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虫食算を作るアルゴリズム 公表Ver
- 2. 内容 • 作品紹介 • 虫食算を解くプログラム – どの程度解ける ? – DFSで解く – (番外編) 整数計画法で解く • 虫食算を作るプログラム – 解くプログラムを改造 2 / 70
- 3. 作品 1 • 7 つの 7 で 7 の形 ノ 3 / 70
- 4. 作品 2 • 小町表出 4 / 70
- 5. 作品 3 • おジャ魔女どれみ – 1999～2003年放送 – 心温まるファミリーアニメ ＯＪＡ ＭＡＪＯ ＤＯＲＥＭＩ 5 / 70
- 6. 作品 4 6 / 70
- 7. 作品 5 • いちご 黒丸の配置には意味があります 7 / 70
- 9. 内容 • 作品紹介 • 虫食算を解くプログラム – どの程度解ける ? – DFSで解く – (番外編) 整数計画法で解く • 虫食算を作るプログラム – 解くプログラムを改造 9 / 70
- 10. デモ 大駒誠一著 『虫食算パズル700選』 問 698 10 / 70
- 11. 僅か 0.15 秒！！！ (core i7, 4GB) 11 / 70
- 12. 念のため… • このプログラムを使えば簡単に虫食算を作れる • しかし！！！ – 自動生成した虫食算が面白い問題とは限らない – 解いて楽しい虫食算作りは職人のノウハウ – ホームメイドの価値は健在 • ソフトは虫食算作りを支援するツール 12 / 70
- 13. 内容 • 作品紹介 • 虫食算を解くプログラム – どの程度解ける ? – DFSで解く – (番外編) 整数計画法で解く • 虫食算を作るプログラム – 解くプログラムを改造 13 / 70
- 14. 最初に思いつく方法 • □への数字の当てはめを全通り試す – 1054… 天文学的数字！ 14 / 70
- 15. ちょっと工夫 • 上2段だけ全通り試す – 1010 … 1時間程度で解けそう 15 / 70
- 16. ちょっと工夫 • 上2段だけ全通り試す – 1010 … 1時間程度で解けそう – しかし下のは 1043 通り！ 16 / 70
- 17. も～っと！工夫 • 上2段を DFS 17 / 70
- 18. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る 18 / 70
- 19. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る 19 / 70
- 20. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る 20 / 70
- 21. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る 21 / 70
- 22. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … 22 / 70
- 23. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … 23 / 70
- 24. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … 24 / 70
- 25. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … 25 / 70
- 26. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … 26 / 70
- 27. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … 27 / 70
- 28. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … … 28 / 70
- 29. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … … 29 / 70
- 30. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る … … … … 30 / 70
- 31. DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る DFS は応用範囲広い 数独も解ける フリーセルも解ける ゲーム木探索も DFS の一種 メモしながら探索すれば DP も実現 実用性も: makefile (DAGのトポロジカルソート) ネットワークフローアルゴリズムのサブルーチン 31 / 70
- 32. DFS の工夫の余地 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る • これでもうまくやらないとこれは解けない 32 / 70
- 33. DFS の工夫の余地 • □に数字を仮定して, 行けるところまで突き進む • ダメになったら一歩戻る • これでもうまくやらないとこれは解けない どの□から順番に数字を仮定していくか については、任意性がある！ 33 / 70
