Metoda tangentelor sau newton

1. Metoda tangentelor sau
Newton
Torodii Daria, clasa XII „B”

2. Condiţiile necesare
• f(x) – continuă pe
segmentul [a,b] şi
f(a) × f(b) < 0;
 Pe segmentul [a,b]
există f'(x)≠ 0;
f''(x)≠ 0, continui şi
semnul lor pe [a,b]
este constant.

3. Esenţa metodei
 Ideea generală a metodei este următoarea:
prin punctul (b,f(b)) se duce o dreaptă
tangentă la graficul functiei . Se determină
punctul c în care ea intersectează axa 0X.
Acest punct se considera noua extremitate,
prin care se duce tangenta. Procesul se
repetă, până nu obţinem o apropiere
suficientă de soluţia exactă;
 Pentru calcularea extremităţilor se foloseşte
ecuaţia: y – f(xi)= f'(xi)(x – xi).

4. Esenţa metodei
Convergenţa şirului de valori xi către soluţia exactă ξ

5. Algoritmizarea metodei
 0. Calculăm semnul derivatei 2 pe
segmentul [a,b].
 1. Fixăm punctul iniţial x0 conform
formulei: f(x0)*f’’(x0)>0
 2. Calculăm următoarea aproximaţie
conform formulei:
 3. Repetăm pasul 2 până nu obţinem
soluţia cu exactitatea cerută.

6. Estimarea erorii
 Procesul iterativ de calcul poate fi oprit fie
după repetarea unui număr prestabilit de
ori, fie după atingerea unei exactităţi
cerute.
 Eroarea se va estima conform formulei:
 unde xi, xi+1 – două aproximări succesive
ale soluţiei calculate, M2 – supremul f''(x)
pe [a,b], m1 – infimul f'(x) pe [a,b]

7. Exerciţii propuse
 Separaţi soluţiile,
apoi calculaţi
soluţiile ecuaţiei,
folosind metoda
Newton, pentru
ε=0,00001:
 Fie dată funcţia
Calculaţi soluţia
aproximativă a
ecuaţiei f(x)= 0 pe
segmentul [0,5;0,7]
cu exactitatea
ε=0,00001, utilizînd
metoda tangentelor