1. §1−3 平 面 向 量 的 坐 標 表 示 法
(甲)坐標向量
(1) 向 量 的 坐 標 表 示 ：
由於給定一向量，則過任一點 A 都可作一向量，使得=。
因此我們取定一個坐標平面系，O 為原點，則可用一個有向線段，
使得=，反之，此平面坐標上的任一點 P(a,b)也決定一個以原點 O 為始點，P 為終
點的向量。如此，平面上的每一個向量都可用一點的坐標來表示，每一點的坐標
也 都 代 表 惟 一 的 向 量 。
如下圖，設=，而 P 點的坐標為(a,b)，則我們就用 P 的坐標(a,b)來表示向量，記
為 =(a,b) ， 其 中 a 和 b 分 別 稱 為 向 量 的 x− 分 量 與 y− 分 量 。
所 以 的 長 度 為 ||= = 。
根據前面的說明，平面向量用(a,b)來表示，它的方向是由原點 O 指向 P(a,b)，
而它的大小為。因此坐標的表示方式可以同時呈現出向量的兩個要素 而大 小 與 方
向 。
結 論 ：
(a) 長 度 ： =(a,b) ， 則 ||= 。
(b)相等：若=(a,b)，=(c,d)，則= ⇔ a=c 且 b=d
~1−3−1~

2. y B
y y
P(a,b) B(− 4,6)
A P
P A(1,2)
O x O x
O x
(c) 兩 點 決 定 一 向 量 ：
例 如 ： 設 A(1,2) 、 B(−4,6) ， 試 用 坐 標 表 示 。
作 法 ： 我 們 取 一 點 P(x,y) ， 使 得 = ， 由 向 量 相 等 的 定 義 ， 可 知 四 邊 形
ABOP 為 平 行 四 邊 形 ， 平 行 四 邊 形 對 角 線 互 相 平 分 ， 所 以 AP 的 中 點
與 OB 的 中 點 為 同 一 點 ， 故 = ， = ，
即 x=−4−1=−5 ， y=6−2=4 ， 所 以 =(−5,4) 。
設 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) 為 坐 標 平 面 上 的 兩 點 ，
則 =(x 2 −x 1 , y 2 −y 1 )
[ 說 明 ] ：
我 們 取 一 點 P(x,y) ， 使 得 = ，
由 向 量 相 等 的 定 義 ， 可 知 四 邊 形 ABOP 為 平 行 四 邊 形 ，
因 為 平 行 四 邊 形 對 角 線 互 相 平 分 ，
所 以 AP 的 中 點 與 OB 的 中 點 為 同 一 點 ，
故 = ， = ，
即 x=x 2 −x 1 ， y=y 2 −y 1 =4 ， 所 以 =(x 2 −x 1 , y 2 −y 1 ) 。
結 論 ：
將向量予以坐標化，即向量除了幾何表示 (即有向線段)外，希望能利用代數法或
代數式表示，使得向量在幾何問題的處理上能發揮更大的效益。
已 知 兩 點 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ， 則
(a) 坐 標 化 ： ==_________________
(b) 求 分 量 ： 的 x 分 量 為 ________ ， y 分 量 為 __________ 。
(c) 求 長 度 ： || 2 =__________________
~1−3−2~

3. (2) 用 長 度 、 方 向 角 決 定 一 個 向 量 ：
將 平 移 到 ， 其 中 O 為 原 點 ， 令 ||=r
從 x 軸 正 向 逆 時 針 轉 到 的 有 向 角 為 軸 ， 我 們 稱 為 方 向 角 ， 0≤θ<2π
則 ==(rcosθ,r sinθ) 。
[ 說 明 ] ： 設 A(x 1 ,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) ⇒=(x 2 −x 1 ,y 2 −y 1 ) ， 即 P(x 2 −x 1 ,y 2 −y 1 )
根 據 三 角 函 數 的 定 義 ， 可 知 x 2 −x 1 =rcosθ ， y 2 −y 1 =rsinθ 。
==(rcosθ,r sinθ) 。
結論：A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )，=(x 2 −x 1 , y 2 −y 1 )= (rcosθ,r sinθ)。
1. 如圖所示：坐標平面上，O 為原點， OA＝ AB ＝ 8 ， BC ＝CD ＝ 4 ，
。
∠OAB＝∠ABC＝∠BCD＝120 ，試求：B，C，D 之坐標。
Ans：B(12，4 3 )，C(10，6 3 )，D(6，6 3 )
1. △ABC 中 ， ＝ (1 ， 2) ， ＝ ( － x ， 2x) ， 若 △ ABC 之 周 長 為 6
，x>0，則 x＝ 。Ans： (提示：+=)
2. 如 圖 中 ， O(0,0) ， X(1,0) ，
＝ 2 ， ＝ 4 ， ＝ 4 ， ∠ AOX ＝ 45° ，
∠ OAB ＝ 105° ， ∠ ABC ＝ 120° ，
則 C 點 的 坐 標 為 ______________ 。
Ans：(,+4)
(乙)用坐標表示向量的加減法、係數積
~1−3−3~

