Luận văn: Dạy và học phân số ở bậc tiểu học Lào, HOT, 9đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Saysopha Vatthana
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở
BẬC TIỂU HỌC LÀO
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Saysopha Vatthana
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở
BẬC TIỂU HỌC LÀO
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người Hướng Dẫn Khoa Học
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành cảm ơn, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại
học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người đã mang lại cho chúng tôi những tri
thức, những kinh nghiệm quí báu về tư duy, kiến thức Didactic Toán và hợp đồng
Didactic Toán, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành Luận văn
đúng thời hạn.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh,
Khoa Toán - Tin, Phòng Khoa học công nghệ - sau đại học trường Đại học sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian
học tập, nghiên cứu và làm Luận văn.
Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy, hướng
dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành “ Lý luận và phương pháp dạy học
môn bộ Toán ”.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp học Didactic Toán
trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh thì giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Do điều kiện thời gian và năng lực, chắc chắn Luận văn còn nhiều khiếm
khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồng nghiệp góp ý để
Luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn.
TÁC GIẢ
SAYSOPHA VATTHANA

0
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
I. Lý do chọn đề tài......................................................................................................... 1
II. Mục đích nghiên cứu................................................................................................... 2
III. Khung lý thuyết tham chiếu ........................................................................................ 2
IV. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................. 2
CHƯƠNG I................................................................................................................ 3
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC VIỆT
NAM 3
I. Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam..................................... 3
II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học......................................... 5
1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học................................5
2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng .............20
III. Kết luận chương I...................................................................................................... 25
CHƯƠNG 2. ............................................................................................................ 26
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ ........................................................................................ 26
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC LÀO.................................................... 26
I. Nội dung sách giáo khoa Lào.................................................................................... 26
II. Kết luận chương II..................................................................................................... 44
CHƯƠNG III........................................................................................................... 45
THỰC NGHIỆM..................................................................................................... 45
I. Mục đích của thực nghiệm ........................................................................................... 45
II. Tổ chức thực nghiệm................................................................................................... 45
III. Phân tích tiên nghiệm................................................................................................. 46
IV. Phân tích hậu nghiệm................................................................................................. 56
1. Mô tả thực nghiệm.....................................................................................56
2. Phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm ................................................56
V. Kết luận chương III.................................................................................................... 59
KẾT LUẬN.............................................................................................................. 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 61

1
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY VÀ
HỌC PHÂN SỐ Ở BẬC TIỂU HỌC LÀO
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Phân số chiếm một vi trí quan trọng trong chương trình toán ở trường tiểu
học và là kiến thức không thể thiếu được trong đời sống. Tuy nhiên thực tế dạy
học chỉ ra rằng, trong các đối tượng tri thức gắn liền với phân số như các phép
tính phân số, so sánh phân số luôn đặt ra những khó khăn cho học sinh.
Chẳng hạn :
- khi so sánh hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện
2 2
5 3

- khi cộng hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện
2 1 3
5 3 8
 
Như vậy, việc nghiên cứu về dạy học phân số ở trường tiểu học trở nên thực
sự cần thiết, vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá
trình truyện thụ tri thức gắn liền với phân số, phép tính các loại phân số, và như
vậy những khó khăn của học sinh trong việc học tập khái niệm này.
Ở nước Lào dã có những chiến lược đổi mới chương trình, nội dung giáo
dục và phương pháp giảng dạy cho giáo viên. Nhưng trong chương trình hiện
tại thì chương trình SGK vẫn đang trong giai đoạn triển khai biên soạn và thử
nghiệm.
Chúng tôi nghĩ rằng việc nghiên cứu về đối tượng phân số đặc biệt là
phép tính và so sánh phân số sẽ cho hiểu rõ hơn điều kiện và ràng buộc trên đối
tượng này trong thể chế dạy học tiểu học Lào.
Vì vậy, việc nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi học về phân số
là điều cần thiết. không những giải thích được thực tế dạy học các phân số và
cải thiện việc dạy này mà cung cấp những hiểu biết sư phạm về đối tượng này
cho nhà soạn chương trình và viết sách, nhất là trong bối cảnh đổi mới sách
giáo khoa Lào hiện nay.

2
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài này là nghiên cứu sách giáo khoa bậc tiểu học của
nước Lào, về việc giảng dạy và học về phân số, tài liệu hướng dẫn của giáo
viên, một số tài liệu khác và quan trọng nhất là thực tế giảng dạy phân số ở bậc
tiểu học để trả lời những câu hỏi sau đây:
1. Phân số đã được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán
tiểu học ở những lớp nào? Phân số được giới thiệu trong chương trình
sách giáo khoa bậc tiểu học như thể nào ?
2. Những sai lầm thường gặp của học sinh Lào khi học về phân số ?
Chúng xuất phát từ những nguyên nhân nào ?
3. Làm thể nào để khắp phục những khó khăn đó ?
III. Khung lý thuyết tham chiếu
Cơ sở lý luận của luận văn này chủ yếu đựa vào:
 Lý thuyết nhân chủng học.
 Hợp động Đidactic
 Lý thuyết tình huống
IV. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:
 Tổng kết về mối quan hệ thế chế với đối tượng phân số đã được nghiên cứu
ở Việt Nam.
 Phân tích chương trình sách giáo khoa toán và các tài liệu của giáo viên về
việc giảng dạy phân số bậc tiểu học của nước Lào. Nhằm xác định mối quan
hệ của thế chế với đối tượng phân số. Phân tích này sẽ cho phép thấy rõ các
ràng buộc thế chế và hợp đồng thế chế liên quan đến việc giảng dạy phân
số.
 Xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm nghiên cứu ứng xử và khó
khăn của học sinh trong việc học phân số.

3
CHƯƠNG I
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU
HỌC VIỆT NAM
Trong chương này chúng tôi tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của
Dương Hữu Tòng (2012)
I. Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam
Giáo trình Đỗ Đình Hoan đề cập các nội dung sau :
* Hình thành khái niệm phân số
Ở Tiểu học, khái niệm phân số được xây dựng theo hướng sau: số biểu
thị một cặp số tự nhiên(a, b), trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị
và a chỉ số phần bằng nhau lấy ra, được rồi là phân số. Số đó được biểu diễn
dưới dạng
Ở SGK Toán 4 còn giới thiệu còn nêu lên mối quan hệ giữa khái niệm
phân số với phép chia hai số tự nhiên. Như vậy, bao giờ cũng có thể dùng phân
số để ghi lại kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0.
Điều này cho phép coi một số tự nhiên là phân số có mẫu số là 1.
Việc xây dựng số mới có dạng ( 0)
a
b
b
= ≠ như trên làm cho các phương
trình có dạng ( 0)b x a b× = ≠ luôn luôn có nghiệm.
* Tính chất cơ bản của phân số
Giáo trình đề cập hai tính chất cơ bản của phân số:
- “Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho”
- “Nếu ta nhân hay chia số bị chia và số chia của một phép chia với cùng
một số tự nhiên khác 0 thì giá trị của thương vẫn không thay đổi”.
* Rút gọn phân số
Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm ước số, ước số chung,
ước số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Rút gọn phân số” được mô
hình như sau:

4
Phân số đã cho là
a
b
. Phân số phải tìm
c
d
sao cho:
à d
c a
d b
c av b

=

 < <
* Qui đồng mẫu số các phân số
Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm bội số, bội số chung, bội
số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Qui đồng mẫu số các phân số”
được mô hình như sau:
Các phân số đã cho là
a c
b d
= . Các phân số được qui đồng là à
m n
v
p p
sao
cho:
a m
b p
= mà a < m và b < p;
c n
d p
= mà c < n và d < p.
Chú ý: Việc qui đồng mẫu số các phân số chỉ tiến hành trên các phân số
có mẫu số bé hơn hoặc bằng 10.
• So sánh các phân số
• So sánh hai phân số cùng mẫu số
Nhờ phương tiện trực quan, việc so sánh hai phân số được quy về việc
so sánh hai tử số như cách so sánh hai số tự nhiên.
* So sánh phân số với 1
Viết số 1 thành phân số có tử số và mẫu số đều bằng mẫu số của phân
số, rồi so sánh hai phân số có cùng mẫu số. Nhưng ì tử số của phân số biểu thị
số 1 bằng mẫu số của phân số đã cho, nên việc so sánh phân số với 1 được quy
về so sánh tử số với mẫu số của phân số đã cho.
* So sánh hai phân số khác mẫu số
- Hướng giải quyết:
+ Qui đồng mẫu số hai phân số đã cho.
+ So sánh hai phân số cùng mẫu số đã qui đồng (so sánh hai tử số).
Từ đó rút ra kết luận về so sánh hai phân số đã cho.
Cộng trừ hai phân số
Giáo trình đề cập như sau:
- Cộng hai phân số cùng mẫu số. Tổng nhiều phân số cùng mẫu số. Tổng
của số tự nhiên và phân số, hoặc tổng của phân số và số tự nhiên.

5
- Cộng hai phân số khác mẫu số.
- Trừ hai phân số cùng mẫu số, trừ hai phân số khác mẫu số, số tự nhiên
trừ đi phân số, phân số trừ đi số tự nhiên.
Nhân hai phân số
Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép nhân phân số với số tự nhiên,
trên cơ sở đó chuyển thành phép nhân phân số với phân số. Chẳng hạn,
1 1 3 3
3 .
4 4 1 4
× = × =
- So sánh, đối chiếu: tử số của phân số chỉ kết quả của phép nhân với tử
số của hai phân số; mẫu số của phân số chỉ kết quả phép nhân các mẫu số của
hai phân số trong các phép nhân.
- Nêu kĩ thuật nhân hai phân số: tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số.
- Qui tắc này có thể mở rộng cho việc nhân nhiều phân số.
Chia hai phân số
Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép chia phân số cho số tự nhiên,
trên cơ sở đó chuyển thành phép chia phân số cho phân số. Chẳng hạn:
1
3
2
÷
rồi viết thành
1 3
2 1
÷
Bằng phương tiện trực quan, HS nhận thấy rằng:
1 1
3
2 6
÷ = . Hình thức
hóa:
1 1 1 1
3
2 2 3 6
÷ = × = Sau đó, nêu quy tắc tổng quát.
* Các tính chất của phép toán trên phân số
Vì tập hợp phân số là sự mở rộng tập hợp số tự nhiên nên mọi tính chất
phép toán trên số tự nhiên đều áp dụng được trên phân số. Trong SGK, các tính
chất này được đưa vào phần luyện tập thực hành. Chẳng hạn:
- Tính chất giao hoán của phép cộng, của phép nhân.
- Tính chất kết hợp của phép cộng, của phép nhân.
- Một tổng nhân một số, một số nhân một tổng
II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học
1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học

6
a. Cách hình thành khái niệm phân số trong SGK
SGK hình thành khái niệm phân số như sau:
Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói: Đã
tô màu vào năm phần sáu hình tròn.
Ta viết:
5
6
, đọc là năm phần sáu. Ta gọi
5
6
là phân số.
Phân số
5
6
có tử số là 5, mẫu số là 6.
Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu gạch ngang. Mẫu số cho biết hình
tròn được chia thành 6 phần bằng nhau.
Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng
nhau đã được tô màu.
SGK giới thiệu khái niệm phân số qua việc chia cái toàn thể thành b
phần bằng nhau.
Sau đó, lấy a phần trong tổng số b phần đó. Như vậy có được phân số
a
b
. Cách trình bày này phù hợp với cách được đề cập trong các giáo trình
phương pháp dạy học Toán.
Ngoài ra, SGK còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu
số thông qua nhận xét sau: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số tự
nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch
ngang”. Chúng ta thấy xuất hiện ở đây một quy tắc (R1) của hợp đồng didactic:
Khi tính toán với các phân số, HS không có trách nhiệm kiểm tra mẫu số khác
0, nhưng HS có nhiệm vụ phải đưa ra một kết quả theo yêu cầu của bài toán.
Có lẽ cũng vì ảnh hưởng của hợp đồng này mà SG 2006 đưa ra chú ý như sau:
“GV chỉ nên cho HS nhận biết phân số có tử số và mẫu số đều là số tự nhiên,
mẫu số phải khác không. Chưa nên giải thích gì thêm”.
Ngoài ra, SGK còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia của hai
số tự nhiên mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ
TỰ NHIÊN”:
“Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần
của cái bánh”.