- 34. さらに！！！探索順序を工夫！ • デタラメに DFS してもある程度は解けるが… • 人間だったらどう解くかを考える！ 34 / 70
- 36. 人間だったらどう解くか…？ • 一の位の 7 に目をつける 36 / 70
- 37. 人間だったらどう解くか…？ • 青字の 7 が決まる 37 / 70
- 38. 人間だったらどう解くか…？ • 十の位の 4 や 8 に目をつける 38 / 70
- 40. 人間だったらどう解くか…？ • 百の位の 5 に目をつける 40 / 70
- 41. 2 の次は 7 を探索 人間だったらどう解くか…？ • 青字の部分が 2 か 7 に決まる …… 41 / 70
- 42. 2 の次は 7 を探索 人間だったらどう解くか…？ • 青字の部分が 2 か 7 に決まる • まずは 2 を調べて、次に 7 を調べる …… 42 / 70
- 43. 人間だったらどう解くか…？ • 一の位, 十の位, 百の位, … に数字のある段 を順々に着目する！ • この目の付け方の順序をプログラムする 43 / 70
- 44. 工夫した探索順序による DFS • For i = 1 to (Aの桁数): – A の i 桁目を 0～9 の順に仮定 – For j = 1 to (Bの桁数): • If C の j 段目の i 桁目に条件あり: B の j 桁目を 1～9 の順に仮定 • B のまだ仮定していない桁を 1～9 の順に仮定 □□□□□１ × □□□２□□ □３□□□□ □□□□□４□ □□□５□□ □□□６□□□ □□□□□７ □□□□□８□ □□□９□□□□□□□□ ・・・ A ・・・ B ・・・ C 44 / 70
- 45. これであれが解ける！ • この探索順序を工夫した DFS (+ α の工夫) で、超大型虫食算も解くことができた！ 45 / 70
- 46. DFS による解法まとめ • DFS (Depth First Search): 深さ優先探索 • DFS の探索順序を工夫する • 探索順序を工夫した DFS により, 人間の思考 に近い虫食算ソルバーを実現！ 46 / 70
- 47. 発表の内容 • 作品紹介 • 虫食算を解くプログラム – どの程度解ける ? – DFSで解く – (番外編) 整数計画法で解く • 虫食算を作るプログラム – 解くプログラムを改造 47 / 70
- 48. 線形計画法 (LP) -> • 一次式制約下で一次式最適化 Maximize: 4𝑥 + 5𝑦 Subject to: 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 8 𝑥, 𝑦 ≥ 0 𝑥 𝑦 O 42 2 3 (4, 5) 48 / 70
- 49. 線形計画法 (LP) -> 整数計画法 (IP) • 一次式制約下で一次式最適化 • 変数は整数値 Maximize: 4𝑥 + 5𝑦 Subject to: 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 8 𝑥, 𝑦 ≥ 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒁 𝑥 𝑦 O 42 2 3 (4, 5) 49 / 70
- 50. IP を解く専用ソルバー • 線形計画法 (LP) はカンタン • 整数計画法 (IP) は超絶難しい (NP-hard) • IP を解くソルバー達 – Numerical Optimizer (NTTデータ数理システム) – CPLEX (IBM ILOG) – XPRESS (FICO) – Gurobi (Gurobi) 50 / 70
- 51. 虫食算を IP で解く • 虫食算を IP として定式化 • それをソルバーで解く ここを紹介 51 / 70
- 52. Step 1: □と繰り上りを変数に 𝑐 𝑒 𝑑 𝑝𝑞 𝑎𝑏 52 / 70
- 53. Step 1: □と繰り上りを変数に • 以下の整数計画問題に…？ 3𝑐 = 10𝑝 + 7 𝑎𝑐 + 𝑝 = 10𝑞 + 𝑑 𝑏𝑐 + 𝑞 = 𝑒 0 ≤ 𝑎, 𝑑, 𝑝, 𝑞 ≤ 9 1 ≤ 𝑏, 𝑐, 𝑒 ≤ 9 𝑐 𝑒 𝑑 𝑝𝑞 𝑎𝑏 53 / 70
- 54. Step 1: □と繰り上りを変数に • 以下の整数計画問題に…？ 3𝑐 = 10𝑝 + 7 𝑎𝑐 + 𝑝 = 10𝑞 + 𝑑 𝑏𝑐 + 𝑞 = 𝑒 0 ≤ 𝑎, 𝑑, 𝑝, 𝑞 ≤ 9 1 ≤ 𝑏, 𝑐, 𝑒 ≤ 9 • ところが…！ • 二次項あり, IP じゃない！ 𝑐 𝑒 𝑑 𝑝𝑞 𝑎𝑏 54 / 70
- 55. Step 1: □と繰り上りを変数に • 以下の整数計画問題に…？ 3𝑐 = 10𝑝 + 7 𝑎𝑐 + 𝑝 = 10𝑞 + 𝑑 𝑏𝑐 + 𝑞 = 𝑒 0 ≤ 𝑎, 𝑑, 𝑝, 𝑞 ≤ 9 1 ≤ 𝑏, 𝑐, 𝑒 ≤ 9 • ところが…！ • 二次項あり, IP じゃない！ • 0-1変数なら二次式制約を一次にできる (後述) 𝑐 𝑒 𝑑 𝑝𝑞 𝑎𝑏 55 / 70
