STATISTIKA DAN PELUANG

BAHAN BELAJAR:
STATISTIKA DAN PELUANG
POLA MGMP
JENJANG SMK
DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA MGMP
Penulis:
Theresia Widyantini
Marsudi Raharjo
Layouter:
Titik Sutanti
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
(PPPPTK) MATEMATIKA
YOGYAKARTA
2015

TTD-Widodo_Biru
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya, bahan ajar
ini
dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah
satu
rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di
sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam
maupun di
luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta
diklat
dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi
sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat yang sedang/telah diikuti.
Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berpartisipasi dalam
proses penyusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan,
kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan
mutu pembelajaran matematika di negeri ini.
Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adanya saran untuk
penyempurnaan di masa yang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di
PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur,
Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 31 YK-BS Yogyakarta 55281, Telepon (0274) 881717,
885725, Fax. (0274) 885752, email: sekretariat@p4tkmatematika.org
Sleman, 19 Mei 2015
Kepala PPPPTK matematika
Prof. Dr. rer. nat. Widodo, M.S.
NIP 196210311989031002

DAFTAR ISI
KATA
PENGANTAR ......................................................................
............................................................ ii
DAFTAR
ISI ............................................................................
.................................................................... iii
PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN
BELAJAR.........................................................................
......... v
STATISTIKA .....................................................................
.......................................................................... 1
BAGIAN I
PENDAHULUAN ....................................................................
.................................................. 1
A. Pengantar
Isi ............................................................................
................................................... 1
B. Target
Kompetensi .....................................................................
.............................................. 2
C.
Strategi .......................................................................
.................................................................. 2
D.
Penilaian ......................................................................
................................................................ 2
BAGIAN II AKTIVITAS
KEGIATAN .......................................................................
................................ 3
A.
Aktivitas ......................................................................
................................................................. 3
BAGIAN III TUGAS
MANDIRI ........................................................................
........................................ 7
BAGIAN IV BAHAN BACAAN
STATISTIKA .....................................................................
................. 9
A. Pengertian
Statistika......................................................................
.......................................... 9
B. Penyajian
Data ...........................................................................
............................................. 11
C. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data
serta
penafsirannya ..................................................................
............................................ 24
BAGIAN V
PENUTUP ........................................................................
..................................................... 38
A.
Rangkuman ......................................................................
........................................................ 38
DAFTAR
PUSTAKA ........................................................................
........................................................ 40
KOMBINATORIK DAN
PELUANG ........................................................................
........................... 41

BAGIAN I
PENDAHULUAN ....................................................................
............................................... 41
A. PENGANTAR
ISI ............................................................................
.......................................... 41
B. TARGET
KOMPETENSI .....................................................................
................................... 44
C. STRATEGI
PEMBELAJARAN ...................................................................
............................ 45
BAGIAN II
AKTIVITAS ......................................................................
..................................................... 46
BAGIAN III BAHAN
BACAAN .........................................................................
..................................... 56
BAHAN BACAAN I KOMBINATORIK (TEKNIK MENGHITUNG) BANYAKNYA
ANGOTA RUANG
SAMPEL .........................................................................
......................... 56
A. Konsep Peluang dan Frekuensi
Harapan ............................................................. 56
B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa .........
62
C. Prinsip
Perkalian ......................................................................
..................................... 64
D. Peluang Pada
Pengundian .....................................................................
..................... 67

E. Relasi Antar
Peristiwa ......................................................................
........................... 71
BAHAN BACAAN II KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGAMBILAN
SAMPEL .........................................................................
............................................................ 76
A. Notasi
Faktorial ......................................................................
........................................ 76
B.
Permutasi.......................................................................
.................................................. 77
C.
Kombinasi ......................................................................
................................................... 79
D. Terapan Pemecahan Masalah Dalam Pengambilan Sampel .........................
83
E. Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama (Penggunaan Aturan
Kombinasi) .....................................................................
.......................................................... 86
F. Aturan/Prinsip
Kombinasi ......................................................................
.................. 89
G. Identifikasi Masalah Pada Pengambilan
Sampel .............................................. 94
BAGIAN IV UMPAN BALIK DAN TINDAK
LANJUT ...................................................................101
A.
RANGKUMAN ......................................................................
................................................... 101
B.
EVALUASI .......................................................................
........................................................ 104
C. TINDAK
LANJUT .........................................................................
.......................................... 108
DAFTAR
PUSTAKA ........................................................................
.......................................................109

PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN BELAJAR
1. Bahan belajar Statistika dan Peluang ini memuat materi statistika yang
meliputi konsep dasar statistika, penyajian data, ukuran pemusatan, dan
ukuran penyebaran serta materi Peluang dan Kombinatorika yang terdiri atas
kombinatorik banyaknya anggota ruang sampel dan kombinatorik dan peluang
pada pengambilan sampel.
2. Bahan belajar Statistika dan Peluang ini terdiri dari dua (2) bagian:
Bagian I STATISTIKA
Bagian II KOMBINATORIK DAN PELUANG
3. Bahan bacaan terkait materi Statistika dan Peluang diharapkan dibaca sebelum
kegiatan tatap muka dilaksanakan.
4. Setelah selesai diklat, peserta diharapkan mengerjakan tugas-tugas mandiri
yang disediakan dalam bahan belajar ini.

STATISTIKA
BAGIAN I
PENDAHULUAN
A. Pengantar Isi
Merujuk pada Peraturan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara dan Reformasi
Birokrasi (Permenpan dan RB) Nomor 16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional
Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru. Guru tidak lagi
dianggap sekedar pelaksana teknis di kelas, tetapi dianggap sebagai suatu
jabatan
fungsional. Jabatan fungsional guru adalah jabatan fungsional yang mempunyai
ruang
lingkup, tugas, tanggung jawab, dan wewenang untuk melakukan kegiatan mendidik,
mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta
didik pada pendidikan anak usia dini jalur pendidikan formal, pendidikan dasar,
dan
pendidikan menengah sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang diduduki
oleh Pegawai Negeri Sipil (Pasal 1 ayat 1). Konsekuensinya adalah guru dituntut
melakukan pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) sehingga guru dapat
menjalankan tugas dan fungsinya secara profesional. Masih merujuk pada Permenpan
dan RB, pengembangan keprofesian berkelanjutan meliputi:
1. Pengembangan diri
a. diklat fungsional
b. kegiatan kolektif
2. Publikasi ilmiah
a. Presentasi pada forum ilmiah
b. Publikasi ilmiah atas hasil penelitian atau gagasan ilmu di bidang pendidikan
formal.
c. Publikasi buku pelajaran, buku pengayaan dan pedoman guru
3. Karya Inovatif
a. Menemukan teknologi tepat guna
b. Menemukan/menciptakan karya seni

c. Membuat/memodifikasi alat pelajaran/peraga/praktikum
d. Mengikuti pengembangan penyusunan standar, pedoman, soal, dan sejenisnya
Dengan demikian sebenarnya guru pasti akan mencari kegiatan seperti yang
tertuang
dalam peraturan tersebut.
B. Target Kompetensi
Hasil pembelajaran yang diharapkan
1. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan konsep dasar statistika.
2. Peserta diklat atau pembaca mampu menyajikan data dalam bentuk tabel,
diagram batang, diagram garis dan diagram lingkaran
3. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan ukuran pemusatan.
4. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan ukuran penyebaran
C. Strategi
Untuk memanfaatkan bahan belajar ini, strategi pembelajaran yang digunakan
sebelum kegiatan tatap muka, maka diharapkan bahan belajar statistika ini
dipelajari
terlebih dahulu. Selanjutnya pada saat kegiatan tatap muka, dapat dilakukan
tanya
jawab dan diskusi serta presentasi.
D. Penilaian
Penilaian untuk mata diklat statistika ini didasarkan pada bukti fisik yang
menunjukkan pencapaian hasil pembelajaran berupa penyelesaian tugas masing-
masing peserta diklat.

LK-1
Pengerjaan
BAGIAN II
AKTIVITAS KEGIATAN
A. Aktivitas
1. Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugas pada pada LK-1. Untuk
membantu penyelesaian LK-1 lihat pada bahan bacaan.
Lengkapi tabel di bawah ini dengan menambah kolom untuk tepi bawah, tepi atas,
titik tengah, frekuensi kumulatif dari, dan frekuensi kumulatif lebih dari.
Data
Frekuensi
32 - 37
4
38 - 43
5
44 -49
6
50 - 55
20
56 - 61
15
62 - 67
6
68 - 73
4

Data di bawah ini adalah nilai ulangan matematika sebanyak 50 siswa SMK kelas
III Akutansi.
40 49 56 61 64 69 71 79 89 96
41 51 56 61 65 69 71 79 96 90
96 86 77 70 69 64 60 54 46 41
41 50 56 61 64 69 71 78 87 96
91 84 76 70 68 64 60 54 46 40

Dari data di atas, tentukan
a. Jangkauan(range)
b. Banyak interval kelas dengan aturan Sturges
c. Interval kelas
d. Susun data tersebut ke dalam tabel frekuensi kelompok.
Tentukan rata-rata, median dan modus berat badan dari 60 siswa pada tabel
berikut
Tabel Berat Badan
Berat badan(kg)
frekuensi
33-38
5
39 -44
8
45-50

12
51-56
20
57-62
12
63-68
3
Jumlah
60

4. Buatlah instrumen berupa tugas proyek terkait materi statistika. Proyek
adalah
tugas-tugas belajar(learning tasks) yang meliputi kegiatan perancangan,
pelaksanaan dan pelaporan secara tertulis maupun lisan dalam waktu tertentu.
Tugas proyek adalah tugas penyelidikan terhadap sesuatu yang dikaitkan dengan
permasalahan nyata sehari-hari sehingga memerlukan data lapangan. Tahap
tugas proyek mencakup perencanaan, pelaksanaan dan pelaporan. Tahap
perencanaan tugas proyek dapat memanfaatkan waktu pada beban belajar tatap
muka dan/atau tugas terstruktur. Tahap pelaksanaan tugas proyek dapat
memanfaatkan waktu pada beban belajar tugas terstruktur dan/atau tugas
mandiri tidak terstruktur. Tahap pelaporan tugas proyek dapat memanfaatkan
waktu pada beban belajar tatap muka dan/atau tugas terstruktur dan/atau tugas
mandiri tidak terstruktur.

BAGIAN III
TUGAS MANDIRI
Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugas mandiri ini di luar jam
tatap
muka. Untuk membantu penyelesaiantugas mandiri, lihat pada bahan bacaan
1. Diketahui beberapa bilangan 9,8,15,12,3,4 dan 7.
a. Tentukan satu bilangan lagi agar median data menjadi
.
b. Tentukan satu bilangan lagi pada data seluruhnya agar mediannya
.
2. Diketahui berat badan 40 siswa dalam kg adalah sebagai berikut ini.
45 65 50 55 45 65 50 45 55 65
50 50 45 50 55 50 55 55 60 55
55 55 50 55 50 45 45 60 65 50
60 65 55 45 65 65 65 60 45 50
a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya
b. Tentukan modus, median dan rata-ratanya kemudian bandingkan ketiga nilai
ini.
3. Tentukan kuartil bawah, median dan kuartil atas dari tabel distribusi
frekuensi
pada tabel berikut.
Berat badan
Frekuensi(f)
50 52�
3
53 55�
5
56 58�
7
59 61�
6
62 64�
4
Jumlah
25

4. Tentukan modus dari tabel distribusi frekuensi berikut
Nilai
Frekuensi
38-42
3
43-47
5
48-52
10
53-57
15
58-62
5
63-67
2
Jumlah
40
5. Tentukan jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan
baku dan variansi (ragam) dari tabel distribusi frekuensi berikut
Kecepatan
kendaraan
(km/jam)
Banyak kendaraan
(frekuensi)
60-64
20
65-69
30
70-74
44

BAGIAN IV
BAHAN BACAAN STATISTIKA
A. Pengertian Statistika
Penggunaan istilah statistika berasal dari bahasa latin modern statisticum
collegium
("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus").
Gottfried
Achenwall (1749) menggunakan statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama
kalinya sebagai nama untuk kegiatan analisis data kenegaraan, dengan
mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah
terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi
data".
Sir John Sinclair memperkenalkan nama Statistics dan pengertian ini ke dalam
bahasa
Inggris. Jadi, istilah statistika mula-mula hanya terkait data yang dipakai
lembaga-
lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut,
khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi
kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20
statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama
peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk
mendukung metode ilmiah adalah statistika inferensi, yang dikembangkan pada abad
ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika
inferensi),
Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti
problem
sampel berukuran kecil). Karl Pearson (27 Maret 1857 27 April 1936) adalah�
kontributor utama perkembangan awal statistika hingga sebagai disiplin ilmu
tersendiri. Ia mendirikan Departemen Statistika Terapan di University College
London pada tahun 1911, menjadikannya sebagai jurusan statistika pertama kali di
dunia untuk tingkat perguruan tinggi. Penggunaan statistika pada masa sekarang
dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, misalnya
astronomi, linguistika, bidang ekonomi, biologi dan psikologi serta cabang-
cabang
terapannya banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Di Indonesia,
kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu
pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan
matematika.