4. (1) 向 量 的 加 法
設 =(a,b) ， =(c,d) ， 則y C
+=(a+b,c+d)
令 = ， = ， B =+
根 據 向 量 加 法 的 定 義 ， 四 邊 形 OACB 為 平 行 四 邊 形
⇒C 的 坐 標 為 (a+b,c+d)
⇒=(a+b,c+d) A
O x
(2) 逆 向 量 與 向 量 減 法
(a) 逆 向 量 ： 設 =(a,b) ， 則 – 為 的 逆 向 量 ， 即 – =–(a,b)=(–a,–b)
(b) 向 量 減 法 ： 設 =(a,b) ， =(c,d) ， 則 – =+(−)=(a−c,b−d) 。
(3) 向 量 係 數 積
設 =(a,b) ， r 為 實 數 ， 則 r=r(a,b)=(ra,rb) 各 分 量 乘 以 r
(4) 坐 標 向 量 的 運 算 性 質
設 , , 是 平 面 上 三 個 向 量 ， 且 r,s ∈R ， 則
+=+ ( 交 換 律 )
(+)+=+(+) ( 結 合 律 )
=(0,0) 且 +=+=
1= ， ， =(–1) ， r(s)=rs
 r(+)=r+r ， (r+s) =r+s
(5) 兩 點 所 決 定 的 向 量 兩 亦 可 用 向 量 減 法 運 算 而 產 生
設 A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，則=−=(x 2 −x 1 ,y 2 −y 1 )
(6) 用 標 準 單 位 向 量 ( 即 =(1,0) ， =(0,1) 表 示 任 一 向 量 ，
即=(x,y)=x+y。
(7) 單 位 向 量 ： 若 ||=1 ， 則 稱 為 單 位 向 量 。
(8)向量平行：
設=(a 1 ,a 2 )、=(b 1 ,b 2 )
// ⇔ ⇔ =t ⇔ a 1 b 2 =a 2 b 1 [分量成比例]
2. 設=(2,–3)， =(1,4)，t 為實數，試求|+t|的最小值。Ans：
~1−3−4~

5. 3. (1)求一向量使||=1 且與=(5,6)同方向。
(2) 求一向量使||=1 且與=(5,6)反方向。
Ans：(1)(,) (2) (–,–)
4. 設=(2,1)，=(1,−2),=(0,1)，若 t⋅//(+t⋅)，且 t≠0，求實數 t 的值。
Ans：
3. 設=(2,1)，=(3,4)，當|+t|最小時，t=？ Ans：：2
4. 設 =(1,2) 、 =(3,4) ， 若 t + 與 +t 平 行 ， 求 實 數 t= ？
Ans ： t=1 或或 1
5. 請求出與=(4,−3)平行的單位向量。Ans：(4,−3)或(4,−3)
(丙)坐標向量的分點公式
~1−3−5~

6. (1) 分 點 公 式 ： 設 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ，
若 P∈ ， 且 ： =m ： n ， 則 P 點 坐 標 (,) 。
[ 說 明 ] ：
因 為 =+ ，
令 O(0,0) ， P(x,y) ， 所 以 P 點 坐 標 (,) 。
(2) 重 心 坐 標 ：
設 △ ABC 三 頂 點 的 坐 標 為 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ， C(x 3 ,y 3 ) ，
則 △ ABC 的 重 心 G 點 的 坐 標 為 (,) 。
[ 說 明 ] ：
因 為 =(++) ， 令 O(0,0) ， G(x,y)
所 以 重 心 G 點 的 坐 標 為 (,) 。
5. 設 A(4,3),B(−1,−2)，為坐標平面上兩點，若 P 點在直線 AB 上
且：=3：2，求 P 點坐標。 y
A：(1,0)或(−11,−12) A(4,3)
P
O
− x
B(− 1,− 2)
P
6. 若和不平行，則在和所決定的平面上每一個向量不但都可以寫成和:的線性
組合而且這種寫法是唯一的。
~1−3−6~