7
SGK trình bày:
3
3 4
4
÷ = .
Đến đây, ta thấy được cách giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách
mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ
toán học.
Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra tình huống như trên có từ thực tiễn
cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia không hết. Chứng tở, trong thực
tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh khái niệm số mới – phân số.
Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: Khái niệm phân số ra đời cho phép thực
hiện mọi phép chia thông qua nhận xét sau trong SGK: “Thương của phép chia
số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số
bị chia và mẫu số là số chia”. Ngầm ẩn sau đó, phân số ra đời còn có một ý
nghĩa khác. Nó cho phép mọi phương trình đại số dạng a x b× = luôn có
nghiệm. Thêm ào đó, nhận xét này cho chúng ta thấy một quy tắc (R2) của hợp
đồng didactic: Có thể coi dấu gạch ngang của phân số như dấu chỉ phép chia
(:).
Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu lên mối quan hệ của một phần tử của tập
N với tập số Q*
: “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số
tự nhiên đó à có mẫu số bằng 1”. Mối quan hệ sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi thực
hiện các phép tính sau này.
- Tiếp đó, cần dạy HS tính chất cơ bản của phân số, SGK trình bày chủ
đề: phân số bằng nhau. Kiến thức này rất cần thiết cho việc học quy đồng mẫu
số các phân số, so sánh hai phân số, làm tính ới các phân số. Phân số bằng nhau
được tác giả giới thiệu qua mô hình trực quan:
- Chia hai băng giấy bằng nhau. Băng giấy thứ nhất được chia thành 4
phần, lấy 3 phần. Băng giấy thứ 2 được chia thành 8 phần, lấy 6 phần.

8
Ta được
3 6
4 8
= , với nhận xét rằng:
3 2 6
4 2 8
×
=
×
;
6 2 3
8 2 4
÷
=
÷
. Rút ra kết luận:
3 6
4 8
= .
Và SGK cũng giới thiệu nhận xét: “Nếu nhân hay chia tử số à mẫu số
của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được phân số bằng phân
số đó”. Kết luận này cho HS một quy tắc (R3) ngầm ẩn của hợp đồng didactic:
Để tìm một phân số bằng một phân số đã cho, có thể nhân hay chia tử số à mẫu
số của một phân số đó với cùng một số tự nhiên khác 0. Điều này được thấy rõ
qua việc phân bố bài tập trong SGK. Có tới 3 bài tập gồm nhiều câu có liên
quan đến kết luận trên. Có thể nói rằng, nhờ quy tắc này mà HS có được điều
kiện thuận lợi để giải quyết các bài tập có liên quan đến dạng toán này.
Khác với SGK 2003, SGK hiện hành đưa thêm hai nội dung có liên
quan đến phân số là rút gọn và quy đồng mẫu số các phân số.
Bên cạnh được học so sánh hai phân số cùng mẫu số, HS cũng được học
so sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số. Vì ở
tiểu học, HS chưa được học ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất nên để
tìm mẫu số chung ta chỉ việc nhân hai mẫu số với nhau.
Nhận xét:
Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. Khi đó nó chỉ
được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các tình huống. Trong khi
đó, ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là một “đối tượng” tường minh. HS
chính thức được tìm hiểu nó qua các hình thành, nghiên cứu các tính chất cơ
bản. Từ đó, phân số trở thành “công cụ tường minh” để giải quyết các kiểu
nhiệm vụ bên dưới đây.
b. Tổ chức toán học liên quan đến khai niệm phân số
Kiểu nhiệm ụ T1: “Tìm phân số bằng phân số đã cho”
SGK đề cập nhiều bài tập có liên quan T. Chẳn hạn, câu B bài tập 1 như
sau:
2 18 3 56 3
; ; ;
3 8 60 32 4 4 16
= = = =
* Đặc trưng của nhiệm vụ: phân số mới cần tìm được cho mẫu số hay tử
số.

9
Kĩ thuật 1:
+ Nếu phân số mới cho biết mẫu số, tìm số để mẫu số của phân số thứ
nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với mẫu số của phân số thứ hai.
Sau đó, nhân (hoặc chia) tử số của phân số thứ nhất với số vừa tìm được
để có được tử số của phần số thứ hai.
+ Ngược lại, nếu phân số mới cho biết tử số, tìm số để tử số của phân số
thứ nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với tử số của phân số thứ hai.
Sau đó, nhân (hoặc chia) mẫu số của phân số thứ nhất với số vừa tìm
được để có được mẫu số của phân số thứ hai.
Công nghệ θ 1: Yếu tố công nghệ của kiểu nhiệm vụ này được để cập
tường minh trong SGK ở trang 111:
* Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự
nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
* Nếu chia hết tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự
nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Kiểu nhiệm vụ T2: “Rút gọn phân số”
Một ví dụ cho kiểu nhiệm vụ được tình bày trong SGK:
Ví dụ 2: Rút gọn phân số
18
54
Ta thấy: 18 à 54 đều chia hết cho 2, nên
18 18 2 9
54 54 2 27
÷
= =
÷
9 và 27 đều chia hết cho 9, nên:
9 9 9 1
27 27 9 3
÷
= =
÷
1 và 3 không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1, nên
1
3
là phân số tối
giản.
Vậy:
18 1
54 3
=
Kĩ thuật 2: được nhắc đến một cách rõ ràng ở trang 113, SGK, như sau:
Khi rút gọn phấn số có thể làm như sau:

10
* Xét xem tử số à mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.
* Chia tử số à mẫu số cho số đó.
Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.
Công nghệ 2θ : Hai phân số bằng nhau
Lý thuyết O2: Yếu tố công nghệ 1θ sẽ là yếu tố lý thuyết để giải thích
cho công nghệ 2θ
Kiểu nhiệm vụ T3: “Quy đồng mẫu số hai phân số”
Sau đây là đoạn trích trong SGK
Nhận xét: Khi quy đồng mẫu số hai phân số
1 2
à
3 5
v .
* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số
1
3
nhân với mẫu số của phân số
2
5
* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số
2
5
nhân với mẫu số của phân số
1
3
* Đặc trưng của kiểu nhiệm ụ: hai mẫu số không chia hết cho nhau hoặc
một trong hai mẫu số có mẫu số này chia hết cho mẫu số kia.
Kĩ thuật 3aτ : đặc trưng cho hai phân số có mẫu số không chia hết cho
nhau, được trình bày tường minh trong SGK:
Khi quy đồng mẫu số hai phân số ta có thể làm như sau:
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số
thứ hai.
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ
nhất.
Khi một trong hai mẫu số chia hết cho mẫu số còn lại, ta có một kĩ thuật
3bτ như sau:
Giả sử phân số thứ hai có mẫu số chia hết cho mẫu số của phân số thứ
nhất.
* Tìm số sao cho mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số đó bằng mẫu
số của phân số thứ hai
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số vừa tìm được để
được phân bố mới có mẫu số phân số thứ hai. Giữ nguyên phân số thứ hai.

11
Để hiểu rõ hơn về kĩ thuật 3bτ , chúng tôi xin trích dẫn một ví dụ trong
SGK
Ví dụ: Quy đồng hai phân số
7 5
à
6 12
v
Ta thấy: mẫu số của phân số
5
12
chia hết cho mẫu số của phân số
7
6
(12 :
6).
Ta có quy đồng hai phân số
7 5
à
6 12
v như sau:
7 7 2 14
6 6 2 12
×
= =
×
và giữ nguyên
phân số
5
12
Công nghệ 3θ : Mẫu số chung của hai phân số, hai phân số bằng nhau.
Lý thuyết O3: Phép nhân hai số tự nhiên, tính chất cơ bản của phân số.
Kiểu nhiệm vụ T4: “So sánh hai phân số”
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số có cùng mẫu số, hai phân số
có cùng tử, hai phân số khác mẫu số.
Dựa trên đặc trưng trên, chúng tôi chia thành 3 kiểu nhiệm vụ nhỏ như
sau: So sánh hai phân số cũng mẫu số, so sánh hai phân số khác mẫu số, so
sánh hai phân số cùng tử số.
Kiểu nhiệm ụ T4a: “So sánh hai phân số cùng mẫu số”
Chúng tôi đưa ra một ví dụ trong SGK đại diện cho kiểu nhiệm vụ:
Ví dụ: So sánh hai phân số
2 3
à
5 5
v
Kĩ thuật 4aτ được trình bày tường minh trong SGK như sau:
Muốn so sánh hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần so sánh hai tử số: phân số
nào có tử số bé hơn thì bé hơn; phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn; nếu tử
số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Công nghệ 4aθ : được trình bày trong SGK:
Trong hai phân số cùng mẫu số:
* Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
* Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
* Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

12
Lý thuyết O4a: Cách hình thành khái niệm phân số, so sánh hai số tự
nhiên.
Kiểu nhiệm ụ T4b: “So sánh hai phân số khác mẫu số”
Một ví dụ đại diện cho kiểu nhiệm vụ này được làm rõ trong SGK:
Ta có thể so sánh hai phân số
2 3
à
3 4
v
* Quy đồng mẫu số hai phân số
2 3
à
3 4
v
2 2 4 8
3 3 4 12
×
= =
×
;
3 3 3 9
4 4 3 12
×
= =
×
* So sánh hai phân số cùng mẫu số: ( )
8 9
ì 8 9
12 12
v< <
* Kết luận:
2 3
3 4
<
Kĩ thuật 1cdτ : chia đối tượng. Chẳng hạn, so sánh hai phân số
2 3
à
3 4
v
Nhìn trên hình vẽ ta thấy: phần tô màu chỉ phân số
3
4
nhiều hơn phần tô
màu chỉ phân số
2
3
, nên
2 3
3 4
< .
Công nghệ - lý thuyết 1cdθ : phần tô màu chỉ phân số
3
4
nhiều hơn phần tô
màu chỉ phân số
2
3
, nên
2 3
3 4
< .
Công nghệ - lý thuyết 1cdθ : phần tô màu chỉ phân số nào nhiều hơn lớn
hơn thì lớn hơn. So sánh diện tích của hai hình.
* Nhận xét:
Rõ ràng, kĩ thuật này mang đến cho HS tính trực quan cao. Tuy nhiên,
kỹ thuật này không cho phép HS giải quyết bài toán có phân số không thực sự à

13
mẫu số của phân số lớn. Thật vậy, khi mẫu số của phân số càng lớn thì học sinh
sẽ gặp khó khăn trong việc chi nhỏ đối tượng. Tóm lại, cách giải này có tính
trực quan, cho phép dự đoán kết quả,nhưng chưa góp phần giải quyết chung
cho mọi cặp phân số khác mẫu số.
Kĩ thuật qdmτ được phát biểu trong SGK như sau:
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai
phân số đó, rồi so sánh tử số của hai phân số mới.
Công nghệ 4b: Quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng
mẫu số
Lý thuyết O4b: Hai phân số bằng nhau, cách hình thành khái niệm phân
số, so sánh số tự nhiên.
* Nhận xét:
- Kĩ thuật qđm cho phép HS giải quyết chung bài toán đối với mọi cặp
phân số khác mẫu số. Đây cũng là cách giải mà SGK mong muốn HS cần nắm
vững. Kĩ thuật này đòi hỏi phải liên hệ kiến thức đã học trước đó: quy đồng
mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số.
- Quá trình HS huy động các kiến thức đã học và có liên quan đến vấn
đề cần giải quyết không chỉ giúp HS làm quen với cách giải quyết một vấn đề
của bài học mà còn giúp HS nhận ra sự cần thiết phải chuẩn bị các kiến thức
trước đó. Đó chính là logic của chương trình SGK Toán 4. Chẳng hạn, để dạy
bài: “So sánh hai phân số khác mẫu số” thì phải chuẩn bị trước “Quy đồng mẫu
số hai phân số” và “So sánh hai phân số cùng mẫu số”. Đây cũng là
Từ
8
7
1
7
8
>>>
7
8
:cóta
8
7
1và
Qua đoạn trích trên chúng tôi đề xuất một kỹ thuật sslτ khi so sánh hai
phân số mà có một phân số lớn hơn 1 và phân số còn lại nhỏ hơn 1.
Kỹ thuật sslτ :
Đem so sánh hai phân số đó với 1. Phân số nào lớn hơn 1 thì phân số đó
lớn hơn phân số còn lại.
Công nghệ sslθ : phân số lớn hơn 1, phân số nhỏ hơn 1.