Hasil suatu penelitian ataupun pengamatan baik yang dilakukan khusus ataupun
berbentuk laporan, dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angka.
Kumpulan angka itu sering disusun, diatur atau disajikan dalam bentuk daftar
atau
tabel. Sering pula daftar atau tabel disertai dengan gambar yang biasanya
disebut
diagram atau grafik. Pada umumnya orang menamakan ini semua dengan statistik.
Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta. Selain itu
kata
statistik mengandung pengertian lain yaitu untuk menyatakan ukuran sebagai wakil
dari kumpulan data mengenai suatu hal. Ukuran ini didapat berdasarkan
perhitungan
dari sebagian kumpulan data.
Dari hasil penelitian atau pengamatan, baik yang dilakukan khusus atau berbentuk
laporan sering memerlukan uraian atau penjelasan atau kesimpulan tentang
penelitian tersebut. Sebelum kesimpulan dibuat, data yang telah terkumpul
dipelajari
terlebih dahulu, dianalisis atau diolah. Semua yang diuraikan di atas merupakan
pengetahuan yang diberi nama statistika. Fase statistika yang berhubungan dengan
penarikan kesimpulan dinamakan statistika induktif. Fase dimana hanya berusaha
melukiskan dan menganalisis kelompok yang diberikan tanpa menarik kesimpulan
tentang kelompok yang lebih besar dinamakan statistika deskriptif. Kompetensi
dasar-kompetensi dasar yang dipelajari siswa di sekolah terkait dengan materi
statistika merupakan statistika deskriptif.
Tahap awal pada kegiatan statistika adalah pengumpulan data. Data adalah
keterangan atau fakta mengenai suatu masalah. Data dapat berbentuk kategori
misal
rusak, baik, senang, gagal dsbnya. Data dapat juga berbentuk bilangan. Datum
adalah
keterangan yang diperoleh melalui suatu pengamatan dapat berupa angka, lambang
ataupun sifat. Kumpulan datum dinamakan data. Data merupakan bentuk jamak dari
datum. Data yang dikumpulkan sangat bergantung dari kebutuhan, sarana dan
prasarana yang tersedia. Ada 2 cara pengumpulan data yaitu pengumpulan data
secara keseluruhan dan pengumpulan data berdasar sampel. Pengumpulan data
dapat dilakukan dengan mencacah, mengukur dan mencatat data dengan turus(tally).

B. Penyajian Data
Setelah data terkumpul agar mendapat gambaran tentang apa yang diteliti
dilakukan
penataan dan pengolahan data diantaranya adalah menyajikan data dalam bentuk
diagram atau tabel. Tujuan penyajian data adalah untuk memberikan gambaran yang
sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau
observasi, data yang disajikan mudah dimengerti oleh pengguna data, memudahkan
dalam membuat analisa data serta mempercepat proses pengambilan kesimpulan.
Menyajikan data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, diagram
lingkaran dan ogif serta penafsirannya.
Ketika Anda membaca surat kabar atau majalah, sering dijumpai tabel atau diagram
dalam bentuk batang, garis, atau lingkaran yang menyajikan informasi tertentu.
Perhatikan contoh penyajian data dalam bentuk tabel berikut ini
1. Tabel
Penyajian data dalam bentuk tabel akan lebih mudah dipahami dari pada data yang
disajikan dalam bentuk deskripsi/narasi. Penyajian data dalam bentuk tabel
(daftar)
akan lebih mudah dibaca dari pada data yang disajikan dalam bentuk naskah.
Secara
garis besar tabel(daftar) yang dikenal ada tiga macam yaitu tabel baris-kolom,
tabel
kontingensi dan tabel distribusi frekuensi.
Banyak Peserta Didik di Daerah B Pada Tahun 2011
Tingkat Pendidikan
Jumlah Peserta Didik
SD
5.000
SMP
4.500
SMA
4.000
Perguruan Tinggi
2.000
Jumlah
15.500
Dari tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi banyak peserta didik di
daerah
B, pada tahun 2011. Untuk tingkat pendidikan SD di daerah B pada tahun 2011,
jumlah peserta didik ada 5000 orang sedangkan untuk tingkat pendidikan perguruan

2. Tabel distribusi frekuensi
Tabel Distribusi Frekuensi Tinggi Badan Siswa Kelas IX SMP
Tinggi Badan (cm)
Frekuensi (f)
140 - 145
146 - 151
152 - 157
158 - 163
164 - 169
170 - 175
2
4
8
9
6
1
Jumlah
30
Tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi tinggi badan 30 siswa kelas IX
SMP,
sebagai contoh untuk siswa yang tinggi badan dari 152 cm sampai dengan 157 cm
terdapat 8 siswa. Selanjutnya data tersebut dibuat dalam tabel distribusi
frekuensi
kelompok. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi kelompok, jika kita mempunyai
data-data maka dibuat kelas-kelas dengan panjang interval tertentu. Kemudian
ditentukan frekuensi untuk masing-masing kelas. Untuk membuatnya dengan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
a) Menentukan jangkauan data (J)
J = nilai tertinggi nilai terendah�
b) Menentukan banyak kelas (k)
Pada umumnya banyak kelas ditentukan dengan menggunakan aturan Sturges
yaitu banyak kelas = 1 + 3,3 log n, dengan n adalah banyak data dan hasil
akhirnya dibulatkan.
c) Menentukan panjang interval kelas (p) dengan rumus dengan p = panjang

interval kelas k= banyak kelas
kJp.
d) Diambil pembulatan p ke atas dengan alasan titik tengah kelas adalah bulat
karena batas bawah kelas diambil nilai minimum
e) Menentukan batas bawah kelas pertama
Batas bawah kelas pertama adalah nilai minimum dari data (tetapi tidak harus,
dapat juga digunakan bilangan lain).

f) Sehingga diperoleh tabel distribusi frekuensi kelompok.
g) Beberapa istilah yang berhubungan dengan tabel frekuensi kelompok adalah:
1) Batas bawah kelas dan batas atas kelas
Misal untuk kelas pertama yaitu kelas 140 145, batas bawah kelas adalah�
140 dan batas atas kelas adalah 145.
2) Tepi bawah kelas dan tepi atas kelas
Untuk kelas 140 145, tepi bawah kelas adalah 139,5 dan tepi atas kelas�
adalah 145,5. Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi
setengah satuan pengukuran terkecil. Sedangkan tepi atas kelas diperoleh
dari batas atas kelas ditambah setengah satuan pengukuran terkecil.
3) Panjang interval kelas
Panjang interval kelas adalah selisih positif antara batas bawah kelas yang
berurutan atau batas atas kelas yang berurutan.
4) Titik tengah kelas
Untuk kelas 140 145, titik tengah kelas adalah 5,1422145140�
.
.
5) Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan tabel distribusi
frekuensi kelompok ini adalah:
. Hindari kelas interval yang tidak menampung nilai data
. Semua data harus tertampung dalam tabel distribusi frekuensi

3. Menyajikan data dalam bentuk diagram Batang
Dari diagram batang di atas menunjukkan informasi mengenai jumlah siswa di
SMP SARIMULYO. Sebagai contoh pada tahun 2008 2009 jumlah siswa di SMP�
SARIMULYO untuk siswa pria ada 250 siswa dan siswa wanita ada 200 siswa. Jadi
jumlah seluruh siswa di SMP tersebut pada tahun 2008 -2009 adalah 450 siswa.
Diagram batang pada umumnya digunakan untuk menyajikan informasi nilai-nilai
suatu obyek pengamatan yang sejenis dengan berbagai kategori. Kegunaannya
untuk membandingkan nilai-nilai dari suatu obyek pengamatan. Penyajian data
menggunakan gambar berbentuk batang dilengkapi dengan skala, sehingga nilai
dapat dibaca.
Langkah-langkah dasar dalam pembuatan diagram batang adalah sebagai berikut.
a) Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu
tegak yang saling tegak lurus.
b) Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, demikian
pula sumbu tegaknya: Skala pada sumbu mendatar dengan skala pada sumbu
tegak tidak perlu sama.
c) Jika diagram batang dibuat tegak, maka sumbu mendatar menyatakan
keterangan atau fakta mengenai kejadian (peristiwa). Sumbu tegak
menyatakan frekuensi keterangan.

d) Jika diagram batang dibuat secara horizontal, maka sumbu tegak menyatakan
keterangan atau fakta mengenai peristiwa. Sumbu mendatar menyatakan
frekuensi keterangan.
e) Tunjukkan 1 batang untuk mewakili frekuensi data tertentu.
f) Arsir atau warnai batang yang memenuhi frekuensi data.
g) Beri judul diagram batang.
h) Variasi diagram batang, dapat dibuat sesuai keinginan siswa.
4. Menyajikan data dalam bentuk diagram garis
Berikut ini diagram garis fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari
tanggal
18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008
Sumber data: http://www.google.co.id/imgres/..... diakses tanggal 11 juni 2012
Dari diagram garis di atas menunjukkan informasi mengenai fluktuasi nilai tukar
rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari
2008 artinya informasi mengenai perubahan turun naik nilai tukar rupiah terhadap
dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008. Sebagai
contoh cara membacanya perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar untuk kurs
beli dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008, dari Rp.
9.091,00
menjadi Rp. 9.093,00 sedangkan untuk kurs jual dari tanggal 18 Februari 2008 ke
tanggal 19 Februari 2008 dari Rp. 9.181,00 menjadi Rp. 9.185,00.

Sedangkan untuk menafsirkannya terjadi kenaikan nilai tukar rupiah baik beli
maupun jual dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008. Penyajian
data dengan menggunakan gambar berbentuk garis dinamakan diagram garis.
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan suatu informasi yang
menggambarkan perkembangan pengamatan dari waktu ke waktu secara terus
menerus. Melalui diagram garis kita dapat menafsirkan kecenderungan dari data
serta dapat memperkirakan suatu nilai yang belum diketahui. Sumbu X menunjukkan
waktu-waktu pengamatan sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan
untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik
pada bidang XY, selanjutnya dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan
dengan garis lurus.
Langkah-langkah dalam membuat diagram garis adalah sebagai berikut :
a) Untuk menggambar diagram garis yang diperlukan sumbu mendatar (sumbu
X) dan sumbu tegak (sumbu Y) yang saling tegak lurus.
b) Sumbu mendatar menyatakan waktu pengamatan, sedang sumbu tegak
menyatakan nilai data pengamatan.
c) Gambar titik sesuai waktu dan nilai data pengamatan.
d) Hubungkan titik-titik yang ada sehingga diperoleh suatu garis lurus.

Olahraga
25 %
Pramuka
Memasak
25 %
Menyanyi
10%
5. Menyajikan data dalam bentuk diagram lingkaran
Berikut ini diagram lingkaran jenis ekstrakurikuler di suatu SMP yang diikuti
oleh
500 siswa.
Dari diagram lingkaran di atas menunjukkan informasi mengenai jenis
ekstrakurikuler di suatu SMP. Banyak siswa yang memilih ekstrakurikuler olahraga
ada 25 % dari 500 siswa SMP. Jadi terdapat 125 siswa yang memilih
ekstrakurikuler
olahraga di SMP tersebut. Penyajian data dengan menggunakan gambar berbentuk
daerah lingkaran dinamakan diagram lingkaran. Dalam membuat diagram lingkaran
didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring sesuai dengan
data yang ada. Luas juring-juring sebanding dengan sudut pusat lingkaran dan
banyak data yang ada. Diagram lingkaran lebih cocok untuk menyatakan
perbandingan jika data itu terdiri dari beberapa kategori.

