Kalkulus diferensial

32,847 views

Published on

Published in: Education
7 Comments
57 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
32,847
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
10
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
7
Likes
57
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Kalkulus diferensial

  1. 1. 3.6 Notasi Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utamakalkulus (yang lainnya adalah Isaac Newton).Notasi Leibniz untuk turunan masihdipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan seperti halnya fisika, kimia, danekonomi. Daya tariknya terletak dalam bentuknya, sebuah bentuk yang seringmengemukakan hasil-hasil yang benar dan kadang-kadang menunjukkan bagaimanamembuktikannya. Setelah kita menguasai notasi Leibniz, kita akan menggunakannyauntuk menyatakan kembali Aturan Rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturantersebut.PERTAMBAHAN Jika nilai sebuah peubah x berganti dari x1 ke x2 maka x 2 - x I, perubahandalam x, disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan oleh Δ x (dibaca."delta x"). Perhatian segera bahwa Δx tidak berarti Δ kali x. Jika x1 = 4, 1 dan x2 =5, 7 maka, - Δx = x2 x1 =5,7 - 4,1 = 1,6Jika x1, =c danx2 = c + h, maka Δx = x2 - x1= c + h — c = h Berikutnya andaikan bahwa y = f(x) menentukan sebuah fungsi. Jika x berubahdari x1, ke x2, maka y I berubah dari y1, = f(x l) ke y2 = f(x2) Jadi, bersesuaian denganpertambahan Δ x = x2 — x1, dalam x, terdapat pertambahan dalam y yang diberikan oleh = Δy = y2 - y1 f (x2) -f(xl)Contoh 1 Andaikan y = f(x) = 2 — x 2. Cari Δ y bilamana x berubah dari 0,4 ke 1,3(lihat Gambar 1). ssPenyesuaian — Δ y = f(1,3) f(0,4) = [2 — (1,3) 2 ] — [2 — (0.4)2] = 0,31 — 1,84 = — 1,53
  2. 2. Lambang dy/dx Untuk Turunan Sekarang andaikan bahwa peubah bebas beralihdari x ke x + Ax. Perubahan yang bersesuaian dalam peubah tak bebas y, akan berupa Δy = f (x + Δx) — f (x)dan perbandingan Ay = f (x + 4x) — f (x) Δx ΔxGambar 2menggambarkan kemiringan talibusur yang melalui (x, f(x)), seperti diperlihatkandalam Gambar 2. Jika Δx  0, kemiringan talibusur ini mendekati kemiringan garissinggung, dan untuk kemiringan yang belakangan ini Leibniz menggunakan lambangdy/dx. Sehingga,Leibniz menyebut dyldx suatu hasil bagi dari dua bilangan yang sangat kecil. Artiperkataan sangat kecil tidak jelas, dan kita tidak akan memakainya. Tetapi, dyldxmerupakan lambang baku untuk turunan; kita akan sering memakainya sejak saatini. Untuk sekarang, pikirkan dy/dx sebagai lambang operator dengan pengertianyang sama seperti D,, dan membacanya "turunan terhadap x".Contoh 2 carilah jikaPenyelesaian
  3. 3. Contoh 3 CarilahPenyelesaian Menurut Aturan Hasil bagi,Aturan Rantai Lagi Andaikan bahwa y = f(u) dan u = g(x). Dalam cara penuhs anLeibniz, Aturan Rantai mengambil bentuk yang sangat anggun dy = dy du dx du dxBentuk ini dikatakan anggun karena kits mudah mengingatnya. Dengan mencoretdu di ruas kanan anda akan mendapat ruas kiri. Ingat! Anda tak perlu memahamialasan maternatis dari pencoretan ini, tetapi gunakanlah ini sebagai bantuan ingatanjika memang menolong.Contoh 4 Cari dy/dx jika y = (x3 - 2X)12Penyelesaian Pikirkan x3 — 2x sebagai U. Maka y = u12 dan dy = dy du dx du dx = (12u")(3X2 — 2) = 12(x3 — 2x)"(3X2 — 2)Contoh 6 Cari dy/dx jika Y=COS3(X2 + 1).Penyelesaian Ingat cos3x berarti (cos x)3 Kita dapat memikirkan ini sebagai y = u3, u =cos v, dan v = x2 + 1.dy = dy du dvdx du dv dx = (3u2)(— sin v)(2x)