- 56. Step 2: 各変数を二進法展開 • 以下の整数計画問題に…？ 3𝑐 = 10𝑝 + 7 𝑎𝑐 + 𝑝 = 10𝑞 + 𝑑 𝑏𝑐 + 𝑞 = 𝑒 0 ≤ 𝑎, 𝑑, 𝑝, 𝑞 ≤ 9 1 ≤ 𝑏, 𝑐, 𝑒 ≤ 9 • 0-1変数 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 を導入 𝑎 = 8𝑎1 + 4𝑎2 + 2𝑎3 + 𝑎4 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 ∈ {0, 1} 𝑐 𝑒 𝑑 𝑝𝑞 𝑎𝑏 56 / 70
- 57. Step 2: 各変数を二進法展開 • この式は 𝑏𝑐 + 𝑞 = 𝑒 • こんな風になる (8𝑏1 + 4𝑏2 + 2𝑏3 + 𝑏4)(8𝑐1 + 4𝑐2 + 2𝑐3 + 𝑐4) + 𝑞 = 𝑒 ⇔ 64𝑏1 𝑐1 + 32 𝑏1 𝑐2 + 𝑏2 𝑐1 + 16 𝑏1 𝑐3 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑏3 𝑐1 +8 𝑏1 𝑐4 + 𝑏2 𝑐3 + 𝑏3 𝑐2 + 𝑏4 𝑐1 + 4 𝑏2 𝑐4 + 𝑏3 𝑐3 + 𝑏2 𝑐4 +2 𝑏3 𝑐4 + 𝑏4 𝑐3 + 𝑏4 𝑐4 + 𝑞 = 𝑒 57 / 70
- 58. Step 3: 0-1変数活用して一次式に • 簡単のため, 以下の式を考える 𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑞 = 𝑒 58 / 70
- 59. Step 3: 0-1変数活用して一次式に • 簡単のため, 以下の式を考える 𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑞 = 𝑒 • 𝑏1 𝑐1, 𝑏2 𝑐2 に対応する 0-1変数 𝑡1, 𝑡2 を導入 𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑞 = 𝑒 ⇔ 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑞 = 𝑒 𝑡1 ≤ 𝑏1, 𝑡1 ≤ 𝑐1, 𝑡1 ≥ 𝑏1 + 𝑐1 − 1 𝑡2 ≤ 𝑏2, 𝑡2 ≤ 𝑐2, 𝑡2 ≥ 𝑏2 + 𝑐2 − 1 𝑏1 𝑐1 = 𝑡1 と等価 59 / 70
- 60. Step 3: 0-1変数活用して一次式に • 簡単のため, 以下の式を考える 𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑞 = 𝑒 • 𝑏1 𝑐1, 𝑏2 𝑐2 に対応する 0-1変数 𝑡1, 𝑡2 を導入 𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑞 = 𝑒 ⇔ 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑞 = 𝑒 𝑡1 ≤ 𝑏1, 𝑡1 ≤ 𝑐1, 𝑡1 ≥ 𝑏1 + 𝑐1 − 1 𝑡2 ≤ 𝑏2, 𝑡2 ≤ 𝑐2, 𝑡2 ≥ 𝑏2 + 𝑐2 − 1 𝑏1 𝑐1 = 𝑡1 と等価 一次式になった！ 60 / 70
- 61. 整数計画法 (IP) による解法まとめ • やや大変だが, IP (一次式) にできる 3𝑐 = 10𝑝 + 7 𝑎𝑐 + 𝑝 = 10𝑞 + 𝑑 𝑏𝑐 + 𝑞 = 𝑒 0 ≤ 𝑎, 𝑑, 𝑝, 𝑞 ≤ 9 1 ≤ 𝑏, 𝑐, 𝑒 ≤ 9 • IP にしたら, IP ソルバーに投げる • 6桁×6桁程度の虫食算ならこれで解けた 𝑐 𝑒 𝑑 𝑝𝑞 𝑎𝑏 61 / 70
- 62. 発表の内容 • 作品紹介 • 虫食算を解くプログラム – どの程度解ける ? – DFSで解く – (番外編) 整数計画法で解く • 虫食算を作るプログラム – 解くプログラムを改造 62 / 70
- 63. 問題設定 • 数字, 文字の配置を固定 • 上二段の桁数も固定 • 一意解問題を作れ 63 / 70
- 64. 作り方 • 青の部分は 0 でも OK として解く • これで解なしならムリ (掛ける数の桁数増やす) • 何通りかの解を 青部分の様相で分類し 孤立したものを選ぶ 64 / 70
- 65. 例 • 1, 2, 3 な虫食算を作ろう！ 65 / 70
- 66. 例 • 桁数無視で解くと, 9個の解！ 66 / 70
- 67. 例 • 桁数無視で解くと, 9個の解！ • 形が孤立しているものを選ぶと 67 / 70
- 68. 例 • 桁数無視で解くと, 9個の解！ • 形が孤立しているものを選ぶと – それぞれ 1 つの作品に 68 / 70
- 70. 全体のまとめ • 虫食算作りは楽しい • コンピュータプログラムとコラボ – 人間の目の付け所を優先的に探索する DFS – 超爆速なソルバーが完成 • 虫食算を解くソフトをほんの少しの修正して、 虫食算作りもできる！ • ソフトは職人の虫食算制作を支援するツール 70 / 70