7. 7. 等腰梯形 ABCD，===2，，A=60°，令中點為 M，中點為 N，若=α+β，求
，、、之值。 Ans：：=，，=
D N
C
M
A B
6. 在在ABC 中，A(2,−8)、B(−6,−2)、C(6,−5)，若，A 之內角平分線交
直線 BC 於 D，，A 外角平分線交直線 BC 於 E，試求 D、E 的坐標。
Ans：D(2,−4)、E(18,−8)
7. (1) 設 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) ， C(x 3 ,y 3 ) ， 且 =c ， =a ， =b ，
試 證 ： △ ABC 的 內 心 坐 標 為 (,)
(2)若 A(2,–3)，B(2,1)，C(5,–3)，求△ABC 之內心坐標。Ans：(3,–2)
8. 設 =(3,1) 、 =(−1,2) 、 =(3,8) ， 若 =x+y ， 則 實 數 對 (x,y)= ？
Ans ： (x,y)=(2,3)
9. 梯 形 ABCD 中 ， // ， 且 A(1,3) 、 B(−1,2) 、 C(2,−2) ， =8 ，
則點 D 之坐標為何？ =？Ans：(,)、=(,)
(丁)直線的參數式
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8. (1) 預 備 觀 念 ：
(a) 向 量 平 行 ： 設 =(x 1 ,y 1 )≠ ， =(x 2 ,y 2 )≠ ， t≠0 ，
則 //⇔=t⇔ (x 1 ,y 1 )=t(x 2 ,y 2 )
(b) 直 線 的 方 向 向 量 ：
若一個有向線段的始點與終點是一直線上的相異兩點，則此有向線段所表示的向
量 稱 為 該 直 線 的 一 個 方 向 向 量 。
如下圖所示，、 、 ….都是 L 的方向向量，因此方向向量並不是只有一個，它們都
、、
是 互 相 平 行 的 向 量 ， 但 不 可 以 是 零 向 量 。
B
因 此 直 線 L 上 有 兩 相 異 點 (x 1 ,y 1 ) ， (x 2 ,y 2 ) ，
則=(x 2 −x 1 ,y 2 −y 1 )為直線 L 的一個方向向量。
A
~1−3−8~

9. (2) 直 線 的 參 數 式 ：
在坐標平面上，斜率描述直線的方向，例如：斜率 =5 的直線會有無限多條，但是
它們的方向是一致，彼此互相平行。若指定直線要通過點(4,−3)，則直線就可以確
定 了 ， 其 方 程 式 為 y−(−3)=5(x−4) 。
同樣的，直線的方向向量代表直線的方向，例如：方向向量=(2,3)的直線會有無
限多條，但是它們的方向是一致，彼此互相平行。若指定直線要通過點 A(−1,2)，
則 直 線 就 可 以 確 定 了 。
y
如 何 來 表 示 方 向 向 量 =(2,3) ， 又 過 點 A(−1,2) 的 直 線 L 呢 ？
P(x,y)
設 P(x,y) 為 直 線 L 上 異 於 A 點 的 任 →
v一 點 ，
=(2,3)
則 為 L 的 方 向 向 量 ， 所 以 平 行− ， Q
(2,3)
即 存 在 一 個 實 數 t ， 使 得 =t 。 故 (− 1,2)
(x+1,y−2)=t(2,3) ，
x
 x = −1 + 2t O
即  。 當 t=0 時 ， P 點 代 表 A 點 。
 y = 2 + 3t
因 此 直 線 L 上 的 任 意 點 P 的 坐 標 都 可 以 寫 成 P(−1+2t,2+3t) 。
L
反 過 來 說 ， 指 定 一 個 實 數 t 0 值 時 ， P 點 坐 標 為 P(−1+2t 0 ,2+3t 0 )
=(2t 0 ,3t 0 )=t 0 (2,3)=t 0 ， 即 // ， 故 P 點 會 在 直 線 L 上 。
由上面的討論，直線 L 上的任意點 P 的坐標都可以寫成 P(−1+2t,2+3t)，而坐標形
 x = −1 + 2t
如 (−1+2t,2+3t) 的點，都會在直線 L 上，所以我們 用  y = 2 + 3t 的形式來表示直線

L ， 其 中 t 為 任 意 實 數 。
一般而言，若直線 L 通過點 A(x 0 ,y 0 )且方向向量=(a,b)，那麼直線 L 的如何表示呢？
~1−3−9~