  4. 4. = (3 cos 2 v)[ — sin(x 2 + 1)](2x) = —6x cos2(x2 + 1)sin(x2 + 1)Setelah beberapa kali latihan. Anda harus dapat mengemukakan alasan berikut :Bukti Sebagian dari Aturan RantaiDalam subbab sebelumnya kita menyatakan bahwa aturan rantai seperti Dxf[g(x)] =f‘[g(x)]g‘(x). dengan menggunakan notasi Leibniz. aturan Rantai menyatakan bahwady/dx = dy/du . du/dx. Kita dapat memberikan gambaran pembuktian sekarang.Bukti Kita andaikan bahwa y = flu) dan u = g (x), bahwa g terdiferensialkan di x,dan bahwa f terdiferensialkan di u = g(x). Bilamana x menerima suatupertambahan Δx, maka pertambahan yang bersesuaian dalam u dan y akan diberikanoleh Δu = g(x + Ax) — g(x) Δy = f Wx + Δx)) — f (y(x)) = f (u + Δu) — f (u)Jadi,Karena g terdiferensialkan di x, maka ia kontinu di sana (Teorema 3.2A),sehingga Δx - 0 memaksa Δu - 0. Karenanya
  5. 5. bukti ini sangat cerdik, tetapi sayangnya mengandung sesuatu cacat halus. Ada fungsi-fungsi u = g(x) yang memilki sifat bahwa ∆u = 0 untuk beberapa titik disekitar x (fungsikonstanta g(x) = k adalah suatu contoh yang baik). Ini berarti penggantian dengan ∆u,pada langkah pertama mungkin tidak berlaku. Namun, tidak ada cara yang mudah untukmenghadapi kesulitan ini, meskipun Aturan Rantai tetap sahih dalam kasus ini. Buktilengkap dari Aturan Rantai tersebut dalam lampiran.3.7 Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f‘. Jika f‘ kita diferensiasikan, kita masih tetap akan menghasilkan fungsi lain,dinyatakan oleh f‘‘(dibaca ―f dua aksen‖) dan disebut turunan kedua f, pada gilirannyaturunan kedua tersebut boleh didiferensiasikan lagi, dengan menghasilkan f‘‘‘‘, yangdisebut turunan ketiga dari f, dan seterusnya. Turunan keempat dinyatakan sebagai f(4),turunan kelima dinyatakan sebagai f(5), dan seterusnya.Jika sebagai contohMaka Karena turunan fungsi nol adalah nol, turunan keempat dan turunan-turunan yanglebih tinggi dari f akan nol. Kita telah memperkenalkan tiga notasi untuk turunan (sekarang disebut turunanpertama) dari y = f(x). ketiga notasi itu adalah
  6. 6. Masing-masing disebut notasi aksen, notasi D dan notasi Leibniz. Terdapat suatuvariasi dari cara penulisan aksen-yakni y‘, yang kadang kala akan kita gunakan juga.Semua notasi ini mempunyai perluasan untuk turunan-turunan tingkat tinggi, seperti yangdiperlihatkan dalam diagram pada halaman berikutnya. Perhatikan secara khusus notasiLeibniz, yang walaupun ruwet kelihatannya paling cocok untuk Leibniz. Yangmempunyai lebih wajar daripada menuliskan sebagaiNotasi Leibniz untuk turunan kedua dibaca turunan kedua y terhadap x. Notasi untuk Turunan y = f(x) Notasi Notasi Notasi Notasi Turunan f‘ y‘ D Leibniz Pertama Kedua Ketiga Keempat Kelima Keenam Ke-nContoh 1 jika y = sin 2x, carilah , , danPenyelesaian
  7. 7. Kecepatan dan percepatan Dalam subbab 3.1 kita menggunakan pengertian kecepatan sesaat untukmemotivasi definisi turunan. Jika kita mengkaji ulang pengertian ini denganmenggunakan sebuah contoh. Juga, sejak saat ini kita akan menggunakan kata tunggalkecepatan sebagai ganti istilah kecepatan sesaat yang tidak praktis.Contoh 2 sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi s= 2t2-12t+8, dengan s diukur dalam sentimeters dan t dalam detik dengan t ≥ 0. Tentukankecepatan benda ketika t=1 dan ketika t=6. Kapankah kecepatannya 0? Kapankahkecepatannya positif?Penyelesaian. Jika kita menggunakan lambang v(t) untuk kecepatan pada saat t, makaJadi cm/detik cm/detikKecepatan 0 ketika 4t - 12 = 0, yaitu pada saat t = 3. Kecepatan positif bilamana 4t – 12 >0 atau pada saat t > 3. Semua ini diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 1.