14
Lý thuyết sslθ : Tính chất bắc cầu của tập số Q*
* Nhận xét:
Kỹ thuật này chỉ cho phép giải quyết một phần của bài toán trong trường
hợp
d
c
b
a
<<1 . Cụ thể nó không được sử dụng trong trường hợp
1,1, <>
d
c
b
a
và
d
c
b
a
. Ngoài ra chúng tôi nhận thấy kỹ thuật này được đưa ra
thông qua một bài tập trong SGK mà không được dạy qua phần hình thành kiến
thức mới của bài học.
Kiểu nhiệm vụ T4c : “So sánh hai phân số cùng tử số”
Nói chung, kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong phần hình
thành kiến thức mới như hai kiểu nhiệm vụ trên. Nó chỉ được nhắc đến thông
qua bài tập 3 SGK:
Kỹ thuật qdrτ :
- So sánh hai mẫu số của hai phân số
- Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
Công nghệ qdrθ được trình bày dưới dạng in nghiêng trong sách giáo
khoa như một ghi nhớ mà học sinh cần thuộc:
Trong hai phân số có tử số bằng nhau, phân số nào có tử số bé hơn thì
phân số đó lớn hơn.
Nhận xét trên cho thấy một quy tắc (R4) của hợp đồng didactic: Khi so
sánh hai phân số khác mẫu số thì có thể quy đồng tử số của chúng rồi so sánh
các mẫu số.
Lý thuyết qdtΘ ta biết tính chất sau: Với a,b,c là các số tự nhiên khác 0 và
b>c thì ,
11
cb
< cũng suy ra được
c
a
b
a
< . Yếu tố lý thuyết khá trừu tượng so với
học sinh tiều học. Do đó nó khong được nhắc đến trong SGK cũng như SGV.
Kiểu nhiệm vụ T5 : “Sắp xếp các dãy phân số theo thứ tự từ bé đến
lớn”
Bài tập 3: So sánh hai phân số có cùng tử số:
b) So sánh hai phân số
11
8
và
14
9
và
9
8
;
11
9

15
Sau đây là một ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ này. Nó được trình
bày tróng SGK:
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: các phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số.
* Kỹ thuật 5τ :
- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không
- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì sắp xếp các phân số được quy về
như là sắp xếp các tử số.
-Nếu các phân số không cùng mẫu số thì phải quy đồng mẫu số. Sau đó
tiếp tục thực hiện như bước 2.
* Công nghệ 5θ : So sánh hai phân số cùng mẫu số, so sánh hai phân số
không cùng mẫu số.
* Lý thuyết 5Θ : Quan hệ thứ tự của cấp số Q*
Kiểu nhiệm vụ T6: “Cộng hai phân số”
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ hai phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số.
* Kỹ thuật 6τ :
- Nếu các phân số cùng mẫu số thì ta cộng hai tử số với nhau và giữ
nguyên mẫu số.
- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân
số đó rồi cộng hai phân số đó.
Bài tập 4: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn:
4
3
;
6
5
;
7
5
;
7
4
;
7
6
)
3
2
b)a
Bài tập 1: SGK: Tính
25
7
25
35
8
7
4
5
5
3
3
2
) ++++ d)
8
3
c)
4
3
b)a

16
Kỹ thuật 6τ được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 126, 127.
* Công nghệ 6θ : Cộng hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số.
* Lý thuyết 6Θ : Định nghĩa phép cộng trên tập số Q*
Kiếu nhiệm vụ T7 “Cộng một số tự nhiên với một phân số” hoặc
“Cộng một phân số với một số tự nhiên”
*Kỹ thuật 7τ :
- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1
- Sau đó, quy về cộng hai phân số không cùng mẫu số.
* Công nghệ 7θ : Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số
là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, cộng hai phân số không cùng mẫu số.
* Lý thuyết 7Θ : Mối quan hệ giữa 1 phân tử thuộc tập N và tập Q*, định
nghĩa phép cộng trên tập số Q*.
Kiểu nhiệm vụ T8 : “Trừ hai phân số”
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số, số bị trừ bao giờ cũng lớn hơn số trừ.
*Kỹ thuật 8τ :
- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì ta trừ các tử số với nhau và giữ
nguyên mấu số.
25
3
2
3) +++
21
12
c)
4
3
b)a
49
12
5
3
4
3
4
7
)
16
7
16
15
) −−−−
49
17
d)
5
9
c)ba
Bài tập 1: SGK {Tr.130}: Tính
5
3
3
2
7
8
8
3
3
1
5
4
) −−−−
3
5
d)c)
6
5
b)a

17
- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân
số, rồi trừ hai phân số đó.
Kỹ thuật 8τ được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 129,
130.
*Công nghệ 6θ : trừ hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số.
* Lý thuyết 6Θ : Định nghĩa phép trừ trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T9 : “ Trừ một số tự nhiên cho một phân số” hoặc “ trừ
một phân số cho số tự nhiên”
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ số bị trừ lớn hơn số trừ.
*Kỹ thuật 9τ được trình bày minh bạch trong sách giáo viên trang 222.
*Công nghệ 9θ : mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử sồ
là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, trừ hai phân số không cùng mẫu số.
* Lý thuyết 9Θ : Mối quan hệ giữa 1 phần tử thuộc tập N và tập Q* định
nghĩa phép trừ trên tấp số Q*
Kiểu nhiệm vụ T10: “Nhân hai phân số”
*Kỹ thuật 10τ được trình bày tường minh trong SGK ở trang 132. Muốn
nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mấu số nhân với mẫu số.
*Công nghệ 10θ : được trình bày thông qua gợi ý cách giảng dạy cho GV
thông qua đoạn trích sau trong SGK:
- GV gợi ý để HS: Từ phần trên, ta có diện tích hình chữ nhật là:
24 2 8
( )
5 3 15
m× = (GV ghi lên bảng).
Bài tập 3: SGK. Tính
3
2
3
2) −−−
12
37
c
3
14
b)5a
Bài tập 1: SGK. Tính
7
1
3
8
2
1
7
6
5
4
) x
8
1
d)x
2
1
c)x
9
2
b)xa

18
Giúp HS quan sát hình vẽ và phép tính trên, nhận xét:
8 (số ô vuông của hình chữ nhật) bằng 4 x2
15 ( số ô vuông của hình vuông) bằng 5 x3.
Từ đó, dẫn dắt đến cách nhân:
4 2 4 2 8
5 3 5 3 15
×
× = =
×
* Lý thuyết 10Θ : Định nghĩa phép nhân trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T11 : “Nhân một số tự nhiên với một phân số”
Bài toán:
Một rổ cam có 12 quả. Hỏi 2/3 số cam trong rổ là bao nhiêu quả cam?
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: số cho ban đầu là một số tự nhiên,
không là một phân số.
*Kĩ thuật 12τ được phát biểu tường minh trong SGK: muốn tìm 2/3 của
số 12 ta lấy số 12 nhân với 2/3.
Qua nghiên cứu kỹ thuật 12τ ta thấy kiểu nhiệm vụ T12 liên hệ mật thiết
với T11.
* Công nghệ 12θ : bài toán tìm một trong các phần bằng nhau của một số.
* Lý thuyết 12Θ : cách hình thành khái niệm phân số, phép nhân trên tập sô Q*
Kiểu nhiệm vụ T13 : “Chia hai phân số”
*Kỹ thuật 13τ được trình bày tường minh trong SGK ở trang 135. Để
thực hiện phép chia hai phân số lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai
đảo ngược.
Qua xem xét kỹ thuật 13τ ta thấy kiểu nhiệm vụ T13 được quy về kiểu
nhiệm vụ T10.
Công nghệ 13θ : Chúng tôi không tìm thấy yếu tố công nghệ để biện
minh cho kỹ thuật trên trong SGK lẫn SGV. Do đó chúng tôi mô hình hóa một
yếu tố công nghệ 13θ bên dưới đây. Ví dụ:
3 5 3 8 24
:
7 8 7 5 35
= × =
Bài tập 2: SGK.Tính
2
1
:
4
3
:
8
5
:
7
3
)
3
1
c)
7
8
b)a

19
Có thể giải thích rõ hơn như sau:
3 3 8 3 8
3 5 3 87 7 5 7 5:
5 5 8 5 87 8 7 5
8 8 5 8 5
x
×
= = × = = ×
Rõ ràng công nghệ trên khá phức tạp và trừu tượng. Do đó nó sẽ rất khó
hiểu đối với đa số HS.
* Lý thuyết 13Θ : Định nghĩa phép chia trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T14 “Chia một số tự nhiên cho một phân số” hoặc
“chia một phân sô cho một số tự nhiên”
*Kỹ thuật 14τ :
- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1.
- Sau đó quy về chia hai phân số.
*Công nghệ 14θ : Mối quan hệ giữa 1 phần tử thuộc tập N và tập Q*,
định nghĩa phép chia trên tập số Q*.
Kiểu nhiệm vụ T15 “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số
đó”
*Kỹ thuật 5τ :
Các bước giải:
- Vẽ sơ đồ.
- Tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
- Tìm hai số.
Qua phân tích SGK và SGV, chúng tôi nhận thấy các lời giải liên quan
đến dạng toán này đều được bắt đầu và đây cũng là một quy tắc (R5) ngầm ẩn
của hợp đồng didactic: Khi giải các bài toán: “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu)
Bài tập 2: (Luyện tập) SGK. Tính
6
1
:c)5
3
1
:b)4a
7
5
:3)
Bài tập 2 (Luyện tập chung) SGK. TÍnh
4:5:3:
7
5
)
3
2
c)
2
1
b)a

20
và tỉ số của hai số đó” thì sơ đồ vẽ “số phần bằng nhau của hai số cần tìm” là
một phần của lời giải.
2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng
HS khi có bước chuyển dạy học số tự nhiên sang dạy học khái niệm
phân số.
Các khó khăn, sai lầm liên quan đến các kiểu nhiệm vụ của phân số và
những nguyên nhân có thể.
a) Kiểu nhiệm vụ T1: “Tìm phân số bằng phân số đã cho”
Ví dụ:
63
2 Ο
= . HS có thể đưa ra lời giải là 4. HS thường tìm số soa cho
số đó cộng với 3 sẽ bằng 6. (3+□=6) và sau đó cộng tử số với phân số vằ tìm
được để có số cần tìm. (3+2=5). Hay nói khác đi, để tìm một phân số mà bằng
với phân số đã cho các em thường suy luận “cộng” hơn là suy luận “nhân”.
b) Kiểu nhiệm vụ T4 “So sánh hai phân số” và Kiểu nhiệm vụ T5 :
“Sắp xếp dãy các phân số theo thứ tụ từ bé đến lớn”
Nói chung, hai kiểu nhiệm vụ này có thể được gọi tắt là sắp thứ tự độ
lớn của các phần số. Một quan niệm sai lầm của nhiều HS là các phân số có tử
số và mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Đôi khi việc so sánh các phân số mà chỉ xem xét đến việc so sánh các
mẫu số của các phân số. Điều này có thể giải thích được là do HS xem tử số và
mẫu số của một phân số như hai số tự nhiên không liên hệ gì nhau.
Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:
9
2
;
3
2
;
5
2
Câu trả lời có thể của HS là:
9
2
;
5
2
;
3
2
. Chúng tôi dự đoán sẽ có nhiều
học sinh mắc sai lầm như thế. Lý do có thể khiến HS làm như vậy là do các em
có khuynh hướng chọn phân số lơn hơn phân số kia làm mẫu số lớn hơn.Hay
nói khác đi, tồn tại ở HS một định lý hành động chưa chính xác: Nếu b<c thì
a/b<a/c.
Ngoài ra chung tôi cũng dự đoán một khó khăn sai lầm khác của các em
khi tiếp cận bài tập so sánh các phân số. Chẳng hạn, hãy cho 5 số x sao

