2. 2
Науково-досліднаробота вчителя математики з питання:
«Золотий переріз» -найвищий прояв структурної та
функціональної досконалості навколишнього світу
Посібник включає в себе навчально-методичні матеріали, що
розкривають поняття золотого перерізу та його універсальний принцип як
вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин
у науці, мистецтві та природі.
Схвалено та рекомендовано
до друку педагогічною радою
Калинівського навчально-виховного комплексу
Снігурівського району, Миколаївської області
Протокол №3 від 18.02.2019
3. 3
«Золотий переріз» - найвищий прояв структурної та
функціональної досконалості навколишнього світу
Мета пропонованого збірника - з’ясувати поняття золотого перерізу та
розкрити його універсальний принцип як вищий прояв структурної і
функціональної досконалості цілого і його частин у науці, мистецтві та
природі.
Людина розрізняє навколишні предмети за формою. Інтерес до форми
якого-небудь предмету може бути продиктований життєвою необхідністю, а
можебути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежить
поєднання симетрії і золотого перетину і сприяє якнайкращому зоровому
сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з
частин, частини різної величини знаходяться в певному співвідношенні одна
до одної і до цілого.
Краса тішить розум, серце, душу людини. Цю незвичайну красу, красу
розуму, красу науки не раз оспівували поети, філософи, митці. Ще у
Стародавній Греції вважали, що краса розуму – це найвеличніше! Краса
науки полягає у відкритті нових істин, у виявленні стрункого ладу там, де ще
недавно панував хаос. Математика в усі часи була і є «першою красунею»
серед усіх наук, отже, й естетичні принципи науки як такої найяскравіше
виявляються в математиці. Саме математика вносить красув будь-яку науку, у
цьому й полягає, зокрема, її естетична цінність. Як наука неможлива без
творчості, так і творчість неможлива без краси. Математичної творчості це
стосується насамперед: «Всюди, де число, там і краса», - казали ще давні
греки. Мистецькі ідеали пропорційності і гармонійності – це водночас і
математичні ідеали.
Безсумнівно, можна стверджувати, що справжній математик завжди є і
художником, і архітектором, і поетом. За допомогою свого інтелекту
математики створили свій світ, світ уявний, який вони розвивають у всіх
можливих напрямах, у який вірять, який допомагає їм чітко, ясно, глибоко й
усебічно зрозуміти гармонію природи.
Робота присвячена золотій пропорції як прояву гармонії навколишнього
світу.
4. 4
Передмова
Золотий перетин, або золота пропорція
– поняття досить відоме, напевно кожен
щось чув про нього. Але запитайте у кого
завгодно, що це таке, і навряд чи ви
почуєте щось певне. Але ж це явище, яке
закладено в живій природі, будові
клітини, в математиці і анатомії, в
мистецтві, і навіть у відносинах між
людьми.
У сучасних навчальних програмах з
математики тема «Золотий перетин» не
зустрічається. Проте, враховуючи
значення цього матеріалу для реалізації
принципу інтеграції знань, бажано
відшукати час на його вивчення. В усі
часи й епохи однією з основних ознак у
визначенні краси було і є поняття
пропорційності. Пропорції є одним із
основних і найбільш універсальних засобів композиції. Саме тому художник
В.І.Суриков стверджував, що в композиції є якийсь закон, коли в картині не
можна нічого ні забрати, ні додати, навіть зайву крапку поставити не можна,
це справжня математика. А на дверях «Школи малюнка» у Стародавній
Греції було написано: «Сюди не зайде людина, яка не знає геометрії».
Термін «пропорційний» походить від латинського слова proportionally,
яке означає «такий, що має правильне співвідношення між частинами та
цілим», «такий, що перебуває в певному відношенні до деякої величини»,
«такий, що має співрозмірність, певні співвідношення між собою».
Золотий переріз не можна розглядати сам по собі, окремо, без зв’язку із
симетрією. Великий вчений кристалограф Г.В.Вульф вважав золотий переріз
одним із проявів симетрії.
Математика і скульптура, математика і музика, математика і живопис. Що
в них спільного? На перший погляд, нічого. А якщо подивитися уважніше!
Науку і мистецтво поєднує прагнення до пізнання творчості. Вони належать
до людської цивілізації, а тому взаємозбагачують одне одного. Видатні
художники, скульптори, архітектори, інженери широко використовували
красу математичних залежностей у своїй творчості.
5. 5
Для людського розуму симетрія має, мабуть, цілком
особливу приваблюючу силу. Нам подобається дивитися на
прояв симетрії в природі, на ідеально симетричні сфери
планет чи Сонця, на симетричні кристали, на сніжинки,
нарешті на квіти, які майже симетричні
( Р. Фейнман)
Відношення і пропорції з математичної точки зору
Відношенням називається таке число, яке показує, у скільки разів одна
величина більша за другу.
Числа, які складають відношення, називаються членами відношення.
Пропорція – це рівність двох відношень. Слово «пропорція» має таке
значення, як співвідношення частин цілого між собою, кількісне
співвідношення між складовими частинами чого-небудь, розмірність частин
тіла людини; у літературі, архітектурі та мистецтві – розмірне
співвідношення частин твору і один із основних засобів композиції.
Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на дві нерівні
частини, при якому весь відрізок відноситься до більшої частини так, як
більша частина відноситься до меншої. Тобто c : b = b : a.
Якщо взяти відрізок одиничної довжини c = 1, позначити одну з частин
через x (b = x), то інша дорівнюватиме 1 – х (а = 1 – х). Маємо рівняння: 1 : х
= х : (1 – х). Після зведення до спільного знаменника маємо: х2 + х – 1 = 0, х1,2
= (-1± √5) /2. Відкинувши від’ємний результат маємо х ≈ 0,618. Але частіше
беруть відношення всього відрізка до х, тобто 1/х. Саме число 1/х = 1,618
називають числом золотого перерізу і позначають τ. При поділі відрізка у
золотому відношенні c : b = b : a ≈ 1,618. Поділ відрізка у золотому
відношенні за допомогою циркуля та лінійки описано вже у знаменитих
«Началах» Евкліда.
