Презентацию подготовила Прохорова Елена Степановна, учитель математики ССЗШ №45 г.Львова к недели математики в школе.

2. Прежде чем мы с вами начнем
разбирать эту тему, я хочу, чтобы
вы поняли: тот из вас, кто освоит
эту науку, станет обладателем
древнего магического ключа,
который откроет вам дверь для
выхода из любой безвыходной
ситуации. Еще в древности жрецы,
астрологи, маги и чародеи уделяли
в своей работе большое внимание
магическому квадрату, испытывая
к нему безграничное доверие как к
высочайшему дару богов,
относились к нему с
непередаваемым уважением и
почтением.

3. Пришельцы • Придуманы
из Китая магические
квадраты впервые,
и Индии по-видимому,
китайцами, так как
самое ранее
упоминание о них
встречается в
китайской книге,
написанной за
4000-5000 лет до
нашей эры.

4. Великие ученые
древности считали
количественные
отношения основой
сущности мира.

5. «В дни моей юности я в
свободное время
развлекался тем, что
составлял… магические
квадраты»
Бенджамин Франклин.
Франклин - один из отцов-
основателей Америки,
скрепивший своей подписью три
важнейших исторических
документа.

6. Магический
квадрат - это квадрат ,
сумма чисел которого в
каждом горизонтальном
ряду , в каждом
вертикальном ряду и по
каждой из диагоналей
одна и та же .

7. Пришельцы из Китая и Индии
4 9 2
3 5 7
8 1 6
• Старейший в мире магический квадрат представлен
выше. Черными кружками в этом квадрате
изображены четные (женственные) числа, белыми –
нечетные (мужественные) числа.
• В обычной записи он не так эффектен:

8. Магический квадрат 1
Квадрат разделен на 9 равных клеток. Расставьте в этих клетках числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом
столбике равнялась 15.

9. В магическом квадрате 3 на 3 с магической
постоянной 15 должны быть равны
суммы трех чисел по 8 направлениям: по 3
строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям.
Так как число, стоящее в центре,
принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2
диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек,
дающих в сумме магическую постоянную.
Такое число только одно: это 5.
Следовательно, число, стоящее в центре
магического квадрата 3 на 3, уже
известно: оно равно 5.

11. Расположить натуральные
числа от 1 до 9 в магический
квадрат 3 на 3 можно 8
различными способами:
4 9 2
3 5 7
8 1 6

12. Второй способ

13. Магический квадрат 3-го порядка
1. Добавим «крылышки» в средний
3 столбец и в среднюю строку.
2. Выделим по диагоналям клетки,
которые мы заполним числами.
2 6 3. Запишем в выделенные
клетки числа от 1 до 9.
4. Перенесем числа из
1 5 9 «крылышек» во
внутреннюю часть
квадрата, как показано на
рисунке.
4 8 5. Квадрат готов.
7

14. Магический квадрат 3-го порядка
Мы составили магический квадрат, который был известен еще в
древности. Согласно легенде, во времена правления императора
Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла
священная черепаха, на панцире которой были начертаны
таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под
названием ло-шу и равносильны магическому квадрату,
изображенному на рис. 1,б.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
рис. 1,а рис. 1,б.

15. Магический квадрат 2
В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по любой вертикали,
горизонтали и диагонали их суммы были равны между собой:
Заполним квадрат числами
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и 19
3 5 7 по описанному алгоритму.
9 11 13
15 17 19

16. Решение
1. Добавим «крылышки» в средний
столбец и в среднюю строку.
2. Выделим по диагоналям клетки,
7 которые мы заполним числами.
3. Запишем в выделенные
клетки нечетные числа от
5 13 3 до 19.
4. Перенесем числа из
«крылышек» во
3 11 19 внутреннюю часть
квадрата, как показано на
рисунке.
5. Квадрат готов.
9 17
15

17. Магический квадрат 3
Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось
в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и
диагонали.
Заполним квадрат по
описанному алгоритму.