21
cho:
5
4
5
2
<< x lý do các em đã quen với việc so sánh các số tự nhiên liền sau
nên các em áp dụng “quan niệm” này vào bài tập trên. Do đó câu trả lời của các
em tìm được một giá trị
5
3
=x thỏa yêu cầu đề bài. Bên cạnh đó các em không
được tiếp cận với trục số mà các giá trị trên trục số là các phân số. Điều này sẽ
hạn chế khả năng của HS trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ trên.
c)Kiểu nhiệm vụ T6 : “Cộng hai phân số”
Qua nghiên cứu kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi dự đoán sẽ có nhiều học
sinh sẽ tiến hành cộng các phân số bằng cách “ trên cộng trên, dưới cộng dưới”
hay theo ngôn ngữ toán học là “tử số cộng tử số, mẫu số cộng mẫu số”. ví dụ:
7
5
4
3
3
2
=+
Chúng tôi cũng đề xuất những nguyên nhân có thể có của sai lầm này:
- Học sinh không xem các phân số để biểu diễn số lượng nhưng quan
niệm hai phân số bao gồm 4 số tự nhiên có thể được kết hợp lại theo cách này
hoặc cách khác. Mỗi phân số được xem là hai số tự nhiên ngăn cách bởi một
đường gạch ngang (-). Do đó, có lẽ chấp nhận được nếu cộng các tử số với
nhau để có tử số của tổng và cộng các mẫu số một cách tương tự.
- Học sinh nhầm lẫn quy tắc cộng hai phân số với quy tắc nhân hai
phân số Trẻ xem việc ứng dụng mô hình nhân các số tự nhiên dẫn đến thành
công trong trường hợp nhân hai phân số. Do đó mô hình này có thể áp dụng
được khi cộng hai phân số với nhau. Hay nói khác đi, các em đã đồng hóa một
thuật toán mới thành một thuật toán đã biết hay tương tự đã có trước đó. Một số
học sinh đã tự thiết kế quy tắc chỉ thích hợp trong một số trường hợp, do đó
quy tắc này không được tổng quát hóa. Các quy tắc này có nguồn gốc đúng
đắn, nhưng học sinh không hiểu sao chúng không đúng cho mọi trường hợp.
- Học sinh xem 4 số tự nhiên trong phép công hai phân số như hai
cặp: tử số với tử số, mẫu só với mẫu số. Do đó các em tin rằng cách thích hợp
để thực hiện phép cộng là cộng các cặp lại với nhau, tức là: tử số cộng tử
số,mẫu số cộng mẫu số. Học sinh xem cách làm này tương tự cách cộng với số
tự nhiên.

22
- Có thể tồn tại ở trẻ một quy tắc hành động không đúng đắn:
db
ca
d
c
b
a
+
+
=+
d) Kiểu nhiệm vụ T8: “Trừ hai phân số”
Tương tự như trường hợp cộng hai phân số, các em bị ảnh hưởng bởi
các phép toán của số tự nhiên khi trừ hai phân số. Ngoài ra trẻ cũng có khuynh
hướng xử lý các tử số và các mẫu số trong các phân số như các số tự nhiên
phân biệt. Do đó câu trả lời có thể của các em như sau:
2
3
3
1
5
4
=− . Nếu các em
thao tác như ví dụ này thì các em thực hiện theo quy tắc không chính xác sau:
db
ca
d
c
b
a
−
−
=−
Một khó khăn của các em khi thực hiện trừ hai phân số khác mẫu số.
Vào lúc đầu, GV đã giới thiệu cho các em quy tắc trừ hai phân số cùng mẫu số,
học sinh dường như có khả năng thực hiện được các phép tính. Khi chuyển
sang trừ hai phân số khác mẫu số khó khăn bắt đầu xuất hiện ở học sinh.
Nhứng lời giải có thể có cho ví dụ trên như sau :
53
3
3
1
5
4
;
3
3
3
1
5
4
;
5
3
3
1
5
4
=−=−=−
Có lẽ học sinh sử dụng thuật toán trừ hai phân số cùng mẫu số cho
trường hợp trên, bên cạnh đó các em còn phải bóp méo một số yếu tố để cho nó
phù hợp tình huống mới. Chẳng hạn , với các lời giải trên, học sinh lấy tử số trừ
tử số nhưng phải giữ lại mẫu số của một trong hai phân số hoặc giữ lại cả hai.
e)Kiểu nhiệm vụ T9: “Trừ một số tự nhiên cho phân số” hoặc “Trừ
một phân số cho một số tự nhiên”
Một quan niệm có thể xảy ra ở học sinh khi các em được yêu cầu thực
hiện kiểu nhiệm vụ T9 các em tin rằng không thể thực hiện được khi trừ một số
tự nhiên cho một phân số. Ví dụ
2
3
2 − là nhiệm vụ tương đối dễ đối với giáo
viên nhưng lại khó đối với học sinh. Bời vì các em chưa có sự hiểu biết đầy đủ
về nguồn gốc mối quan hệ giữa các phân số và số tự nhiên.

23
Nhiều em có thể tỏ ra khó chịu khi thực hiện T9 bỡi lẽ trước đó các em
đã quen với: số tự nhiên trừ số tự nhiên, phân số trừ phân số. Trong tâm trí em
luôn tự hỏi: sao lại có trường hợp số tự nhiên trừ phân số hay phân số trừ số tự
nhiên chứ? Hay nói khác đi, tồn tại một quan niệm ở các em là: “số gì thì trừ số
ấy”
f) Kiểu nhiệm vụ T10 “Nhân hai phân số”
Mô hình thao tác trên các số tự nhiên tuy không cho lời giải đúng khi
cộng, trừ hai phân số nhưng lại đưa đến câu trả lời thích đáng trong trường hợp
nhân hai phân số. Nói như vậy không đồng nghĩa với việc học sinh sẽ không
gặp khó khăn sai lầm khi thực hiện nhân hai phân số.
Để dự đoán được điểu này, chúng tôi đưa ra ví dụ và câu trả lời giả định
như sau:
8 3 7 6 42
7 4 8 8 8
× = × = Do bị ảnh hưởng của các thao tác khi cộng hay trừ
các phân số khác mẫu số học sinh cố gắng biến đổi phân số thứ hai sao cho có
cùng mẫu số với phân số thứ nhất trước khi thực hiện phép nhân.
Nguyên nhân dẫn đến sai làm như trên là do các em đã vận dụng kỹ
thuật của một kiểu nhiệm vụ đã biết vào nhiệm vụ mới không phù hợp. Thêm
vào đó, các em cũng cố gắng “chế biến” để cho phù hợp các điều kiện mô hình
trước đó.
Ngoài ra, chúng tôi cũng dự đoán sẽ tồn tại ở các em một quan niệm
không chính xác về phép nhân như sau: “Tích luôn luôn lớn hơn các thừa số”.
Quan niệm này có được là do các em quen với các phép nhân mà trong đó các
thừa số là các số tự nhiên. Nhưng khi các em làm que với các phép nhân phân
số thì quan niệm trên sẽ là một trở ngại. Chẳng hạn
1 1 1
2 4 8
× =ở đây tích
8
1
hoàn
toàn nhỏ hơn cả ha thừa số
4
1
;
2
1

24
g) Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm phân số của một số”
Chúng tôi thấy được một quy định ngầm ẩn của SGK có liên quan kiểu
nhiệm vụ này là các số mà cần tìm phân số của nó đều là các số tự nhiên.
Chúng tôi không tìm thấy bất kỳ một bài tập nào mà số này là phân số. Chính
vì lẽ đó, chúng tôi dự đoán học sinh sẽ gặp phải khó khăn khi các em tiếp cận
với tịnh huống mà số là phân số.
Chẳng hạn, tình huống dạy học như sau:
Em có một nữa của cái bánh. Em cho bạn ¼ số bánh mà em có. Hỏi em
đã cho bạn bao nhiêu phần của cái bánh.?
h)Kiểu nhiệm vụ T13: “Chia hai phân số”
Có thể nói trong các phép tính đối với phân số, phép chia hai phân số là
phức tạp và khó nhận thức được đối với nhiều học sinh. Bởi lẽ các em thường
được dạy và phải cố găng học thuộc quy tắc “đảo ngược và nhân” – một điều
mà các em bắt buộc nhớ, mau quên và không rõ được nguyên nhân, quy trình
do đâu mà có.
Từ những nhận xét trên, chúng tôi xin trình bày một khó khăn sai lầm
mà học sinh có thể mắc phải như sau:
Ví dụ: Tính
3
1
:
9
2
Lời giải của các em có thể là
3
2
3:9
1:2
3
1
:
9
2
==
Những nguyên nhân có thể dẫn các em đến khó khăn sai lầm như trên:
Do các em quen quan niệm mỗi phân số gồm tử số và mẫu số. nên khi
thực hiện phép chia các em tiến hành “tử số chia tử số, mẫu số chia mẫu số”.
- Thêm vào đó các em đã quen với quy trình nhân hai phân số với
nhau. Vì thế, các em đã vận dụng “quy trình” đó vào chia hai phân số. Có thể
biết được mô hình này chỉ phù hợp cho phép nhân mà không đúng đắn cho
phép cộng, phép trừ, phép chia phân số.
- Các em đã hành động theo quy tắc sai lầm:
db
ca
d
c
b
a
:
:
: =
Một sai lầm khác có thể có trong lời giải của học sinh tiểu học. Nhiều
học sinh nghĩ rằng phép chia chỉ có tính chất giao hoán trên trả lời:
1 1
: 2
4 2
= bởi vì
1 1 1 1 1 4
: : x 2
4 2 2 4 2 1
= = =

25
Hay có một lời giải thích khách cho câu trả lời: 2
2
1
:
4
1
= do các em có
những nhận thức trực giác về phép toàn trên tức “trong phép chia số bị chia
luôn lớn hơn số chia” với lời giải thích : 2
2
1
1
4
2
1
:
4
1
== x nói cách khác, khi
bài toán có những số liệu không phù hợp mô hình đã biết hay kiến thức cũ học
sinh sẽ xử lý bằng cách lựa chọn các phép tính mà các em thường dùng.
Bên cạnh đó, có thể tồn tạo ở trẻ quan niệm “Chia một số nhỏ hơn cho
một số lớn hơn là không thể thực hiện được”. Quan niệm này chỉ phù hợp cho
các phép chia các số tự nhiên. Lý do giải thích cho quan niệm này là các em đã
làm việc quá nhiều với các phép chia có số bị chia lớn hơn số chia ở các khối
lớp 1,2,3. Vì lẽ đó quan niệm này vẫn đồng hành cùng với học sinh khi các em
tiếp cận với phép chia phân số.
Một quan niệm khác cũng tồn tại với quan niệm trên là “thương của
phép chia luôn luôn nhỏ hơn số bị chia”. Câu trả lời của các em đa số là
“thương lớn hơn số bị chia”.Câu tra lời này chỉ đúng khi cac em làm việc với
các số tự nhiên. Nhưng nó sẽ là một vấn đề đối với trẻ khi các em thực hiện
phép chia phân số.
III. Kết luận chương I
Việc phân tích mối quan hệ thể của khái niệm phân số ở bậc tiểu học
Việt nam đã cho phép tác giả Dương Hữu Tongf (2012) chỉ ra một số kiểu
nhiệm vụ và một số ảnh hưởng của số khái niệm số tự nhiên gắn liền với
chúng. Kết quả phân tích đãcho phép tác giả đặt ra một giả thuyết nghiên cứu
sau đây.
Việc họcc tập khái niệm số tự nhiên trong một thời gian dài đã ảnh
hưởng đến học sinh trong khi học phân số và điề này đã kéo theo cho học sinh
một số khó khăn sai lầm khi học phân số.