6. 6
Відрізок х можна побудувати, використавши теорему Піфагора.
Спочатку до відрізка АВ будуємо перпендикуляр ВС, довжина якого
дорівнює половині довжини АВ. Потім проводимо АС - гіпотенузу
трикутника АВС. Далі будуємо два кола – одне з центром у точці С і
радіусом ВС, а друге з центром в точці А радіусом АН, де Н – точка перетину
першого кола з АС. Точка М, у якій друге коло перетинає АВ, ділить його у
відношенні АМ : МВ 0,61803…
Як не дивно, але дати просте визначення золотого перерізу досить
складно. Найбільш зрозуміло воно звучить так: золота пропорція
проявляється тоді, коли менша частина цілого відноситься до більшої
частини так само, як більша до цілого. Якщо висловити це співвідношення
на мові чисел, то ціле – це 1, більша частина буде дорівнювати приблизно
0,62, а менша приблизно 0,38.
Історія золотого перерізу
Як дослідили «золотий перетин»? Немає сумнівів, що стародавні
цивілізації знали про золоту пропорцію. Про це свідчать принципи побудови
єгипетських і мезоамериканських пірамід. Також з принципом золотого
перетину були пов’язані священні місця в Стародавній Греції.
Вважають, що поняття золотого поділу ввів у науку Піфагор,
давньогрецький філософ і математик (VI cт. до н.е.). Є припущення, що
Піфагор свої знання про золотий переріз запозичив у єгиптян та вавилонян.
Існує думка, що вивчення золотого перерізу було основним завданням в
знаменитій школі піфагорійців.
І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту
і прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри
використовували співвідношення золотого поділу при їх створенні.
Французький архітектор Ле Корбюзьепомітив, що в побудові храму фараона
Н
7. 7
в Абидосі у рельєфі статуї, що зображує фараона
Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам
золотого перерізу.
Зодчий Хесіра (XXVII ст. до н. е.) тримає в руках
прилад для письма і дві палиці – еталони міри.
Довжини їх відносяться як числа 1 і 5 . У
знаменитому комплексі пірамід у Гізі розмірність
пірамід виражається числами 1,2, 5 . За допомогою їх
можна скласти числа золотого поділу ( 5 -1):2, а за
допомогою мірних палиць Хесіри можна будувати
прямий кут і визначати розміри кутів.
Греки були справжніми геометрами. Навіть
арифметиці навчали своїх дітей за допомогою
геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були
основою для побудови динамічних прямокутників.
Платон (427…347р. до н. е.) також знав про золотийподіл. За допомогою
трикутників Платон будував чотири правильних многогранника, асоціюючи
їх з чотирма земними елементами – землею, водою, повітрям і вогнем. А
останній з п’яти існуючих правильних многогранників – додекаедр, усіма
дванадцятьма гранями якого служать правильні п’ятикутники, претендує на
символічне зображення небесного всесвіту.
У фасаді давньогрецькогохрамуПарфенона присутні золоті пропорції. При
його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і
скульптори античного світу.
У Помпейському циркулі закладено пропорції золотого перерізу.
8. 8
Уперше задачу про золотий переріз сформулював Евклід у «Началах» (ІІ
книга). Інші книги «Начал» містять задачі про поділ відрізка у крайньому та
середньому відношеннях, у тому числі задачі про побудову правильного
опуклого п’ятикутника, додекаедра та ікосаедра. Протягом багатьох століть
після Евкліда про поділ відрізка у крайньомуі середньому відношеннях ніхто
не згадував. Середньовічні європейські вчені довідалися про золотий переріз
лише з арабських перекладів «Начал». У 1202 році вийшов у світ твір «Liber
abacci» італійського математика Леонардо Пізанського, більш відомого як
Фібоначчі. В книзі було подано
розв’язання задачі про розмноження
пари кроликів протягом року. Як
результат, одержано цікавий ряд
чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, і т.д., де кожне наступне число
дорівнює сумі двох попередніх. Ця
послідовність отримала назву ряду
чисел Фібоначчі.
Число золотого перерізу тісно
пов’язане з послідовністю Фібоначчі,
відношення сусідніх чисел якої
використовують для представлення приблизного значення числа τ у вигляді
дробу натуральних чисел. Числа Фібоначчі, названі в честь їх автора і
трапляються у багатьох розділах математики: в комбінаториці, геометрії,
теорії чисел, задачах на максимум та мінімум.
Із золотим перетином тісно пов’язане ім’я італійського математика
ченця Леонардо, відомого під
прізвищем Фібоначчі. Він багато
подорожував Сходом, познайомив
Європу з індійськими, арабськими
цифрами. У 1202 році вийшла у світ
його математична праця «Книга про
абак», у якій були зібрані усі відомі на
той час задачі. Одна з них говорила
«Скільки пар кроликів в один рік від
однієї пари народиться?»
Міркуючи на цю тему, Фібоначчі
вибудував такий ряд:
9. 9
Місяці: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…
Пари кроликів: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55, 89, 144,…
Ряд чисел 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі.
Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член,
починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2+3=5; 3+5=8;
5+8=13; 8+13=21; 13+21=34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду
наближається до відношення золотого перерізу. Так, 21:34=0,617, а
34:55=0,618.
Послідовність Фібоначчі, що стала відомою більшості завдяки фільму і
книзі "Код да Вінчі", це ряд чисел, виведений італійським математиком
Пізанським Леонардо, більш відомим під псевдонімом Фібоначчі, в
тринадцятому столітті. Послідовники вченого помітили, що формула, якій
підпорядкований даний ряд цифр, знаходить своє відображення в
навколишньому світі і перегукується з іншими математичними відкриттями,
тим самим відкриваючи для нас двері в таємниці світобудови.
Ряд Фібоначчі - це математична послідовність, кожен елемент якої
дорівнює сумі двох попередніх. Позначимо будь-який член послідовності як
хn. Таким чином, отримаємо формулу, справедливу для всього ряду: хn + 2 =
хn + хn + 1. При цьому порядок послідовності буде виглядати так: 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34. Наступним числом буде 55, так як сума 21 і 34 дорівнює 55. І так
далі за таким же принципом.