18. Решение
1. Добавим «крылышки» в
средний столбец и в среднюю
строку.
15 2. Выделим по диагоналям
клетки, которые мы заполним
числами.
10 30 3. Запишем в
выделенные клетки
заданные числа.
5 25 45 4. Перенесем числа из
«крылышек» во
внутреннюю часть
квадрата, как показано
20 40 на рисунке.
5. Квадрат готов.
35

19. Магический квадрат 4
Разместите в свободных клетках квадрата еще числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали получилось в
сумме одно и то же число:
Заполним квадрат по
описанному алгоритму.
10
7
11

20. Решение
1. Добавим «крылышки» в средний
столбец и в среднюю строку.
2. Выделим по диагоналям клетки,
11 которые мы заполним числами.
3. Запишем в выделенные
клетки заданные числа, не
10 8 изменяя положения чисел
уже размещенных в
квадрате!
4. Перенесем числа из
9 7 5 «крылышек» во
внутреннюю часть
квадрата, как показано на
6 11 4 рисунке.
5. Квадрат готов.
3

22. • Здесь 16 порядковых чисел размещены в
шестнадцати клетках квадрата так, что
выполняется основное свойство
магического квадрата. •Действительно:
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16

23. Квадраты порядка, кратного четырем
• Для составления какого-либо
магического квадрата порядка
n=4, 8, 12, ..., 4k удобна, например,
такая простая схема:
1) Разместить числа в клетках
заданного квадрата в порядке их
возрастания (в натуральном
порядке);
2) Выделить по углам заданного
квадрата четыре квадрата со
сторонами n/4 и в центре один
квадрат со стороной n/2
3) В пяти выделенных квадратах
1 2 3 4 обменять
расположенные
местами числа,
симметрично
относительно центра заданного
5 6 7 8 квадрата; это значит, что в
натуральном расположении чисел
квадрата четвертого порядка надо
9 10 11 12 поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6
и 11, 7 и 10.
Квадраты, составленные по
13 14 15 16 указанной схеме, будут всегда
магическими симметрическими.

24. •В Европу магические
квадраты проникли лишь в
начале XV века. A в начале
XVI века один из них был
увековечен выдающимся
немецким художником,
гравером и немного
математиком А. Дюрером в
его лучшей гравюре
«Меланхолия» (1514 г.).

25. Дата 21 мая 1471
рождения:
Нюрнберг, Бавария,
Место Священная Римская
рождения: империя
6 апреля 1528 (56 лет)
Дата смерти:
Нюрнберг, Бавария,
Место Священная Римская
смерти:
империя
Известные
Адам и Ева
работы: Меланхолия
Рыцарь, смерть и
дьявол
Носорог
Руки молящегося
Четыре апостола

27. Дюрер составил магический квадрат, изображённый на
одной из самых совершенных его гравюр — «
Меланхолии». Заслуга Дюрера заключается в том, что
он сумел так вписать в расчерченный квадрат чи́сла
от 1 до 16, что сумма 34 получалась не только при
сложении чисел по вертикали, горизонтали и
диагонали, но и во всех четырёх четвертях, в
центральном четырёхугольнике и даже при сложении
четырёх угловых клеток. Также Дюрер сумел
заключить в таблицу год создания гравюры
«Меланхолия» (1514).
«Магический квадрат» Дюрера остаётся сложной
загадкой. Если рассматривать средние квадраты
первой вертикали, бросается в глаза, что в них
внесены изменения — цифры исправлены: 6 исправлена
на 5, а 9 получена из 5. Несомненно, Дюрер не случайно
обогатил свой «магический квадрат» такими
деталями, которые нельзя не заметить.