Langkah-langkah dalam membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut:
a) Buat lingkaran dengan menggunakan jangka.
b) Tentukan juring sudut dari masing-masing data yang ada dengan rumus:
a.
.360.
..
data seluruh frekuensidata frekuensidatasudutJuringxx
c) Tentukan persentase dari masing-masing data yang ada dengan rumus:
d) %100.
..
data seluruh frekuensidata frekuensidataPersenxx
e) Gambar beberapa juring sudut data sesuai perhitungan di atas.
f) Masing-masing sudut pusat juring diberi keterangan sesuai data yang ada.
g) Alternatif untuk memudahkan membuat tabel seperti berikut:
Kategori data
Frekuensi
Derajat
Persen

6. Ogif
Ogif adalah grafik distribusi frekuensi kumulatif. Grafik distribusi frekuensi
kumulatif
kurang dari disebut ogif positif sedangkan grafik distribusi frekuensi kumulatif
lebih
dari disebut ogif negatif. Sebelum membahas tentang ogif, terlebih dulu dibahas
tabel
distribusi frekuensi. Untuk data yang relatif banyak tentu tidak mungkin untuk
menulis semua nilai berjajar, oleh karena itu dibuat yang lebih ringkas yang
disebut
tabel frekuensi
Berikut ini adalah data mengenai nilai ulangan bahasa Indonesia dari 50 siswa
kelas
X di suatu SMA
31 31 50 50 60 60 60 60 60 65
65 65 65 70 70 70 70 70 70 75
75 75 75 75 75 75 75 75 75 75
75 80 80 80 80 80 80 80 80 80
80 85 85 85 95 95 95 95 95 98

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi tunggal
dengan
dua kolom yaitu kolom x = nilai ulangan bahasa Indonesia dan kolom f adalah
kolom
frekuensi sebagai berikut.
Tabel distribusi Frekuensi Nilai Ulangan Bahasa Indonesia
Nilai Ulangan Bahasa Indonesia (x)
Frekuensi (f)
31
2
50
2
60
5
65
4
70
6
75
12
80
10
85
3
95
5
100
1
Jumlah
50
Selanjutnya data tersebut dibuat dalam tabel distribusi frekuensi kelompok.
Untuk
membuat tabel distribusi frekuensi kelompok, dibuat kelas-kelas dengan panjang
interval tertentu. Kemudian ditentukan frekuensi untuk masing-masing kelas.
Untuk

membuatnya dengan menggunakan langkah-langkah yang telah diuraikan di atas
Tabel frekuensi kelompok seperti berikut ini.
Nilai Ulangan Bahasa
Indonesia
Turus (Tally)
Frekuensi
(f)
31 - 40
ll
2
41 - 50
ll
2
51 - 60
Llll
5
61 -70
llll llll
10
71 - 80
llll llll llll llll ll
22
81 - 90
lll
3
91 - 100
llll l
6
Jumlah
50

Beberapa istilah yang berhubungan dengan tabel frekuensi kelompok adalah:
a) Batas bawah kelas dan batas atas kelas
b) Misal untuk kelas pertama yaitu kelas 31 40, batas bawah kelas adalah 31�
dan batas atas kelas adalah 40.
c) Tepi bawah kelas dan tepi atas kelas
d) Untuk kelas 31 40, tepi bawah kelas adalah 30,5 dan tepi atas kelas adalah�
40,5. Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi setengah satuan
pengukuran terkecil. Sedangkan tepi atas kelas diperoleh dari batas atas kelas
ditambah setengah satuan pengukuran terkecil.
e) Panjang interval kelas
f) Untuk kelas 31 40, panjang interval kelas adalah 10�
g) Titik tengah kelas
h) Untuk kelas 31 40, titik tengah kelas adalah = 35,5�
24031.
i) Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan tabel distribusi
frekuensi kelompok ini adalah:
. Hindari kelas interval yang tidak menampung nilai data
. Semua data harus tertampung dalam tabel distribusi frekuensi
Selanjutnya untuk membuat ogif perlu dibahas tabel distribusi frekuensi
kumulatif
kurang dari. Tabel ini menyatakan jumlah frekuensi semua nilai yang kurang dari
atau sana dengan tepi atas tiap kelas dan diberi lambang dengan fk . . Dari� �
data di
atas dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari seperti berikut.
Nilai ulangan Bahasa Indonesia
Frekuensi kumulatif (fk .)
. 40,5
2
. 50,5
4
. 60,5
9
. 70,5
19
. 80,5
41
. 90,5
44
. 100,5
50

Berikutnya dibahas tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Tabel ini
menyatakan jumlah frekuensi semua nilai yang lebih dari atau sama dengan tepi
bawah tiap kelas dan diberi lambang dengan fk . . Dari data di atas dibuat� �
tabel
distribusi frekuensi kumulatif lebih dari seperti berikut.
Nilai ulangan Bahasa Indonesia
Frekuensi kumulatif (fk =)
. 30,5
50
.40,5
48
.50,5
46
.60.5
41
.70,5
31
.80,5
9
. 90,5
6
Dari data tentang nilai ulangan bahasa Indonesia 50 siswa tersebut di atas akan
dibuat histogram dan poligon frekuensi serta ogif kurang dari dan ogif lebih
dari.
Histogram adalah grafik distribusi frekuensi yang digunakan untuk menunjukkan
sebaran atau distribusi frekuensi suatu data. Bentuk histogram mirip dengan
diagram
batang tetapi dalam histogram tidak terdapat ruang diantara batang-batangnya
atau
batang-batangnya berhimpitan. Batang berbentuk persegi panjang dengan panjang
batang menyatakan frekuensi sedangkan lebar batang menyatakan panjang interval.
Histogram digambarkan dalam sebuah bidang yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu
tegak untuk menyatakan frekuensi sedangkan sumbu mendatar untuk menyatakan
kelas interval. Masing-masing sumbu dibuat skala. Untuk menggambar histogram,
nilai yang digunakan adalah nilai tepi kelas. Untuk memudahkan dibuat tabel
penolong berikut ini:

0
10
20
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
nilai
90,5
100,5
Frekuensi
.
.
5
.
.
15
Histogram Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas X
Nilai
Ulangan Bahasa Indonesia
Frekuensi
(f)
Tepi bawah
kelas
Tepi atas
kelas
Titik tengah
kelas
31 40�
2
30,5

40,5
35,5
41 50�
2
40,5
50,5
45,5
51 60�
5
50,5
60,5
55,5
61 70�
10
60,5
70,5
65,5
71 80�
22
70,5
80,5
75,5
81 90�
3
80,5
90,5
85,5
91 100�
6
90,5
100,5
95,5

Jumlah
50
Jika titik tengah setiap sisi atas persegi panjang histogram dihubungkan akan
diperoleh grafik yang disebut poligon frekuensi. Untuk menggambar poligon
frekuensi diperlukan titik tengah masing-masing kelas.

40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5
100,5
fk
Ogif Positif Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas X
.
.
.
.
.
.
.
.
20
40
.
.
10
.
.
30
.
50
Nilai
2
4
9
19

41
44
50
Dari tabel distribusi frekuensi kelompok ini dicari titik tengah kelas interval
dengan
rumus:
2kelasatasbataskelasbawahbatasinterval kelas tengah titik
.
.
Ogif positif dari data di atas seperti berikut

Ogif Negatif Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas X
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5
fk
.
.
.
.
.
.
.
.
0
20
40
.
.
10
.
.
30
.
50
Nilai
6
9
31
41

46
48
50
30,5
.
Ogif negatif dari data di atas seperti berikut
C. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran
penyebaran data serta penafsirannya
1. Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan dari data adalah suatu nilai yang dapat mewakili data tersebut.
Suatu data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat
pada nilai pemusatan ini. Ukuran statistik yang menjadi pusat dari data dan
dapat
memberikan gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran
pemusatan data terdiri dari mean, median dan modus.
a. Mean
1). Mean data tunggal
Mean = atau , dengan = jumlah nilai data
nxxxn......21
nxxnii..
.1_
..
niix1
n = banyak data, xi = data ke-i

2). Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi
Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi tunggal, dengan
menggunakan rumus berikut ini: dengan fi adalah frekuensi untuk nilai
xi dan xi adalah data ke-i
.
.
.
..niiniiifxfx11_
3). Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok dapat
dicari
dengan menggunakan cara langsung atau dengan menggunakan rata-rata sementara
1). menggunakan cara langsung
Rumus mean = , dengan fi adalah frekuensi untuk nilai xi dan xi adalah
titik tengah interval kelas ke-i.
Contoh:
Tentukan mean dari nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel berikut
Nilai Matematika
Frekuensi (fi)
Titik tengah interval kelas (xi)
40 49�
4
44,5
178
50 59�
6
54,5
327
60 69�
10
64,5
645
70 79�
4
74,5
298

80 89�
4
84,5
338
90 99�
2
94,5
189
=30 ..
61iif
=1975 ..
61iiixf
Mean = 65,8301975
...
.
.
.
.
niiniiifxfx11_

2). Dengan menggunakan rata-rata sementara
Menentukan mean dengan menggunakan rata-rata sementara digunakan rumus:
Mean = T +
.
.
iiiiifsf
dengan T adalah rata-rata sementara dan adalah jumlah frekuensi .
simpangan
..
niiixf1
Langkah mencari mean dengan rata-rata sementara adalah sebagai berikut:
a) Tentukan rata-rata sementara misal T
b) Tentukan simpangan si dari rata-rata sementara
c) Tentukan mean yaitu T +
.
.
iiiiifsf
Contoh
Dari data nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel di atas, akan dicari
mean
dengan menggunakan rata-rata sementara sesuai langkah-langkah yang telah
dijelaskan di atas. Pilih rata-rata sementara sembarang, salah satu dari nilai
Xi misal
T = 64,5 dan buat tabel dengan tambahan kolom titik tengah (xi), simpangan (si),
dan
kolom fi .si
Nilai
Frekuensi (fi)
Titik Tengah (xi)
Simpangan si = xi . T
fi.si
40 49�
4
44,5
. 20
. 80
50 59�
6
54,5
. 10

. 60
60 69�
10
64,5 = T
0
0
70 79�
4
74,5
10
40
80 89�
4
84,5
20
80
90 99�
2
94,5
30
60
Jumlah
Sfi= 30
Sfi si=40

Mean = T + = 64,5 + = 65,8
3040
b. Median
1. Median untuk data tunggal
Median adalah suatu nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median
dilambangkan dengan Me.
Untuk menentukan median dari data tunggal dilakukan dengan cara:
a). Urutkan data dari kecil ke besar, kemudian dicari nilai tengahnya
b). Jika banyak data besar, setelah diurutkan digunakan rumus
1). Untuk n ganjil Me =
)1(
21
.nx
2). Untuk n genap Me =
2122
.
.nnxx
Contoh
Tentukan median dari data yang terdapat dalam tabel berikut
Nilai
2
3
4
5
6
7
8
9
Frekuensi
4
4
6
8
12

6
7
3
Penyelesaian:
Banyaknya data n = 50 (genap), dan karena data dalam tabel sudah urut untuk
mencari median digunakan rumus: Me =
2122
.
.nnxx
Sehingga diperoleh: = = 6
22625xx.
266.

L
A
Wide upward diagonal
Frekuensi
Kelas Median
Nilai
x
2. Median untuk data yang sudah dikelompokkan
Perhatikan gambar histogram berikut.
A = median
L = tepi bawah kelas median
Persegi panjang yang diarsir mewakili frekuensi dengan:
Jumlah luas persegi panjang warna kelabu = fk (jumlah frekuensi sebelum kelas
median).
Jumlah luas persegi panjang warna kelabu ditambah dengan luas persegi panjang
yang
diarsir adalah = n (setengah dari jumlah frekuensi)
21
Luas persegi panjang yang diarsir adalah n . fk
Dengan demikian median = L + LA = L+ x
Kelas median mempunyai frekuensi fmed dan panjang interval kelas i.
Jadi,
medkffnix
.
.21

Jadi rumus median adalah:
Me = iffnLmedk).21(
.
.
L = tepi bawah kelas median
n = jumlah frekuensi
fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median
fmed = frekuensi kelas median
i = panjang interval kelas
Contoh
Tentukan median dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut.
Nilai Matematika
Frekuensi (fi)
40 49�
4
50 59�
6
60 69�
10
70 79�
4
80 89�
4
90 99�
2
=30
Penyelesaian
Setengah dari seluruh data (30) = 15. Jadi median akan terletak di kelas 60 �
69. Oleh karena
itu kelas median adalah kelas 60- 69.
Untuk tabel soal di atas

L = tepi bawah kelas median = 59,5
n = jumlah frekuensi= 30
fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median = 4 + 6 = 10
fmed = frekuensi kelas median = 10
i = panjang interval kelas= (69 60) + 1 = 10�
Me = = 59,5 + = 59,5 + 5 = 64,5 10).
101015(
.