Якщо ми подивимося на
рослину, зокрема, на крону з листя,
то зауважимо, що вони
розпускаються по спіралі. Між
сусідніми листочками утворюються
кути, які, в свою чергу, утворюють
правильну математичну
послідовність Фібоначчі. Завдяки
цій особливості кожен окремо
взятий листочок, якийросте на дереві,
отримує максимальну кількість сонячного світла і тепла.
Математична загадка Фібоначчі
Відомий математик представив свою теорію у вигляді загадки. Звучить
вона так. Можна помістити пару кроликів в замкнутий простір для того, щоб
дізнатися, яка кількість пар кроликів народиться на протязі одного року.
Враховуючи природуцих тварин, те, що кожен місяць пара здатна виробляти
10. 10
на світ нову пару, а готовність до розмноження у них з'являється після
досягнення двохмісяців, в результаті він отримав свій знаменитий ряд чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144… - де показано кількість нових пар
кроликів в кожному місяці.
Послідовність Фібоначчі і пропорційне співвідношення
Цей ряд має декілька математичних нюансів, які обов'язково потрібно
розглянути. Він, наближаючись повільніше і повільніше (асимптотично),
прагне до якогось пропорційного співвідношення. Але воно ірраціональне.
Іншими словами, являє собою число з непередбачуваною і нескінченною
послідовністю десяткових чисел в дробовій частині. Наприклад,
співвідношення будь-якого елементу ряду варіюється біля числа 1,618, то
перевершуючи, то досягаючи його. Наступне за аналогією наближається до
0,618.
Що є обернено пропорційним до числа 1,618. Якщо ми поділимо
елементи через один, то отримаємо 2,618 і 0,382. Як ви вже зрозуміли, вони
також є обернено пропорційними. Отримані числа називаються
коефіцієнтами Фібоначчі.
Усі навколишні нас предмети ми розрізняємо за певними критеріями.
Один з них - форма. Одні форми нас приваблюють більше, якісь менше, а
деякі й зовсім не подобаються.
Помічено, що симетричний і пропорційний об'єкт набагато легше
сприймається людиною і викликає почуття гармонії та краси. Цілісний образ
завжди включає в себе частини різного розміру, які знаходяться в певному
співвідношенні один з одним. Звідси випливає відповідь на питання про те,
що називають Золотим перетином.
Дане поняття означає досконалість співвідношень цілого і частин у
природі, науці, мистецтві.
Послідовність Фібоначчі - основа всього
Спробуємо об'єднати
теорію Золотого перетину і
відомого ряду італійського
математика. Почнемо з двох
квадратів першого розміру.
Потім зверху додамо ще
квадрат другого розміру.
Додамо поруч таку ж фігуру з
довжиною сторони, яка
дорівнює сумі двох попередніх
11. 11
сторін. Аналогічним чином малюємо квадрат
п'ятого розміру. І так можна продовжувати до
нескінченості, поки не набридне. Головне,
щоб величина сторони кожного наступного
квадрата дорівнювала сумі величин сторін
двох попередніх. Отримуємо серію
багатокутників, довжини сторін яких є
числами Фібоначчі. Ці фігури називаються
прямокутниками Фібоначчі. Проведемо
плавну лінію через кути наших багатокутників
і отримаємо - спіраль Архімеда! Збільшення
кроку даної фігури, як відомо, завжди
рівномірно. Якщо включити фантазію, то отриманий малюнок можна
проасоціювати з раковиною молюска. Звідси можемо зробити висновок, що
послідовність Фібоначчі - це основа пропорційних, гармонійних
співвідношень елементів в навколишньому світі.
Наприклад, все та ж раковина молюска, суцвіття звичайної брокколі,
квітка соняшника, шишка хвойного
дерева тощо. Якщо заглянемо далі, то
побачимо послідовність Фібоначчі в
нескінченних галактиках. Навіть
людина, надихаючись від природи і
переймаючи її форми, створює
предмети, в яких простежується
вищезгаданий ряд. Тут саме час
згадати і про Золотий перетин. Поряд
з закономірністю Фібоначчі
простежуються принципиданої теорії.
Існує версія, що послідовність
Фібоначчі - це свого роду проба
природи адаптуватися до більш досконалої і фундаментальної
логарифмічної послідовності Золотого перетину, яка практично ідентична,
але не має свого початку і нескінчена. Закономірність природи така, що вона
повинна мати свою точку відліку, від чого відштовхуватися для створення
чогось нового.
Число золотого перерізу тісно пов’язане з послідовністю Фібоначчі,
відношення сусідніх чисел якої використовують для представлення
приблизного значення числа τ у вигляді дробу натуральних чисел. Числа
Фібоначчі, названі в честь їх автора і трапляються у багатьох розділах
12. 12
математики: в комбінаториці, геометрії, теорії чисел, задачах на максимум та
мінімум.
На початку епохи Відродження у
зв’язку з потребами архітектури зріс
інтерес до золотого перерізу. У 1509
році вихованець славетного в той час
Болонського університету, чернець –
математик Лука Пачолі, під впливом
свого друга і вченого Леонардо да Вінчі
(1452 – 1519) видає книгу під
заголовком « Про божественну
пропорцію». У цій книзі, ілюстрованій
Леонардо да Вінчі, Пачолі розглядає властивості відомої ще з часів Евкліда
пропорції поділу відрізка у крайньому та середньому відношеннях. Сам
Леонардо назвав її відношенням «золотого перерізу».
Ентузіастом золотого перерізу був і Йоганн Кеплер (1571 – 1630), який
пов’язував золотий переріз із будовою Сонячної системи.
Перші роботи, присвячені проявам золотого перерізу у багатьох явищах і
закономірностях біологічних об’єктів, з’явилися у кінці ХVІІІ – на початку
ХІХ ст.. Серед них помітно виділяються праці А.Цейзінга. Цейзінг розглядав
золотий переріз як основний морфологічний закон у природі та мистецтві.