  8. 8. Tentu saja benda tersebut bergerak sepanjang sumbu-y, bukan pada jalurberwarna di atasnya. Tetapi jalur kita memperlihatkan apa yang terjadi pada benda itu.Antara t = 0 dan t = 3, kecepatannya negatif: benda bergerak kekiri (mundur). Pada saat t= 3 benda akan diperlambat ke kecepatan nol. Kemudian mulai bergerak ke kanan bilakecepatannya positif. Jadi, kecepatan negative berpadanan dengan bergerak kearahberkurangnya s: kecepatan positif berpadanan dengan bergerak kea rah bertambahnya s.pembahasan yang mendalam tentang poin-poin ini akan diberikan dalm bab 4. Terdapat perbedaan teknis antara perkataan kecepatan (velocity) dan laju (speed).Kecepatan mempunyai tanda yang dihubungkan dengannya: mungkin positif ataunegative. Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak kecepatan. Jadi, dalam contoh diatas,laju pada saat t = 1 adalah |-8|= 8 cm per detik. Pengukur pada kebanyakan kendaraanadalah pengukur laju: pengukur tersebut selalu memberikan nilai tak-negatif. Sekarang kita ingin memberikan tafsiran fisis mengenai turunan kedua .Tentu saja, ini hanyalah turunan pertama dari kecepatan. Jadi ia mengukur lau perubahankecepatan terhadap waktu, yang dinamakan percepatan. Jika dinyatakan dengan a, makaDalam Contoh 2, . JadiIni berarti bahwa kecepatan pada suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/detik setiap detikyang kita tuliskan sebagai 4 cm per detik per detik atau sebagai 4 cm/detik2Contoh 3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupasehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh
  9. 9. Disini s diukur dalam desimeter dan t dalam detik. a) Kapankah kecepatannya 0? b) Kapan kecepatannya positif? c) Kapan titik itu bergerak mundur (yakni ke kiri)? d) Kapankah percepatannya positif? Penyelesaian a) . Jadi v = 0 ketika t = 2 dan t = 6. b) bilamana . Kita mempelajari bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dalam subbab 1.3. penyelesaiannya adalah {t:t < 2 atau t > 6} atau,dalam notasi, selang (-∞,2)(6,∞): lihat Gambar 2. c) Titik bergerak ke kiri bilamana v < 0: yaitu bilamana (t – 2)(t - 6) < 0. Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (2,6). d) . Jadi a > 0 bilamana t > 4. Gerakan titik itu secara skematis diperlihatkan dalam Gambar 3 .Masalah Benda Jatuh Jika sebuah benda dilempar ke atas (atau ke bawah) dari suatu ketinggian awal s0desimeter dengan kecepatan awal v0 desimeter/detik dan jika s adalah tingginya di atastanah dalam desimeter setelah t detik. MakaIni menganggap bahwa percobaan berlangsung dekat dengan permukaan laut dan bahwatekanan udara dapat diabaikan. Diagram dalam Gambar 4 melukiskan situasi yang kitabayangkan.
  10. 10. Contoh 4 Dari puncak sebuah gedung yang setinggi 160 kaki, sebuah bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal 64 kaki/detik. a) Kapankah bola itu mencapai ketinggian maksimum? b) Berapakah ketinggian maksimumnya ? c) Kapankah bola itu membentur tanah? d) Dengan laju berapa bola itu membentur tanah? e) Berapa percepatan pada saat t = 2?PenyelesaianAndaikan t = 0 berpadanan dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka s0 = 160 dan v0= 64 (v0 positif karena bolanya di lempar ke atas). Jadi, a) Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya 0 yakni, ketika -32t + 64 = 0 atau pada waktu t = 2 detik. b) Pada t = 2, kaki c) Bola membentur tanah pada waktu s = 0, yakni ketika Jika kita bagi dengan -16 akan menghasilkan Rumus abc (quadratic formula) memberikan
  11. 11. Hanya jawaban positif yang memiliki arti. Jadi bola membentur tanah pada saat detik d) Pada , . Jadi bola membentur tanah dengan laju 119,73 kaki per detik. e) Percepatan selalu -32 kaki per detik. Ini adalah percepatan gravitasi dekat permukaan laut.Pemodelan Matematis Galileo memang benar dalam menyatakan bahwa buku tentang alam ditulis dalambahasa matematika. Tentu saja, lembaga-lembaga ilmiah nampaknya sebagian besarberusaha membuktikan bahwa ia benar. Pekerjaan mengungkapkan suatu fenomena fisikadan menyajikannya dalam lambang-lambang matematika disebut pemodelan matematis.Salah satu unsure dasarnya adalah menerjemahkan uraian kata ke dalam bahasamatematika. Melakukan hal ini, khususnya yang menyangkut laju perubahan, akanmenjadi semakin penting sejalan dengan pembahasan kita. Berikut ini adalah beberapailustrasi sederhana.Uraian kataAir keluar dari tangki berbentuk silinder pada laju yang sebanding dengan kedalaman air.Roda berputar secara konstan 6 putaran per menit, yakni pada 6( ) radian /menit.Kepadatan (dalam gram per sentimeter) seutas kawat pada suatu titik adalah dua kalijaraknya dari ujung kiri.Tinggi sebuah pohon bertambah secara continue, akan tetapi dengan laju yang semakinlama semakin lambat.Model matematis Bila V menyatakan volume air pada saat t maka
  12. 12. Bila m menyatakan massa x cm bagian dari kawat, makaPenggunaan bahasa matematika tidak terbatas hanya untuk ilmu-ilmu pengetahuan alam;akan tetapi juga sesuai ilmu-ilmu social, khususnya ekonomi. Contoh 5 Kantor berita acara melaporkan dalam bulan mei 1980 bahwa penganguran semakin bertambah dengan ringkat yang semakin tinggi. Di samping itu, harga makanan naik tetapi pada tingkat yang lebih rendah dari sebelumnya. Terjemahkan pernyataan-pernyataan ini dalam bahasa matematis. Penyelesaian Andaikan u = f(t) menyatakan jumlah orang yang menganggur pada saat t. walaupan u meloncat dalam besaran satuan, kita ikuti kebiasaan buku dalam menyatakan u dengan sebuah kurva mulus yang manis, seperti dalam Gambar 5.Mengatakan penganguran naik adalah mengatakan ; mengatakan bahwapengangguran pada tingkat yang semakin tinggi adalah mengatakan .Serupa dengan itu jika p =g(t) menyatakan harga makanan (misalnya, biaya khasmakanan suatu hari untuk satu orang) pada saat t, maka positif tapi turun. Jadi ,turunan negatif, sehingga . Dalam Gambar 6, perhatikan bahwakemiringan garis singgung menurun sewaktu t naik.
