x x
x x x x
 
   
       
5
3
x 
Từ đó
2 2
2 2 5
3 0,
312 4 5 3
x x
x
x x
 
    
   
nên pt (*) vô nghiệm.
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài 12. Giải phương trình   23
4 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x     
ĐK: 5x  .
Pt     23
4 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x         
 
 
2
3 3
4 27 9 8(6 2 )
( 3)(4 27) 0
4 10 216 4 9 37 9 37
x x
x x
xx x
 
     
    

7. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
7
TH 1. 3 0 3x x     (TMPT)
TH 2. 3x   pt
 
2
3 3
36 16
4 27 0
4 10 216 4 9 37 9 37
x
xx x
    
    
 
2
3
36 16
4 27 0
4 10 212 9 37 2
x
xx
    
   
Do 5x  nên
36 16
4.5 27 0
12 4
VT      . Đẳng thức xảy ra 5x 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3 và 5
Bài 13. Giải các phương trình sau:
1) 2
2 1 3 1 0x x x     2)  3 2 2 2 6x x x    
3)
2
2
1 2
1
x x x
x x
 


4)  9 4 1 3 2 3x x x    
5) 2
2 4 2 5 1x x x x      6)
3
4 1 3 2
5
x
x x

   
Bài 14. Giải phương trình:
a)  2 3
2 11 21 3 4 4x x x    
b) 2 2
2 16 18 1 2 4x x x x      ĐS:
32 513
1;
7
x x
 
  
Dạng 3. Đưa về “hệ tạm”
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C  , mà : A B C 
ở đây C có thể là hàng số, có thể là biểu thức của x. Ta có thể giải như sau :
A B
C A B
A B


   

, khi đó ta có hệ: 2
A B C
A C
A B


  
  
 
Bài 15. Giải phương trình : 2 2
2 9 2 1 4x x x x x      

8. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
8
Ta có 2 2
0 ( 4) 0 2 9 2 1VT x x x x x         
Nhân với biểu thức liên hợp với 2 2
2 9 2 1x x x x     ta được 2 2
2 9 2 1 2x x x x     
Kết hợp với pt đã cho, ta có hệ
2 2
2 2
2 9 2 1 2
2 9 2 1 4
x x x x
x x x x x
      

      
2 8
2 2 9 6 0;
7
x x x x      
Bài 16. *Giải phương trình 2 2
2 7 10 12 20x x x x x      (3)
Giải:
Điều kiện:
2
2
7 10 0
10 20 0
x x
x x
   

  
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình
(3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử  1x  .
Ta viết lại như sau:
     2 2
3 2 7 10 1 12 20 2x x x x x x            
   
(4)
Để ý rằng hai phương trình  2
7 10 1 0x x x     và  2
12 20 2 0x x x     vô nghiệm nên
nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:
   
2 2
18 1 16 1
7 10 1 12 20 2
x x
x x x x x x
   

       
2 2
1
9 8
(*)
7 10 1 12 20 2
x
x x x x x x


 
        
Pt (*) 2 2
8 7 10 9 12 20 10x x x x x       
Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

9. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
9
Hướng 1: bình phương hai vế…
Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau
2 2
2 2
8 7 10 9 12 20 10
2 7 10 12 20
x x x x x
x x x x x
       

     
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:
2
2
5
15 5 5
5 7 10 4 5 4
2
15 25 0
x
x x x x
x x

 
      
   
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
15 5 5
1,
2
x x

  .
Tự luyện
Bài 17. Giải phương trình 3
24 12 6x x    (10)
Bài tự luyện
Bài 18. Giải phương trình
a) 2 2
3 1 ( 3) 1x x x x     .
b) 4 3 10 3 2x x   
c) 2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x     
d) 2 2
2 16 18 1 2 4x x x x     
e) 2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         
Bài 19. Giải phương trình
a)
2
1 4 1 3x x x    Đs
1
0;
2
x 
b)
2
1 9 1 4x x x   
c) 2 2
15 3 2 8x x x    
d) 2 2 2 2
3 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x          Đs x = 2

10. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
10
Bài 20. Giải phương trình:
a) 3
2 3 2 3 6 5 16 0x x    
b) 3
( 3)(2 5) 6 3 4 4x x x    
Bài 21. Giải phương trình :
a)
3 2
4 1 2 3x x x    
b)
3 2 3
1 3 2 3 2x x x    
c) 2 3
2 11 21 3 4 4 0x x x    
d)
2 33
1 1x x x   
Bài 22. Giải các phương trình sau:
a) 3
3 3x x   b) 3 3
2 1 1x x  
c) 2
2 1 3 1 0x x x     d)  9 4 1 3 2 3x x x    
e) 1 4 9 16 100x x x x x        
Bài 23. Giải phương trình
a) 23
5 1 9 2 3 1x x x x     
b) 3 2 2 2
3 8 2 15x x x     (1)
Bài 24. Giải phương trình
a) 3 2
2
3
1 3 1 5
6
x
x x x x
x