Він показав, що цей закон проявляється в пропорціях тіла людини і тіла
красивих тварин. Густафом Фехнером був встановлений зв'язок між
психофізичним сприйняттям людини і «золотими» формами предметів.
Т.Кук приділяє багато уваги вивченню ролі логарифмічної спіралі у
рослинних і тваринних об’єктах. Він встановив, що феномен росту у
біологічних об’єктах пов'язаний зі спіралями золотого перерізу. Про
значення золотого перерізу у природі та мистецтві пишуть Г. Тимерінг, М.
Гіка, Г. Грім, які наводять численні приклади проявів золотого перерізу в
явищах природи і різних видах мистецтва. Після деякого послаблення уваги
до золотого перерізу в середині ХХ ст.. та у другій його половині з’явилася
тенденція більш серйозногоставлення до нього з боку вчених – спеціалістів у
різних галузях знань, зокрема в біології. Справжній «вибух» досліджень з
даної теми припав на останні роки ХХ ст.. У ці роки з’явилися ґрунтовні
праці, де золота пропорція та її закономірності використані як своєрідний
методологічний принцип, що лежить в основі аналізу самоорганізуючих
природних і технічних систем, їх структурної гармонії.
Золотий переріз має прояв і в геометрії. Прямокутник, відношення сторін
якого дорівнює 1,618, називають «золотим». Якщо відділити від нього
13. 13
квадрат АВEF, сторона якого збігається з меншою стороною прямокутника,
отримаємо знову «золотий» прямокутник ECDF. Якщо провести діагональ
цього прямокутника, то вона перетнеться з відрізком EF у точці О, яка
обидва ці відрізка ділить «золотим поділом», тобто FO : OE = AO : OC = τ.
Справді, ∆ AFO подібний ∆ CEO (за двома кутами).
Оскільки BE : EC = τ (за умовою), BE = AF
як сторона квадрата, то AF : EC = τ, тобто
коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює
τ, звідки FO : OE = τ, AO : OC = τ.
Якщо від прямокутника ECDF відрізати
квадрат і повторити це кілька разів, то весь час
будуть утворюватися квадрати й «золоті» прямокутники.
Рівнобедрений ∆ АВС з кутом при вершині 360 називається «золотим», бо
відношення бічної сторони до основи: AB : AC = τ. Цікаво, що кут А
дорівнює куту С і дорівнює 720 , тому, якщо провести бісектрису кута А, то
вона відтинає подібні трикутники CAD i ABC. ∆САD – «золотий». При цьому
трикутник АВD – рівнобедрений, AD = BD, тому точка D ділить бічну
сторону у «золотому» відношенні. BD : DС = τ. Якщо продовжити процес
побудови нових бісектрис і нових рівнобедрених трикутників, отримаємо
естетичне задоволення від відчуття краси й гармонії відрізків, що
з’являються.
А
В
С
14. 14
Окрім пентаграми, золоті
відношення є і в правильних
многогранниках. Правильний
многогранник – це такий
многогранник, всіграні якого рівні та є
правильними многокутниками. Ще у
«Началах» Евкліда доведено, що існує
5 видів правильних многогранників,
або Платонових тіл: тетраедр
(правильна трикутна піраміда),
гексаедр (куб), октаедр (правильний
восьмигранник), додекаедр (правильний дванадцятигранник), ікосаедр
(правильний двадцятигранник).
Геометрія додекаедраі ікосаедра тісно пов’язана із золотою пропорцією.
Якщо взяти ребро довжиною 1 і знайти їх зовнішню площу та об’єм, то вони
легко виражаються через золоту пропорцію.
В античній літературі золотий поділ уперше згадується в «Началах»
Евкліда. В другій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого
поділу. Секрети золотого поділу в той час зберігалися в строгій таємниці.
В епоху Відродження
широке застосування
знайшла схема, що описує
будову людського тіла.
До такої картинки, по суті
відтворюючої пентаграму,
неодноразово прибігав і
Леонардо да Вінчі. Він
виконав малюнок, де
показано, що розмах
витягнутих в сторону рук
людини наближено дорівнює її
росту, внаслідок чого фігуру
людини можна вписати в
квадрат і в круг.
Малюнок і текст ще називають
канонічними пропорціями.
Її інтерпретація: тіло людини має божественну досконалість, тому що
закладені в ньому пропорції – такі ж, як у головній небесній фігурі
(пентаграмі). Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських
15. 15
художників емпіричний досвід великий,
а знань мало. Він задумав і почав писати
книгу по геометрії, але в цей час
з’явилася книга ченця Луки Пачолі, і
Леонардо залишив свій задум.
Італійський математик Лука Пачолі
(бл.1445-1509 ) написав натхненний
трактат «Божественна пропорція», де
опоетизував золотий переріз. Ілюстрації
до книги Пачолі виконав геніальний Леонардо да Вінчі (1452-1519 ), якому й
належить термін «золотий переріз».
Вивчаючи безсмертне творіння Леонардо да Вінчі – портрет Монни Лізи
(Джоконди), дослідники виявили, що вся композиція рисунка заснована на
трикутниках, які є частинами правильного зіркового п’ятикутника тобто на
«золотих трикутниках».
Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий переріз одним зі
скарбів геометрії. Він перший звернув увагу на значення золотої пропорції
для ботаніки (ріст рослин та їх будова).
Піфагорійська зірка
Улюбленою геометричною фігурою
піфагорійців була пентаграма, яку називали
піфагорійською зіркою.
Розглянемо правильний п’ятикутник.
Проведемо в ньому діагоналі. Виявляється,
що відношення діагоналі правильного
п’ятикутника до його сторони дорівнює
золотому перерізу. Якщо на сторонах
правильного опуклого п’ятикутника побудувати рівні рівнобедрені
трикутники, то матимемо так звану пентаграму
– п’ятикутну зірку. Пентаграма була відома ще
в кам’яному віці і вважалася «магічною
фігурою».