26
CHƯƠNG 2.
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC LÀO
Theo chương trình mới năm 2009, phân số được bắt dầu dạy từ lớp 3 đến
lớp 5 ở bậc tiểu học của nước Lào.
I. Nội dung sách giáo khoa Lào
Chúng tôi xin dịch và trích dẫn bài đầu tiên giới thiệu phân số trong SGK
Toán 3 của Lào.
Bài 43 Phân số
I. Hoạt động.
1.Phần bôi màu trong hình nào liên quan đến phân số đã cho.
1
2
1
3
1
4
A. a. b. c.
B. a. b. c.
C. a. b. c.
2. Hãy quan sát hình dưới đây và trả lời câu hỏi.
a. b. c.
1.) Mối hình chia ra mấy phần bằng nhau ?
2.) Mối hình có phần bôi màu mấy phần ?
3.) Phần bôi màu mối hính viết phân số nào ?

27
3. Hãy quan sát hình dưới đây và trả lời câu hỏi.
a. b. c.
1.) Mối hình có mấy nhóm ?
2.) Mối hình có mấy nhóm bôi màu đen ?
3.) Nhóm bôi màu đen của mối hình viết bằng phân số nào ?
4. Hãy quan sát hình dưới đây rồi viết phân số cho đúng trên dấu chấm.
a. ……….., b. ………., c. ………..
d. ………., e. ……….., f. ………..
g. ………., h. ……………., i.
………..
5. Hãy quan sát và so sánh phân số bằng dấu >; <; = vào chỗ trống cho đúng.
a.
1
4
b.
2
5
2
4
2
4
1
4
2
4
5
2
2
4
c.
2
3
d.
4
5
6
9
5
6
2
3
6
9
4
5
5
6

28
Nội dung.
Hình này diễn đến phần chia 3 phần bằng nhau. Có phần
bôi màu đen 2 phần. còn phần có màu đen là 2 trong 3 của hình.
2 trong 3 viết bằng
2
3
gọi là hia phần ba.
2 gọi là tử số và 3 gọi là mẫu số.
Chia dấu chấm 6 nhóm bằng nhau, có nhóm
dấu chấm
màu đen 1 nhóm mà bằng 1 trong 6 của tất
cả nhóm.
1 trong 6 viết bằng
1
6
; 1 gọi là tử số và 6
gọi
là mẫu số.
Bài tập:
1.Hãy quan sát hình và viết phân số vào chỗ trống cho đúng.
a. ……….. b.
………..
c. ………. d.
………..
e. ………. F.
………..
2. Hãy sơn màu vào hình cho đúng với phân số.
a.
1
4
b.
3
4
c.
6
2
3. Hãy quan sát phần có màu đen rồi viết phân số vào chỗ trống cho đúng.
a. ………. b. ……….

29
c. ………. d. ……….
e. ………. f. ……….
4. Hãy so sánh phân số và áp dụng dấu >; <; = vào chỗ trống.
a.
1
2
b.
2
4
2
3
1
4
1
2
2
3
2
4
1
4
c.
3
6
d.
2
4
1
3
2
4
3
6
1
3
2
4
2
4
e.
3
5
4
7
Nhận xét :
Như vậy, ngay sau khi giới thiệu khái niệm phân số cũng giống SGK Việt
Nam. và kỹ thuật đầu tiên để so sánh hai phân số sử dụng tính trực quan và về
lâu dài không thể sử dụng để so sánh mọi cặp phân số.
Đến lớp 4 học sinh lại nghiên cứu tiếp phân số với bai đầu tiên như sau :

30
Bài 37 Phân số
I. Hoạt động.
1. Hãy quan sát hình và trả lời câu hỏi.
1
4
1
4
1
4
1
4
Hình trên chia ra mấy phần bằng nhau?
Hãy bôi màu một phần của hình
Phần bôi màu đọc như thế nào?
2.Hãy quan sát hình và trả lời câu hỏi.
Hình trên chia ra mấy phần bằng nhau?
Hãy sơn màu 3 phần của hình
Phần sơn màu dọc như thế nào?
Phần không sơn màu dọc như thế nào?
Phần sơn màu và phần không sơn màu dọc như thế nào?
Nội dung.
Ta có giấy tơ dài 10 cm chia ra 5 phần bằng nhau, mối phần có chiếu dài
2 cm như:
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
Tử số của phân số.
1
5
Đọc là một phần năm.
Mẫu số của phân số.
Bài tập
1.Hãy đọc phân số dưới đây.
1 2 4 3 7 6 7
; ; ; ; ; ;
2 3 5 6 8 7 11
5 4 8 6 15 32 41
; ; ; ; ; ;
6 9 10 13 20 50 49

31
2.Hãy viết bằng phân số.
Năm phần tám. Mười phần mươi ba. Một phần chin.
Bảy phần mười. Sáu phần hai mươi. Mươi bảy phần hai mươi
lăm
Hai mươi mốt phần ba mươi. Năm mươi bảy phần một
trăm.
3.Hãy viết phân số bằng phần có màu của hình dưới đây vào chỗ trống.
a. ……., b. ……….
b. ……….
Nhận xét : SGK nhắc lại nghĩa của phân số đã hình thành ở lớp 3 đồng thời
củng cố cách đọc phân số.
Thứ tự phân số lại được tiếp tục đề cập trong bài 23.
Bài 23 Phân số và chia phân số
I. Hoạt động
1. Hãy quan sát phần giấy tơ và viết vào chỗ trống.
a.Chia giấy tờ 10 phần bằng nhau.
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
Mỗi phần là ……………
b.Chia giấy tờ 3 phần bằng nhau.
1
3
……….. ……….
Mỗi phần là ………….

32
2. Hãy quan sát ví dụ và viết vào chỗ trống cho đúng.
Ví dụ: phân số bằng nhau.
Phần có mau viết bằng
1
4
Phhaanf có màu viết bằng
2
8
Như vậy
1
4
=
2
8
a.
2
3
=
...
6
c.
1
2
=
...
8
e.
2
6
=
...
12
b.
3
4
=
...
8
d.
5
2
=
...
10
f.
4
7
=
....
21

33
3. Hãy quan sát ví dụ và viết vào chỗ trống cho dung.
Ví dụ:
1.)
1
3
2
3
3
3
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
a.)
1
2
= ……, b.)
2
3
= ……., c.)
3
3
= …….
2.)
0
12
1
12
2
12
3
12
4
12
5
12
6
12
7
12
8
12
9
12
10
12
11
12
12
12
a.)
1
6
= …., b.)
5
6
= ….., c.)
3
6
= …..,
d.)
6
6
= ……, e.)
2
6
= ……, f.)
4
6
= ……
4. Hãy viết them con số vào chỗ trống cho đúng.
a.
1 1 ... 3
3 3 ... 9
×
= =
×
b.
2 2 ... 4
5 5 ... 10
×
= =
×
c.
3 3 ... 12
4 4 ... 16
×
= =
×
d.
5 5 ... 15
9 9 ... 27
×
= =
×
II. Nội dung.
0 0
4 8
=
1 2
4 8
=
2 4
4 8
= 3 6
4 8
=
4 8
4 8
=
0
1
0
3
0 1
10
10
0
4
0
8
1
4
2
8
2
4
4
8
3
4
6
8
4
4
8
8

34
- Nếu chia giấy tờ có chiều dài bằng một đơn vị 5 phần bằng nhau, phần có
màu ta viết
1
5
- Chia giấy tờ có chiều đài một đơn vị bằng 8 phần bằng nhau, phần có
màu ta viết
1
8
- Chia giấy tờ 3 phần bằng nhau.
1 1 1
1
3 3 3
+ + =
- Chia giấy tờ 16 phần bằng nhau.
8 5 3 16
1
16 16 16 16
+ + = =
- Phần số bằng nhau.
1
3
=
2
6
Bài tập:
1.Hãy viết phân số bằng phần có màu dưới đây.
a.
...
...
b.
...
...
c.
...
...
d.
...
...

35
e.
...
...
f.
...
...
2.Hãy quan sát ví dụ và viết them vào chỗ troongs cho đúng.
Ví dụ:
6 6 3 2
9 9 3 3
÷
= =
÷
a.
4 4 ... 2
6 6 ... 3
÷
= =
÷
b.
12 12 ... 4
15 15 ... 5
÷
= =
÷
c.
8 8 ... 2
12 12 ... 3
÷
= =
÷
d.
16 16 ... 4
20 20 ... 5
÷
= =
÷
3. Hãy viết con số vào chỗ trống cho đúng.
a.
6 ...
12 6
= b.
14 ...
12 6
= c.
6 ...
8 4
= d.
12 ...
16 8
=
e.
6 ...
30 15
= f.
14 ...
16 8
= g.
20 ...
16 8
= h.
180 ... ...
120 30 6
= =
Nhận xét : Ngoài việc hình thành nghĩa cho khái niệm hai phân số bằng nhau,
bài học này còn đề cập đến phép cộng các phân số với sự hỗ trợ của trực quan.
Các phép cộng và trừ phân số được nghiên cứu tiếp trong các bài học tiếp theo.
Bài 24 Phép chia và phép trừ phân số
I. Hoạt động.
1.Hãy quan sát ví dụ trong câu a.) và tính câu tiếp theo.
a.
3 5 8
10 10 10
+ = b.
2 4
.....
9 9
+ =
c.
2 5
.....
8 8
+ = d.
13 5
.....
12 12
+ =

36
a.
1 2 1 2 3
5 5 5 5
+
+= = b.
7 2
.....
10 10
+ =
c.
3 3
.....
6 6
+ = d.
8 8
.....
20 20
+ =
a.
3
4
1
4
=
2
4
b.
2
4
1
4
= ……….
4. Hãy quan sát ví dụ trong câu a.) và tính câu tiếp theo
a.
5 3 5 3 2
8 8 8 8
−
−= = b.
8 5
.....
9 9
− =
c.
12 17
.....
15 15
− = d.
6 1
.....
16 16
− =
Nội dung:
1. Phép cộng phân số có mẫu số giống nhau, ta cộng tử số với tử số, còn mẫu
số không thay đổi.
ví dụ:
1 2 1 2 3
8 8 8 8
+
+ = =
2. Phép chừ phân số có mẫu số giống nhau, ta trừ tử số với tử số, còn mẫu số
không thay đổi.
Ví dụ:
5 3 5 3 2
7 7 7 7
−
− = =
Bài tập:
1.Hãy tính số và them vào chỗ chấm.
3 4
.....
8 8
+ =
1 5
.....
9 9
+ =
12 12
.....
25 25
+ =

37
7 2
.....
10 10
− =
14 8
.....
16 16
− =
12 8
.....
20 20
− =
2.Hãy cộng và chừ phân số dưới đây.
a.
1 1
.....
5 5
+ = b.
2 5
.....
12 12
+ = c.
7 1
.....
10 10
+ =
d.
7 4
.....
24 24
+ = e.
11 1
.....
12 12
+ = f.
5 1
.....
6 6
− =
g.
4 2
.....
9 9
− = h.
23 7
.....
24 24
− = i.
7 3
.....
16 16
− =
j.
10 5
.....
5 5
− =
Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số (Tiếp)
I. Hoạt động.
1.Hãy quan sát câu a.) và tính câu tiếp theo.
a.
1 1 3
2 4 4
+ = b.
1 1 ...
3 2 6
+ =
b.
1 1 ....
2 5 ....
+ =
2. Hãy quan sát câu a.) và tính câu tiếp theo.
Ví dụ: #
1 5 1 2 5 2 5 7
3 6 3 2 6 6 6 6
×
+ = + = + =
×
#
2 3 2 4 3 3 8 9 17
3 4 3 4 4 3 12 12 12
× ×
+ = + = + =
× ×
a.
1 1
.....
3 6
+ = b.
1 4
.....
2 7
+ = c.
2 1
.....
3 5
+ = d.
3 3
.....
10 4
+ =
3.Hãy quan sát câu a.) và tính câu tiếp theo.
a.
1 1 1
2 4 4
− = b.
1 1 ....
2 3 6
+ =
c.
1 ... ...
2 5 10
− =

