matematika_STATISTIK

1. KKOOMMBBIINNAATTOORRIIAALL && PPEELLUUAANNGG DDIISSKKRRIITT ::
PPEERRMMUUTTAASSII
MMAATTEEMMAATTIIKKAA DDIISSKKRRIITT

2. Ilustrasi 1
Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna :
merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian
dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing
kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang
berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan
kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ?
Kelereng
m k h
Kantong
1 2 3
Tabung 1 Tabung 2 Tabung 3 Urutan
m h
k
h
m
h
m
k
k
h
k
h
mk
m
mkh
mhk
kmh
khm
hmk
hkm
Matematika Diskrit 2

3. Ilustrasi 2
Misal ada 6 buah kelereng yang berbeda warna :
merah (m), kuning (k) hijau (h), biru (b), ungu (u) dan
coklat (c). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah
kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.
Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin
dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng
tersebut ?
Kelereng
m k h b u c
Kantong
1 2 3
n = banyaknya objek
r = pemilihan objek
Sehingga :
n = 6
r = 3
Matematika Diskrit 3

4. Definisi
• Permutasi adalah :
jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek
• Permutasi merupakan bentuk aplikasi dari kaidah
perkalian
• Sehingga permutasi dari n objek (pada ilustrasi a):
n (n -1) (n -2)2.1=n!
• Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang
diambil dari n objek disebut dengan permutasi-r
(pada ilustrasi b ), n £ r :
P n r Pn n n n n
( , ) 1 2 2.1 !
( ) ( ) ( ) !
= = - -  =
r -
n r
Matematika Diskrit 4

5. Contoh 1
• Berapa banyak kata yang terbentuk
dari kata “KULIAH” ?
Matematika Diskrit 5

6. Solusi
• Kata “KULIAH”  n = 6
• Ada 2 cara penyelesaian :
 Cara 1 :
Anggap kata “KULIAH” sebagai kelereng yang berbeda warna
dan 6 buah tabung terisi dengan 1 buah kelereng pada setiap
tabung
Sehingga :
(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 buah kata
 Cara 2 :
Dengan menggunakan rumus permutasi-r :
n = 6 ; r = 6
Sehingga :
(6,6) 6 6 5 4 3 2 1 6!
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
= = =
buah kata
P P
6
= =
6 ! 720
6!
0!
-
6 6 !
=
Matematika Diskrit 6

7. Contoh 2
• Tiga buah ujian dilakukan dalam
periode lima hari (Senin sampai
Jumat). Berapa banyak pengaturan
jadwal yang dapat dilakukan sehingga
tidak ada 2 ujian atau lebih yang
dilakukan pada hari yang sama ?
Matematika Diskrit 7

8. Solusi
• Ada 2 cara penyelesaian :
 Cara 1 :
 Ujian ke-1 dapat ditempatkan pada salah satu dari 5
hari
 Ujian ke-2 dapat ditempatkan pada salah satu dari 4
hari
 Ujian ke-3 dapat ditempatkan pada salah satu dari 3
hari
Jumlah pengaturan jadwal ujian :
(5)(4)(3) = 60 pengaturan jadwal
 Cara 2 :
 Dengan menggunakan rumus permutasi :
(5,3) 5 5!
( )
( 5 ) ( 4 ) ( 3 )( 2 )( 1
)
( )( )
P P
2 1
5!
= =
2!
= =
3
-
= =
5 3 !
( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) 60
pengaturan jadwal
Matematika Diskrit 8

9. Contoh 3
• Berapa banyak string yang dapat
dibentuk yang terdiri dari 4 huruf
berbeda dan diikuti dengan 3 angka
yang berbeda pula
Matematika Diskrit 9

10. Solusi
• String  n1 = 26 (a, b, …, z)
• Angka  n2 = 10 (0, 1, …, 9)
• Untuk mengisi posisi 4 buah huruf yang berbeda
(n1=26; r1=4):
(26,4) 26 26!
P = P =
4 = = =
( )
( )( )( )( )( )
26 25 24 23 22 !
( ) (26)(25)(24)(23)
22 !
26 !
22 !
-
26 4 !
• Untuk mengisi posisi 3 buah angka yang berbeda
(n2=10; r2=3):
(10,3) 10 10!
P =P =
3 = = =
( )
( )( )( )( )
10 9 8 7 !
( ) (10)(9)(8)
7 !
10 !
7 !
-
10 3 !
• Karena string disusun dari 4 buah huruf dan 3 buah
angka, maka jumlah string yang dapat dibuat :
P(26,4) x P(10,3) = (26)(25)(24)(23)(10)(9)(8) = 258.336.000
Matematika Diskrit 10

11. Permutasi Melingkar
• Permutasi melingkar dari n objek adalah :
Penyusunan objek-objek yang mengelilingi
sebuah lingkaran (atau kurva tertutup
sederhana)
• Jumlah susunan objek yang mengelilingi
lingkaran :
(n – 1)!
Matematika Diskrit 11

12. Contoh 4
• Ada 10 orang yang duduk pada satu
barisan kursi terdiri dari 10 kursi
yang mengelilingi meja melingkar.
Berapa banyak cara pengaturan
tempat duduk bagi mereka ?
Matematika Diskrit 12

13. Solusi
• Kursi = 10 n = 10
• Objek pertama dapat ditempatkan dimana
saja pada lingkaran dengan 1 cara
• Sisa n – 1 objek lainnya dapat diatur searah
jarum jam (misalnya) dengan :
P(n – 1, n – 1) = (n – 1) ! cara
• Sehingga :
P(9, 9) = 9 !
Matematika Diskrit 13

14. Latihan
1. Diketahui X = {a,b,c}, maka banyaknya permutasi-2
2. Berapa banyak cara memilih seorang ketua, wakil ketua,
sekretaris dan bendahara dari kelompok yang terdiri dari 10
orang
3. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ?
4. Jika suatu toko menjual 3 ukuran T-shirt dengan 6 warna
berbeda dan setiap T-shirt bisa bergambar naga, buaya atau
tidak bergambar sama sekali, berapa jenis T-shirt yang dapat
anda beli ?
5. Berapa jumlah kata (terdiri dari 8 huruf) yang dapat dibentuk
dari 26 huruf, tanpa memperhitungkan arti kata yang
terbentuk. Buatlah untuk 2 kemungkinan (boleh mengulang
huruf atau tidak boleh mengulang huruf)
6. Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama,
yang masing-masing akan ditempatkan di Surabaya, Sidoarjo
dan Malang. Berapakah kemungkinan susunan orang yang
diterima untuk menempati posisi tersebut ?
Matematika Diskrit 14

15. Latihan (cont.)
7. Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari {1, 2,
…, 8}
8. Tentukan banyaknya “kata” yang terbentuk dari huruf-huruf
dalam kata “SELEBES” jika setiap “kata” :
a. Berawal dan diakhiri dengan huruf E
b. Tiga huruf E berdampingan satu sama lain
7. Lima belas pemain basket akan direkrut oleh 3 tim
profesional di Jakarta, Bandung dan Surabaya, sedemikian
sehingga setiap tim akan merekrut 5 orang pemain. Dalam
berapa banyak cara dapat dilakukan ?
8. Sebuah bioskop mempunyi jajaran kursi yang disusun per
baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika 2 orang
akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang
mungkin pada suatu baris ?
Matematika Diskrit 15