  13. 13. Soal-soal 3.75. Jika y = sin (7x) carilah d3y/dx3Penyelesaian :10. f(x) = 5x3 + 2x2 +x, carilah f‘‘(2)Penyelesaian : f‘(x) = 15x2 + 4x + 1 f‘‘(x) = 30x +4 f‘‘(2) = 30 (2) + 4 f‘‘(2) = 6425. sebuah denda bergerak sepanjang garis koordinat mendatar menurut rumus , dengan s adalah jarak berarah dari titik asal, dalam desimeter dan t dalamdetik. Dalam tiap kasus. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. a) Berapakah v(t) dan a(t), kecepatan dan percepatan pada saat t? b) Kapankah benda bergerak ke kanan ? c) Kapankah benda bergerak ke kiri ? d) Kapankah percepatannya negative ? e) Gambarlah sebuah diagram skematis yang memperlihatkan gerakan benda ?Penyelesaian: a) , b) Benda bergerak ke kanan apabila v > 0,yakni pada saat (3t – 4)(t – 6) > 0. Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (4/3,6). c) Benda bergerak ke kiri apabila v < 0, yakni pada saat (3t – 4)(t – 6) < 0. Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa 4/3 < t < 6. d) Percepatan negative apabila a(t) < 0, yakni pada saat t < 3.
  14. 14. 33. sebuah benda yang dilemparkan langsung ke atas pada ketinggian desimeter setelah t detik a) Berapakah kecepatan awalnya ? b) Kapankah benda mencapai ketinggian maksimum ? c) Berapakah ketinggian maksimumnya ? d) Kapankah benda membentur tanah ? e) Dengan laju berapakah benda membentur tanah ?Penyelesaian : a) , Pada saat, Jadi kecepatan awalnya adalah 48 dm/detik b) Bola mencapai kecepatan maksimum pada saat kecepannya 0, yakni -32t + 48 = 0 atau t = 1,5 detik. c) Ketinggian maksimumnya pada saat t = 1,5 kaki d) Benda membentur tanah, s = 0 Jika dibagi dengan -16 maka Gunakan Rumus abc Hanya jawaban positif yang memiliki arti, t = , jadi benda membentur tanah pada waktu t = 5.77 detik.
  15. 15. e) Laju benda pada saat membentur tanah, t = 5,77 Jadi, laju bola pada saat membentur tanah adalah 232,64 kaki per detik.3.8 Pendiferensialan Implisit Dengan sedikit usaha , kebanyakan mahasiswa akan mampu melihat bahwa grafik dari y3 + 7y = x3 tampak seperti apa yang diperlihatkan dalam gambar 1. Pasitlah titik (2,1) terletak pada grafik, dan tampaknya terdapat sebuah garis singgung yang terumuskan dengan baik pada tititk tersebut, bagaimana kita mencari kemiringan garis singgung ini? Mudah , anda dapat menjawab: hitung saja dy/dx pada titik itu, tetapi itulah kesukarannya, kita tidaktahu bagaimana mencari dy/dx dalam situasi ini.Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yangsecara gambling (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. apakah mungkin untuk mencaridy/dx dalam keadaan seperti ini?. Ya , didiferensialkan kedua ruas persamaan y3 + 7y =x3 terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan,ini, kita anggap persamaanyang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi x (hanya saja kita tidak tahubagaimana mencarinya secara ekssplisit). Jadi, setelahmemakai Aturan Rantai pada sukupertama, kita peroleh3y2 . +7 = 3x2yang belakangan dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut. (3y2 + 7) = 3x2 = Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk dy/dx mencakup x dan y, usatu kenyataanyang sering menyusahkan. Tetapi jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuahtitk dimana koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran. Di (2,1),
  16. 16. Kemiringan adalah 6/5Metode yang baru saja digambarkan untuk dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikanpersamaan yang diberikan untuk y secara gambling dalam bentuk x disebutpendiferensialan implisit. Tetapi apakah metode terse but masuk akal – apakah iamemberikan jawaban yang benar?contoh berikut , yang dapat dikerjakan dalam 2 caraContoh 1. Cari dy/dx jika 4x2y+ 3y = x3 - 1Metode 1.Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblang untuk y sebagaiberikut.y(4x2 - 3) = x3 – 1y=2. (Pendiferensialan Implisit ). Kita samakan turunan – turunan kedua ruas dari4x2y – 3y = x3 – 1jadi,Metode 2Seteleh memakai Aturan hasil kali pada suku pertama , kita dapatkan4x2. + y. 8x – 3 = 3x2 (4x2 - 3) = 3x2 – 8xy =Walaupun jawab ini agak berlainan dari jawab yang diperoleh terdahulu, tetapi keduanyasama. Untuk melihat ini, gantikan , y = (x3 - 1)/ (4x2 - 3) dalam ungkapan untuk dy/dxyang baru saja diperoleh. =