Піфагор вважав правильний п’ятикутник
незвичайною фігурою і дарував його
зображення лише друзям як символ дружби.
Піфагорійці використовували цю фігуру,
креслячи її на піску, щоб привітати або
16. 16
розпізнати один одного. Саме її вони взяли емблемою та розпізнавальним
символом свого союзу. Вони також вважали пентаграму амулетом здоров’я.
Фігура ця справді дуже цікава: вона має властивості, які виділяють її серед
інших зірок.
Сума кутів пентаграми дорівнює двом прямим кутам, тобто 1800 .
Ще цікавіші властивостімають точки перетину сторін піфагорійської зірки.
Позначимо в пентаграмі АВСDE довжини відрізків АІ, ВК, СF,… через у, а
довжини відрізків НІ, ІК, КF,… через z. Трикутник ІAH рівнобедрений з
кутами 720 при основі, кут ВАН також дорівнює 720 . Отже, ∆ НВА ~ ∆ ІАН.
Тоді АВ = у + z. Відрізок АВ – сторона п’ятикутника АВСDЕ, описаного
навколо пентаграми. Трикутник АDВ – рівнобедрений і подібний
трикутникам ІАН і ВАН, оскільки у трикутників кути при вершині
дорівнюють 360.
Тому має місце така пропорція:
АВ : ВD=АН : АВ=ІН : НА,
або
( y + z ):(2у +z)=у :(у +z)=z : у.
А це означає, що
АК : АС=КС : АК і АІ : АК=ІК : АІ.
Отже, в точці К було проведено золотий переріз сторони АС, тобто такий
поділ відрізка на дві частини, при якому більша частина його так відноситься
до всього відрізка, як менша частина до більшої.
Такий самий золотий переріз можна легко знайти в усіх точках перетину
сторін зірки Піфагора.
«Зоряними» многокутниками займався відомий польський математик Ян
Брожек з Кружелува (1585 – 1662 р.р.).
П'ятикутна зірка – пентаграма – завжди привертала увагу людей
досконалістюформи. І в наш час п'ятикутна зірка зустрічається на прапорах і
Самостійне рішення
Самоідентифікація
Допитливість
Цікавість
Самозбереження
17. 17
гербах багатьох країн, наприклад Китаю, США, Сінгапуру, В'єтнаму,
Туреччини, Євросоюзу.
У XVIII ст. правило « золотої пропорції» перетворилося в академічний
канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною,
у запалі боротьби «разом з водою виплеснули і дитя». Знову «відкрито»
золотий перетин було в середині XIX ст. У 1855 році німецький дослідник
золотого перерізу професор Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні
дослідження». Він абсолютизував пропорцію золотого перерізу, оголосивши
її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва.
Застосування золотого перерізу
Учені неодноразово намагалися відповісти на запитання, якою мірою
реальні співвідношення між лінійними розмірами окремих частин тіла
людини відповідають правилу золотого перерізу. А філософ Адольф Цейзинг
проробив колосальну роботу, частину свого життя присвятив вивченню
золотого перерізу. Він провів дослідження кількох тисяч людських тіл, і
виявив, що в середньому талія дорослого чоловіка ділить його тіло у
відношенні золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в
межах середнього відношення 13:8=1,625 і трохи ближче підходять до
золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла, у відношенні якого середнє
значення пропорції виражається у співвідношенні 8:5=1,6 . У немовляти
пропорція складає відношення 1:1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21
року дорівнює чоловічій пропорції. Ця закономірність розповсюджується на
обличчя, руку, кисть.
18. 18
Представлення про золотий
переріз буде неповним, якщо не
сказати про спіраль Архімеда.
Прямокутник з відношенням
сторін 0,61803398 називають
«золотим прямокутником».
Форму золотих прямокутників
мають багато полотен відомих
художників.
Золотий прямокутник цікавий з погляду математики. Якщо від нього
відрізати квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, то
друга його частина зновубуде золотим прямокутником. Якщо продовжувати
від кожного так утвореного золотого прямокутника відрізати квадрати, то
можна отримати безліч квадратів.
Сполучивши протилежні вершини таких
квадратів плавними кривими можна
побачити «золоту спіраль». Форма спіралі
завитої раковини привернула була увагу
Архімеда.
Архімед вивчав її і вивів рівняння
спіралі. Спіраль накреслена за цим
рівнянням, називається його ім’ям.
Збільшення її кроку завжди рівномірно. В
даний час спіраль Архімеда широко
застосовується в техніці.
У формі такої спіралі
зустрічаються в природі багато
молюсків, черепашок, розміщено
насінини на соняшниках.
Згідно золотої спіралі закручена
Галактика Сонячної системи. Взагалі,
золотий прямокутник, золота
спіраль, золотий переріз -
математичні моделі ідеальних
відношень форм і росту.
Й.Кеплер пов’язував їх з будовою
Всесвіту. Великий Гете вважав їх математичними символами життя і
духовного розвитку.
19. 19
Грецький скульптор Леохар (4-е ст.. до н.е.)
створив статую Апполона Бельведерського, якого в
Стародавній Греції вважали ідеалом чоловічої краси.
Відношення золотого поділу в архітектурі
Скульптурні споруди, пам'ятники споруджуються, для того, щоб увічнити
знаменні події, зберегти в пам'яті нащадків імена прославлених людей, їх
подвиги і діяння. Відомо, що ще в стародавні часи основу скульптури
складала теорія пропорцій. Відносини частин людського тіла зв'язувалися з
формулою золотого перетину.
Пропорції «золотого перетину» створюють
враження гармонії краси, тому скульптори
використовували їх в своїх творах. Скульптори
стверджують, що талія ділить досконале людське
тіло відносно «золотого перетину». Так,
наприклад, знаменита статуя Аполлона
Бельведерського складається з частин, що
діляться по золотому перетину.
Великий старогрецький скульптор
Фідій часто використовував «золотий
перетин» в своїх творах.