       

b) * 3 3 2
162 2 27 9 1 1x x x    
3. Liên hợp theo hai nghiệm – nghiệm lẻ – liên hợp theo biểu thức chứ biến
Bài 25. Giải phương trình D – 2006 2
3 1 2 1 0x x x    
Điều kiện
1
2
x 
Với sự trợ giúp của máy tính, ta dò được hai nghiệm là x = 1 và 2 2x  
Cách 1. Nếu liên hợp theo nghiệm x = 1 ta có

11. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
11
Biến đổi và nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số
     2
2 1 1 3 2 0x x x       
     
2 1 1 2 1 1
1 2 0
2 1 1
x x
x x
x
   
    
 
 
  
2 1
1 2 0
2 1 1
x
x x
x

    
 
 
2
1 2 0
2 1 1
x x
x
 
     
  
.
Đến đây, việc giải phương trình trong ngoặc bằng cách đặt ẩn phụ 2 1 1t x  
Cách 2. Nếu liên hợp theo nghiệm 2 2x   . Điều này đòi hỏi kĩ thuật hơn, bởi phương trình không
xuất hiện nhân tử 2 2 0x    . Ta phải tìm được biểu thức hệ số nguyên mà có nghiệm 2 2x  
Dễ dàng có: 2 2x   2 2 x    
2
2 2 x   2
4 2 0x x   
Vậy ta sẽ liên hợp làm xuất hiện nhân tử 2
4 2x x 
Nhận xét:      
2 2 2
2 1 1 4 2x x x x       nên ta sẽ tách liên hợp như sau:
     2
2 1 (1 ) 4 2 0x x x x        
 
 
2
2
4 2
4 2 0
2 1 (1 )
x x
x x
x x
  
    
  
2
4 2 0
2 1 (1 ) 1
x x
x x
   
 
   
Ta dễ dàng giải được pt có nghiệm x = 1 và 2 2x  
Bài 26. Giải phương trình 3 2
3 1 8 3x x x   

12. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
12
Đk:
2 6 2 6
3 3
x   ,
Sử dụng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:
1 20,6180339887...; 1,618033989...x x   sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.
Ta thu được kết quả “đẹp” sau: 1, 1A B AB    .
Và từ đây, ta có thể dự đoán được 2
1x x  chính là nhân tử của pt!
Trong trường hợp bạn không tìm được hai nghiệm, mà chỉ tìm được một nghiệm 2 1,618033989...x  ,
khi đó cần dự đoán
1 5
2
x

 2 1 5x    
2
2 1 5x  
2
1 0x x   
Xét 2
8 3px q x  
   2 2
2
8 3
8 3
px q x
x px q
  

  
 2 2 2
2
3 2 8
8 3
p x pqx q
x px q
   

  
Đến đây, để xuất hiện nhân tử
2
1x x  thì    2 2 2 2
3 2 8 1p x pqx q a x x      
Chọn a = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó ta thêm bớt:
Bài giải
 3 2
2 1 ( 2) 8 3 0x x x x      
2
3
2
1
2 1 4 0
8 3 2
x x
x x
x x
 
   
  
 2
2
4
1 1 0
8 3 2
x x x
x x
 
      
   
Cách 1.
2
4
1
8 3 2
x
x x
  
  
2 6 4
1 0
3 2 6
2
3
   

Cách 2. Xét   2
8 3 2f x x x    ta có:   2
3
' 1
8 3
x
f x
x

 


13. PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang
13
2
3 2
'( ) 0 1
38 3
x
f x x
x

      

Ta có bảng biến thiên:
 
6 4 6
3
f x

  kết hợp với
2 6
3
x   
6 4 6
0
3
f x

  
 2
4 4 2 6 4
1 1 1 0
3 6 4 68 3 2
3
x x
f xx x
          
  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1 5
2
x

 .
Tự luyện
Bài 27. Giải phương trình:    2 2
1 2 3 1x x x x     
Bài 28. Giải phương trình 3 2
3 2 4 4 1x x x x x x x         
Bài 29. Giải phương trình: 2 2
2 1 1 3x x x x x     
LUYỆN TẬP
Bài 30. Giải phương trình sau 2
x x 6 x 2 18   
Bài 31. Giải phương trình : 2
1 1 2 2x x x x       (17)
Bài 32. Giải phương trình  2 2
1 2 2 2x x x x x     