Frekuensi
L
Mo
B
C
A
D
F
G
E
x
Nilai
c. Modus
1. Modus dari data tunggal
Modus adalah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi. Modus
dilambangkan
dengan Mo. Jika suatu data mempunyai satu modus disebut unimodus dan bila
memiliki dua
modus disebut bimodus, sedangkan jika memiliki lebih dari dua modus disebut
multimodus.
Contoh:
Berikut ini adalah data nilai ulangan Bahasa Inggris dari 30 siswa kelas X:
Nilai Ulangan Bahasa Inggris
Frekuensi
4
4
5
10
6
14
7
6

8
6
9
6
Berdasarkan tabel di atas, nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi adalah nilai
6. Jadi
modusnya adalah 6.
2. Modus dari data yang sudah dikelompokkan
Perhatikan histogram diatas. Tinggi persegi panjang frekuensi (f) dan lebarnya
menyatakan panjang interval kelas (i). Persegi panjang yang paling tinggi adalah
kelas
modus karena frekuensinya tertinggi (terbesar). Kelas ini mempunyai tepi bawah
kelas L
dan modus data (Mo) dihitung sebagai berikut: Mo = L + x = L + EF.
Untuk mecari nilai EF perhatikan dua segitiga sebangun ABF dan DCF.
AB = frekuensi kelas modus frekuensi kelas sebelum kelas modus = d1�

CD = frekuensi kelas modus - frekuensi kelas setelah kelas modus = d2
EF + FG = i
=
ABEF
CDFG
. =
1dEF
2)(
dEFi.
. d2 EF = d1(i EF)�
. (d1+d2) EF = d1 i
. EF = iddd).(
211
.
Sehingga diperoleh, Mo = L + x = L + EF = L +
dengan,
Mo = modus
L = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh:
Tentukan modus dari 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut.
Nilai Matematika
Frekuensi (fi)
40 49�
4
50 59�
6
60 69�
10
70 79�
4

80 89�
4
90 99�
2
=30
Penyelesaian:
Kelas modus adalah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi, yaitu kelas 60 �
69
L = tepi bawah kelas modus = 59,5
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya= 10 6 = 4�
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 10 -4 = 6
i = panjang interval kelas = (69 60) + 1�

Modus = L + = 59,5 + = 59,5 + 4 = 63,5 10).
644(
.
3. Ukuran letak
Ukuran letak digunakan untuk menggambarkan letak data terhadap keseluruhan data.
Ukuran letak diantaranya adalah kuartil (Q), desil (D) dan presentil (P).
a. Kuartil (Q)
Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah data
diurutkan dari
kecil ke besar. Jadi terdapat tiga nilai yang menjadi batas masing-masing
bagian. Ketiga nilai
itu disebut kuartil 1 (Q1) disebut kuartil bawah, kuartil 2 (Q2) disebut kuartil
tengah atau
median, kuartil 3 ( Q3) disebut kuartil atas
1). Kuartil data tunggal
Cara pertama:
a) Tentukan median dulu atau Q2, setelah data diurutkan
b) Tentukan datum yang membagi dua data sebelah kiri median. Datum ini adalah
Q1.
Selanjutnya tentukan datum yang membagi dua data sebelah kanan median Datum ini
adalah Q3.
Cara kedua dengan menggunakan rumus urutan:
. Menggunakan rumus urutan kuartil alternatif 1
{
( ) untuk ganjil
( ) untuk genap
{
( ) untuk ganjil
(
)untuk genap
{
( )

. Menggunakan rumus urutan kuartil alternatif 2
Qi =
4)1(.niY
Qi = kuartil ke i�
n = banyak data
Q1 = kuartil ke-1 disebut kuartil bawah
Q2 = kuartil ke-2 disebut kuartil tengah atau median
Q3 = kuartil ke-3 disebut dengan kuartil atas
2). Kuartil dari data yang dikelompokkan
Rumus dari kuartil data yang dikelompokkan sebagai berikut Qk = Lk +
iffknkQk).4(
.
Qk = kuartil ke-k dengan k=1,2,3
Lk = tepi bawah kelas kuartil ke-k
n = banyak data
fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-k
= frekuensi kelas kuartil ke-k kQf
Q1 = kuartil ke-1 disebut kuartil bawah
Q2 = kuartil ke-2 disebut kuartil tengah atau median
Q3 = kuartil ke-3 disebut dengan kuartil atas
b. Desil
Desil membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar, setelah data diurutkan.
1). Desil data tunggal
Di =
10)1(.niY
Di = Desil ke i, i = 1,2,...9�
n = banyak data

2). Desil untuk data yang sudah dikelompokkan
Rumus:
Dk = Lk + iffknkDk).10(
.
Dk = desil ke-k dengan k = 1,2,3, ... 9
Lk = tepi bawah kelas desil ke-k
n = banyak data
fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-k
= frekuensi kelas desil ke-k
kDf
c. Presentil
Presentil membagi data menjadi 100 bagian yang sama banyak, setelah data
diurutkan.
1). Presentil data tunggal
Dengan menggunakan rumus urutan: Pi =
100)1(.niY
Pi = Presentil ke i, i = 1,2,...99, n = banyak data�
P1 = presentil ke 1 adalah data yang terletak pada urutan ke - dan seterusnya�
sampai dengan P9 = presentil ke 9 adalah data yang terletak pada urutan ke - .�
100)1(1.n
100)1(9.n
2). Presentil dari data yang telah dikelompokkan
Nilai presentil ke- k (Pk) dari data yang dikelompokkan dirumuskan
Pk = Lk +
Pk = presentil ke-k dengan k =1,2,3, ... 99
Lk = tepi bawah kelas presentil
n = banyak data
fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas presentil ke-k
= frekuensi kelas presentil ke-k
kPf

4. Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik
pemusatan. Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range), jangkauan
antarkuartil/Rentang antarkuartil/Hamparan, simpangan kuartil/rentang semi
antarkuartil, simpangan baku(deviasi standar), ragam(variansi) dan simpangan
kuartil.
a. Jangkauan (range)
. Jangkauan (range) data tunggal
J = selisih data terbesar dengan data terkecil
. Jangkauan (range) dari data yang dikelompokkan
Untuk data yang dikelompokkan jangkauan (range) adalah selisih dari titik
tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah
Contoh:
Tentukan jangkauan (range) dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam
tabel
berikut
Nilai Matematika
Frekuensi (fi)
40 49�
4
50 59�
6
60 69�
10
70 79�
4
80 89�
4
90 99�
2

Penyelesaian:
Titik tengah kelas terendah = 45,5
Titik tengah kelas tertinggi = 95,5
J = 95,5 . 45,5 = 50
b. Jangkauan antarkuartil/Rentang antarkuartil/Hamparan
Definisi
Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga( Q3) dengan kuartil
pertama (Q1), ditulis dengan notasi H� �
H = Q3 - Q1

c. Simpangan kuartil/Rentang semi antarkuartil
Definisi
Simpangan kuartil/Rentang semi antarkuartil adalah setengah kali panjang satu
hamparan, ditulis dengan notasi Qd
Qd =
H =
(Q3 - Q1)
d. Langkah
Definisi
Langkah adalah satu setengah kali panjang satu hamparan, ditulis dengan notasi L
L = 1
H =1
(Q3 - Q1)
e. Pagar dalam
Definisi
Pagar dalam adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil
pertama
(Q1). Pagar dalam = Q1 - L
f. Pagar Luar
Definisi

Pagar Luar adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga
(Q3)
Pagar Luar = Q3 + L
Pagar dalam dan pagar luar digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya
nilai data. Untuk menentukan nilai suatu data normal atau tidak dengan
menggunakan cara berikut ini:
1) Untuk setiap nilai data xi yang terletak di antara batas-batas pagar dalam
dan
pagar luar disebut data normal ditulis dengan ( Q1 L = xi = Q3 + L )�
Data disebut normal jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak
jauh berbeda
2) Untuk setiap nilai data xi yang kurang dari pagar dalam ( xi . Q1 L) atau�
lebih dari pagar luar (xi . Q3 + L ) disebut data tak normal. Data yang tak

normal ini disebut juga pencilan. Jadi data pencilan adalah data yang tidak
konsisten dalam kelompoknya
Data disebut normal jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak
jauh berbeda
g. Simpangan baku(deviasi standar)
Simpangan baku (deviasi standar) dilambangkan dengan s
1) Simpangan baku data tunggal dirumuskan:
atau
nxxsnii..
.
.12_
)(
221_
12)()(
nxxnsninii..
..
.
.
dengan xi = data ke-i
2) Simpangan baku dari data yang dikelompokkan dirumuskan
atau
nxxsnii..
.
.12_
)(
21212)()(
nxxnsniinii..
..

.
.
dengan xi = titik tengah interval kelas i
h. Ragam atau variansi
Ragam atau variansi dilambangkan dengan s2
1) Ragam atau variansi data tunggal, dirumuskan:
atau dengan xi = data ke-i 211222)()(
nxxnsniniii..
..
.
.
nxxsnii21_
2)(..
.
.
2) Ragam atau variansi dari data yang sudah dikelompokkan, dirumuskan
atau
dengan xi = titik tengah interval
kelas i
nxxsnii21_
2)(..
.
.

BAGIAN V
PENUTUP
A. Rangkuman
Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua
bidang ilmu pengetahuan, misalnya astronomi, linguistika, bidang ekonomi,
biologi
dan psikologi serta cabang-cabang terapannya banyak dipengaruhi oleh statistika
dalam metodologinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam
fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen
tersendiri maupun tergabung dengan matematika.
Hasil suatu penelitian ataupun pengamatan baik yang dilakukan khusus ataupun
berbentuk laporan, dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angka.
Kumpulan angka itu sering disusun, diatur atau disajikan dalam bentuk daftar
atau
tabel. Sering pula daftar atau tabel disertai dengan gambar yang biasanya
disebut
diagram atau grafik. Pada umumnya orang menamakan ini semua dengan statistik.
Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta. Selain itu
kata
statistik mengandung pengertian lain yaitu untuk menyatakan ukuran sebagai wakil
dari kumpulan data mengenai suatu hal. Ukuran ini didapat berdasarkan
perhitungan
dari sebagian kumpulan data.
Dari hasil penelitian atau pengamatan, baik yang dilakukan khusus atau berbentuk
laporan sering memerlukan uraian atau penjelasan atau kesimpulan tentang
penelitian tersebut. Sebelum kesimpulan dibuat, data yang telah terkumpul
dipelajari
terlebih dahulu, dianalisis atau diolah. Semua yang diuraikan di atas merupakan
pengetahuan yang diberi nama statistika. Fase statistika yang berhubungan dengan
penarikan kesimpulan dinamakan statistika induktif. Fase dimana hanya berusaha
melukiskan dan menganalisis kelompok yang diberikan tanpa menarik kesimpulan
tentang kelompok yang lebih besar dinamakan statistika deskriptif.
Tahap awal pada kegiatan statistika adalah pengumpulan data. Datum adalah
keterangan yang diperoleh melalui suatu pengamatan dapat berupa angka, lambang
ataupun sifat. Kumpulan datum dinamakan data. Data merupakan bentuk jamak dari

datum. Ada 2 cara pengumpulan data yaitu pengumpulan data secara keseluruhan
dan pengumpulan data berdasar sampel. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan
mencacah, mengukur dan mencatat data dengan turus(tally). Setelah data
dikumpulkan,langkah berikutnya adalah menyajikan data.
Tujuan penyajian data adalah untuk memberikan gambaran yang sistematis tentang
peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, data yang
disajikan mudah dimengerti oleh pengguna data, memudahkan dalam membuat
analisa data serta mempercepat proses pengambilan kesimpulan.
Ukuran pemusatan dari data adalah suatu nilai yang dapat mewakili data tersebut.
Suatu data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat
pada nilai pemusatan ini. Ukuran statistik yang menjadi pusat dari data dan
dapat
memberikan gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran
pemusatan data terdiri dari mean, median dan modus. Ukuran letak digunakan untuk
menggambarkan letak data terhadap keseluruhan data. Ukuran letak diantaranya
adalah kuartil (Q), desil (D) dan presentil (P). Ukuran penyebaran memberikan
gambaran seberapa besar data menyebar dari titik pemusatan. Ukuran penyebaran
meliputi jangkauan (range/rentang), jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil,
langkah, pagar dalam, pagar luar, simpangan baku(deviasi standar),dan
ragam(variansi).

DAFTAR PUSTAKA
Husein Tampomas, 2007, Seribu Pena Matematika untuk SMA/MA Kelas XI, Jakarta:
Erlangga.
Ismail, 2002, Statistika, Jakarta: Direktorat PLP
Kurniawan dan Suryadi, 2007, Olimpiade Matematika SMP, Jakarta: Erlangga
Kusrini. 2003. Statistika. Jakarta: Direktorat Pendidikan Lanjutan Pertama
Nugroho Budiyuwono. 1990. Pelajaran Statistik. Yogyakarta: BPFE
Iryanti, Puji, 2006, Statistika. Yogyakarta: PPPPTK Matematika
Suryo Guritno. 1996. Hand Out Pengantar Statistik matematika. Jogjakarta:
Program
Pasca sarjana Universitas Gadjah Mada
Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika Kelas XI Program
Studi
Ilmu Alam SMA & MA. Jakarta: Bumi Aksara
Sudjana, 1996. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito
Sugiman. 2006. Soal Cerita Bagi Penggemar Matematika. Yogyakarta: PPPPTK
Matematika
Widyantini. 2007. Statistika. Yogyakarta: PPPPTK Matematika
Wirodikromo Sartono, 2007, Matematika untuk SMA kelas XI, Semester I, Jakarta:
Erlangga.
https://ansimath.wordpress.com/2010/06/10/tokoh-tokoh-bidang-statitstika/
diakses tanggal 20 februari 2015.