  17. 17. = =Beberapa kesukaran yang tak kentara jika sebuah persamaan dalam x dan ymenentukan sebuah fungsi y= f(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode terdapatdua ‖jika‖ besar dalam pernyataan ini.Pertama perhatikan persamaan x2 + y2 = -1Ia tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu tidak menentukan suatu fungsi.Sebaliknya , x2 + y2 = 25 menentukan suatu fungsi – fungsi y = f(x) = danUntungnya , fungsi ini kecualinya terdiferensialkan pada (5,5). Pertama perhatikan f . iamemenuhi x2 +[f(x)]2 = 25Jika kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan untuk f‘(x), kita peroleh2x + 2f(x) f‘(x) = 0Perlakuan sama hal nya secara lengkap terhadap g(x).Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak dengandiferensiasi secara implisit dari x2 + y2 =25 ini menghasilkanSecara wajar, hasil-hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.Perhatikan bahwa merupakan cukup untuk mengetahui kemiringan garis dy/dx = -x/yagar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Jika ingin mengetahui kemiringan garis singgung
  18. 18. dari x2+y2 = 25, jika x=3. nilai –nilai y yang sepadan adalah 4 dan -4 kemiringan di (3,4)dan (3,-4), masing – masing diperoleh dari pergantian –x/y adalah -3/4 dan 3/4 (coba carigrafiknya, maka akan terlihat jelas).ATURAN PANGKAT TINGGI Telah dipelajari bahwa Dx((xn) = nxn-1, dimana n adalahsembarang bilangan bilangan bulat, dan jika n bilangan bilangan rasional maka:Teorema A (aturan Pangkat). Dx(xr) = rxr-1 , dengan r bilangan rasionalJika r dapat ditulis dalam pernyataan r = p/q, dimana q ganjil, maka Dxxr = rxr – 1 untuksemua x.Bukti. Karena r rasional, maka r dapat ditulis sebagai p/q, dengan p dan q bilangan bulatdan q > 0. AndaikanMakaDan dengan diferensiasi implicitJadiKita telah memperoleh hasil yang dikehendaki, tetapi, secara jujur, kita harusmenunjukan kekurangan dalam argumentasi ini. Dalam langkah diferensiasi implicitdianggap bahwa Dxy ada, yaitu bahwa y = x1- ‗q terdiferensiasi. Kita dapat mengisikesenjangan ini tetapi karena sukar, maka kita pindahkan pembuktian yang lengkap kelampiran.ContohCari Dxy jika
  19. 19. Penyelesaian3.9 laju yang berkaitanJika suatu peubah y bergantung pada waktu t,maka turunannya disebut laju sesaatperubahan.Tentu saja jika y mengukur jarak,maka laju sesaat ini disebut kecepatan.Kitatertarik pada beraneka laju sesaat ,laju air mengalir kedalam ember,laju membesarnyaluas minyak,laju bertambahnya harga kapling tanah dan lain-lain.jika y diberikan secaragamblang(eksplisit) dalam bentuk t,maka masalahnya sederhana,kita hanya cukupmendiferensiasidan menghitung turunnya pada saat yang diminta. Mungkin saja sebagai ganti diketahuinya y secara gamlang dalam bentuk t, kitamengetahui hubungan yang mengaitkan y dan peubah lain x dan kita mengetahui sesuatutentang dx/dt. Kita masih tetap mampu mencari dy/dt. Karena dy/dt dan dx/dt adalah laju-laju yang berkaitan.Biasanya ini akan memerlukan diferensiasi implisit.Sebagai contoh:Sebuah balon kecil dilepas pada jarak 150 meter dari seorang pengamat yang berdiri ditanah.jika balon naik tegak lurus keatas dengan laju 8 meter/detik, seberapa cepat jarakantara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 meter?PenyelesaianAnggaplah t menyatakan banyaknya detik setelah balon dilepas.Anggaplah h menyatakantingginya balon dan s jaraknya dari pengamat.Peubah h dan s keduanya bergantung padat, namun alas segitiga (jarak dari pengamat ke titik pelepasan) tetap tidak berubah denganbertambahnya t.Gambar 2 memperlihatkan besaran kunci di dalam suatu diagramsederhana