Найзнаменитішими з них були статуя
Зевса Олімпійського (яка вважалася
однією з чудес світу) і храм богині
мудрості Афіни в Парфеноні. Це один
з найкрасивіших творів старогрецької
архітектури. Парфенон має 8 колон по
коротких сторонах і 17 по довгих.
Благородність матеріалу, з якого
побудований храм, дозволила
обмежити використання
звичайного в грецькій
архітектурі розфарбовування,
він тільки підкреслює деталі і
утворює кольоровий фон
(синій і червоний) для
скульптури.
20. 20
Відношення висоти будівлі
до його довжини рівне 0,618.
Якщо провести розподіл
Парфенона по «золотому
перетину», то одержимо ті або
інші виступи фасаду. Іншим
прикладом з архітектури
старовини є Пантеон.
У стародавніх країнах в
будівлях громадського
призначення широко використовували золоту
пропорцію.
У 1840 році, коли піраміда Хеопса біля Гізи,
ще не мала таких великих пошкоджень,
дослідники встановили, що переріз піраміди,
який проходить через її висоту, паралельно
сторонам основи, - рівнобедрений трикутник,
складений з двох прямокутних трикутників,
сторони кожного з яких утворюють
геометричну прогресію. Висота піраміди в той
час становила 148,2 м ( нині приблизно 137 м), а сторонаквадратної основи –
232,8 м. Отже, відношення висоти піраміди до половини основи: h|0,5 = 1,5.
Цей дивовижнийзбіг, звісно, не дає підстав вважати, що такої форми зодчий
надав їй свідомо.
Пропорцію золотого поділу зустрічаємо у творах зодчих Ренесансу:
Мікеланджело, Палладія, Д.Брамента, а також у
творах представників класицизму в архітектурі
В.Баженова, М.Козакова, А.Захарова. Символом
гармонії, архітектурної завершеності є храм Софії
Київської,
штаб –
квартира ООН
в Нью – Йорку
та Собор
Парижської
Богоматері) – в усіх цих спорудах є
це співвідношення.
21. 21
Золоте відношення у музиці
В теорії музики відношення довжин
струн, що дорівнює 0,5( 5 - 1), забезпечує
їх звучання в гармонійному акорді. Ще
Піфагор та його учні помітили, що висота
звуку струни залежить від її довжини.
Якщо вкоротити струну, то одержиться
звук на октаву вищий. Піфагор міркував
приблизно так: ціла струна звучить як «до»,
половина – «ре», чверть – «мі», восьма –
«фа». Звичайно, на сучасну гаму ще не схоже, проте Піфагор пішов далі.
Його октава стала виражатися так:1-до; 1:2-ре; 1:3-мі; 1:4-фа; 1:5-соль; 1:6-
ля; 1:8-сі; 1:16-до.
Наведу таблицю співвідношення довжин струн, звуки яких складають
деякі музичні інтервали в межах однієї гами:
Прима – 1:1=1
Секунда – 8:9=0,88888
Мала терція – 5:6=0,83333
Велика терція – 4:5=0,80000
Кварта – 3:4=0,75000
Квінта – 2:3=0,66066
Мала секста – 5:8=0,62500
Велика секста – 3:5=0,60000
Септима – 8:15=0,53333
Октава – 1:2=0,50000
Слід відмітити, що значення малої і великої сексти близькі до значення
числа, що відповідає золотому поділу і обидві сексти належать до самих
приємних слуху інтервалам.
Прославлені італійські
майстри скрипкових
інструментів Н.Аматті і
А.Страдіварі свідомо
застосовували золоту
пропорцію, щоб надати
своїм неперевершеним
інструментам привабливого
зовнішнього вигляду. Не
збереглося інформації, як вплинуло застосування золотого перерізу при
зовнішньому оформленні на якість звуку, але безсумнівно те, що ці
інструменти – найкращі у світі.
22. 22
У класичних музичних здобутках також можна знайти золотий переріз.
Але для розташування точки золотого перерізу потрібно пам’ятати, що
музика – мистецтво, яке перебуває в часі, а не у просторі. Тому твори, в яких
потрібно знайти цю точку, необхідно поділяти на чотири рівні часові
відрізки. Точка золотого перерізу, що у цьому випадку не обчислюється, а
відчувається, збігається в класичних творах з кульмінацією (кульмінація –
точка найвищої напруги, що створюється підкресленим, акцентованим,
посиленим звучанням. У мелодії, зазвичай, це найвища нота.) У класичних
музичних творах кульмінація міститься наприкінці третього часового
відрізка. Ще у 1925 році мистецтвознавець Л.Л.Сабанєєв, проаналізувавши
1770 музичних творів 42 авторів, знайшов 3275 золотих перерізів і показав,
що більшість видатних творів можна легко розділити на частини або за
темою, або за інтонаційним ладом, які перебувають між собою у відношенні
золотого перерізу. Крім того, чим талановитіший композитор, тим у більшій
кількості його творів було знайдено золотупропорцію. У Аренського -95%, у
Бетховена -97%, у Гайдна -97%, у Моцарта -91%, у Скрябіна -90%, у Шопена
-91%, у Шуберта -91% від усіх творів. На думку Сабанєєва, золотий переріз
веде до враження особливої стрункості музичного твору. Цей результат він
перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він знайшов у них 178 золотих
перерізи. При цьому виявилося, що не тільки великі частини, але й менші
всерединіетюдів діляться у золотомувідношення та симетричні. У Бетховена
твори також діляться на дві симетричні частини, всередині яких
спостерігається прояв золотоїпропорції. Композитор і вчений М.А.Марутаєв
підрахував кількість тактів у знаменитій сонаті «Апасіоната» і знайшов ряд
числових відношень. У центральній структурній одиниці сонати, де
інтенсивно розвиваються теми і змінюються тональності – два основні
розділи. У першому 43,25 такти, а в другому – 26,75. Відношення між ними
43,25 : 26,75 = 1,617 дає
золотий переріз. У Сонаті
№10 Моцарта всього 73
такти. Перша частина
складається з 28 тактів,
друга – з 45. Відношення
між частинами – 1,62.