29. Свойства магического квадрата А.Дюрера
• попробуем перечислить все свойства
квадрата :
1. Сумма чисел, расположенных по углам нашего магического
квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел
вдоль каждого ряда квадрата:
+ + + = 34
2. Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4
клетки), примыкающих к вершинам данного
квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже
одинаковы и каждая из них равна 34: 1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16

30. Свойства магического квадрата А.Дюрера
3. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма
которых - 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых -19.
+ =
15 19
+ =
+ = + =
+ = + =
+ = + =
4. Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних
строках и в двух средних:
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
Как видите, получились попарно равные суммы! 13 2 3 16

32. Квадраты нечетного порядка
• Строим, квадрат ABCD с
25 клетками и временно
дополняем его до, 1
симметричной
ступенчатой фигуры со
ступеньками в одну клетку. 6 2
• В полученной фигуре A B
располагаем по порядку
косыми рядами сверху
11 7 3
вниз - направо 25 целых
чисел от 1до 25. 16 12 8 4
• А теперь каждое число,
оказавшееся вне квадрата
ABCD, следует перенести
21 17 13 9 5
вдоль того же ряда или
столбца ровно на столько
клеток от той клетки,
22 18 14 10
которую оно занимает,
каков порядок квадрата, в 23 19 15
нашем примере - на пять. D C
Так, в соответствии с этим
правилом переносим эти 24 20
числа…
25

33. • Каждое число магического квадрата участвует в двух
суммах, а числа расположенные по диагоналям даже
в трёх, и все эти суммы равны между собой!
• Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а
следом за ними и арабы приписывали этим
числовым сочетаниям таинственные и магические
свойства.
• Вся эта своеобразная мозаика чисел с её
постоянством сумм действительно придаёт квадрату
«волшебную» силу произведения искусства.
• И магические квадраты вошли в искусство.
• В «Фаусте» Гете есть сцена приготовления
колдуньей омолаживающего зелья.

34. •Слова, которыми колдунья сопровождает свои
манипуляции, обычно воспринимаются читателями
«Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:
Du must verstehen! ……………………………
Aus Eins mach’ Zehn Из единицы делаешь 10,
Und Zwei lass gehn, пропускаешь 2,
Und Drei mach’ gleich, а также 3
So bist reich ……………………………
Verlier die Vier! Зачеркиваешь 4
Aus Fünf und Sechs, Из 5 и 6
So sagt die Hex, ……………………………
Mach’ Sieben und Acht, Делаешь 7 и 8 (и наоборот)
So its’s vollbracht: Квадрат готов
Und Neun ist Eins, ……………………………
Und Zehn ist keins, ……………………………
Das ist das Hexen- ……………………………
Einmal-Eins! ……………………………

35. • Но не мог же Гете потерять чувство
художественной меры и отдать абракадабре целых
13 строк поэтического текста!
• Литературные комментаторы и исследователи
бесплодно тратили усилия на поиски смыcла,
скрытого в этом тринадцатистишии: Очевидно, y
них не возникала мысль попытаться воспроизвести
на бумаге рекомендации колдуньи.

36. • Давайте это сделаем. построим квадрат из девяти ячеек и разместим в
ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним
указания колдуньи:
• Из 1 делаешь 10 — в первой ячейке заменяем ЧИСЛО 1 числом 10.
• Числа 2 и 3 оставляем на своих местах, так как сказано: пропускаешь 2, a
также 3.
• Зачеркиваешь 4 — это значит заменяем нулем число 4.
• Заменяем 5 и 6 числами 7 и 8, а в ячейки, занятые числами 7 и 8,
вписываем 5 и 6
10
1 2 3
4
0 5 6
7 8 9

38. Часто
говорят, что
цифры
управляют
миром; по
крайней
мере нет
сомнения в
том, что
цифры
показывают,
как он
управляется
.

39. • Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит. Ей еще надо в последней
ячейке квадрата заменить девятку числом 4
• Вот теперь формирование «талисмана» окончено и последние три строки
тринадцатистишия уже ничего не добавляют к пониманию смысла «заклинаний»
колдуньи. Особенность получившегося квадрата состоит в том, что магическая
константа (15) получается только при сложении чисел вдоль любой строки и
любого столбца, но не вдоль диагоналей.
• Квадрат с таким свойством чисел, занимающих его ячейки, принято называть
полумагическим.
• Превращением начального квадрата в полумагический Гете символизировал
процесс омoложeния Фауста.
10 2 3
0 7 8
5 6 9
4

40. Существует семь магических квадратов, по
числу планетарных гениев: Сатурн,
Юпитер, Марс, Солнце, Венера, Меркурий
и Луна.
Квадрат Сатурна усиливает возможности
для достижения успеха в делах житейских
и человеческих, а также, может помочь в
избавлении от депрессии.
492
357
816

41. 1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16

42. 3 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31

43. 11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15

44. 22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28

45. 8 58 59 5 4 62 63 1
49 15 14 52 53 11 10 56
41 23 22 44 45 19 18 48
32 34 35 29 28 38 39 25
40 26 27 37 36 30 31 33
17 47 46 20 21 43 42 24
9 55 54 12 13 51 50 16
64 2 6 61 60 3 7 57

46. 37 78 29 70 21 62 13 54 5
6 38 79 30 71 22 63 14 46
47 7 39 80 31 72 23 5 15
16 48 8 40 81 32 64 24 56
57 17 49 9 41 73 33 65 25
26 58 18 50 1 42 74 34 66
67 27 59 10 51 2 43 75 35
36 68 19 60 11 52 3 44 76
77 28 69 20 61 12 54 4 45

47. Этот квадрат можно использовать, если вы
стремитесь достичь большого признания в
обществе или если хотите стать знаменитым.
Рисовать ее следует в первое воскресенье любого
месяца.
8 4 7 1
6 2 7 5
3 9 2 6
3 5 4 8

48. Этот квадрат можно применить, если вы хотите разбогатеть.
Его следует рисовать в любой четверг. Необходимо смотреть
на него на протяжении минуты каждое утро сразу после
пробуждения, затем в течение дня и потом вечером прямо
перед сном.
2 9 2 7
6 3 6 5
8 3 8 1
4 5 4 7

49. Этот Квадрат следует нарисовать и
носить его с собой каждый раз, когда вы
неважно себя чувствуете. Его можно
создавать в любое время.
2927
6365
8381
4547

50. Квадрат исключает ссоры и разногласия, а
также приносит гармонию и мир в дом. Его
следует рисовать в любой вечер на кухне и
после где-нибудь там же и оставить, но
так, чтобы он был все время виден.
36 29 34
31 33 35
32 37 30

51. Такой Квадрат следует сделать и носить с собой, если
вы стремитесь стать более уважаемым человеком или
приобрести высокое общественное мнение о себе.
56 63 2 7
6 3 60 59
62 57 8 1
4 5 58 61

52. 72 81 33 42
98 82 9 11
25 37 49 50
45 27 9 1

53. Числа
управляют
миром

55. •Великий ученый Пифагор, основавший
религиозно – философское учение, считал,
что сущность человека заключается в числе
– дате рождения. Поэтому с помощью
магического квадрата Пифагора можно
познать характер человека, степень
отпущенного здоровья и его потенциальные
возможности, раскрыть достоинства и
недостатки и тем самым выявить, что
следует предпринять для его
совершенствования.

56. Пусть дата рождения человека - 20.08.1986.
Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без
учета нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем
цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы
вычитаем удвоенную первую цифру дня
рождения: 34-4=30. И вновь складываем цифры
последнего числа: 3+0=3. Осталось сделать
последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм:
34+30=64, 7+3=10. Получили числа
20.08.1986,34,7,30, 64,10. И составляем магический
квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли
в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули
при этом во внимание не принимаются. В
результате мой квадрат будет выглядеть
следующим образом

57. 44 9 2
33 - 7
88 11 66

58. Ячейки квадрата означают
следующее:
• Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.
1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения
извлечь максимальную выгоду.
11 – характер, близкий к эгоистическому.
111 – «золотая середина». Характер спокойный,
покладистый, коммуникабельный.
1111 – люди сильного характера, волевые.
Мужчины с таким характером подходят на роль
военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.
11111 – диктатор, самодур.
111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное;
нередко попадает под влияние какой – то идеи.

59. • Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность,
душевность, чувственность. Количество двоек
определяет уровень биоэнергетики.
Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора
биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от
природы.
2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди.
Такие люди очень чувствительны к изменениям в
атмосфере.
22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из
таких людей получаются хорошие врачи, медсестры,
санитары. В семье таких людей редко у кого бывают
нервные стрессы.
222 – знак экстрасенса.

60. • Ячейка 3 – точность, конкретность,
организованность,аккуратность,
пунктуальность, чистоплотность,
скупость, наклонность к постоянному
«восстановлению справедливости».
Нарастание троек усиливает все эти
качества. С ними человеку есть смысл
искать себя в науках, особенно точных.
Перевес троек порождает педантов,
людей в футляре.

61. • Ячейка 4 – здоровье. Это связано с
энергетическим пространством,
наработанным предками и
защищающим человека. Отсутствие
четверок свидетельствует о
болезненности человека.
4 – здоровье среднее, необходимо
закалять организм. Из видов спорта
рекомендуются плавание и бег.
44 – здоровье крепкое.
444 и более – люди с очень крепким
здоровьем.

62. • Ячейка 5 – интуиция, ясновидение,
начинающееся проявляться у таких людей уже на
уровне трех пятерок.
Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти
люди часто ошибаются.
5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно
рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную
пользу.
55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие
сны», могут предугадывать ход событий.
Подходящие для них профессии – юрист,
следователь.
555 – почти ясновидящие.
5555 – ясновидящие.

63. • Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет,
склонность к количественному освоению мира и недоверие к
качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.
Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они
его, как правило, не любят. Они наделены неординарным
воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры,
они тем не менее способны на поступок.
6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но
физический труд является обязательным условием существования.
66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как
раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность
либо занятия искусством.
666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают
повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в
обществе центром внимания.
6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком
много заземленности, они очень много трудились и не представляют
свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть
• девятки, им обязательно нужно заниматься умственной
деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее
образование.

64. • Ячейка 7 – количество семерок определяет
меру таланта.
7 – чем больше они работают, тем больше получают
впоследствии.
77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают
тонким художественным вкусом, могут иметь
склонность к изобразительному искусству.
777 – эти люди, как правило, приходят на Землю
ненадолго. Они добры, безмятежны,
болезненно воспринимают любую
несправедливость. Они чувствительны, любят
мечтать, не всегда чувствуют реальность.
7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в
младенчестве, а если и живут, то их жизни
постоянно угрожает опасность.

65. • Ячейка 8 – карма, долг, обязанность,
ответственность. Количество восьмерок определяет
степень чувства долга.
Восьмерок нет – у этих людей почти полностью
отсутствует чувство долга.
8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.
88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда
отличает желание помочь другим, особенно слабым,
больным, одиноким.
888 – знак великого долга, знак служения народу.
Правитель с тремя восьмерками добивается
выдающихся результатов.
8888 – эти люди обладают парапсихологическими
способностями и исключительной восприимчивостью к
точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

66. • Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток -
свидетельство того, что умственные способности крайне
ограничены.
9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы
восполнить недостаток ума.
99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому
что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с
ироничным оттенком, независимые.
999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких
усилий. Прекрасные собеседники.
9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же
развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из
своих начинаний. При всем этом они, как правило,
довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми,
немилосердными и жестокими.

67. • Итак, составив магический квадрат
Пифагора и зная значение всех
комбинаций цифр, входящих в его
ячейки, вы сможете в достаточной
мере оценить те качества вашей
натуры, которыми наделила матушка
– природа.