  20. 20. Sebelum berlanjut lebih jauh,kita mengangkat tema yang dibahas sebelumnya dalambuku ini,penaksiran jawaban.Perhatikan bahwa semula sama sekali tidak berubah(ds/dt),tetapi pada akhirnya s berubah kira-kira secepat perubahan h (ds/dt =dh/dt=8).Suatu taksiran untuk ds/dt bilama h=50 boleh jadi sekitar sepertiga atausetengah dari dh/dt,atau 3.Jika kita memperoleh jawaban jauh dari nilai ini,kita akan tahubahwa kita telah membuat kesalahan. Misalnya,jawaban seperti 17 atau bahkan 7 jelassalah. Kita lanjutkan dengan penyelesaian eksak. Untuk penekanan, kita bertanya danmenjawab tiga pertanyaan dasar.Apa yang diketahui? Jawab=8Apa yang ingin kita ketahui jawab:kita mengetahui ds/dt tepat pada h=50Bagaiman kaitan s dan h?Peubah-peubah s dan h berubah dengan waktu (keduanya adalah fungsi-fungsi implisitdari t), tetapi keduanya selalu dikaitan dengan persamaan phytagoras S2=h2+(150)2Jika kita diferensialkan secar implisit terhadap t dan menggunakan aturan Rantai, kitamemperoleh 2s =2hAtau s =hHubungan ini berlaku untuk semua t>0 Sekarang,dan bukan sebelumnya,kita berpaling pada situasi ketika h=50.dariteorema Pyhtagoras,kita lihat bahwa ketika h = 50 = 50Dengan mensubtitusikan kedalam s (ds/dt) = h (dh/dt) menghasilkan50 = 50(8)Atau = = 2,53
  21. 21. Pada saat h = 50,jarak antara balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,53meter/detik.Prosedur SistematisContoh diatas menyarankan metode yang berikut untuk menyelesaikan masalah laju-lajuberkaitan.Langkah 1: Andaikan t menyatakan waktu yang dilalui.Gambarkan sebuah diagramyang berlaku untuk semua t>0.Berilah besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila tbertambah dengan nilai-nilai konstantanya yang diketahui.berikan juga label padabesaran yang berubah sesuasi dengan t , dan berilah label pada bagian gambar yangsesuai dengan peubah-peubah ini.Langkah 2: Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang diinginkan tentang peubah-peubah tersebut. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan pada peubah t.Langkah 3: Tuliskan sebuah persamaan yang mengaitkan peubah-peubah itu untuksemua waktu t>0, bukan hanya pada beberapa saat tertentu.Langkah 4: Diferensiasikan secar implisit persamaan yang ditemukan dalam langkah 3terhadap t.Persamaan yang dihasilkan , memuat turunan-turunan terhadap t , benar untuksemua t>0Langkah 5: Pada tahap ini ,dan bulan lebih awal, Subtitusikan dedalam persamaan yangdi temukan dalm langkah 4 semua data yang sahih pada saat tertentu seperti yangdiperlukan oleh jawaban masalah. Selesaikan untuk turunan yang diinginkan Contoh 3 Sebuah pesawat udar terbang ke utara dengan laju 640 mol/jam melewati sebuah kota tertentu pada tengah hari,dan pesaat kedua terbang ke timur dengan laju 600 mil/jam langsiung dia tas kota yang sam 15 menit kemudian .Jika pesawat-pesawat itu terbang pada ketinggian yang sama ,seberapa cepatkah pesawat-pesawat itu berpiah pada pukul 13.15?
  22. 22. PenyelesaianLangkah 1:Anggaplah t menyatak n banyaknya jam setelah 12.15. jarak y adlah jarakdalm mil penerbangan ke utara setelah jam 12.15, sedangkan x adalh jarak dalm milpenerbangan ketimur setelah jam 12.15, dan s adalah jarak antara kedua pesawat .dalam15 menit dari siang sampai 12.15 pesawat yang terbang keutara telah menempuh640/4=160 mil, sehingga jarak dari kota ke pesawat yang terbang keutara pada waktu takan sama dengan y +160Langkah 2:Untuk semua t>0, diketahui bahwa dy/dt=640 dan dx/dt=600.Kita imginmengetahui ds/dtdt pada saat t=1,yakni pukul 13.15.Langkah 3: Menurut teorema PyhtagorasS2=x2 +(y+160)2Langkah 4: Dengan mendiferensiasikan secara implisit terhadap t dan denganmenggunakan aturan rantai ,kita mempunyai 2s =2x +2(y+160)Ataus =x +(y + 160)Langkah 5: Untuk semua t>o,dx/dt = 600 dan dy/dt=640,sedangkanpada saatt=1,x=600,y=640 dan s= + = 1000.Bilaman kitamensubtitusikan dat-dat ini kedalam pesamaan dari langkah 4,kita peroleh1000 = (600)(600) + (640+160)(640) =872Pada waktu 13.15 Pesawat-pesawat itu berpisah dengab kecepatan 872 mil/jamSekarang kita lihat apak h jawaban itu masuk akal .Lihat kembali Gambar 4.Jelaslah, sbertambah lebih cepat dibanding x atau y bertambah .sehingga ds/dt melebihi640.Sebaliknya ,s pasti bertambah lebih lambat dari pada jumlah x dan y,yakni ds/dt <b600+640,jawaban kita,ds/dt=872 cukup beralasan.Contoh 4Seorang wanita berdiri diatas karang mengamati sebuah perahu motor yang bergerakkearah pantai tepat dibawahnya melalui teropong .Jika teropong berada 250 dm diatas
