1. UKURAN STATISTIK
Rata-Rata Tertimbang (Weighted Mean)
Dalam beberapa kasus setiap nilai diberi beban, misalnya pada kasus perhitungan Indeks
Prestasi, Nilai Penjualan Barang, dll
n
∑
i =1
B ix i
xB = n
∑ B i
i=1
Di mana xB : rata-rata tertimbang
Bi : beban ke-i
xi: data ke-i
n: banyak data
Contoh 1 :
Berikut adalah Transkrip Akademik seorang mahasiswa
Mata Kuliah Nilai Angka Mutu SKS ( B i x i
Mutu (x i ) Bi )
Pancasila B 3 2 6
Teori Ekonomi A 4 4 16
Bahasa Inggris C 2 3 6
Manajemen A 4 3 12
Σ 14 12 40
n
∑ B ixi
40
i=1
Indeks Prestasi = x B = n = = 3.33
12
∑ i=1
B i
Rata-Rata Geometrik (Geometric Mean)
Rata-rata geometrik digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate),
misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga dll.
G = n x1 × x 2 × x 3 × ⋅⋅⋅× x n
atau
lo g x 1 + lo g x 2 + lo g x 3 + ⋅ ⋅⋅ + lo g x n
lo g G =
n
ingat G = antilog (log G)
Di mana G : rata-rata geometrik
xi : data ke-i
n : banyak data
Contoh 2 :
Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :
1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 %
Ukuran Statistik 1

2. lo g x 1 + lo g x
+ lo g x 3 + lo g x 4 + lo g x
G = x1 × x 2 × x 3 × ⋅ ⋅⋅ × x
2 5
n = lo g G =
n
5
lo g 1 .5 + lo g 2 .3 + lo g 3 .4 + lo g 1 .2 + lo g 2 .5
=
5
0 . 1 7 6 . . . + 0 . 3 6 1 . . . + 0 .5 3 1 . . . + 0 . 0 7 9 . . . + 0 . 3 9 7 . . .
=
5
1 .5 4 6 4 . . .
= = 0.30928....
5
G = antilog 0.30928... = 2.03837....
Bandingkan dengan rata-rata hitung
n
∑
i=1
xi
=
1 .5 + 2 .3 + 3 .4 + 1 .2 + 2 .5
=
1 0 .9
= 2.18
x = 5 5
n
UKURAN PENYEBARAN
1 Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard
Deviation)
a. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data
POPULASI :
N N N
∑ ( xi − µ) 2
atau
N ∑ xi − (∑ xi)2
2
i=1 i =1 i =1
σ 2
= σ 2
=
Ν N 2
dan σ = σ 2
SAMPEL :
n n n
∑= 1 ( x i − x) 2
atau
n ∑
i=1
xi − (
2
∑ i=1
x i )2
s2 = i s2 =
n −1 n (n − 1)
dan s = s 2
xi: data ke-i
µ : rata-rata populasi x : rata-rata sampel
σ²: ragam populasi s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi s: simpangan baku
Ukuran Statistik 2

3. sampel
N: ukuran populasi n: ukuran sampel
Contoh 3 :
Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun
a. Hitunglah µ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi)
b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)
Jawab :
xi µ atau x ( x i -µ) atau ( x i - x ) ( x i -µ)² atau ( x i - x )² x i
2
18 20 -2 4 324
19 20 -1 1 361
20 20 0 0 400
21 20 1 1 441
22 20 2 4 484
Σ 100 ------ ------- 10 2010
POPULASI :
100
N=5 µ = = 20
5
n
∑ (x i − µ) 2
=
10
=2
i =1
σ 2
= 5
Ν
N N
N ∑ xi − (∑ xi)2
2
=
(5 × 2 0 1 0 ) − 1 0 0 2
=
10050 −10000
=
50
=2
i =1 i =1
σ 2
= 2
52 25 25
N
σ = σ
= 2 = 1.414... 2
SAMPEL :
n
n=5 x =
100
=2 2 ∑ (xi − x )2
=
10
= 2.5
5 s = i =1
4
n − 1
n n
n ∑
i=1
xi2 − ( ∑
i =1
xi)2
=
(5 × 2 0 1 0 ) − 1 0 0 2
=
10050 −10000
=
50
= 2.5
s2 = 5 × 4 20 20
n(n − 1)
s = s 2 = 2 . 5 =1.581...
b. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data
POPULASI :
Ukuran Statistik 3

4. k
∑= 1 fi × (xi − µ)2
dan σ = σ 2
σ 2
= i
Ν
SAMPEL :
k
∑ fi × ( xi − x )2
dan s = s 2
i=1
s = 2
n −1
xi: Titik Tengah Kelas ke-i
fi : frekuensi kelas ke-i
k : banyak kelas
x : rata-rata sampel
µ : rata-rata populasi
σ²: ragam populasi
s²: ragam sampel
σ: simpangan baku populasi
s: simpangan baku sampel
N: ukuran populasi
n: ukuran sampel
Contoh 4 :
1679
Rata -Rata (µ atau x ) = = 33.58
50
Kelas TTK Frek. fi x i µ atau ( x i -µ) atau ( ( x i -µ)² atau f i ( x i -µ)²
xi fi x x i -x ) ( x i - x )² atau
f i ( x i - x )²
16 - 23 19.5 10 195 33.58 -14.08 198.2464 1982.4640
24 - 31 27.5 17 467.5 33.58 -6.08 36.9664 628.4288
32 - 39 35.5 7 248.5 33.58 1.92 3.6864 25.8048
40 - 47 43.5 10 435 33.58 9.92 98.4064 984.0640
48 - 55 51.5 3 154.5 33.58 17.92 321.1264 963.3792
56 - 63 59.5 3 178.5 33.58 25.92 671.8464 2015.5392
Ukuran Statistik 4

5. Σ ----- 50 1679 ---- ---------- ----------- 6599.68
POPULASI : N = 50
k
∑ fi × (x i − µ)
2
=
6 5 9 9 .6 8
= 131.9936
σ 2
= i=1
50
Ν
σ = σ 2
= 1 3 1 . 9 9 3 6 = 11.4888....
SAMPEL :
k
∑
i =1
fi × (xi − x) 2
=
6 5 9 9 .6 8
= 134.6873....
s = 2 49
n −1
s = s 2
= 1 3 4 . 6 8 7 3 . . . = 11.6054....
2 Koefisien Ragam
Koefisien Ragam = Koefisien Varians
Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data
makin tinggi.
σ
Untuk Populasi →Koefisien Ragam = ×100%
µ
s
Untuk Sampel →Koefisien Ragam = ×100%
x
Contoh :
x = 33.58 s = 11.6054
Koefisien Ragam =
s 1 1 .6 0 5 4
×100% = ×100% = 34.56 %
x 3 3 .5 8
Ukuran Statistik 5

6. 3 Angka Baku (z-score)
•Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .
•z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
•z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi
•z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi
•z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi
x − µ
z =
σ
z : Angka baku
x : nilai data
µ: rata-rata populasi
σ : simpangan baku populasi
Contoh 5 :
Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 km
Hitung angka baku untuk kecepatan lari :
a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam
x − µ 25 − 20 5
Jawab : a. z = = = =2
σ 2 .5 2 .5
x − µ 18 − 20 − 2
b. z = = = = -0.8
σ 2 .5 2 .5
Ukuran Statistik 6