1. ใบความร้ ูที 2.1
เรือง จํานวนเชิ งซ้ อนในรป a + bi
ู
่
พิจารณาจํานวนเชิงซ้อนทีอยูในรู ป (x,0) จะเห็นวา ่
( a ,0 ) + ( b ,0 ) = ( a + b ,0 )
(a ,0)(b,0) = (ab − 0(0), a (0) + 0(b))
= (ab,0)
ั
ซึ งจะเหมือนกบการบวก และการคูณจํานวนจริ ง ฉะนั( นเราสามารถมองจํานวนเชิงซ้อน
่ ่
ในรู ป (a,0) วาเป็ นจํานวนจริ ง a ตามข้อสังเกตนี( จะได้วาเซตของจํานวนจริ งเป็ นสับเซตของเซต
ของเซตจํานวนเชิงซ้อน เมือเราแทนจํานวนเชิงซ้อน (a, b) ด้วยจุด (a, b) ในระนาบ XY จะได้วา ่
จํานวนจริ ง a แทนได้ดวยจุด (a,0) บนแกน X เอง
้
บทนิยาม
สําหรับจํานวนเชิงซ้อน z = (a , b) เมือ a และ b เป็ นจํานวนจริ ง
่ ่
เรี ยก a วาสวนจริ ง(real part) ของ Z และแทนด้วย Re(z)
่ ่
เรี ยก b วาสวนจินตภาพ (imaginary part) ของ Z และแทนด้วย Im(z)
จากบทนิยามนี( อาจกลาวได้วา จํานวนจริ งกคือจํานวนเชิ งซ้อนทีมีส่ วนจินตภาพเป็ นศูนย์
่ ่ ็
จํานวนเชิงซ้อนทีมีส่ วนจริ งเป็ นศูนย์ แตสวนจินตภาพไมใชศูนย์ เรี ยกวา จํานวนจินตภาพแท้
่ ่ ่ ่ ่
(purely imaginary number)
่
ตอไปพิจารณาจํานวนเชิงซ้อน (0,1) สังเกตวา ่
(0,1)(0,1) = (0(0) − 1(0),0(1) + 1(0))
= (0 − 1,0 + 0)
= (−1,0)
ซึ งจํานวนเชิงซ้อน (−1,0) คือจํานวนจริ ง –1 นันเอง เขียนแทนจํานวนเชิงซ้อน (−1,0)
ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้วา ่
i 2 = −1
สําหรับจํานวนเชิงซ้อน (a, b) ใดๆ
(a , b) = (a ,0) + (0, b)
= (a ,0) + (b,0)(0,1)
= a + bi
ฉะนั( น จํานวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ดวยสัญลักษณ์ a + bi
้

2. ่ ่
ตัวอย่ างที 1 จงบอกคาของ Re(z) และ Im(z) ของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
1. 2 + 3i
จาก 2 + 3i เขียนให้อยูในรู ปคู่อนดับ (2,3)
่ ั
ดังนั( น Re(z) = 2
Im(z) = 3
2. (3 + 2i)(4 + 3i)
วิธีทา (3 + 2i)(4 + 3i) = (3,2)(4,3)
ํ
= (3(4) − 2(3),3(3) + 2(4))
= (12 − 6,9 + 8)
= (6,17)
ดังนั( น Re(z) = 6
Im(z) = 17
3. (1 + i) 2
วิธีทา (1 + i) 2 = (1,1) 2
ํ
= (1,1)(1,1)
= (1(1) − 1(1),1(1) + 1(1))
= (1 − 1,1 + 1)
= (0,2)
ดังนั( น Re(z) = 0
Im(z) = 2
4. (5 + i)(5 − i)
วิธีทา (5 + i)(5 − i) = (5,1)(5,−1)
ํ
= (5(5) − 1(−1),5(−1) + 1(5))
= (25 + 1,−5 + 5)
= (26,0)
ดังนั( น Re(z) = 26
Im(z) = 0

3. แบบฝึ กทักษะที 2.1
่ ่
จงเปลียนจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี( ในรู ป a + bi และบอกคาของ Re(z) และ Im(z)
ของจํานวนเชิงซ้อน
1. (3,8)
2. (2,0)
3. (0,−8)
4. (−12,4)
5. (−20,−5)
6. (−5,0)
7. (0,1)
8. (1,1)
9. (2,9)
10. (2,−10)