38
4. Hãy quan sát ví dụ và tính câu tiếp theo.
Ví dụ:
3 1 3 3 1 5 9 5 4
5 3 5 3 3 5 15 15 15
× ×
− = − = − =
× ×
a.
5 1
.....
8 4
− = b.
3 1
.....
5 2
− =
c.
2 1
.....
5 4
− = d.
2 1
.....
3 5
− =
Nội dung:
Phép cộng hoặc trừ phân số có mẫu số khác nhau trước hết ta phải làm
cho mẫu số giống nhau. Sau đó tính giống nhau với phép cộng hoặc phép trừ
phân số có mẫu số giống nhau.
Ví dụ: a.
1 1 1 1 2 1 2 3
4 2 4 2 2 4 4 4
×
+ = + = + =
×
( Lấy 2 nhân vơi tử số và mẫu số của phân số )
b.
4 2 4 5 2 3 20 6 14
3 5 3 5 5 3 15 15 15
× ×
− = − = − =
× ×
( Lấy 5 nhân vơi tử số và mẫu số của phân số
4
3
;và lấy 3 nhân vơi tử số và
mẫu số của phân số
2
5
).
Bài tập:
1.Hãy tính phân số dưới đây.
a.
13 2
.....
5 3
− = b.
4 5
.....
6 12
− =
c.
2 1
.....
3 4
− = d.
5 1
.....
6 2
− =
e.
11 14
.....
13 26
− = f.
15 29
.....
16 32
− =
g.
7 29
.....
9 18
+ = h.
35 17
.....
3 4
+ =
i.
9 5
.....
7 2
+ = j.
42 21
.....
5 4
+ =
2. Hãy viết vào chỗ trống cho đúng.
a.
6 9 ... 9 ...
13 26 .... 26 ...
+ = + = b.
47 36 .... 36 .....
95 190 190 190 .....
+ = + =

39
c.
17 7 17 .... ....
30 15 30 .... ....
− = − = d.
7 5 .... 5 ....
14 28 28 2 ....
− = − =
Nhận xét : Tuy các kĩ thuật cộng và trừ được minh hoạ bằng các nghĩa hình
học nhưng phần bài tập lại không yêu cầu sự minh hoạ này. Câu hỏi đặt ra là :
các kĩ thuật cộng trừ các số nguyên có ảnh hưởng lên các phép toán trên các số
thập phân hay không ?
Thứ tự trên các số thập phân được chính thức nghiên cứu trong các bài học
sau.
Bài 27.Thứ tự số thập phân và phân số
I. Hoạt động
1.Hãy quan sát hình sau đây và viết phân số hoặc số thập phân vào bảng ô
dưới đây.
2.Hãy sắp xếp số yhaapj phân trong câu a. theo thứ tự từ nhỏ đến lớn vào
bỏng ô dưới đây.
a. b.
3.Hãy viết phân số hoặc số thập phân vào bảng ô cho đúng.
6
10
1
10
1
2
1
4
1
1
0,
1
0,
3
0,
2
1,
25
0,
75
0,
5
1
4
5
4
4
4
0
10
3
10

40
11
10
15
10
20
10
Nội dung:
Nếu muốn sắp hân xếp hai số thập chữ số bằng nhau phải làm như thể này
Trường hợp 1: Quan sát con số thứ nhất sau dấu phẩy của hai con số, nếu
con số nào nhiều hơn là con số đó lớn hơn.
Vi dụ : 6,8 6,1 vì 8 1
6,8 6,4 vì 8 4
Trường hợp 2: Nếu con số thứ nhất sau dấu phẩy của hai con số bằng
nnhau ta so sánh chữ con số thứ 2, thứ 3, … giống như trường hợp 1
Ví dụ : 6,104 6,1029 vì 4 2
Bài tập
1.Hãy viết phân số hoặc số thập phân vào bảng ô cho đúng.
5
10
8
10
10
10
13
10
16
10
20
10
21
10
25
10
Bài 28.Thứ tự số thập phân và phân số ( tiếp )
I. Hoạt động
1.Hãy áp dụng dấu =, <; > để so sánh phân số dưới đây.
0,1 0,4 0,8
1,3 1,7
2
10
0,3 0,6 1
1,7
1,2
2 2,3 2,7

41
Vi dụ: ;
1
3
=
2
6
1
3
=
2
3
;
3
4
……..
2
4
2
4
=
4
8
;
4
8
……..
10
16
6
16
…..…
8
18
2.Hãy quan sát ví dụ và viết con số vào chỗ dáu chấm cho đúng.
Ví dụ:
1 2
5 10
=
1 1 2 2
5 5 2 10
×
= =
×
( Lấy 2 nhân với tử số và mẫu số của phân số
1
5
)
1 ...
4 8
= ;
1 ...
3 6
= ;
1 ...
7 21
= ;
2 ...
3 6
= ;
3 ...
5 15
= .
3.Hãy viết phân số dưới dây trên đoạn thẳng .
a.
2 4 7 10 13 17 23
; ; ; ; ; ;
4 5 4 4 4 4 4
4
4
8
4
12
4
16
4
20
4
24
4
b.
8 4 10 13 17 25
; ; ; ; ;
10 10 10 10 10 10
Nội dung:
1. so sánh phân số.
0 1 2 3 4 5
0
6
0 1 2 3

42
a. Nếu mẫu số bằng nhau, phân số có tử số nhiều hơn sẽ nhiều hơn.
Ví dụ:
1 2
3 3
< ;
2 4
7 7
<
b. Nếu mẫu số không bằng nhau, ta sẽ tính phân số cho mẫu số bằng
nhau trước sau đó so sánh lại.
Ví dụ: Nếu cần so sánh
3
5
với
27
25
- Tính phân số có mẫu số bằng nhau: lấy 5 nhân với tử số và mẫu số của
phân số
3
5
.
3 3 5 15
5 5 5 25
×
= =
×
- So sánh tử số :
15 17
25 25
<

3 17
5 25
<
2.Sự đánh giá phân số trên đoạn thẳng có nhiều cách .
Ví dụ: Muốn đánh giá phân số
14
3
trên đoạn thẳng ta làm như thế này:
a. Chia 14 cho 3 và tìm thương số đúng hoặc cần đúng nhất. sau đó
đánh giá thương số trên đoạn thẳng.
b. Chia 14 cho 3, tìm thương số là số nguyên và viết số lẻ trông mo
hình của phân số.
14 chia 3 thương số là 4; số lẻ là 2 ta được:
14
3
Bài tập: b
1.Hãy áp dụng dấu <;.> để so sánh phân số dưới đây.
1 2
..........
5 5
;
4 3
..........
5 5
;
4 1
..........
3 7
;
6 8
..........
14 14
.
3 7
..........
25 25
;
6 4
..........
10 10
;
12 14
..........
19 19
;
13 18
..........
32 32
.
0 1 2 3 4 5
4,666
0 1 2 3 4 5

43
2.Hãy áp dụng dấu <, > < = để so sánh phân số .
3 2
..........
5 5
;
2 4
..........
5 10
;
4 7
..........
7 14
;
2 6
..........
3 9
;
1 2
..........
15 5
;
1 3
..........
8 16
;
5 1
..........
20 4
;
2 8
..........
7 14
.
3.Hãy viết vào chỗ dấu chấm cho đúng.
1 ...
6 12
= ;
1 ...
8 16
= ;
2 ...
7 21
= ;
2 ...
9 18
= ;
3 ...
4 20
= .
4.Hãy viết phân số dưới đây trên đường thẳng.
a.
1 6 9 10 14 18 22
; ; ; ; ; ;
4 4 4 4 4 4 4
4
4
8
4
12
4
16
4
20
4
25
4
b.
3 9 10 15 17 20 25
; ; ; ; ; ;
10 10 10 10 10 10 10
5.Hãy sắp xếp phân số đưới đây từ nhỏ đến lớn.
a.
1 1 1 3 10 12
; ; ; ; ; .
2 4 16 4 4 4
.
b. 4; 4,1; 4,11; 4,01; 4,21; 4,121 .
Nhận xét : Giống như trường hợp của các phép toán cộng và trừ, tuy các
kĩ thuật sio sánh được minh hoạ bằng các nghĩa hình học nhưng phần bài tập lại
0 1 2 3 4 5
0
6
0 1 2 3

44
không yêu cầu sự minh hoạ này. Câu hỏi đặt ra là : các kĩ thuật so sánh cá số tự
nhiên có ảnh hưởng lên các phép toán trên các số thập phân hay không ?
II. Kết luận chương II
Chúng tôi nhận thấy có nhiều điểm tương đồng trong SGK Lào so với
những gì đã rút ra từ nghiên cứu thể chếs Việt Nam. Tuy nhiên chúng tôi cũng
cho rằng SGK Lào nhấn mạnh ý nghĩ trực quan khi hình thánh phép so sánh và
các phép toán của số thập phân hơn. Vì vậy chúng tôi xin sử dụng lại giả thuyết
của Dương Hữu Tòng (2012) như là một câu hỏi nghiên cứu :
Việc học tập khái niệm số tự nhiên trong một thời gian dài ảnh hưởng
đến học sinh trong khi học phân số như thế nào ?

45
CHƯƠNG III
THỰC NGHIỆM
I. Mục đích của thực nghiệm
Mục đích của thực nghiệm là nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể
chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinhliên quan đến câu hỏi nghiên cứu đã
phát biểu ở cuối chương 2.
Việc học tập khái niệm số tự nhiên trong một thời gian dài ảnh hưởng
đến học sinh trong khi học phân số như thế nào ?
II. Tổ chức thực nghiệm
a) Đối tượng: Các em HS lớp 5 – đã được học phân số ở lớp 4.
b) Dàn dựng kịch bản
Thực nghiệm bao gồm 3 pha và được tiến hành trong vòng 40 phút:
Pha 1: GV cho HS làm việc cá nhân để hoàn thành bảng trên trong thời gian là 15
phút (phát cho học sinh mỗi em 1 bảng).
Pha 2: Lớp học được chia thành các nhóm 4 HS. Các em hợp tác để cho ra câu trả
lời của nhóm với thời gian cho phép là 10 phút.
Pha 3: (Hợp thức hóa – 15 phút)
GV cùng với các nhóm HS để giải quyết các yêu cầu trong bảng trên. GV sửa
chữa những “cách làm”, “quan niệm” sai lầm mà HS đã mắc phải khi làm bài tập
trong tình huống thực nghiệm.
c) Hình thức thực nghiệm : bộ câu hỏi điều tra học sinh
Sau đây là nội dung bộ câu hỏi
Hoàn thành bảng sau với yêu cầu: Nếu em đồng ý thì đánh dấu  vào cột “đồng ý”
và trả lời “Vì sao”. Nếu em không đồng ý thì đánh dấu  vào cột “không đồng ý” và
trả lời “Vì sao”. Các em có thể bổ sung lời giải hoặc lí giải của mình trong cột “Vì
sao”.
STT Lời giải hoặc ý kiến Đồng ý Vì sao Không đồng ý Vì sao
1.
3 6
4 8
<
2.
Dãy các phân số sau được sắp
xếp theo thứ tự từ bé đến lớn:
2 2 2
; ;
3 5 9

46
3.
Chỉ tìm được duy nhất giá trị
x thỏa:
2 4
5 5
x< < .
4.
2 3 5
3 4 7
+ =
5.
7 3 7 6 42
8 4 8 8 8
× = × =
6.
2 1 2:1 2
:
9 3 9:3 3
= =
7.
Tích luôn luôn lớn hơn các thừa
số
8.
Thương của phép chia luôn
luôn nhỏ hơn số bị chia
III. Phân tích tiên nghiệm
Tình huống thực nghiệm được xây dựng dựa trên việc lựa chọn giá trị
của các biến didactic sau đây:
a) Lời giải I
8
6
4
3
<
V1: Độ lớn của hai phân số
d
c
b
a
;
Giá trị có thể của biến V1 (a<c,a>c,a=c); (b<d.b>d,b=d)
- Khi a=c, b=d, giá trị biến này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho người làm
có một kết quả đúng.
- Khi a<c.b<d người làm dễ mắc sai lầm nhất khi nghĩ như so sánh hai
cặp số tự nhiên.
- Với các giá trị biến còn lại, người thực hiện cũng có thể nhầm lẫn khi
so sánh.