10.  x = x0 + at
若 P(x,y) 為 L 上 任 意 點 ， 則 L 上 的 每 一 點 都 可 表 誠  y = y + bt ， t 為 一 實 數 ，
 0
這 個 式 子 稱 為 L 的 參 數 式 。
證 明 ： 設 P(x,y) 為 直 線 L 上 任 y 一 點 ，
P
// ⇔ =t ⇔ (x−x 0 ,y−y 0 )=t(a,b)
A
 x = x0 + at
所 以  ， t 為 實 數 x。
 y = y 0 + bt
( 其 中 t 為 參 數 ， 也 可 用 其 它 文 字 ， 如 s,r…. 等 )
結 論 ：
(a) 在 坐 標平面上，一直線上的點 P(x,y) 滿足一個方程式 ax+by+c=0 ，而方程式
的 解 皆 為 此 直 線 上 的 點 。 這 是 直 線 用 方 程 式 表 示 的 形 式 。
(b) 用 參 數 式 表 示 直 線 ， 重 點 在 於 用 t 表 示 直 線 的 點 坐 標 。
換 句 話 說， 直線 上任 一點 P(x,y) 皆 可找 到一 個實 數 t 使 得 x=x 0 +at ， y=y 0 +bt ；
另一方面，當 t 代入任何實數後，形成的點構成一條直線。
 x = x0 + at
(c)給定一個方向=(a,b)，過一點 P(x 0 ,y 0 ) ⇒直線參數式  y = y + bt
 0
10. 設 有 一 個 質 點 位 於 A(2,−1) 上 ， 做 等 速 度 直 線 運 動 ， 1 秒 後 質 點
在 B(4,2) 上 ，
(a)2 秒 後 、 秒 質 點 會 在 那 一 個 位 置 ？
(b)t 秒 後 質 點 會 在 那 一 個 位 置 ？
Ans：(a)(6,5)、(11,) (b)(2+2t,−1+3t)
~1−3−10~

11. 8. 設 L 為通過 A(2，－3)，B(－3，－1)兩點的直線。
(1) 寫出 L 的參數式。
1
(2) 並在圖上描出對應於 0，1，2，－1， 3 的點。
設 A(x 1 ,y 1 ) ， B(x 2 ,y 2 ) 為 相 異 兩 點 ，
則 過 A,B 兩 點 的 直 線 之 參 數 式 為 t ∈R
t<0 1≤ t>1
t≤
0
A B
討論：
~1−3−11~

12. (a)上面的參數式並不是唯一的，當我們取為方向向量時，參數式的形式就改變了，
但 仍 然 是 L 這 條 直 線 。
(b) 當 0≤t≤1 ， 則 A−P−B 當 t<0 時 ， 則 P−A−B 當 t>1 時 ， 則 A−B−P
(4) 直 線 的 一 般 式 與 參 數 式 ：
 x = x0 + at
(a) 直 線 L 的 參 數 式  中 ，
 y = y 0 + bt
若 ab≠0 ， 消 去 參 數 t ， 即 可 得 到 方 程 式 y−y 0 =(x−x 0 ) 。
若 a=0 ， 則 方 程 式 為 x=x 0 ， 若 b=0 ， 則 方 程 式 為 y=y 0 。
(b) 直 線 L 的 一 般 式 ax+by+c=0 中 ， 任 取 二 相 異 點 A,B ， 再 找 出 參 數 式 。
 x = x0 + at
(c) 直 線 L 的 參 數 式  ， (a≠0) ， 斜 率 為 。
 y = y 0 + bt
9. 若一直線 L 通過 A(3,5)、B(−2,6)兩點，則
(1)用參數式表示 AB 。(2)用參數式表示。(3)試求射線 AB 的參數式。
10. 設 P 是線段上的一點，其中 A,B 的坐標為(1,–1)、(3,–5)
試求 P 點到原點的最長距離與最短距離？Ans：，
~1−3−12~

13. 11. 設 A(3,5) ， B(–2,–4) ， C(3,–1) ， D(–1,2) 為 平 面 上 四 個 點 ， 試 求
(1) 經 過 點 A 而 與 向 量 平 行 的 直 線 方 程 式 為 _________ 。
(2) 經 過 點 D 而 與 向 量 平 行 的 直 線 方 程 式 為 ____________ 。
(3) 直 線 AB 的 參 數 方 程 式 為 __________ ， 線 段 的 參 數 方 程 式 為
________ 。
Ans ： (1) t ∈R (2) t ∈R
(3)直線 t ∈R ，線段 0≤t ≤1
12. 設 A(3,0)，B(–1,2)，L： 則下列何者為真？ (A)若 t ∈R，則 L 表直
線 AB (B)若 t≥0，則 L 表射線 BA (C)若 t≤1，則 L 表射線 AB (D)若
0≤t≤1，則 L 表線段(E)若 t≤0，則 L 表射線 AB 的相反射線。Ans：
(A)(D)(E)
13. 寫 出 下 列 直 線 L 的 參 數 方 程 式 ：
(1)L 的 方 程 式 是 2x–y–5=0 。
(2)L 通 過 (–1,–2) ， 且 斜 率 是 – 3 。
Ans：(1) t ∈ R (2) t ∈R
14. 設一直線 L：3x−4y=1，(1)將 L 化為參數式。(2)又設 A(1,)，B(3,2)
在直線上，且 P(x,y)在直線 AB 上時，求 2x+y+1 之最大值與最小值。
(3) 同(2) 求 x 2 +y 2 −4 之 最 大 值 與 最 小 值 。
 x = 3 + 4t
Ans：(1)  y = 2 + 3t ,t 為實數。 (2)9， (3)9，