Висновок: золотий поділ
є критерієм гармонії
композиції музичного твору.
23. 23
Золоті пропорції у літературі
Багато чим у структурі поетичних творів робить цей вид мистецтва
схожим з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування наголошених і
ненаголошених складів, впорядкована розмірність віршів, їх емоційна
насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш
має свою музичну форму – свій ритм і мелодію. Можна очікувати, що в
структурі віршів з'являться деякі риси музичних творів, закономірності
музичної гармонії, а відповідно і золота пропорція.
Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б,
цей параметр поетичного твору може змінюватися довільно. Проте
виявилося, що це не так. Проведений Н.Васютинським аналіз віршів
О.С.Пушкіна, з цієї точки зору показав, що розміри віршів розподілено не
рівномірно і, що Пушкін явно надавав перевагу розмірам у 5,8,13,21,34 рядки
– числа Фібоначчі. Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні
до музичних творів: у них існують також кульмінаційні пункти, які ділять
вірш у пропорції золотого перерізу. Розглянемо оповідання О.С.Пушкіна
«Станционный смотритель», у якому 377 рядків. Кульмінаційний момент
оповідання – це повідомлення про те, що донька наглядача всетаки поїхала з
гусаром. Цей момент відображено у фразі, що є 214 рядком. Маємо точну
відповідність золотому поділу. Один з останніх віршів Пушкіна «Не дорого
ценю я громкие права…» складається з 21 рядка, і в ньому виділяються дві
смислові частини: у 13 та 8 рядках. Характерно, що перша строфа (13 рядків)
за змістовим наповненням ділиться на 5 і 8 рядків, тобто побудовано за
законом золотого поділу. Великий інтерес викликає роман «Евгений
Онегин», також зроблений Васютинським. Цей роман складається з 8
розділів і у кожному всередньому близько 50 віршів. Але найдовершенішим
та емоційно насиченим є восьмий розділ. У ньому 51 вірш разом з листом
Онєгіна Тетяні (60 рядків), а це точно відповідає числу Фібоначчі 55.
Кульмінацією розділу є освідчення Онєгіна у коханні Тетяні – рядок
«Бледнеть и гаснуть…вотблаженство!». Цей рядок ділить восьмий розділ на
дві частини – у першій 477 рядків, а у другій – 295. Їх відношення дорівнює
1,617!
Таким чином, золотий переріз відіграє у поезії значущу для змісту роль,
виділяючи кульмінаційний етап вірша.
24. 24
Золоті пропорції в образотворчому мистецтві
На знаменитій картині
І.І.Шишкіна «Сосновий бір»,
очевидно проявляються
мотиви золотого перерізу.
Яскраво освічена сосна, яка
стоїть на передньому плані,
ділить довжину картини у
золотому відношенні.
Праворуч від сосни –
освічений сонцем пагорб. Він
ділить у золотому відношенні
праву частину картини по
горизонталі. Зліва від голови
сосни розміщено багато сосен. За бажанням можна успішно продовжити і
надалі поділ картини по золотому перетину. Наявність у картині яскравих
вертикалей і горизонталей, які ділять її у відношенні золотого перерізу,
надають їй характеру врівноваженості та спокою, згідно із задумом
художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює
картину з бурхливим розвитком події, то подібна геометрична схема з
(переважанням горизонталей та вертикалей) стає неприпустимою.
Багатофігурна композиція, виконана Рафаелем у 1509-1510 рр., коли
знаменитий художник – живописець створював свої фрески у Ватикані,
відрізняється динамікою та трагізмом сюжету. Рафаель так і не завершив свій
задум, але на основі його ескізу маловідомий італійський гравер
Маркантиніо Раймонді створив гравюру «Побиття немовлят».
На попередньому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, які йдуть від
смислового центру композиції –
точки, де пальці воїнатримають
дитину. Якщо природним
способом з’єднати ці частини
кривої пунктиром, то з великою
точністю виходить золота
спіраль. Ми не знаємо, чи
малював насправді Рафаель
золоту спіраль при створенні
композиції «Побиття немовлят»,
чи просто «відчував її». Але
впевнено можна стверджувати, що
гравер Раймонді цю спіраль побачив. Про це свідчать додані ним нові
елементи композиції, які підкреслюють розгортання спіралі в тих місцях, де
на ескізі її позначено лише пунктиром.
У мистецтві існує таке протиріччя, якщо композиційний центр картини
і композиції не збігаються, то картина сприймається у динаміці. Художники,
25. 25
Ботічеллі «Народження Венери»
Леонардо да Вінчі. «Таємна вечеря»
помітивши цей факт, стали широко його використовувати, однак постало
запитання, куди потрібно зрушити центр композиції, щоб досягти ефекту
руху?
Це місце на картині і є лінією золотого перерізу. Таке використання
золотого перерізу іноді здійснюється інтуїтивно і зумовлено близькістю
цього поняття до законів гармонії, що існують у природі. Приклади
використання цього правила можна знайти в роботах Ботічеллі «Народження
Венери», Леонардо да Вінчі «Таємна вечеря» і «Джоконда».
27. 27
Принцип відношення золотого
поділу можна спостерігати в
картині І.І.Шишкіна «Ранок в
сосновому лісі». Картина нам
всім відома. Але ведмедів на
картині зобразив не Шишкін, а
його друг та художник Костянтин
Савицький.
На картині М.М.Ге «О.С.Пушкін
в селі Михайлівському» постать
Пушкіна поставлена художником
зліва на лінії золотого поділу.
Висновок. Якщо зображення
симетричне, центр картини і
композиції збігається, то картина
сприймається статично, зображення
виглядає урочисто, однак позбавлене
руху. Якщо ж композиційний центр картини і композиції не збігаються,
картина сприймається у динаміці. Художники стали широко
використовувати факт ефекту руху – місце на картині, що є лінією золотого
перерізу. Приклади використання цього правила можна знайти в роботах
Вечелліо Тиціана «Мадонна з немовлям», О.Іванова – «З’явлення Христа
народу», І.Крамського «Незнайомка» та інших художників.