KOMBINATORIK DAN PELUANG
BAGIAN I
PENDAHULUAN
A. PENGANTAR ISI
Bahan bacaan ini diperuntukkan bagi guru matematika sekolah menengah meliputi
guru SMP, SMA, dan SMK. Materi kombinatorik dan peluang yang diberikan pada
bahan bacaan ini terdiri dari 2(dua) macam. Bahan bacaan I dengan topik
Kombinatorik dan peluang pada pengundian, dan bahan bacaan II dengan topik�
Kombinatorik dan peluang pada pengambilan sampel . Bahan bacaan I lebih� �
banyak
terkait dengan materi peluang di SMP dan bahan bacaan II lebih banyak terkait
dengan materi peluang di SMA dan SMK. Peluang adalah ukuran ketidakpastian
munculnya suatu peristiwa dalam suatu ruang sampel hasil dari sebuah
eksperimen. Eksperimen yang dimaksud dalam ilmu peluang adalah percobaan�
acak dimana si pelaku eksperimen dijamin tidak dapat mengatur hasil�
eksperimennya. Sehingga jika tidak ada jaminan bahwa si pelaku eksperimen�
tidak
dapat mengatur hasil eksperimennya maka dikatakan bahwa eksperimen yang�
dilakukannya tidak fair atau tidak adil .� � � �
Ukuran ketidakpastian yang dimaksud merupakan nilai frekuensi relatif
munculnya peristiwa itu jika eksperimen yang dilakukannya berulang sampai
dengan tak hingga kali. Namun karena ketidakmungkinan seseorang melakukan
eksperimen sampai dengan tak hingga kali, maka biasanya orang (si pelaku
eksperimen) hanya akan melakukannya sampai dengan ribuan kali tertentu
saja. Sebagai contoh misalnya untuk mengetahui berapa peluang munculnya masing-
masing sisi mata uang logam jika diadakan eksperimen melalui tossing dengan� �
cara
melambungkannya ke udara dan membiarkannya jatuh ke sebuah lantai bersemen.
Untuk mengetahui nilai peluangnya penulis mengutip dari buku rujukan Applied�
Finite Mathematics karangan Prof. Howard Anton untuk eksperimen tehadap�
sekeping mata uang logam. Terinspirasi dengan eksperimen tersebut penulis di
tahun 2001 mencoba untuk melakukannya secara pribadi atas sebuah paku payung

warna putih gilap yang biasa digunakan untuk menata taplak-taplak meja pada
kegiatan hajatan. Paku payung semacam ini selanjutnya kita sebut/definisikan
sebagai paku payung standar .� �
Kini seperti yang akan saudara ketahui nantinya pada bahan bacaan I, setelah
dilakukan eksperimen berulang mulai dari 1.000 kali, 5.000 kali, 10.000 kali,
15.000
kali, hingga 20.000 kali akan tampak bahwa nilai frekuensi relatifnya memiliki
nilai
kecenderungan ke bilangan 0,5 untuk munculnya muka angka (A) pada mata uang
logam dan memiliki nilai kecenderungan ke bilangan 0,31 untuk munculnya hasil
miring pada paku payung standar. Selanjutnya dengan pembulatan yang sudah
dianggap cukup baik dan mendekati ketepatan hingga 1 tempat desimal akan
diperolah nilai kecenderungan frekuensi relatif munculnya masing-masing hasil
adalah 0,5 untuk munculnya muka angka pada mata uang logam dan 0,3 untuk
munculnya hasil miring pada paku payung standar. Dalam bentuk pecahan biasa
peluang masing-masing adalah
dan
21
.103
Kedua obyek eksperimen ini (mata uang logam dan paku payung) sengaja diangkat
sebagai contoh obyek eksperimen agar kesalahan persepsi selama ini bahwa
berbicara masalah peluang selalu dianggap bahwa peluang munculnya peristiwa A
dalam ruang sampel S yakni AS adalah .
P(A) = selalu benar padahal tidak selalu benar.
)(
)(
SnAn
Rumus nilai peluang tersebut benar jika obyek eksperimennya berdistribusi
(tersebar secara) seragam dan tidak benar jika obyek eksperimennya tidak
berdistribusi seragam. Berdistribusi seragam artinya masing-masing hasil yang
mungkin muncul pada setiap sisi obyek eksperimennya berpeluang sama untuk
muncul. Contohnya misal masing-masing sisi pada obyek eksperimen yang berupa
mata uang logam, dadu, dan kartu gambar (sisi sebaliknya kosong/tak bergambar)
berpeluang sama untuk muncul.
Perhitungan nilai peluang untuk setiap peristiwa AS selalu benar jika kita
gunakan

S
A
10021 s2
s3
1009
s1
10049
s4
B
Gambar 1.a
A
s1
41
s2
s3
s4
B
S
Gambar 11.b
prinsip penjumlahan, yakni peluang munculnya peristiwa AS sama dengan jumlah
peluang munculnya masing-masing titik sampel yang terdapat pada peristiwa A.
Sebagai contoh selidiki bahwa pada contoh
ini peluang munculnya ruang sampel S
adalah
P(S) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + P({s4})
= + + + 1009
10021
10021
10049
= = 1. 100100
Dengan cara yang sama akan diperoleh
P(A) = P(B) = dan P(AB) = ,10058,10091
..10049
Kini perbedaannya dengan ruang sampel S yang berdistribusi tak seragam seperti
di
atas dibanding dengan ruang sampel S yang berdistribusi dapat diberikan gambaran

seperti berikut.
Perhatikan kedua peristiwa A, BS dengan nilai-nilai peluang munculnya masing-
masing peristiwa elementer {si}S adalah P({si}) = seperti berikut ini.
.
41
Perhatikan dari diagram Venn bahwa:
P(A) = P({s1}) + P({s2})
= + = = 42.21
P(B) = P({s2}) + P({s4})
= + = =
P(AB) = P({s2}) = ..41
Karena ruang sampel berdistribusi seragam maka selain berlakunya prinsip
penjumlahan juga berlaku rumus P(A) = untuk setiap peristiwa AS. Kita coba
betulkah
)(
)(
SnAn

P(A) = dan P(B) = )(
)(
SnBn
= = = =
Ternyata benar. Yakni untuk ruang sampel S yang berdistribusi seragam maka
untuk setiap peristiwa A, BS berlaku:
P(A) = dan P(B) =
B. TARGET KOMPETENSI
Target kompetensi yang hendak dicapai dari bahan diklat ini adalah Peserta�
diklat
pasca Uji Kompetensi Guru (UKG) dapat menentukan (1) ruang sampel, titik�
sampel,
peristiwa, banyak anggota, dan (2) nilai peluang munculnya peristiwa yang
mungkin
pada setiap eksperimen (percobaan acak) yang diketahui.
Himpunan semua hasil (eksperimen) yang mungkin dari suatu eksperimen yang
diberikan (diketahui) didefinisikan sebagai Ruang Sampel dan umumnya� �
dilambangkan dengan huruf kapital S . Sedangkan masing-masing hasil yang� �
mungkin terjadi itu yang merupakan elemen-elemen dari S disebut sebagai titik
sampel. Sementara himpunan bagian dari S yang mungkin terjadi sepoerti AS
disebut sebagai peristiwa atau kejadian dalam ruang sampel S.
Kini jika jika dalam ruang sampel S peristiwa A memuat lebih dari 1 (satu) titik
sampel maka A disebut sebagai peristiwa majemuk dan jika A memuat tepat
1(satu) titik sampel maka A disebut sebagai peristiwa sederhana atau peristiwa
elementer (elementary event).
Selain itu peserta diklat dapat menentukan banyak angota (banyak titik sampel
yang terdapat pada setiap peristiwa yang didefinisikan dalam ruang sampel S)
seperti
peristiwa A, BS dalam bentuk kata-kata/kalimat, menentukan nilai
peluangnya, serta mengidentifikasi relasi antar peristiwa dalam ruang sampel S
tersebut untuk eksperimen yang berupa:

1. Pengundian (tidak melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi)
2. Pengambilan Sampel (melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi)
Pengundian yang dimaksud adalah eksperimen (percobaan acak) yang melibatkan
sejumlah obyek seperti misalnya: mata uang logam, dadu, paku payung, kartu
gambar yakni kartu-kartu yang salah (kartu yang satu sisinya bergambar dan sisi
lainnya kosong/tidak bergambar), dan lain-lain. Sementara pengambilan sampel
yang dimaksud adalah pengambilan acak dari sebagian obyek (sampel) dari
sejumlah obyek yang jumlahnya lebih banyak (populasi). Bedakan antara konsep�
sampel dengan konsep ruang sampel . Sampel adalah sebagian dari� � �
keseluruhan (populasi), sedangkan ruang sampel adalah himpunan semua hasil
yang mungkin terjadi dalam suatu eksperimen (percobaan acak/tindakan acak).
C. STRATEGI PEMBELAJARAN
Pembelajaran Diklat Pasca Uji Kompetensi Guru (UKG) untuk materi Kombinatrik dan
Peluang dibagi dalam 3(tiga) tahapan kegiatan. Yakni Tahap In I (Inservice I),
Tahap
on (on the job learning) dan Tahap In II (Inservice II). Tahap I (Inservice I)
di MGMP
peserta diklat mendapatkan reviu materi kombinatorik dan peluang dari
fasilitator,
tanya jawab, dan arahan-arahan tertentu antara lain apa yang harus dilakukan
pada
kegiatan Onservice setelah kembali ke tempat tugas mengajarnya. Tahap Onservice
(sekitar 2 bulan) peserta diklat mempraktekkan hasil-hasil yang diperoleh di
tempat
kerja dan Tahap III (Inservice II) peserta diklat melaporkan (melalui kegiatan
presentasi) pengalaman mengajarnya saat kegiatan Onservice di tempat
tugas/tempat mengajar masing-masing.

BAGIAN II
AKTIVITAS
Untuk materi peluang ini aktivitas para peserta diklat dibagi dalam 3(tiga)
tahap,
yakni: tahap Inservice I, tahap Onservice, dan tahap Inservice II. Untuk
memudahkan
dalam mengingat-ingat selanjutnya dipersingkat menjadi kegiatan In - On -�
In .�
Aktivitas pada tahap Inservice I (In I) adalah tatap muka antara peserta diklat
dengan
fasilitator. Peserta mendapatkan materi pembelajaran yang diperlukan untuk
kelancaran memandu kegiatan onservicenya di tempat kerja (sekolah) serta tugas
menyelesaikan masalah sesuai dengan hasil undian. Tugas kelompok menyelesaikan
masalah merupakan tugas proyek yang hasilnya dikumpulkan pada fasilitator diklat
untuk dipresentasikan pada kegiatan tatap muka In II bersamaan dengan presentasi
penyelesaian tugas yang dibebankan secara kelompok dalam bentuk LK (Lembar
Kerja).
Aktivitas pada tahap Onservice (praktek di sekolah atau diskusi di MGMP) selama
kurun waktu sekitar 2 bulan ditambah dengan tugas kelompok penyelesaian masalah
dalam bentuk LK (Lembar Kerja) yang nantinya akan dipresentasikan pada kegiatan
In II, diharapkan dapat meningkatkan kompetensi pengetahuan dan ketrampilan
peserta dalam melaksanakan tugas mengajarnya di sekolah masing-masing.
Selanjutnya dalam rangka mencapai efektifitas dan efisiensi tujuan pembelajaran,
tugas-tugas penyelesaian masalah berikut ini meskipun fokus utamanya pada
masalah sesuai hasil undian tetapi akan lebih baik jika tiap kelompok
mengusahakan
untuk dapat mengerjakan semuanya. Tujuannya agar tiap peserta diklat In - On�
- In�
lebih dapat menghayati tingkat kesulitan masalah yang diberikan sebelum dan
sesudah presentasi serta klarifikasi hasil kerja kelompok saat kegiatan In II.
Dengan alur kegiatan In - On - In seperti di atas diharapkan peserta diklat
pasca UKG
akan meningkat kompetensi profesionalnya secara signifikan di bidang
pembelajaran
matematika khususnya materi kombinatorik dan peluang yang selama ini dirasakan
belum mantap dan belum meyakinkan. Selamat bekerja!

Masalah 1 (Pengundian)
Tiga keping mata uang logam diundi sekaligus.
Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi
dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar
diagram pohon yang saudara ciptakan itu
tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam
bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya
hingga titik sampel yang terakhir.
Pertanyaannya adalah:
a. Misalkan S adalah ruang sampel yang dihasilkan pada eksperimen ini, A adalah
peristiwa munculnya muka angka minimal 1 kali dan B adalah peristiwa
munculnya muka gambar minimal 1 kali. Tuliskan ruang sampel S, peristiwa A,
dan peristiwa B dalam bentuk himpunan s1, s2, s3, ... dan seterusnya.
b. Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian
tentukan P(S), P(A), P(B), dan P(AB) yakni nilai peluang munculnya masing-
masing dari ruang sampel S, peristiwa A, peristiwa B, dan peristiwa AB.
.
c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah
diagram Venn.
d. Selidiki relasi antara peristiwa A dan peristiwa B (pilih salah satu: lepas,
komplemen, bebas, atau tak bebas) berikan alasannya.
Masalah 2 (Pengundian)
Tiga buah paku payung diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin
dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu
tuliskan titik-titik sampel yang mungkin terjadi dalam bentuk lambang s1, s2,
s3, ... dan
seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. Pertanyaannya adalah:
a. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen ini, A adalah peristiwa
munculnya hasil maksimal 2 paku payung diantaranya miring, dan B adalah
peristiwa munculnya hasil minimal 1 paku payung diantaranya terlentang.
Tuliskan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan
dari titik-titik sampel s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

b. Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian
tentukan P(S), P(A), P(B), dan P(AB) yakni nilai peluang munculnya masing-
masing dari ruang sampel S, peristiwa A, peristiwa B, dan peristiwa AB.
diagram Venn berikut nilai-nilai peluangnya.
d. Selidiki relasi antara peristiwa A dan peristiwa B (pilih salah satu: lepas,
komplemen, bebas, atau tak bebas) berikan alasannya.
Masalah 3 (Pengambilan Sampel)
Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin (sama bentuk dan sama ukuran)
bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa
pengambilan acak sebanyak 2(dua) bola sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel
dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor
genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.
Perintahnya adalah:
a. Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon dan dari
gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel
yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik
sampel yang terakhir..
b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk
himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya.
diagram Venn.
d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B
yakni nilai masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B).
e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B.
pengambilan acak sebanyak 3(dua) bola sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel
dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya 2(dua) bola diantranya
bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:
a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon
dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik
sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya
hingga titik sampel yang terakhir..
diagram Venn.
Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari
dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2(dua) bola
satu demi satu tanpa pengembalian. Misalkan S adalah ruang sampel dari
eksperimen
tersebut, A adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap, B adalah
peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.
Perintahnya adalah:
hingga titik sampel yang terakhir..
diagram Venn.

pengambilan acak sebanyak 3(dua) bola satu demi satu tanpa pengembalian.
Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa
terambilnya 2(dua) bola diantranya bernomor genap, B adalah peristiwa
terambilnya
salah satu bola bernomor 2.
Perintahnya adalah:
hingga titik sampel yang terakhir.
diagram Venn.
Masalah 7 (Pengambilan Acak)
Gambarkan bentuk diagram pohon dari ruang sampel S dan diagram pohon dari
peristiwa A S yakni = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dari
eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian dari
obyek eksperimen 5 bola (terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih) seperti
yang
digambarkan berikut ini.
.