15. 求在一直線 L：x−2y+3=0 上，而與點 A(−1,2)的距離最小的點 P 之
坐標為何？並求此最小距離。 Ans：(，)
16. 設 A(4，0)，B(0，－3)，動點 P 為直線 x＋y＝0 上之一點。則．之最
小值＝ 。Ans：
綜合練習
(1) 若 A(0,2)，B(–2,6)，C(–6,4)，則下列何點可與上述三點恰可構成一個平行四
邊形？(A)(–4,0)(B)(4,4)(C)(–8,8)(D)(–3,3)(E)(–4,4)
(2) ∆ABC 中， =(1,t)， =(s,−2)， =(3,4)，則數對(s,t)=？
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14. (3) 設=(3,1)，=(−1,2)，若，， //， +=，求和。
(4) 如圖所示，坐標平面上 O 為原點，
＝8，＝4，＝2，＝1，
∠OAB＝∠ABC＝∠BCD＝，則：
(a)之坐標表示為____________。
(b)若＝x＋y，則 x＝________， y＝__________。
(5) 在 xy 平面上，設 O 為原點，已知，，之方向角為 30°、45°、60°，且||=1，||=，||
=，請問=？
(6) A(3,2)、B(−2,1)、C(−1,−3)，求滿足|++|=6 之點 P(x,y)軌跡方程式。
(7) △ABC 之重心為 G，邊與的中點分別為 D 與 E，若 G，D，E 的坐標分別為
G(，，2)，D(，，1)，E(，，4)，則求頂點 A，B，C 的坐標。
(8) 設=(2cosθ,2sinθ )，=(cos2θ,sin2θ)，0≤θ≤2π，則|−|之最大值為何？
(9) 設 A(−4，，4)，B(2，8)，C(，)，則△ABC 之內心坐標為何？
(10) △ABC 中，設 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，P 與△ABC 共平面，
若 2+2+2 之值最小，求 P 之坐標，此時 P 與△ABC 有何關係？
(11) 設 L1：x＝3－s，y＝2s，s 為任意實數；L2：x＝4＋t，y＝－1＋3t，t 為任意實
數，則 L1，L2 之交點坐標為何？
 x＝t＋1
(12) 求參數方程式  y＝4t－5 ，－1≦t≦2 所表之線段長。

(13) 已知 A(–2,3)，B(4,–5)，設點 P(x,y)在線段上，求 3x–4y+6 的最大值？
(14) 設 A(2，8)，B(1，5)，L：x＋2y－3＝0，且 P L，則當 P 的坐標為何時？
時，PA2+PB2 有最小值為何？
進階問題
~1−3−14~

15. (15) ∆ABC 中，A(1,−2)、B(0,3)、C(−1,1)，P 為其內部一點，
且且BCP：：CAP：：ABP=2：1：3，則點 P 的坐標為何？
(16) 試證通過 A(h,k)且與 x 軸正向夾角為軸之直線 L 的參數方程式為
 x = h + t cos α
 ，t 為任意實數。
 y = k + t sin α
綜合練習解答
1. (A)(B)(C)
2. (2,6)
3. (14,7)，(11,6)
4. (a)(9,3) (b),y=
5. (+1,3)
6. x2+y2=4
7
7. A(1，2)，B(－ 2 ，－4)，C(9，－4)
8. 3
9. (2，2)
10. P 為△之重心
19 8
11. ( 5 ，－ 5 )
12. 3
13. 38
~1−3−15~

16. 4 19 4 19
14. (－ 5 ， 10 )，(－ 5 ， 10 )，
15. (,) [提示：設 P 為為ABC 內部一點，若 l+m+n=，則，PAB：
：PBC：：PCA=n：l：m。]
16. 取 L 之方向單位向量=(cosα,sinα)，由=t，即可得。
~1−3−16~