  23. 23. permukaan laut dan jika perahu motor tersebut mendekat dengan laju 20 dm/detik.berapakah laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 250 dm dari pantai??PenyelesaianLangakh 1: Kita buat sebuah gambar dan membuat peubah-peubah x dan tetaLangkah 2:diketahui bahwadx/dt =-20 ,Tandanya negative karena x berkurang denganberlalunya waktu .kita ingin mengetahui dθ/dt pada saat x=250Langkah 3:dengan ilmu trigonometri kita tahu Tanθ=Langkah 4:kita diferensiasikan secara implisit dengan dan menggunakan fakta bahwa dθdan tan θ=sec2 θ.Kita peroleh Sec2 θ =Langkah 5:Pada saat x=250, θ adalah π/4 radian dan sec2 θ =2.jadi, 2 = (-20)Atau = =-0,04Sudut berubah pada laju -0,04 radian/detik.tanda negative menunjukkan θ menunjukkanθ dengan berlalunya waktuMasalah laju yang berkaitan dengan grafis ,seringkali dalam situasi kehidupan nyata,kita tidak mengetahui rumus untuk suatu fungsi tertentu ,tetapi hanya mempunyai grafikyang ditentukan secara empiris .Kita mungkin ms tetap mampu menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang laju.3.10 Diferensial dan Hampiran Kita telah menggunakan notasi Leibniz dy/dx untuk turunan y terhadap-x. Notasid/dx telah digunakan sebagai operator untuk menyatakan turunan dari peubah yangmengilkutinya terhadap x. Jadi, d/dx dan Dx sama saja. Sampai sekarang, kita telahmemperlakukan dy/dx (atau d/dx) sebagai lambang belaka dan tidak mencoba
  24. 24. rnemberikan makna tersendiri pada dy dan dx, seperti yang akan kita kerjakanberikutnya. Andaikan f adalah fungsi yang terdiferensiasi. Untuk memotivasi definisi kita, Andaikan, P(x0/Y0) sebagai titik tetap pada gratik y = f(x). seperti yang oiperlihatkan dalam Gambar 1. Karena f terdefrensiasi, Jadi, jika demikian kecil, hasil bagi [ ]/ akan mendekati f‘( ), sehinggaSisi kiri dari ungkapan ini disebut y. Ini disebut perubahan aktual dalam y saat xberubah dari x0 sampai x0 + x. Sisi kanan disebut dy; dan berperan sebagai sebuahhampiran dari y. Seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2, kuantitas dy sama denganperubahan garis singgung kurva di P sewaktu x berubah dari ke + . Ketikabegitu kecil, kita berharap dy merupakan hampiran yang baik terhadap y, dan hanyaberupa konstanta kali , biasanya lebih mudah untuk dihitung.Diferensial Terdefinisi Berikut ini adalah definisi formal dari diferensial dx dandy.Definisi DiferensialAndaikan y - f(x) adalah fungsi yang terdiferensiasi dari peubah bebas x. z adalah kenaikan sebarang dalam peubah bebas x. dx. disebut diferensial peubah bebas x. sama dengan . y, adalah perubahan aktual dalam peuhah y sewaktu x berubah dari x ke x + x: y aitu y = f(x + )- f(x). Dy, disebut diferensial peubah tak-bebas y, yang dideflinisikan olch dy = f‘(x)dx.
  25. 25. CONTOH 1Carilah dy jika(a) y = x3 - 3x + 1 (b) y =(c) y = sin(x4 -3x2 + 11)PenyelesaianJika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimanamenghitung diferensial. Kita cukup menghitung turunan dan mengalikannya dengan dx.(a) dy = (3x2 - 3)dx(b) dy = (x2 + 3x)-1/2 (2x + 3)dx = dx(c) dy = cos (x4 – 3x2 + 11) . (4x2 – 6x)dxSekarang, perhatikanlah beberapa hal. Pertama, karena dy = f‘(x) dx, pembagian keduasisi dengan dx menghasilkan f‘(x)=Dan kita dapat, jika kita menginginkan, menafsirkan turunan sebagai hasil bagi duadiferensial. Kedua, berpadanan dengan setiap aturan turunan, terdapat suatu aturan diferensialyang diperoleh dari yang lebih dahulu dengan "mengalikan" dengan dx. Kitamengilustrasikan aturan-aturan utama dengan tabel berikut ini.Aturan Turunan Aturan Diferensial1. =0 1. dk = 0 2. d (ku) = k du2. =k 3. d (u + v) = du +dv3. = + 4. d (uv) = u dv + v du4. =u +v 5. d = 6. d =n5. =6. = =