4. ใบความร้ ูที 2.2
เรืองการบวก การคณ และการเท่ ากันของจํานวนเชิ งซ้ อนในรป a + bi
ู ู
ํ
การกาหนดสัญลักษณ์ของจํานวนเชิงซ้อนในรู ป a + bi เมือ a และ b เป็ นจํานวนจริ ง
ทําให้การคํานวณเกยวกบจํานวนเชิงซ้อนสามารถทําได้โดยงาย โดยใช้สมบัติต่างๆเกยวกบ
ี ั ่ ี ั
่ ั
การบวกและการคูณ เชนเดียวกบสมบัติของการบวกและการคูณของจํานวนจริ ง และข้อตกลงวา ่
i 2 = −1 เชน่
(a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di
= (a + c) + (bi + di)
= (a + c) + (b + d )i
(a + bi)(c + di) = a (c + di) + bi(c + di)
= ac + adi + bci + bdi 2
= ac + adi + bci + bd (−1)
= ac + adi + bci − bd
= (ac − bd ) + (adi + bci)
= (ac − bd ) + (ad + bc)i
(a + bi) = (c + di) ็่
กตอเมือ a=c และ b = d
่ ่ ่
ตอไปนี( เมือกลาววา z = a + bi ่
เป็ นจํานวนเชิงซ้อน จะถือวา
a และ b เป็ นจํานวน
่ ่
จริ งโดยไมต้องกลาวซํ( าอีก
่ ่ ่ ่
ตัวอย่ าง 1 จงหาคาของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี( พร้อมทั( งบอกสวนจริ งและสวนจินตภาพ
1. (6 − 5i) + (−9 + 4i)
วิธีทา (6 − 5i) + (−9 + 4i) = 6 − 5i − 9 + 4i
ํ
= (6 − 9) + (−5i + 4i)
= −3 + (−5 + 4)i
= −3 + (−1)i
= −3 − i
่
ดังนั( น สวนจริ ง คือ − 3
่
สวนจินตภาพ คือ − 1

5. 2. (−6 − 5i) + (−9 − 4i)
วิธีทา (−6 − 5i) + (−9 − 4i) = −6 − 5i − 9 − 4i
ํ
= (−6 − 9) + (−5i − 4i)
= −15 + (−5 − 4)i
= −15 − 9i
่
ดังนั( น สวนจริ ง คือ − 15
่
สวนจินตภาพ คือ − 9
3. (5 + 7i)(12 − 7i)
วิธีทา (5 + 7i)(12 − 7i) = 5(12 − 7i) + 7i(12 − 7i)
ํ
= 5(12) − 5(7i) + 7i(12) − 7i(7i)
= 60 − 35i + 84i − 49i 2 ( i 2 = −1 )
= 60 − 35i + 84i − 49(−1)
= 60 − 35i + 84i + 49
= (60 + 49) + (−35i + 84i)
= 109 + (−35 + 84)i
= 109 + 49i
ดังนั( น ่
สวนจริ ง คือ 109
่
สวนจินตภาพ คือ 49
4. (5 − 3i)(12 − 7i)
วิธีทา (5 − 3i)(12 − 7i) = 5(12 − 7i) − 3i(12 − 7i)
ํ
= 5(12) − 5(7i) − 3i(12) + 3i(7i)
= 60 − 35i − 36i + 21i 2
= 60 − 35i − 36i + 21(−1)
= 60 − 35i − 36i − 21
= (60 − 21) + (−35i − 36i)
= 39 + (−35 − 36)i
= 39 − 71i
่
ดังนั( น สวนจริ ง คือ 39
่
สวนจินตภาพ คือ − 7

6. แบบฝึ กทักษะที 2.2
่
จงหาผลลัพธ์ให้อยูในรู ป a + bi ่
เมือ a และ b เป็ นจํานวนจริ ง พร้อมบอกสวนจริ งและ
่
สวนจินตภาพ
1. (2 − 3i) + (4 − 5i)
2. (−12 + 3i) + (4 − 5i)
3. 3(2 − 3i) + (4 − 5i)
4. 2(12 − 3i) + 3(4 + 5i)
5. (2 − 2i) + (5 − 8i)
6. i(2 − i)
7. 2i(i − 2 )
8. (3 + 2i)(5 − 6i)
9. (3 − 12i)(5 − 6i)
10. ( 2 − 3i)( 2 + 3i)
11. (5 − 2i)(−2 + 3i)
12. (4 + i) 2
13. (2 − 2i) 2
14. (−1 − i) 2

7. แบบทดสอบ
่ ่ ่
1. จงบอกสวนจริ งและสวนจินตภาพของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี(
1.1 2(2 + i) + (−8 − 6i)
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
1.2 (5 + i)(7 − 2i)
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
1.3 (8 + 3i) + (1 + 2i) 2
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
่
2. จงหาคาของ x และ y จากสมการ (x + yi)(1 + i) = 8 + 2i
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………