This document provides instruction on algebra concepts including operations with intervals, theorems of inequalities, and the inequality of means. It covers union, intersection, difference, and complement of intervals. It also details six theorems of inequalities and provides proofs of three theorems regarding real numbers: a2 + b2 ≥ 2ab; 2a2 + b2 ≥ a + b2; and a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac. Finally, it explains the inequality of means and applies it to find minimum values of expressions involving positive variables.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: PLANA DE ÁLGEBRA

2. REFORZAMIENTO
III
Semana 16

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
Reforzar los teoremas de
las desigualdades.
Utilizar la desigualdad de las
medias.
Reforzar las operaciones con
los intervalos.

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Operaciones con Intervalos
Unión 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩 Intersección 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩
Diferencia 𝑨 − 𝑩 = 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩 Complemento 𝑨𝑪
= 𝒙 ∈ ℝ / 𝒙 ∉ 𝑨
𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
+∞
−∞ 1 3 7
A
B
𝐴 ∪ 𝐵 = ሾ1; ۧ
9 𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
1 3 7 9 +∞
−∞
𝑨
𝑩
𝐴 ∩ 𝐵 = ‫ۦ‬3; ሿ
7
𝐴 = 1; 7 ; 𝐵 = 3; 9
Si:
+∞
−∞ 1 3 7 9
𝑨
𝑩
𝐴 − 𝐵 = ሾ1; ሿ
3 𝐴 = ሾ1; ۧ
7
Si:
+∞
−∞ 1 7
A
𝑨𝑪 𝑨𝑪
𝐴𝐶 = ‫ۦ‬−∞; ۧ
1 ∪ ሾ7; ۧ
+∞
9

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas de desigualdades
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟏) 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 ∧ 𝒏 ∈ ℝ
𝟐) 𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝟑) 𝐒𝐢 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝟒) 𝐒𝐢: 𝟎 < 𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝟓) 𝐒𝐢: 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 < 𝟎
𝟔) 𝐒𝐢 𝒂 < 𝟎 ∧ 𝒃 > 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒂 < 𝒙 < 𝒃
2 < 𝑥 < 9 4 < 𝑥2
< 81
𝑜 2
4 < 𝑥 < 7 7 < 𝑥 + 3 < 10
+3
× 3
1 < 𝑥 < 4 3 < 3𝑥 < 12
× (−4)
2 < 𝑥 < 4 −8 > −4𝑥 > −16
2 < 𝑥 < 6
1
2
>
1
𝑥
>
1
6
𝑜 −1
−5 < 𝑥 < −3 25 > 𝑥2
> 9
𝑜 2
−4 ≤ 𝑥 < 7 𝑚á𝑥 −4 2
; 7 2
0 ≤ 𝑥2
<
𝒐 𝟐
49
↔ 𝒂 + 𝒏 < 𝒙 + 𝒏 < 𝒃 + 𝒏
↔ ቐ 𝒐
𝒂. 𝒏 < 𝒙. 𝒏 < 𝒃. 𝒏
𝒂. 𝒏 > 𝒙. 𝒏 > 𝒃. 𝒏
; 𝒏 > 𝟎
; 𝒏 < 𝟎
↔
𝟏
𝒂
>
𝟏
𝒙
>
𝟏
𝒃
→ 𝒂𝟐
< 𝒙𝟐
< 𝒃𝟐
→ 𝒂𝟐
> 𝒙𝟐
> 𝒃𝟐
→ 𝟎 ≤ 𝒙𝟐
< 𝒎á𝒙 𝒂𝟐
; 𝒃𝟐