47
b) Lời giải 2;
9
2
;
5
2
;
3
2
V2: Mối quan hệ mẫu số, tử số của các phân số.
Các giá trị có thể của biến này như sau: các phân số cùng mẫu số, các
phân số khác mẫu số, các phân số cùng tử số, các phân số khác tử số.
- Khi V2 có giá trị là “ các phân số cùng mẫu sso” người làm theo
quy trình sẽ cho lời giải đúng.
- Khi V2 mang lại các giá trị còn lại, ngươì thực hiện sẽ có câu trả lời
không đúng.
c)Lời giải 3; Chỉ tìm được duy nhất giá trị x thỏa
5
4
5
2
<< x
V3.1: Khoảng cách giữa hai tử số của các phân số : “không có”, “nhỏ”;
“rộng”
- Giá trị biến V3.1 là “không có” giúp người thực hiện sớm tìm ra câu
trả lời là đúng.
- Khi V3.1 nhận được một giá trị “nhỏ” người làm gặ khó khăn trong
việc tìm ra các giá trị của x
- Giá trị “rộng” của biến này tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người
thực hiện trong việc chỉ ra được nhiều giá trị của x
V3.2: “ Số giá trị của x nhận được”
Biến V3.2 có thể cho giá trị như sau: Không tìm được x, duy nhất x,
nhiều giá trị x.
- Khi đề ghi “không tìm được x” người thực hiện dễ dàng cho nhận
định là sai vì có thể chỉ ra được ngay một giá trị
5
3
=x
- Giá trị V3.2 là”duy nhất x” gây nhầm lẫn cho người làm vì nghĩ rằng
chỉ tìm được
5
3
=x .
- Với giá trị “nhiều giá trị x” người thực hiện trước tiên tìm được phân
số
5
3
=x và sẽ cố gắng tìm xem có thêm giá trị của x nào khác không mà người
ta ghi như thế.

48
d)Lời giải 4:
7
5
4
3
3
2
=+
V4: Mối quan hệ của hai mẫu số của các phân số.
Các gía trị có thể của biến này như sau: hai phân số cùng mẫu số, hai
phân số khác mẫu số.
- Với hai phân số có cùng mẫu số, quy trình trên đúng được “phân
nữa” do cộng hai tử số với nhau.
- Khi hai phân số khác mẫu số, người làm theo quy định trên cho lời
giải hoàn toàn sai.
e)Lời giải 5:
8
42
8
6
8
7
4
3
8
7
== xx
V5: Người làm được tiếp cận quy tắc cộng (trừ) hai phân số chưa?
Sự lựa chọn các giá trị của biến V5: có và chưa có
- Khi người làm được biết hai quy tắc cộng (trừ) hai phân số, do đó có
thể áp dụng các quy tắc này vào phân hai phân số.
- Ngược lại, người thực hiện chưa biết chúng thì họ khó có thể làm
như trên.
f)Lời giải 6:
3
2
3:9
1:2
3
1
:
9
2
==
V6: Tính chia hết của ;hai tử số và hai mẫu số
d
c
b
a
,
Biến V6 mang lại các giá trị: (a chia hết c, b chia hết d); (a không chia
hết cho c); (b không chia hết cho d); (a chia hết cho c, b không chia hết cho d)
- Khi biến V6 có giá trị a chia hết cho c,b chia hết cho d, người thực
hiện sẽ cho rằng lời giải trên là chấp nhận được.
- Với các giá trị còn lại, V6 giúp người làm phát hiện ra “quy trình”
không thể tồn tại được hoặc cho lời giải tới bước 2.
g) Ý kiến 7 và ý kiến 8: Tích luôn luôn lớn hơn các thừa số, thương của
phép chia luôn luôn nhỏ hơn số bị chia.
Chúng tôi đưa ra hai ý kiến 7 và 8 với lý do bên dưới đây
- Học sinh đã được làm quen với các phép tính nhân và phép chia hai
số tự nhiên trong một thời gian khá dài từ lớp 2 đến lớp 4. Các kết quả đều chỉ

49
ra rằng hai ý kiến trên hoàn toàn đúng. Tuy nhiên khi các phép tính đó được
thực hiện trên phân số thì kết quả không còn đúng nữa.
- Bên cạnh đó chúng tôi nhận thấy trong quá trình dạy học GV thường
chưa tạo điều kiện cho học sinh nhận biết sự khác biệt trên. Do đó, đây cũng là
một cơ hội điều chỉnh cho học sinh một quan niệm đã đúng trước đó nhưng
không còn phù hợp trong điều kiện mới.
- Một biến didactic được chọn V78: Người làm có được biết hai phép
tính nhân và chia hai phân số chưa?
Biến này có giá trị: có và chưa có.
Khi biến V78 nhận giá trị “có” sẽ tạo điều kiện cho người làm nhận ra ý
kiến 7 và 8 chưa hoàn toàn đúng.
Ngược lại, giá trị của biến “chưa” tạo thuận lợi cho người trả lời tin chắc
vào ý kiến 7 và 8 là hoàn toàn đúng với các số tự nhiên.
Các chiến lượcv à những cái có thể quan sát được
TT
Lời giải hoặc ý
kiến
Các chiến lược
Những cái quan sát có thể
được
3 6
6 8
<
S1.1: Chiến lược ngẫu
nhiên.
Sự thành công chỉ nhờ vào may
rủi
S1.2: Chiến lược so
sánh tử - tử, mẫu –
mẫu
Hành động này dẫn đến câu trả
lời sai với lời giải thích 3<6 và
4<8
S1.3: Chiến lược quy
đồng
Người làm tiến hành quy đồng
mẫu số hoặc tử số, nhận ra lời
giải sai vì
3 3 2 6
4 4 2 8
×
= =
×
.
Dãy các phân số sau
được sắp xếp theo
thứ tự từ bé đến
lớn:
2 2 2
; ;
3 5 9
nhiên.
Hành động trả lời dựa vào may
mắn, chọn lựa ngẫu nhiên.
S2>2: Chiến lược so
sánh các phân số như
Quan sát có thể gắn liền với
S2.2: ì 3<5<9 nên

50
TT
kiến
được
so sánh các số tự
nhiên ở mẫu số.
2 2 2
3 5 9
< < .
đồng mẫu số rồi so
sánh tử số.
Các phân số được đưa ề MSC
như sau: :
2 2 15 30
3 3 15 45
×
= =
×
;
2 2 9 18
5 5 9 45
×
= =
×
;
2 2 5 10
9 9 5 45
×
= =
×
;
S2.4: Chiến lược so
sánh mẫu số “đúng”.
Người thực hiện biết được quy
tắc so sánh các phân số cùng tử
số, tức: phân số nào có mẫu số
lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Chỉ tìm được duy
nhất giá trị x thỏa:
2 4
5 5
x< <
nhiên
Đây là chiến lược cơ sở. Câu trả
lời đúng hay sai là do may mắn.
S3.2: Chiến lược tìm x
dựa ào hai tử số.
Quan sát gắn liền với S3.2:
Vì 2<3<4 nên chỉ tìm
được duy nhất phân số
3
5
x = ;
Người thực hiện sẽ đánh dấu √
vào cột đồng ý..
S3.3: Chiến lược làm
lớn mẫu số.
S3.3 có thể mang lại câu trả lời
như sau:
2 2 2 4
5 5 2 10
×
= =
×
;
4 4 2 8
5 5 2 10
×
= =
×
; Do đó, bài toán

51
TT
kiến
được
quy về tìm x thỏa:
4 8
10 10
x< < .
Khi đó x có thể là:
5 6 7
; ;
10 10 10
.
Người làm nhận thấy “duy nhất
x” là không đúng.
S3.4: Chiến lược trung
bình cộng.
Người làm tiến hành tìm trung
bình cộng như sau:
2 4 6
35 5 5
2 2 5
+
= = . Cách này
cũng cho phép tìm được giá trị
3
5
X = . Nếu tiếp tực, ta có:
2 3
15 5
2 2
+
= hay .
3 4
74 5
2 10
+
= Quá
trình tìm trung bình cộng có thể
được tiến hành mãi.
2 3 5
3 4 7
+ =
nhiên.
Người tiến hành đánh dấu √ một
cách ngẫu nhiên vào cột “đồng
ý” hoặc “không đồng ý”.
S4.2: Chiến lược “tử +
tử; mẫu + mẫu”.
Người làm đánh dấu √ vào cột
“đồng ý” với lời giải thích
2 3 2 3 5
3 4 3 4 7
+
+ = =
+
đồng mẫu số rồi công
các tử số.
Người tiến hành theo quy tắc
cộng hai phân số không cùng
mẫu số như sau:
2 2 4 8
3 3 4 12
×
= =
×
;

52
TT
kiến
được
3 3 3 9
4 4 3 12
×
= =
×
;
2 3 8 9 27
3 4 12 12 12
+ = + = .
7 3 7 6
8 4 8 8
× = ×
S5.1:Chiến lược ngẫu
nhiên
Hành động trả lợi dựa ào may
mắn, chọn lựa ngẫu nhiên.
S5.2: Chiến lược “tử x
tử; mẫu x mẫu”.
Hành động theo chiến lược này
đúng với quy tắc nhân hai số, cụ
thể:
7 3 7 3 21
8 4 8 4 32
×
× = =
×
S5.3: Chiến lược
“cộng (trừ) hai phân
số”.
Chiến lược này có lời giải như
đề đã cho. Ai thực hiện theo
S5.3 sẽ đánh dấu √ vào cột
“đồng ý ”.
2 1 2 1 2
9 3 9 3 3
÷
÷ = =
÷
nhiên
Người làm đánh dấu √ vào cột
“đồng ý” hay “không đồng ý”
mà không kèm thêm lời giải
thích gì khác.
S6.2: Chiến lược
“tử:tử; mẫu:mẫu”.
Người làm theo quy trình này sẽ
cho lời giải giống như đề bài.
Họ sẽ đánh dấu √ ào “cột đồng
ý”. Đáp số của lời giải này là
bằng với đáp số của lời giải theo
quy tắc chia hai phân số. Nhưng
cách giải này hoàn toàn sai.
S6.3: Chiến lược “áp
dụng nhân hai phân
số”.
Nếu người làm thực hiện theo
chiến lược này thì họ sẽ áp dụng
quy tắc nhân hai phân số cho

53
TT
kiến
được
chia hai phân số. Bởi vì, họ đã
được học quy tắc nhân hai phân
số trước đó nên họ nghĩ “quy
trình” này vẫn đúng cho chia hai
phân số.
S6.4: Chiến lược nhân
phân số thứ hai đảo
ngược.
Người tiến hành theo chiến lược
này tiến hành như sau:
2 1 2 3 6 2
9 3 9 1 9 3
÷ = × = =
. Đây là lời giải đúng của bài
toán.
Tích luôn luôn lớn
hơn các thừa số
nhiên.
Đây là chiến lược cơ sở. Câu trả
lời đúng hay sai là do may mắn.
S7.2: Chiến lược “dựa
vào số tự nhiên”.
Câu trả lời theo chiến lược này
là “đồng ý” với lời giải thích
minh họa như sau: 2 3 6× = và
6>2; 6>3.
vào phân số”.
Nếu dựa vào chiến lược S7.3,
người làm nhận ra ý kiến trên là
hoàn toàn không đúng với ví dụ
dẫn chứng có thể như sau:
1 1 1
2 4 8
× =
Nhưng tích số
1
8
đều nhỏ hơn hai thừa số là
1
2
và
1
4
.
Thương của phép S8.1: Chiến lược ngẫu Người tiến hành đánh dấu √ một

