птрпо

1. Магический квадрат
Маги́ ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица ,
заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом
столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел
только в строках и столбцах, то он
называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат,
заполненный целыми числами от до . Магический квадрат
называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел,
расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна .
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за
исключением , хотя случай тривиален — квадрат состоит из одного
числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
2 7 6 15
9 5 1 15
4 3 8 15
15 15 15 15 15
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической
константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит
только от n и определяется формулой
Квадрат Альбрехта Дюрера
А́ льбрехт Дю́ рер (21 мая 1471, Нюрнберг — 6 апреля 1528) —
немецкий живописец и график, признан крупнейшим европейским
мастером ксилографии и одним из величайших мастеров западноевропейского
искусства Ренессанса.
Первый теоретик искусства среди североевропейских художников.
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта
Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два
средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

2. Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма
также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате
(10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных
«ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами
средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).
Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух
центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в
Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен
в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы
китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской
рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у
магических квадратов!
Свойства магических квадратов:
Свойство 1. Квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично
расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n2.
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна
магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном
квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на
противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно:
14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках,
отмечаемых ходом шахматного коня.34.
Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в
соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к
противоположным вершинам квадрата.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках,
отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма
которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19.

3. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна
13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой.
То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках.
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в
серединах сторон, то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон
вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары
противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе
квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
В средние века магические квадраты связывали с астрологией, каждой планете
соответствовал свой магический квадрат. Считалось, что магические квадраты
обладают мистическими свойствами. Так это или нет, зависит от восприятия
человека и как он ко всему этому относится. В последнее время в Интернете
появились сообщения об использовании магических квадратов в новейших
технологиях создания цифровых изображений. О пользе занятий магическими
квадратами очень хорошо сказал французский учёный А. Обри: «Составление
магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику,
развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания, симметрии,
классификации, обобщения». Поэтому магические квадраты всегда будут
пользоваться вниманием и интересом!