H Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
12η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Έστω S το σημείο τομής της BC και της ZH.
Τα ορθογώνια τρίγωνα EZS,ZHD είναι ίσα (εύκολο) κατά συνέπεια οι «γαλάζιες» γωνίες
είναι ίσες (παραλληλία, κατακορυφήν) , έστω φ
Ισχύει
BC AK
EC EB CS
SE KB
CK BA CB
   ,
οπότε και
Λ
ABK φ
Τα τρίγωνα KAB,ΜAD είναι ίσα (κριτήριο ΓΠΓ) και το ζητούμενο έπεται.
Λύνει ο Μιχάλης Νάννος

2. ___________________________________________________________________________
12η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Ας ονομάσουμε AB α και DK β
Τα «πουά» τρίγωνα είναι όμοια (έχουν ίσες τις γωνίες τους), άρα
2
βCD KD α α
ΒΕ
BE BC BE α β
    
Οπότε
2
α
HD HA α
β
  
Τα «κίτρινα» τρίγωνα είναι όμοια (έχουν ίσες τις γωνίες τους), άρα
2
2 2
βΜΑ ΑD ΜΑ α α
ΜΑ α α β AD β ΑΚ.
ΗΖ ΗD β αα α
α
β β
 
           
 
Λύνει ο Παύλος Τρύφων

3. ___________________________________________________________________________
12η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
CB AD DC
KC AC
ΑΚC EZC :
AC KD AC CZ KD CB AZ KACE CZ (1)
CZ CB CZ CB CZ CDKC KD
ΚDC EBC :
CE CB
 
 
 

    
     
 

(1)
MA AZ MA KA
DC||MA : = =
CD CZ CD CD
 MA = KA
Λύνει ο Τακης Τσακαλακος

4. ___________________________________________________________________________
12η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
(Με Ευκλείδεια Γεωμετρία)
ΚΑΕ CBΕ άρα
ΚΑ ΑΕ ΚΑ α
CB ΒΕ β α β
  

με ΑΕ α και ΑΒ β .
Όμοια
DΑΜ DΗΖ άρα
βDΑ ΑΜ ΑΜ
DΗ ΗΖ α α β
  

.
Άρα ΑΚ ΑΜ .
(Με Αναλυτική Γεωμετρία)
Αν Α(0,0) , Β(β,0) , Ε(α,0)θα είναι Ζ(α,α), Η(0,α), C(β,β)και D(0,β).
Επίσης θα ισχύει
DZ
α β
λ
α

 και  
α β
DZ : y α x α
α

  
που για y 0 δίνει
Μ
αβ
x
β α


.
Όμοια
ΕC
β
λ
β α


και  
β
CE : y x α
β α
 

που για x 0 δίνει
Κ
αβ
y
α β


.
Άρα ΑΚ ΑΜ .
Λύνει ο Κώστας Δεββές