54
TT
kiến
được
chia luôn luôn nhỏ
hơn số bị chia
nhiên. cách ngẫu nhiên vào cột “đồng
ý” hoặc “không đồng ý” không
có lời giải thích gì thêm.
vào số tự nhiên”.
Quan sát có thể gắn liên với
S8.2: 6:2=3 và 3<6. Ai làm theo
chiến lược này sẽ cho rằng ý
kiến 8 hoàn toàn đúng.
vào phân số”.
S8.3 mang lại cho người
làm thay đổi quan niệm đã đúng
với số tự nhiên nhưng không
còn đúng nữa khi thực hiện phép
chia các phân số. Cụ thể:
1 1 1 4 4
2
2 4 2 1 2
÷ = × = = và 2 là thương
nhưng lớn hơn số bị chia là
1
2
.
Thương của phép chia luôn luôn nhỏ hơn số bị chia
Sự lựa chọn các giá trị của biến à ảnh hưởng của chúng
Lời
giải
hay ý
kiến
Giá trị
của biến
được chọn
Ảnh hưởng của việc lựa chọn giá trị
các biến đến các chiến lược
1 V1: a<c;
b<d
Chúng tôi chọn giá trị của biến này để tạo điều kiện thuận lợi
để cho S1.2 sớm xuất hiện.
2 V2: Các
phân số
cùng tử số
HS có thể thấy các tử số bằng nhau vì thế việc so sánh 3 phân
số được quy về so sánh 3 số tự nhiên ở mẫu số. Điều này
cũng đồng nghĩa với tạo điều kiện cho chiến lược S2.2 xuất
hiện.
Ngoài ra, các phân số cùng tử số sẽ thuận lợi cho các
em nghĩ đến quy tắc so sánh “đúng”, tức HS nào áp dụng

55
chiến lược S2.4.
3 V3.1: Nhỏ Khoảng cách giữa hai tử số đầu và cuối “nhỏ” tức: 2 và 4. Do
đó, HS nghĩ chỉ tìm được một giá trị là 3 để 2 <3<4 mà không
quan tâm đến các mẫu số. Hay, S3.2 sẽ rất dễ xuất hiện.
Ngoài ra, giá trị biến còn gây trở ngại cho việc tìm giá trị x
khác nếu HS không biết làm lớn mẫu số hay tìm giá trị trung
bình cộng của hai phân số. Vậy giá trị biến này làm hạn chế
nảy sinh chiến lược S3.3.
V3.2: “duy
nhất x”
Với nhận định “chỉ tìm được duy nhất giá trị x” à kết hợp với
biến V3.1 có giá trị “nhỏ” sẽ đẩy HS sớm đến ới S3.2.
4 V4: Hai
phân số
khác mẫu
số
Giá trị biến này gây cho HS một số khó khăn khi quy đồng
hai mẫu số. Chính lúc này, các em nghĩ đến S4.2
5 V5: Có Thực nghiệm được tiến hành cho các em đã học quy tắc cộng
(trừ) hai phân số. Điều này gây nhầm lẫn cho các em khi
nhân hai phân số. Cụ thể, các em có xu hướng áp dụng một
quy tắc đã biết trước nhưng không còn chính xác trong
trường hợp mới. S5.3 sẽ được các em vận dụng cho trường
hợp này.
6 6: (a chia
hết c, b
chia hết d)
V6 nhận giá trị này mang lại sự thuận lợi đáng kể cho hai
chiến lược S6.2, S6.3. Các em tiến hành thấy cho kết quả “rất
hợp lý” nên không nghi ngờ gì quy trình mình đã áp dụng.
Nói khác đi, nó ngăn chặn sự xuất hiện của hai chiến lược
còn lại S6.1, S6.4)
7 à 8 V78:Có Chúng tôi thực nghiệm trên đối tượng HS đã được học quy
tắc nhân (chia) hai phân số nhằm tạo điều kiện cho trẻ biết
nhận ra hai ý kiến 7 à 8 không đúng trong trường hợp thao tác
với các phân số. S7.3, S8.3 giúp HS nhận ra hai khẳng định
chưa hoàn toàn đúng.

56
IV. Phân tích hậu nghiệm
Tuy chúng tôi thực nghiệm trong ba pha nhưng dưới áp lực thời gian và
khó khăn khi sử dụng ngoại ngữ là tiếng Việt. Trong thời gian cho phép chúng
tôi chỉ giới hạn phân tích pha thứ nhất.
1. Mô tả thực nghiệm
Thực nghiệm đã được tiến hành tại 7 lớp 5 , với 128 học sinh của
Trường Tiểu học Mit Ta Phap, Trường tiểu học Bạn Kang, trường tiểu học pắc
sê, trường tiểu học Bạn Thồng, huyện Pắc sê, tỉnh Chăm pa sắc, Lao PDR.
Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào cuối tháng 2 của năm học
(2012- 2013).
Thực nghiệm được tiến hành cùng một thời gian tại tất cả 5 lớp
Dữ liệu thu được qua thực nghiệm là bài làm cá nhân của học sinh trên
các phiếu thực nghiệm.
Tổng số phiếu phát ra: 130
Tổng số phiếu thu về: 128
Trong số phiếu thu về tất cả học sinh đều làm bài. Không có phiếu nào để
trống.
2. Phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm
Phân tích câu hỏi 1:
Câu hỏi Đồng ý Không đồng ý Không có ý kiến
3 6
4 8
<
14 114 0
Tỉ lệ 10,9 % 89,1 % 0 %
Đối với câu hỏi này học sinh đồng ý chỉ có 14 học sinh bằng 10 %, và
không đồng ý có đến 89,1 %
Phân tích câu hỏi 2

57
Dãy các phân số sau được
sắp xếp theo thứ tự từ bé
đến lớn:
2 2 2
; ;
3 5 9
27 101
Tỉ lệ 21,1 % 78,9 %
Đối với câu hỏi này học sinh đồng ý có 27 học sinh bằng 21,1 %, và
không đồng ý có 78,9 %
Chỉ tìm được duy nhất giá
trị x thỏa:
2 4
5 5
x< < 96 3 29
Tỉ lệ 75 % 2,3 % 22,7
Đối với câu hỏi này học sinh đồng ý có đến 96 học sinh bằng 75 %, và
không đồng ý 3 học sinh bằng 2,3 %, nhưng có một số học sinh không có ý
kiến gì hết 29 học sinh chiếm 22,7 %
2 3 5
3 4 7
+ =
2 124 2
Tỉ lệ 1,6 % 96,9 % 1,6
Đối với câu hỏi này học sinh đồng ý chỉ có 2 học sinh bằng 1,6 %, và
không đồng ý có đến 124 học sinh chiếm 89,1 %, và 2 hộc sinh không có ý
kiến

58
7 3 7 6 42
8 4 8 8 8
× = × =
50 78
Tỉ lệ 39,1 % 60,9 %
Đối với câu hỏi này học sinh đồng ý có 50 học sinh chiếm 39,1 %, và
không đồng ý có 78 học sinh chiếm 60,9 %
Câu hỏi Đồng ý Không đồng ý Không có ý
kiến
2 1 2:1 2
:
9 3 9:3 3
= =
84 42 2
Tỉ lệ 65,6 % 32,8 % 1,6
Đối với câu hỏi này 84 học sinh đồng ý chiếm 65,6 %, và không đồng ý
42 học sinh chiếm 32,8 %, và 2 học sinh không có ý kiến gì
Tích luôn luôn lớn hơn các
thừa số 125 3
Tỉ lệ 97,7 % 2,3 %
Đối với câu hỏi này chiếm 97,7 % bằng 125 học sinh đồng ý, và không
đồng ý 3 học sinh chiếm 2,3 %
Thương của phép chia luôn
luôn nhỏ hơn số bị chia 125 3

59
Tỉ lệ 97,7 % 2,3 %
Đối với câu hỏi này học sinh đồng ý có đến 125 học sinh chiếm 97,7
%, và không đồng ý có 2,3 % bằng 3 học sinh
V. Kết luận chương III
Dưới sự ảnh hưởng mạnh mẽ của các kiến thức về số tự nhiên mà cụ thể
là thứ tự và các phép toán trên các số tự nhiên, chúng ta có thể giải thích được
những sai lầm phổ biến và chiếm tỷ lệ cao qua bộ câu hỏi thực nghiệm.
1. Liên quan đến các phép toán của các phân số
- Chỉ có 3 trong 128 (2,3%) học sinh không đồng ý với các tính chất sai
được phát biểu tương tự với các tính chất đusng từ tập hợp các số tự
nhiên. Theo đó, gần như tất cả học sinh được hỏi đầu đồng ý rằng :
“Tích luôn luôn lớn hơn các thừa số” và “Thương của phép chia luônluôn nhỏ
hơn số bị chia”.
- Gần 66% học sinh sử dụng tính chất sai
:
:
:
a c a c
b d b d
= . Đây là một quy
tắc hành động được giải thích từ sự đồng nhất pân số như một cặp số tự
nhiên.
- Hơn 39% học sinh sử dụng quy tắc hành động
a c a c
b b b
×
× = . Quy tắc
này được giải thích từ việc đồng hoá phép nhân với phép cộng các phân
số.
2. Liên quan đến thứ tự của các phân số
- Có đến 75% học sinh cho rằng chỉ có duy nhất một số x sao cho :
2 4
5 5
x< < . Điều này cho thấy sự ảnh hưởng của thứ tự rời rạc (tính sắp
thứ tự tốt) của tập hợp các số tự nhiên lên thứ tự các phân số.
- Kết luận vừa rồi cũng giải thích cho hơn 21% câu trả lời đồng ý rằng
dãy số
2 2 2
; ;
3 5 9
được sắp từ bé đến lớn và hơn 10% cho rằng
3 6
4 8
<

60
KẾT LUẬN
Với nghiên cứu này, chúng tôi đã học cách phân tích và lý giải một số hiện
tượng dạy học dưới ánh sáng của các công cụ Didactic Toán. Cụ thể hơn chúng tôi đã
tìm hiểu và lý giải một số sai lầm của học sinh liên quan đến khái niệm phân số ở bậc
Tiểu học Lào.
Các kết quả tìm thấy chứng tỏ sự tương đồng về những khó khăn trong việc
truyền thụ tri thức này giữa Lào và Việt Nam.
Kết quả cũng góp phần khẳng định chướng ngại tri thức luận do số tự nhiên
gây ra đối với việc lĩnh hội các tập số hữu tỷ và thập phân mà các nghiên cứu ở Pháp,
Lào và Việt Nam đas chỉ ra.
Vì lý do thời gian nghiên cứu hạn chế và sự khó khăn khi sử dụng ngoại ngữ,
chúng tôi xin được đề cập đến những biện pháp khắc phục khó khăn đã tìm thấy bằng
việc thiết kế các đồ án didactic cho các nghiên cứu tương lai.

61
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê ăn Tiến (2009), Những
yếu tố cơ bản của Didactic Toán, NXB Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí
Minh.
2. Chương trình tiểu học (Bộ giáo dục và đào tạo) (2001, 2006), NXB Giáo
dục.
3. Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung (2004),
Giáo Trình Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học, NXB ĐHSP
4. Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 4, NXB Giáo dục, (SGK hiện hành)
5. Dương Hữu Tòng (2012) –Các cách tiếp cận của khái niệm phân số trong
lịch sử và sách giáo khoa Toán ở tiểu học, Tạp chí khoa học giáo dục số
34(68), trang 68-73.
6. Phạm Đình Thực (2003), Phương pháp dạy học Toán bậc Tiểu học, NXB
ĐHSP.
7. Các sách giáo khoa toán bậc tiểu học hiện hành của Lào và Việt Nam.

Luận văn: Dạy và học phân số ở bậc tiểu học Lào, HOT, 9đ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận văn: Dạy và học phân số ở bậc tiểu học Lào, HOT, 9đ

Similar to Luận văn: Dạy và học phân số ở bậc tiểu học Lào, HOT, 9đ (20)

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Dạy và học phân số ở bậc tiểu học Lào, HOT, 9đ