Gambar 3
S = Ruang sampel terambilnya secara
acak 3 bola dari 5 bola.
5 bola
1
2 1
3
2
2m dan 3p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola
1 1 tanpa pengemb�
Cara Eksp
III II I
m p p
p m p
p p m
Total = P(A) = =
P(A)
A = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2
bola putih = {(1m dan 2p)}
P(A) = artinya n(A) = 36 dan n(S) = 60.
Untuk diketahui bahwa A (peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih)
adalah salah satu peristiwa partisi dari S. Peristiwa partisi adalah peristiwa
saling
lepas tetapi gabungannya sama dengan S. Peristiwa partisi selengkapnya adalah A,
B
dan C seperti yang digambarkan dalam bentuk diagram pohon berikut ini.

Gambar 4
5 bola
1
2 1
3
2
2m dan 3p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola
1 1 tanpa�
pengembalian
Cara Eksp
S
III II I
m p p
p m p
p p m
Total P(A) =
=
m p m
m m p
p m m
p p p
B
C
A
B1
B2
B3
Keterangan
1. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa partisi
dalam ruang sampel S. Yakni peristiwa saling
lepas yang gabungannya = S.
2. B1, B2, dan B3 adalah peristiwa-peristiwa
subpartisi dari peristiwa partisi B.
Sementara ruang sampel S adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu
eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola dari 5 bola (terdiri dari 2 bola merah
dan 3 bola putih) satu demi satu tanpa pengembalian. Gambarannya seperti
berikut.

Gambar 5
n = 543 = (5 turun 1-1 sebanyak 3 faktor)
= = 60 sn = s60. Sehingga n(S) = 60.
5
bola
1
2 1
3
2
2m dan 3p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola
Cara Eksp
m1
m2
p1
p2
p1
p2
p3 m1
m2
p1
p2
p3
m2
p1
p2
p3
(m1, m2, p1) = s1
(m1, m2, p2) = s2
(m1, m2, p3) = s3
(p3, p2, p1) = sn
m1
m2
p1
S
5
cara
4
cara
3
cara
Hasil-hasil yang Mungkin
III
I
II

Gambar 5
n = 543 = (5 turun 1-1 sebanyak 3 faktor)
= = 60 sn = s60. Sehingga n(S) = 60.
5
bola
1
2 1
3
2
2m dan 3p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola
Cara Eksp
m1
m2
p1
p2
p1
p2
p3 m1
m2
p1
p2
p3
m2
p1
p2
p3
(m1, m2, p1) = s1
(m1, m2, p2) = s2
(m1, m2, p3) = s3
(p3, p2, p1) = sn
m1
m2
p1
S
5
cara
4
cara
3
cara
III
I
II
Tugas saudara sebagai peserta diklat adalah menggambar peristiwa AS yakni
peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dalam bentuk diagram pohon
(boleh menggunakan diagram pohon tak lengkap seperti gambar 4 di atas) namun
tetap dapat memperlihatkan bahwa n(A) = 36 seperti halnya gambar ruang sampel S
yang tetap dapat memperlihatkan bahwa n(S) = 60 meski diagram pohonnya
digambar dalam bentuk tak lengkap.
.

Gambar 6
4 5 6
7
1 2
3
II I
8 9 10
III
Pilih bebas
2 nomor
soal
diantaranya
Pilih bebas
3 nomor
soal
diantaranya
Pilih bebas
1 nomor
soal
diantaranya
Masalah 8 (Prinsip Perkalian)
Misalkan dalam suatu ulangan harian disediakan 10 soal seperti yang digambarkan
berikut ini.
Dari kesepuluh soal tersebut siswa diminta memilih secara bebas sebanyak 6 soal
dengan ketentuan sebagai berikut. Sebanyak 2 soal diantaranya diminta untuk
memilih dari soal nomor 1 s.d 3, sebanyak 3 soal diantaranya diminta untuk
memilih
dari soal nomor 4 s.d 7, dan sebanyak 1 soal diantaranya diminta memilih dari
nomor-nomor soal sisanya. Ada berapa cara (banyaknya semua pilihan soal yang
mungkin) rangkaian nomor-nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh
seorang siswa pada ulangan itu?
Perintahnya adalah:
a. Gambarkan kerangka berpikir penyelesaiannya dalam bentuk diagram pohon
b. Tentukan banyak anggota ruang sampel S yakni banyaknya semua pilihan
rangkaian nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang
siswa pada ulangan itu.
c. Nyatakan n(S) yakni banyaknya semua rangkaian pilihan nomor soal yang
mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa itu dalam bentuk
permutasi atau kombinasi.
Catatan:
Untuk dapat mengerjakan dengan baik silahkan saudara pelajari terlebih dahulu
dengan cermat materi Kombinatorik dan Peluang yang ada pada bahan bacaan di� �
Bagian III berikut ini.

BAGIAN III
BAHAN BACAAN
BAHAN BACAAN I
KOMBINATORIK (TEKNIK MENGHITUNG) BANYAKNYA ANGOTA RUANG
SAMPEL
A. Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan
Masalah 1 (Konsep Peluang)
Apa yang akan terjadi bila kita undi sekeping mata uang logam sebanyak 20.000
kali
dan apa yang akan terjadi jika kita undi sebuah paku payung standar (warna putih
gilap) sebanyak 20.000 kali?
Catatan
Untuk diketahui bahwa dalam praktek pengundian sekeping mata uang logam�
sebanyak 20.000 kali dapat diganti dengan pengundian 100 keping mata uang� �
logam sekaligus sebanyak 200 kali . Mengapa? Sebab sejalan dengan mengundi�
sekeping mata uang logam sebanyak 3 kali bentuk ruang sampelnya relatif sama
dengan mengundi 3 keping mata uang sekaligus. Secara diagram pohon (Gambar
7) pasangan hasil (I, II, III) misal s3 = (A, G, A) maka titik sampel s3 dibaca
mata uang�
logam I muncul angka A, mata uang logam II muncul gambar G, mata uang logam III
muncul angka A . Sementara untuk pengundian sekeping mata uang logam sebanyak�
3 kali titik sampel s3 = (A, G, A) dibaca titik sampel s3 = pengundian I�
muncul muka
angka A, pengundian II muncul muka gambar G, dan pengundian III muncul muka
angka A . Cermati persamaan dan perbedaan arti sebuah titik sampel s3 pada�
pengundian 3 keping mata uang logam sekaligus dengan pengundian sekeping mata
uang logam sebanyak 3 kali seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.1 dan 7.2
berikut ini.

Perhatikan bahwa antara pengundian 3 keping mata uang logam sekaligus (gambar
7.1) ternyata menghasilkan ruang sampel yang sama (ekuivalen) dengan pengundian
1 keping mata uang logam sebanyak 3 kali.
Penyelesaian Masalah 1
Untuk diketahui bahwa hasil eksperimen yang pernah dilakukan oleh seseorang
(Anton, 1982:79) dan eksperimen pribadi oleh penulis di tahun 2001 diperoleh
hasil-
hasil seperti berikut.

Dari kedua obyek eksperimen (percobaan acak) seperti yang diperlihatkan pada
tabel
di atas tampak bahwa semakin banyak eksperimen dilakukan maka frekuensi relatif
munculnya muka angka (A) pada mata uang logam nilai frekuensi relatifnya akan
semakin mendekati nilai 0,5000 sementara untuk eksperimen yang sama terhadap
paku payung (fines) diperoleh hasil bahwa nilai frekuensi relatifnya akan
semakin
mendekati nilai 0,3100.
Perhatikan bahwa dalam 1 (satu) tempat desimal maka nilai frekuensi relatif
munculnya muka angka (A) pada sekeping mata uang logam dan munculnya hasil
miring (m) pada paku payung (paku pines) jika eksperimen dilakukan sampai
dengan tak hingga kali masing-masing adalah seperti berikut.
fr (A) = = 0,5 dan fr ({m}) =.
21
103
Peluang munculnya suatu hasil eksperimen yang selanjutnya disebut peluang
secara teoritis didefinisikan sebagai nilai frekuensi relatif munculnya hasil
itu
jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang sampai dengan tak hingga kali.
Sementara peluang empiris didefinisikan sebagai frekuensi relatif munculnya
hasil
itu jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang hingga banyak kali namun
tidak tak hingga kali. Oleh sebab itu maka untuk selanjutnya dikatakan bahwa:

Peluang munculnya muka angka A Peluang munculnya hasil
miring m
pada mata uang logam adalah: pada paku payung adalah:
P(A) = dan P({m}) =
21)(lim.
..
Afrn
.103})({lim.
..
mfrn
Lebih lanjut karena hasil eksperimen yang mungkin untuk mata uang logam hanyalah
muka angka A atau muka gambar G sementara untuk paku payumg hanyalah hasil
miring m, atau terlentang t maka
P({m}) =
103
Peluang Miring
P({t}) = 1 =�
103
107
Peluang Terlentang
P(A) =
Peluang Muncul
Muka Angka (A)
P(G) = 1 =�
Peluang Muncul
Muka Gambar (G)
Untuk Sekeping Mata Uang Logam
Untuk Sebuah Paku Payung
Gambar 8
Catatan
1. Obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang sama jika diundi
disebut obyek-obyek eksperimen yang seimbang (homogin) sementara obyek-
obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang tidak sama jika diundi
disebut obyek-obyek eksperimen yang tak seimbang (non-homogin). Pada

contoh di atas mata uang logam termasuk obyek eksperimen yang seimbang
sementara paku payung termasuk obyek eksperimen yang tak seimbang.
2. Untuk selanjutnya peluang yang akan kita gunakan adalah peluang teoritik.
3. Untuk kasus-kasus lain seperti misalnya Diketahui peluang penduduk/warga�
suatu pulau berkata bohong 0,6. Jika kita ambil acak 2 orang penduduk. Tentukan
peluang kedua orang yang terambil itu berkata bohong. Maka P(bohong) = 0,6
diasumsikan sebagai peluang teoritis. Artinya setelah melakukan pengamatan
berulang hingga banyak kali maka frekuensi relatif bohong yakni fr(bohong)

P(S) = P(I jujurII jujur) + P(I jujurII bohong) + P(I bohong II jujur)
+ P(I bohong II bohong) = 1.
Gambar 9
Light upward diagonal
Hasil Berdiri
Mungkinkah?
{b}
cenderung menuju ke nilai 0,6. Maka P(bohong) = 0,6. Sehingga jika diambil acak
sebanyak 2(dua) orang, maka P(kedua orang berkata bohong) adalah:
P(orang I bohong dan orang II bohong) = P(I bohongII bohong) = 0,60,6 =
0,36.
..
Tugas
Untuk meyakinkan kebenaran bahwa P(I bohongII bohong) = 0,36. Selidiki
menggunakan diagram pohon bahwa jumlah peluang munculnya ruang sampel S
yakni
Kini misalkan ada pertanyaan berapakah peluang munculnya hasil berdiri {b} jika
sebuah paku payung standar diundi dengan cara melambungkannya ke udara dan
membiarkannya jatuh di lantai bersemen?
Jika pada suatu eksperimen (percobaan acak) suatu peristiwa A
pasti terjadi maka peristiwa itu disebut sebagai suatu
kepastian. Sementara itu jika pada suatu eksperimen suatu
peristiwa A tak mungkin terjadi maka peristiwa itu disebut
sebagai suatu kemustahilan.
Sekarang kita sudah dapat mengidentifikasi manakah diantara obyek-obyek
eksperimen mana diantara obyek-obyek eksperimen berikut ini yang merupakan
obyek eksperimen setimbang dan tak setimbang. Setimbang berarti jika obyek
eksperimen itu diundi masing-masing hasil yang mungkin berpeluang sama untuk
muncul.