  26. 26. Akhirnya perhatikanlah peringatan ini. Hati-harilah dalam membedakan antaraturunan dan diferensial. Keduanya tidak sama. Pada waktu anda menuliskan D ataudyldx anda menggunakan lambang untuk turunan; waktu Anda menuliskan dy Andamenyatakan diferensial. Jangan ceroboh dan menuliskan dy bilamana Anda bermaksudmemberi label suatu turunan. Itu akan menimbulkan kebingungan yang berlarut-larut. Hampiran Diferensial akan memainkan beberapa peranan pentirg dalarn buku ini, tetapi untuk sekarang penggunaan utamanya adalah dalam memberikar harnpiran-hampiran. Hal ini telah dinyatakan dalam petunjuk. Andaikan y = f(x) seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 3. Jika x diberikan suatu pertambahan , maka y menerima tambahan yang berpadanan Y.yang dapat dihampiri dengan dy, jadi f (x + ) dihampiri dengan f (x + ) = f (x) + dy = f (x) + f‘ (x)Ini adalah dasar untuk semua solusi contoh berikutnya.CONTOH 2Andaikan Anda memerlukan hampiran yang baik terhadap dan , tetapikalkolator Anda mati. Apa yang mungkin Anda kerjakan?PenyelesaianPandang grafik dari y = yang dinyatakan dalarn Garnhar 4. Bilamana x berubah dari 4ke 4,6 maka berubah dari = 2 ke (secara hampiran) + dy, Sekarang dy = dx =dimana pada x = 4 dx = 0.6: bernilai dy = = = 0.15jadiSerupa dengan itu, di x = 9 dan dx = -0,8; dy = = = -0.133
  27. 27. karena itu,Perhatikan bahwa dx dan dy keduanya negatif dalam kasus ini.Nilai-nilai hampiran 2,15 dan 2.867 boleh dibandingkan dengan nilai-nilai sejati (sampaiempat angka desimal) 2.1448 dan 2.8636.CONTOH 3Gunakan diferensial untuk mernbuat hampiran pertambahan luas sebuh gelembung sabunpada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm, menjadi 3,025 cmPenyelesaianLuas gelembung bola sabun diberikan olch A = 4πr2. Kita boleh membuat hampiran nilaischenarnya, A, dengan diferensial dA, dengan dA = 8πr drpada r = 3 dan dr = r = 0.025 dA = 8π(3)(0.025) = 1.885 cm2Penaksiran Galat (error)Berikut ini adalah masalah yang sering terjadi dalam ilmu pengetahuan. Seorang penelitimengukur peubah x tertentu yang bernilai x0 dengan galat yang mungkin berukuran ± .Nilai x0 kemudian digunakan menghitung nilai y0 untuk y yang bergantung pada x. Nilai
  28. 28. y0 tercemar oleh galat dalam x, tetapi seberapa buruk pencemaran oleh galat itu?Prosedur baku adalah menaksir galat ini dengan menggunakan sarana diferensial.Contoh 4Rusuk kubus diukur 11,4 cm dengan galat yang mungkin ±0.05 cm. hitunglah volumekubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini.PenyelesaianVolume kubus V yang rusuknya x adalah V = x3. Jadi dV = 3x2 dx. Jika x = 11,4 dan dx= 0.005 maka V = (11,4)3 = 1482 dan dV = 3 (11,4)2(0.05) = 19Jadi kita dapat menuliskan volume kubus sebagai 1482 ± 19 cm3kuantitas V dalam contoh 4 disebut kesalahan mutlak (absolute error). Pengukuran yanglain dari kesalahan adalah kesalah relative (relative error), yang ditentukan denganmembagi kesalahan mutlak dengan volume total. Kita dapat membuat hampirankesalahan relative V/V dengan dV/V. dalam contoh 4, kesalahan relati adalahKesalahan relatif kadang-kadang dinyatakan dalam persen. Jadi, kita mengatakan bahwauntuk kubus dalam Contoh 4 kesalahan relatif kira-kira 1.28%.Hampiran Linear Jika f terdiferensiasi pada a , maka bentuk ketniringan-titik darisebuah garis. garis singgung terhadap f di (a, f(a)) diberikan oleh y = f(a) + f‘(a)(x - a).Fungsi L(x) = f(a) + f‘(a)(x – a)disebut hampiran linear terhadap fungsi f di a, dan kadang-kadang merupakan hampiranuntuk f ketika x dekat ke a.CONTOH 5tentukan dan gambarlah plot hampiran linear untuk f(x) = 1 + sin 2x di x = π/2.PenyelesaianTurunan f adalah f‘(x) = 2 cos 2x, jadi hampiran linearnya adalah
  29. 29. L (x) = f(π/2) + f‘(π/2)(x - π/2) = (1 + sin π) + (2 cos π)(x - π/2) = 1 - 2(x - π /2) = (1 + π) - 2xGambar 5 menunjukkan kedua grafik fungsi f dan hampiran linear L sepanjang selang[0,π]. Kita dapat melihat hampirannya bagus di dekat π/2, tetapi hampirannya menjaditidak bagus ketika menjauh dari π/2. Gambar 5b dan c juga menunjukkan gambar plotfungsi L dan f sepanjang selang-selang yang semakin lama semakin kecil. Untuk nilai-nilai x yang dekat ke π/2, kita melihat babwa hampiran linearnya sangat dekat denganfungsi f.

×