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas en los números reales
𝟏) Si 𝑎; 𝑏 son números reales, se cumple:
𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2𝑎𝑏
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Sabemos que 𝑥2
≥ 0 ; entonces
𝑎 − 𝑏 2
→ 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
→ 𝑎2
+ 𝑏2
𝟐) Si 𝑎; 𝑏 son números reales, se cumple:
2 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 𝑎 + 𝑏 2
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Sabemos que
𝑎2 + 𝑏2
→
→
+ 𝑎2 + 𝑏2 2 𝑎2 + 𝑏2
2 𝑎2 + 𝑏2
𝑎2
+ 𝑏2
= 2𝑎𝑏
𝑵𝑶𝑻𝑨: 2(𝑎2
+ 𝑏2
)
𝑵𝑶𝑻𝑨:
≥ 0
≥ 0
≥ 2𝑎𝑏
↔ 𝑎 = 𝑏
≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
≥ 𝑎 + 𝑏 2
≥ 2𝑎𝑏
= 𝑎 + 𝑏 2 ↔ 𝑎 = 𝑏

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas en los números reales
C U R S O D E Á L G E B R A
𝟑) Si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números reales, se cumple:
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Sabemos que si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números reales:
se cumple:
𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2𝑎𝑏 … 𝐼
𝑏2
+ 𝑐2
≥ 2𝑏𝑐 … 𝐼𝐼
𝑐2
+ 𝑎2
≥ 2𝑎𝑐 … 𝐼𝐼𝐼
Sumando 𝐼 + 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 tenemos
2(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
) ≥ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)
Dividiendo entre 2, obtenemos:
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
NOTA: Si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números reales, además:
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 ↔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Desigualdad de las medias
C U R S O D E Á L G E B R A
Si 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 son números positivos, se cumple
𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 ≥ 𝑀𝐻
Donde:
𝑀𝐴
𝑀𝐺
𝑀𝐻
=
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑛
= 𝑛
𝑎1. 𝑎2 … 𝑎𝑛
=
𝑛
1
𝑎1
+
1
𝑎2
+ ⋯ +
1
𝑎𝑛
NOTA: Si 𝑀𝐴 = 𝑀𝐺 = 𝑀𝐻 ↔ 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛
Si 𝑎; 𝑏 son números positivos, se cumple
𝑎 + 𝑏
2
≥ 𝑎. 𝑏 ≥
2
1
𝑎
+
1
𝑏
Si 𝑎; 𝑏; 𝑐 son números positivos, se cumple
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
≥
3
𝑎𝑏𝑐 ≥
3
1
𝑎 +
1
𝑏
+
1
𝑐
𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3
3
𝑎𝑏𝑐

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Si
𝑥 +
1
𝑥
2
→
= 1
𝑥 +
1
𝑥
≥ 2
TEOREMA 𝑥 > 0 →
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Como 𝑥 > 0 →
1
𝑥
> 0
𝑥.
1
𝑥
≥ 𝑥 +
1
𝑥
≥ 2
, luego
Ejemplo:
Si 𝑥 > 2 → 𝑥 − 2 > 0 , luego
𝑥 − 2 +
1
(𝑥 − 2)
≥ 2
Ejercicio:
Si 𝑥 > 3 encuentre el menor valor de:
𝑀 𝑥 = 𝑥 +
1
𝑥 − 3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Como 𝑥 > 3 → 𝑥 − 3 > 0 , luego
𝑥 − 3 +
1
(𝑥 − 3)
≥ 2
𝑥 +
1
𝑥 − 3
≥ 5
El menor valor es 5
∴
¡Recuerde!
El teorema de las
medias solo se
aplica para
números
positivos

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
ቐ
𝑜
𝑜
𝑜
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio:
Si 𝑥 > 0 encuentre el menor valor de:
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+
2
𝑥
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Como 𝑥 > 0 →
1
𝑥
> 0 como
𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺
𝑥2 +
1
𝑥
+
1
𝑥
3
≥
3
𝑥2.
1
𝑥
.
1
𝑥
= 1
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+
2
𝑥
= 𝑥 +
1
𝑥
+
1
𝑥
utilizamos
Nos queda:
𝑥2
+
2
𝑥
3
≥ 1 → 𝑥2
+
2
𝑥
≥ 3
𝑃 𝑥
Entonces:
𝑃 𝑥 ≥ 3
Por tanto:
El menor valor de 𝑃 𝑥 es 3
¡Recuerde!
El menor valor de P(x)
ocurre cuando:
𝑥2
=
1
𝑥
→ 𝑥 = 1

11. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e