1. Inverse Trigonometric
Functions

2. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x

3. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
1 y  sin x
 2   2 x
-1

4. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
 2   2 x
-1

5. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
-1

6. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
 
Restricted Domain:   x  -1
2 2

7. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
 
Restricted Domain:   x  -1
2 2
Range:  1  y  1

8. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
 
Restricted Domain:   x  -1
2 2
Range:  1  y  1
f 1 : y  sin 1 x

9. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
 
Restricted Domain:   x  -1
2 2
Range:  1  y  1
f 1 : y  sin 1 x
Domain:  1  x  1
Range:    y  
2 2

10. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
 
Restricted Domain:   x  -1
2 2
Range:  1  y  1
f 1 : y  sin 1 x
Domain:  1  x  1
Range:    y  
2 2

11. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
  y
Restricted Domain:   x  -1
2 2 
Range:  1  y  1 2
f 1 : y  sin 1 x
Domain:  1  x  1 -1 1 x
Range:    y   

2 2 2

12. Inverse Trigonometric
Functions
y  sin 1 x
y  sin x y
Domain: all real x 1 y  sin x
Range:  1  y  1
NO INVERSE  2   2 x
  y
Restricted Domain:   x  -1
2 2  y  sin 1 x
Range:  1  y  1 2
f 1 : y  sin 1 x
Domain:  1  x  1 -1 1 x
Range:    y   

2 2 2

13. y  cos 1 x

14. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
 2   2 x
-1

15. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1

16. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE

17. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x  

18. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x  
Range:  1  y  1

19. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x  
Range:  1  y  1
f 1 : y  cos 1 x

20. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x  
Range:  1  y  1
f 1 : y  cos 1 x
Domain:  1  x  1
Range: 0  y  

21. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x  
Range:  1  y  1
f 1 : y  cos 1 x
Domain:  1  x  1
Range: 0  y  

22. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x   y
Range:  1  y  1 
f 1 : y  cos 1 x 
Domain:  1  x  1 2
Range: 0  y   x
-1 1

23. y  cos 1 x y y  cos x
1
y  cos x
Domain: all real x
 2   2 x
Range:  1  y  1
-1
NO INVERSE
Restricted Domain: 0  x   y
Range:  1  y  1 
y  cos 1 x
f 1 : y  cos 1 x 
Domain:  1  x  1 2
Range: 0  y   x
-1 1

24. y  tan 1 x

25. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
  x

26. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y

27. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y
NO INVERSE

28. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y
NO INVERSE
Restricted Domain:    x  
2 2

29. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y
NO INVERSE
Restricted Domain:    x  
2 2
Range: all real y

30. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y
NO INVERSE
Restricted Domain:    x  
2 2
Range: all real y
f 1 : y  tan 1 x

31. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y
NO INVERSE
Restricted Domain:    x  
2 2
Range: all real y
f 1 : y  tan 1 x
Domain: all real x
 
Range:   y
2 2

32. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y y

NO INVERSE 2
Restricted Domain:    x  
2 2
Range: all real y
1 1
x
f : y  tan x
Domain: all real x 
  
Range:   y 2
2 2

33. y  tan 1 x y
y  tan x
y  tan x
Domain:all real x except
  x

x  k where
2
k is an integer
Range: all real y y
 y  tan 1 x
NO INVERSE 2
Restricted Domain:    x  
2 2
Range: all real y
1 1
x
f : y  tan x
Domain: all real x 
  
Range:   y 2
2 2

34. sin 1  x    sin 1 x (odd function)

35. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2

36. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)

37. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2

38. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2
e.g. Find the exact value of;
i  tan 1 3  tan 1 1

39. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2
e.g. Find the exact value of;
i  tan 1 3  tan 1 1
 
 
3 4

40. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2
e.g. Find the exact value of;
i  tan 1 3  tan 1 1
 
 
3 4


12

41. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2
e.g. Find the exact value of;
1 1  1 
i  tan 1 1
3  tan 1 ii  sin 1
 sin   
  2  2
 
3 4


12

42. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2
e.g. Find the exact value of;
1 1  1 
i  tan 1 1
3  tan 1 ii  sin
1
 sin   
  2  2
   
3 4   
 
4  6


12

43. sin 1  x    sin 1 x (odd function)
1
 x     cos x
1  odd function shifted   
cos  
 2
tan 1  x    tan 1 x (odd function)
  sum  
sin 1 x  cos 1 x 
2
e.g. Find the exact value of;
1 1  1 
i  tan 1 1
3  tan 1 ii  sin
1
 sin   
  2  2
   
3 4   
 
4  6
 5
 
12 12

44. 40
iii  cos sin 1
41

45. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
140
sin
41

46. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
140
sin
41
9

47. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 1
sin
40
41 41
9

48. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 1
sin
40
41 41
5 9
iv  sin sin
1
6

49. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 1
sin
40
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6

50. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 1
sin
40
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
 
 5

51. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 1
sin
40
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
 5 5

52. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 1
sin
40
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5

3

53. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4

3

54. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4
 2 sin  cos  
3

55. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4
 2 sin  cos  
 2  
4 3 3
  
 5  5 

56. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4
 2 sin  cos  
 2  
4 3 3
  
 5  5 
24

25

57. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4
 2 sin  cos  
 2  
4 3 3
  
 5  5 

24 vi  cos 1  2 cos  
 
25  3

58. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4
 2 sin  cos  
 2  
4 3 3
  
 5  5 
24  2 cos    cos 1  2  1 
vi  cos  1
 
   2
25  3

59. 40
iii  cos sin 1 41
41 40
9
 sin
40
1
41 41
5  9
iv  sin sin
1

6 6
v  sin  2 cos 1 3 
  let   cos 1
3
5
 5 5 4
 2 sin  cos  
 2  
4 3 3
  
 5  5 
24  2 cos    cos 1  2  1 
vi  cos  1
 
   2
25  3 1
 cos 1
0

60.  sin 1 2  cos 1 1 
vii  tan 
 3 4

61.  sin 1 2  cos 1 1 
vii  tan 2
 let   sin 1
 3 4 3

62.  sin 1 2  cos 1 1 
vii  tan 2
 let   sin 1
 3 4 3
3
2

5

63.  sin 1 2  cos 1 1 
vii  tan 2 1
 let   sin 1 let   cos 1
 3 4 3 4
3 4
2 15
 
5 1

64. vii  tan sin 1 2  cos 1 1  2 1
 let   sin 1 let   cos 1
 3 4 3 4
tan   tan 
 3 4
1  tan  tan  2 15
 
5 1

65. vii  tan sin 1 2  cos 1 1  2 1
 let   sin 1 let   cos 1
 3 4 3 4
tan   tan 
 3 4
1  tan  tan  2 15
2
 15  
 5 5 1
 2 
1    15 
 5

66. vii  tan sin 1 2  cos 1 1  2 1
 let   sin 1 let   cos 1
 3 4 3 4
tan   tan 
 3 4
1  tan  tan  2 15
2
 15  
 5 5 1
 2 
1    15 
 5
25 3
 5
52 15
5
25 3

52 15

67. vii  tan sin 1 2  cos 1 1  2 1
 let   sin 1 let   cos 1
 3 4 3 4
tan   tan 
 3 4
1  tan  tan  2 15
2
 15  
 5 5 1
 2 
1    15 
 5
25 3
 5 Exercise 1B; 1 to 5 ace etc, 6, 7ac, 8ac,
52 15 9, 10ac, 11, 12ac, 14 to 20 evens
5
25 3

52 15