Gambar 10
(a)
(b)
(c)
terlentang (t)
miring (m)
Obyek Tak
Setimbang
muka A
(angka)
muka G
(gambar)
Obyek
Setimbang
Obyek
Setimbang
Masalah 2 (Konsep Frekuensi Harapan)
Dari nilai-nilai peluang munculnya hasil-hasil yang mungkin pada sekeping mata
uang logam dan sebuah paku payung (pines) jika diadakan pengundian kepada
masing-masing obyek eksperimen itu bagaimana frekuensi harapan munculnya hasil
yang mungkin jika pengundian dilakukan hingga 20.000 kali?
Penyelesaian
Jika pengundian dilakukan hingga 100.000 kali maka frekuensi harapan (fh)
munculnya:
Muka Angka Muka Gambar
fh (A) = 100.000P(A) fh (A) = 100.000P(G) ..
= 100.000 = 100.000 .
= 50.000 kali. = 50.000 kali.
Hasil Miring Hasil Terlentang
fr (A) = 100.000P({m}) fr (A) = 100.000P({t})
=100.000 = 100.000
= 30.000 kali. = 70.000 kali.

Jadi jika pengundian atas sekeping mata uang logam dilakukan sebanyak 100.000
kali
maka harapan munculnya muka angka adalah sebanyak50.000 kali dan munculnya
muka gambar juga sebanyak50.000 kali. Sementara untuk sebuah paku payung jika
pengundian dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya hasil miring
30.000 kali dan hasil terlentang 70.000 kali.
Catatan
Frekuensi harapan (fh) munculnya banyak kali hasil A yang diharapkan
jika eksperimen (percobaan acak) dilakukan sebanyak n kali
didefinisikan sebagai
fh (A) = n P(A).
B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa
Masalah 1 (Konsep Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa)
Misalkan 2 (dua) keping mata uang logam diundi
sekaligus. Masalah yang ditanyakan adalah: (a) Hasil-hasil
apa saja yang mungkin terjadi pada eksperimen tersebut?
(b) Tentukan ruang sampel, titik-titik sampel, dan
peristiwa A yang didefinisikan sebagai peristiwa
munculnya muka gambar G tepat sebanyak 1 kali, serta
peristiwa B yang didefinisikan sebagai peristiwa
munculnya muka gambar G tepat sebanyak 2 kali.
Gambarkan kesemuanya itu dalam bentuk diagram pohon
dan kemudian dalam bentuk diagram Venn.
Penyelesaian
a. Dalam Bentuk Diagram Pohon
Dalam bentuk diagram pohon gambaran selengkapnya dari eksperimen (percobaan
acak) tersebut adalah seperti berikut.

s1
s2
s3
s4
A
B
S
Gambar 12b
Berdasarkan peragaan gambar 11b di atas maka:
Ruang sampelnya adalah S = {s1, s2, s3, s4} = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}
Hasil-hasil yang mungkin seperti s1, s2, s3, s4 masing-masing disebut titik
sampel,
A = peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 1 kali = {s2, s3}, dan
B = peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 2 kali = {s4} masing-masing
disebut peristiwa/kejadian dalam ruang sampel S. Peristiwa B dalam S yang tepat
memiliki 1 titik sampel disebut sebagai peristiwa elementer atau peristiwa
sederhana. Sementara peristiwa A yang memiliki lebih dari 1 titik sampel disebut
sebagai peristiwa majemuk.
b. Dalam Bentuk Diagram Venn
S = Ruang sampel hasil eksperimen.
s1, s2, s3, dan s4 adalah titik-titik sampel dalam
ruang sampel S.
A, B S masing-masing disebut peristiwa
dalam ruang sampel S.
.
Peristiwa A yang memiliki lebih dari 1 titik sampel disebut peristiwa majemuk
dan peristiwa B yang memiliki tepat 1 titik sampel disebut peristiwa sederhana
(peristiwa elementer/ elementary event).

C. Prinsip Perkalian
Masalah
Misalkan kita adakan eksperimen (percobaan acak) berupa pengundian sekaligus
sebuah paku payung standar (warna putih gilap) dan sebuah dadu. Pertanyaannya
adalah ada berapa macam (ada berapa cara) hasil yang mungkin terjadi pada
eksperimen tersebut?
Penyelesaian
Amati bahwa dari masalah yang dikemukakan di atas, obyek eksperimen, cara
eksperimen, dan hasil-hasil yang mungkin masing-masing adalah seperti yang
digambarkan berikut.
Berdasarkan kerangka penyelesaian yang digambarkan di atas dapat kita lihat
bahwa
obyek eksperimen I adalah sebuah paku paying sementara obyek eksperimen II
adalah sebuah dadu. Cara eksperimennya adalah diundi sekaligus. Sedangkan hasil-
hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan (m, 1), (m, 2), (m, 3), dan�
seterusnya hingga (t, 6). Atau jika ditulis dalam bentuk lambang titik-titik
sampel

n(S) = n1 n2 n3 nk ?�
semuanya ada 12. Keduabelas titik sampel yang dimaksud adalah s1, s2, s3, ...
dan
seterusnya hingga s12. Sehingga ruang sampel S dari eksperimen di atas adalah:
S = {(m, 1), (m, 2), (m, 3), , (t, 6)} atau S = { s1, s2, s3, . , s12}.� �
Maka n(S) = 12.
Kini pertanyaan selanjutnya adalah apa kira-kira hubungan antara n(S) = 12
dengan
banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen I yakni n(I) = 2 dan
banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen II yakni n(II) = 6?
Amati bahwa setelah dicermati secara seksama ternyata
n(S) = 12 = 2 6 = n(I) n(II). ..
Yakni n(S) merupakan hasil perkalian antara banyaknya cara munculnya hasil yang
mungkin pada obyek eksperimen I dengan banyaknya cara munculnya hasil yang
mungkin pada obyek eksperimen II. Yakni
n(S) = 2 6 = n1 n2. .
Kini bagaimana jika obyek eksperimennya sebanyak k. Yakni obyek eksperimen I,
II,
III, dan seterusnya hingga K. Misalkan masing-masing obyek dapat terjadi�
dalam n1
cara, n2 cara, n3 cara, dan seterusnya hingga nk cara. Berapakah banyak anggota
ruang
sampel S jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus? Apakah saudara
sepakat jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus maka ruang sampel S
akan memuat titik sampel sebanyak
Jika kita sepakat dengan dugaan di atas dari mana kita dapat menyimpulkannya?
Apakah kita menyimpulkannya berdasarkan pola atau dari kerangka berpikir lain
yang mungkin dalam bentuk gambar atau bentuk apa yang mungkin.
Perlu diingat jika kita dapat menyampaikannya dalam bentuk gambar, menurut
Bruner (Jerome Bruner, 1896 1980) peserta didik akan dapat menangkapnya�
secara
jelas dan akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melebihi dari apa yang
pernah mereka terima dari gurunya.
Banyak anggota S seperti yang ditunjukkan pada petak di atas selanjutnya dikenal
sebagai prinsip perkalian . Gambaran selengkapnya seperti berikut.� �

Gambar 14
OI Ok OII OIII
�
Diundi
sekaligus
n1
cara
n2
cara
n3
cara
nk
cara
Obyek Eksperimen
Cara Eksp
Ruang sampel S dengan banyak
titik sampel:
n(S) = n1 n2 n3 nk .�
O2
nk
cara
�
�
s1
s2
s3
sn = sn1 x n2 x x nk�
S
n1
cara n2
cara
Ok
O1
Hasil2 yg
mungkin
Kemungkinan
n(S) = n1 n2 n3 nk .�
Dari kerangka berpikir yang digambarkan di atas kemungkinan terjadinya obyek
eksp O1, O2, O3, ... dan seterusnya hingga obyek eksperimen Ok masing-masing
dapat
terjadi dalam n1 cara, n2 cara, ... , dan seterusnya hingga nk cara. Maka secara
nalar
hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi adalah sebanyak n1 n2 n3 nk�
cara. Yakni

diundi
sekaligus
Obyek Ekp.
Cara Ekp.
I II
Gambar 15
S
A
s2
s3
s1
s4
B
Gambar 10.b
D. Peluang Pada Pengundian
Masalah 1
Dua buah paku payung standar (warna putih gilap)
diundi sekaligus. Jika A adalah peristiwa munculnya
hasil kembar dan B adalah peristiwa munculnya
hasil terlentang minimal sebanyak 1 kali.
a. Gambarkan hasil-hasil eksperimen yang mungkin
terjadi dalam bentuk diagram pohon (termasuk ruang
sampel S dan peristiwa A dalam S yakni AS) .
b. Gambarkan hasil-hasil eksperimenya dalam bentuk diagram Venn.
c. Tentukan P(A) yakni peluang munculnya peristiwa A.
d. Tentukan P(B) yakni peluang munculnya peristiwa B.
e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan B.
Penyelesaian
a. Dengan Penalaran Lengkap
Pertama kita gambar kerangka pemikiran berkenaan dengan hasil-hasil yang
mungkin: ruang sampel S, peristiwa A dan B, serta teknik perhitungan nilai-nilai
peluangnya. Gambaran selengkapnya seperti berikut.

Dari peragaan gambar di atas akan tampak dengan jelas ruang sampel S pada
eksperimen itu, peristiwa A, peristiwa B, dan perhitungan nilai peluang masing-
masing. Jika A adalah peristiwa munculnya hasil kembar maka
A = {(m, m), (t, t)} = {s1, s4} sehingga
P(A) = ({s1, s4}) = P({s1}) + P({s4})
= + = = 0,58. 10058
Jika ruang sampel dan peristiwa A, BS di atas kita gambarkan dalam bentuk

diagram Venn maka gambaran kerangka pemikiran selengkapnya adalah seperti
berikut.
P(B) = P({s4}) + P({s2}) + P({s3})
= + +
= = 0,91. 10091
Jadi peluang munculnya peristiwa/kejadian A dan B dalam ruang sampel S yakni A,
BS masing-masing adalah P(A) = 0,58 dan P(B) = 0,91.
b. Dengan Cara Singkat
Jika A adalah peristiwa/kejadian munculnya hasil kembar pada kedua paku payung,
maka A = {(m, m), (t, t)}. Sehingga P(A) = P({(m, m)}) + P({(t, t)})
= P({(m)})P({(m)}) + P({(m)})P({(m)}) ..
= + 103103.107107.
= + = = 0,58.
Jika B adalah peristiwa/kejadian munculnya hasil terlentang minimal 1 kali maka
berarti peristiwa B = {muncul t satu kali atau muncul t dua kali} = {(m, t), (t,
m), (t, t)}
= {s2, s3, s4}. Maka
P(B) = P({(m, t)}) + P({(t, m)}) + P({(t, t)})
= P({m})P({t}) + P({t})P({m)) + P({t})P({t})
= + + 107103.103107.
= + + = = 0,91. 10021
10021
10091
Jadi peluang munculnya peristiwa BS adalah P(B) = = 0,91.
Selidiki bahwa P(A) = , P(B) =, dan = )(BAP..10049

Karena =Maka berarti P(A) P(B). Sehingga A
dan B adalah dua peristiwa tak bebas. Untuk lebih jelasnya lihat relasi antar
peristiwa yang digambarkan dalam bentuk diagram Venn berikut ini.
10049
...10091
Masalah 2
Dua keping mata uang logam diundi sekaligus. Jika A
adalah peristiwa munculnya muka angka pada mata
uang logam I dan B adalah peristiwa munculnya
muka gambar pada mata uang logam II.
a. Gambarkan hasil-hasil eksperimen yang
mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon
(termasuk ruang sampel S dan peristiwa A dan
peristiwa B dalam S yakni A, B S)
b. Gambarkan hasil-hasil eksperimen tersebut dalam bentuk diagram Venn.
c. Tentukan P(A) dan P(B) yakni peluang munculnya masing-masing dari peristiwa
A dan peristiwa B
d. Tentukan relasi antara peristiwa A dan B.
Penyelesaian
a. Dengan Penalaran Lengkap
Pertama kita gambar kerangka pemikiran berkenaan dengan hasil-hasil yang
mungkin: ruang sampel S, peristiwa A dan B, serta teknik perhitungan nilai-nilai
peluangnya. Gambaran selengkapnya seperti berikut.

A
s1
s2
s3
s4
B
S
Gambar 11.b
Dari peragaan gambar di atas akan tampak dengan jelas ruang sampel S pada
eksperimen itu, peristiwa A, peristiwa B, dan perhitungan nilai peluang masing-
masing. Jika A adalah peristiwa munculnya muka angka pada mata uang logam I,
maka
A = {(A, A), (A, G) }= {s1, s2} sehingga
P(A) = ({s1, s2}) = P({s1}) + P({s2})
= + = + = = 2121.41
42.21
Jika ruang sampel S dan peristiwa A, BS di atas kita gambarkan dalam sebuah
bentuk diagram Venn maka gambaran kerangka pemikiran selengkapnya adalah
seperti berikut.
P(A) = P({s1}) + P({s2})
= + = =
P(B) = P({s2}) + P({s4})
= + = =
Jadi peluang munculnya peristiwa/kejadian A dan B dalam ruang sampel S yakni A,
B
S masing-masing adalah P(A) = dan P(B) = Sementara peluang munculnya
peristiwa (AB) adalah P(AB) = P({s2}) =
21.21
...41

A
B
S
Gambar 17.a
S
A
B
Gambar
b. Dengan Cara Singkat
Jika A adalah peristiwa/kejadian munculnya muka angka pada mata uang logam I,
dan B adalah peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang logam II, maka
masing-masing peristiwa yang dimaksud adalah:
A = {s1, s2} dan B = {s2, s4}. Sehingga AB = {s2}. .
Selidiki dari diagram Venn (Gambar 11.b) maupun dari diagram pohon (Gambar 11.a)
bahwa
P(AB) = P({s2})
= .41
Kini kita selidiki apakah P(AB) = P(A) P(B) . .
= 41
21
= 41.41
Karena P (AB) = P(A)P(B) maka berarti A dan B adalah dua peristiwa bebas.
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada relasi antar peristiwa yang digambarkan
dalam bentuk diagram Venn berikut ini.
.
E. Relasi Antar Peristiwa
Misalkan ruang sampel S berdistribusi seragam (S homogin) yakni masing-masing
titik sampelnya berpeluang sama untuk muncul. A, BS. Relasi antara peristiwa A
dan B dalam ruang ruang sampel S digambarkan seperti berikut.
.
a. Dalam ruang sampel S (S homogin)
A dan B adalah dua peristiwa lepas.
b. A dan B adalah dua peristiwa komplemen.
A = bukan B atau B = bukan A, ditulis

B = Ac . P(Ac) = 1 P(A) atau�
= 1 P(A) untuk = Ac. )'(AP'A�

S
A
B
Gambar
Gambar 17.c
S
A
B
c. P(A) = , P(B) = , P(A . B) = .
107
105
102
Ternyata P(A . B) . P(A) . P(B), maka
A dan B adalah dua peristiwa tak bebas.
d. P(A) = , P(B) = , P(A . B) = .
104
Ternyata P(A . B) = P(A) . P(B), maka
A dan B adalah dua peristiwa bebas.

Latihan 1
1. Sekeping mata uang logam dan 2(dua) buah paku payung diundi sekaligus.
Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu.
Gambar 18
S?
diundi
sekaligus
II
I
III
Obyek Eksp
Cara Eksp
(a) Gambarkan diagram pohon ruang sampel S, titik sampel s1, s2, s3, ... dan
seterusnya dalam S, serta peristiwa-peristiwa A, B dan AB dalam S jika A
adalah peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang logam dan
munculnya hasil kembar pada paku payung. Sementara B adalah peristiwa
munculnya hasil miring m pada paku payung sebanyak 2 kali. Tentukan
peristiwa A, B, dan AB dalam bentuk himpunan.
.
(b) Gambarkan ruang sampel S, titik-titik sampel s1, s2, s3, ... dan seterusnya,
serta
peristiwa-pristiwa A dan B dalam sebuah diagram Venn.
(c) Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa lepas, bebas, tak bebas, atau
komplemen?
2. Ada berapa cara hasil yang mungkin terjadi jika 4 keping mata uang logam, 1
buah dadu, dan 2 buah paku payung diundi sekaligus. Kemukakan alasan dan
penalarannya
3. Tiga buah dadu diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada
eksperimen itu.
Gambar 19
?

diundi
sekaligus
II
I
III
Obyek Eksp
Cara Eksp

(a) Tentukan n(S) yakni banyak anggota ruang sampel S. Jelaskan.
(b) Apakah ruang sampel S berdistribusi seragam? Yakni masing-masing titik
sampelnya berpeluang sama untuk muncul. Kemukakan alasannya.
(c) Jika A, B, C, dan D masing-masing adalah peristiwa munculnya muka 1
sebanyak 0 kali, 1 kali, 2 kali, dan 3 kali, tentukan n(A), n(B), n(C), dan n(D)
yakni banyak anggota titik sampel dari masing-masing peristiwa itu.
(d) Kemukakan relasi diantara peristiwa A, B, C, dan D apakah saling lepas atau
saling partisi dalam ruang sampel S. Kemukakan alasannya.
4. Tiga keping mata uang logam (I, II, dan III) diundi sekaligus. Misalkan S
adalah
ruang sampel pada eksperimen itu. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa dalam S
dengan:
A = peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang ke II atau ke III
B = peristiwa munculnya muka angka A pada mata uang ke I atau ke II
Tentukan relasi antara peristiwa A dan B.
5. Sekeping mata uang logam diundi sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan
munculnya:
a. Muka angka dalam pengundian itu.
b. Muka gambar dalam pengundian itu.
6. Sebuah paku payung diundi sebanyak 1000 kali. Tentukan frekuensi harapan
munculnya:
a. Hasil miring dalam pengundian itu.
b. Hasil terlentang dalam pengundian itu.
7. Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 1200 kali. Tentukam frekuensi harapan
munculnya:
a. Mata dadu genap dalam pengundian itu.
b. Mata dadu prima dalam pengundian itu.
c. Mata dadu genap dan mata dadu prima dalam pengundian itu.
8. Tiga lembar kartu bergambar diundi sekaligus dengan cara melemparkannya ke
udara dan membiarkannya jatuh di tanah. Pertanyaannya adalah:

a. Jika S adalah ruang sampel dari eksperimen itu, tentukan n(S) = ... yakni
banyak anggota S dalam eksperimen itu.
b. Jika AS adalah peristiwa munculnya muka gambar sebanyak 2 kali,
tentukan peluang munculnya peristiwa A.
.
c. Jika BS adalah peristiwa munculnya muka gambar sebanyak 1 kali,
tentukan peluang munculnya peristiwa B.
d. Jika CS adalah peristiwa tak satupun kartu gambar muncul dalam
eksperimen itu, tentukan peluang munculnya peristiwa B.
e. Tentukan relasi antara peristiwa A, B, C, dan D.

BAHAN BACAAN II
KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGAMBILAN SAMPEL
A. Notasi Faktorial
Masalah
Misalkan pada sebuah lomba tebak tepat yang diikuti oleh 3 regu yakni regu A,
regu
B, dan regu C. Misalkan pada lomba ini disediakan 3 hadiah (hadiah I, II, dan
III).
Pertanyaannya adalah ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan pada para
pemenang?
Penyelesaian
Misalkan obyek eksperimen O = {A, B, C} adalah himpunan regu peserta tebak
tepat.
Karena pada eksperimen ini pada umumnya diberikan hadiah I, II, dan III yang
tidak
sama nilai rupiahnya maka berarti urutan pemenang memiliki makna yakni hadiah I
lebih besar dari hadiah II, hadiah II lebih besar dari hadiah III, dan
seterusnya (bila
regu dan hadiahnya lebih banyak). Sehingga gambaran penyelesaiannya adalah
seperti berikut.

3! = 321.
n! = n(n 1)(n 2)(n 3) 21.� � � �
0! = 1.
Perhatikan bahwa berdasarkan peragaan gambar di atas maka hasil-hasil yang
mungkin adalah (A,B,C), (A,C,B), (B, A,C), , (C,B, A) atau s1, s2, s3, s4,�
s5, dan s6. Maka
ruang sampelnya adalah S dengan banyak anggotanya n(S) = 6. Perhatikan pula
bahwa n(S) = 6 berasal dari hasil kali 321. Bentuk perkalian 321 itu
selanjutnya didefinisikan sebagai 3! (baca 3 faktorial). Yakni:�
..
Dengan melihat penalaran seperti yang dikemukakan di atas maka untuk setiap
bilangan cacah n maka
Lebih lanjut didefinisikan (disepakati) bahwa
B. Permutasi
Masalah
Misalkan pada suatu lomba tebak tepat yang diikuti oleh 3 regu (regu A, regu B,
dan
regu C) hanya menyediakan 2 macam hadiah saja yakni hadiah I dan hadiah II.
Pertanyaannya adalah ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan kepada
para pemenang?
Penyelesaian
Misalkan obyek eksperimen O = {A, B, C} adalah himpunan regu peserta tebak
tepat.
Karena pada eksperimen ini hanya menyediakan 2 hadiah maka gambaran
penyelesaiannya adalah seperti berikut.

Dari gambaran kerangka berpikir di atas maka ada 6 cara hadiah I dan II dapat
diberikan kepada para pemenang. Sehingga banyak anggota ruang sampelnya adalah
n(S) = 6. Ruang sampel S yang dimaksud adalah
S = {(A, B), (A,C), (B, A), (B,C), (C, A), (C, B) } = { s1, s2, s3, , s6}.�
Perhatikan bahwa n(S) = 6 tidak lain berasal dari 3 cara dan 2 cara. Yakni:
n(S) = 6
= 32 = = = .
1123..
!1!3
)!23(
!3
.
Amati bahwa susunan elemen hasil (pemenang lomba) seperti (A, B)(B, A) sebab
(A, B) artinya juara I adalah regu A dan juara keduanya adalah regu B. Sementara
susunan elemen hasil seperti (B, A) artinya B juara I dan A juara II. Karena (A,
B)(B,
A) maka berarti susunan urutan mempunyai makna.
.

= .
Jika susunan urutan eleman-elemennya mempunyai makna maka susunan eleman-
elemen itu selanjutnya disebut sebagai eleman-elemen permutasi. Sehingga n(S) =
6
artinya banyaknya permutasi 2 hadiah dari 3 peserta (regu) adalah S dengan
n(S) = = = = . Yakni n(S) = = . peaertadarihadiahP32
32dariP32P
Selidiki jika banyaknya peserta n dan banyaknya hadiah yang disediakan r (tentu
r
n) maka akan selalu benar bahwa banyak anggota ruang sampel S adalah n(S) dengan
n(S) = .
.
nrP
Catatan
artinya banyaknya permutasi (susunan urutan punya makna/diperhatikan) dari
pasangan berurutan r obyek yang berasal dari obyek eksperimen sebanyak n adalah
.
)!(
!
rnn
.
C. Kombinasi
Masalah
Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D) diundang 2
orang wakilnya untuk rapat keluarga. Pertanyaanya adalah ada berapa cara
undangan itu dapat dipenuhi? Bagaimana pula jika yang diundang adalah 3 orang
dari 4 bersaudara itu?
Penyelesaian
Dari masalah yang dikemukakan di atas maka obyek eksperimennya adalah O = {A, B,
C, D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang hadir dalam rapat keluarga
sebanyak 2 orang wakilnya. Bagaimana bila eksperimennya diganti dengan
mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 3 orang wakilnya. Ruang sampel

n(S) = 6
n(S) = 4
dari masing-masing eksperimen itu adalah himpunan semua hasil yang mungkin
terjadi pada eksperimen itu. Penalaran selengkapnya adalah seperti berikut.
Tabel 3
No.
Obyek
Eksperimen
Cara Eksperimen
(Hadir)
1.
2.
O = {A, B, C, D}
O = {A, B, C, D}
Mengundang 2
orang wakilnya
untuk rapat
keluarga

Mengundang 3
orang wakilnya
untuk rapat
keluarga
(A,B) = s1 .... baca A dan B = s1.
(A,C) = s2
(A,D) = s3
(B,C) = s4
(B,D) = s5
(C,D) = s6
(A,B,C) = s1
(A,B,D) = s2
(A,C,D) = s3
(B,C,D) = s4
Perhatikan bahwa rangkaian hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi seperti
di
atas selanjutnya disebut elemen-elemen kombinasi sebab elemen hasil seperti
(A,B) dan (B,A) hanya diwakili oleh (A,B) saja? Mengapa? Sebab (A,B) artinya
yang
hadir adalah A dan B. Sedangkan (B,A) artinya yang hadir adalah B dan A. Karena
yang
hadir adalah A dan B sama dengan yang hadir adalah B dan A. Maka susunan hasil
eksperimen seperti (A,B) = (B,A).
Karena susunan hasil seperti (A,B) = (B,A) maka secara lebih tepat dapat diganti
dengan {A,B} sebab jelas bahwa penulisan himpunan tidak memungkinkan adanya
pengulangan elemen dan susunan elemen-elemennya tidak diperhatikan. Yakni {A,B}
= {B,A}. Hal yang sama {A,B,C} = {B,C,A} = {C,A,B} dan lain-lain sebab sama-sama
berarti bahwa yang hadir adalah si A, si B, dan si C. Oleh sebab itu penulisan
elemen-
elemen kombinasi akan lebih tepat jika ditulis dalam bentuk himpunan bukan dalam
bentuk pasangan berurutan.
Dalam bentuk himpunan, banyaknya hasil yang mungkin jika 4 bersaudara {A, B, C,
D}
diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga maka Kini dalam bantuk himpunan

STATISTIKA DAN PELUANG

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to STATISTIKA DAN PELUANG

Similar to STATISTIKA DAN PELUANG (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

STATISTIKA DAN PELUANG