Тиціан. «Мадонна з
немовлям»
І.Крамський.
«Незнайомка»
28. 28
Золотий поділ у живій природі
У біологічних дослідженнях 1970-1990 рр. показано, що починаючи з
вірусів та рослин і закінчуючи організмом людини, всюди проявляється
золота пропорція, яка характеризує співрозмірність і гармонійність їхньої
будови. Золотий перерізвизнанийуніверсальним законом живих систем.
Наближення числа золотого поділу спостерігається у ботаніці. Якщо через
якусь із бруньок молодого пагона рослини, який ми вважаємо зрізаним
конусом, провеститвірну, то вона на деякій відстані від цієї бруньки зустріне
бруньку, яка розташованатак само, як перша. Підрахувавши, скільки бруньок
міститься на стеблі між цими бруньками і додавши до здобутого числа
одиницю, дістанемо число, яке має назву листкового циклу. Кількість
бруньокв одномуциклі у молодомупагонідуба дорівнює 5, у пагона вишні –
8; є рослини, цикли яких мають 3. 5, 8, 13, 21 бруньку. Бруньки пагона
містяться на однаковій відстані однавід одної. Сполучившитепер послідовно
бруньки одного циклу, дістанемо спіральну лінію. Спіраль між
послідовними, однаково розташованими бруньками, робить відповідно 1, 2,
3, 5 витків. Отже, і листкові цикли, і кількість витків спіралі виражаються
членами ряду Фібоначчі.
Було встановлено, що ряд Фібоначчі характеризує структурну організацію
багатьох живих систем. Наприклад, гвинтове розміщення листків на гілці
становить дріб (число обертів на стеблі до числа листків у циклі, наприклад
2/5, 3/8, 5/13), що відповідає ряду Фібоначчі. Добре відома «золота»
пропорція п'ятипелюсткових квіток яблуні, груші та багатьох інших рослин.
Носії генетичного коду – молекули ДНК та РНК – мають структурну
подвійної спіралі. Її
розміри майже повністю
відповідають числам
Фібоначчі.
Й. Гете підкреслював
тенденцію до
спіральності. Павук
плете павутиння
спіралеподібно. Налякане
стадо північних оленів
тікає по спіралі. Гете
називав спіраль
«кривою життя».
29. 29
Гвинтоподібне та спіральне
розміщення листків на гілках
дерев помітили давно. Спіраль
побачили у розміщенні зернят
соняшника, у шишках сосни,
ананаса, кактуса і т.п. Квіти та
насіння соняшника, ромашки,
лусочки в плодах ананаса,
хвойних шишках нібито
“упаковані “ по логарифмічних “
золотих “ спіралях, що
закручуються назустріч одна
одній, причомучисла “ правих “ і
“ лівих “ спіралей завжди
відносяться один до одного, як
сусідні числа Фібоначчі.
Спільна робота ботаніків та
математиків пролила світло на ці
дивовижні явища природи. Виявилося, що
у розміщенні листків на гілці, зернят
соняшника, шишок сосни проявляє себе
ряд Фібоначчі, відповідно, проявляє себе і
закон золотого перерізу.
30. 30
Н.Н.Степанов відкрив численні прояви золотогоперерізу і чисел Фібоначчі
у структурі ґрунтового покриття, складі ґрунтів та їхній продуктивності.
П.Ф.Шапоренко та В.Ф.Лужецький провели велику кількість вимірів скелету
людини та тварин, зокрема й викопних, простежуючи еволюційні зміни
основних системоутворюючих елементів. Вони переконливо показали, що
гармонійна співрозмірність частин тіла пов’язана з узагальненими р-
пропорціями.
В.І.Коробко знайшов численні, раніше невідомі, прояви золотої пропорції
в організмі людини: його фізіологічних ритмах, ергономічних параметрах
«входження в навколишнє середовище». У зв’язку з вищесказаним слід
зазначити, що центр наукового пошуку проявів золотого перерізу все більше
зміщується до проблем біології. Ще одним прикладом золотого поділу
частин тіла живого організму є радіолярії. Це найпростіші планктонові
морські тварини, які переважно живуть у Тихому та Індійському океанах.
Будучи за розмірами менше 1 мм, вони мають побудовані з кремнезему або
Величини відростків і пелюсток
цикорію підлягають правилу
золотої пропорції
Золотий переріз в листях
троянди
31. 31
зірчасто-кислого стронцію кістяки, які набувають різноманітних правильних
геометричних форм. Установлено, що серед кістяків радіолярій є всі п’ять
видів правильних многогранників.
У багатьох метеликів співвідношення
грудної та черевної частин тіла відповідає
золотій пропорції.
Склавши крила, нічний метелик, утворює правильний рівносторонній
трикутник. Але варто йому розвести крила, і ви побачите принцип поділу
тіла на 2, 3, 5, 8. Бабка теж створена за золотою пропорцією: відношення
довжинихвоста і корпусубабки дорівнює відношенню загальної довжини до
довжини хвоста; прозорі крила бабок – це шедевр інженерної майстерності
природи.
В тілі ящірки, на перший погляд, можна побачити приємні для
сприйняття пропорції – довжина її хвоста відноситься до довжини решти
тіла, як 11 до 7.
32. 32
Має золоті пропорції і пташине яйце:
Золотийпереріз можна знайти і в анатомії.
Закон золотого перерізу помітний у
кількісному поділі людського тіла, що
відповідає числам ряду Фібоначчі.
Перевірено, що відношення середніх значень
лінійних частинтіла людини близькедо числа
золотого перерізу. При цьому основна лінія
поділу (лінія поясу) поділяє висоту
чоловічого тіла в дещо більшому
(13/8=1,625), а
жіночого - в
дещо
меншому
(8/5=1,6)
відношенні, ніж число 1,61803. Значення
першого відношення ближче до числа
золотого поділу. Чоловіче відношення іноді
називають мажорним (збільшеним), а жіноче
– мінорним (зменшеним). З віком людини
значення цього відношення, за Цейзингом,
змінюється. Це відношення можна побачити,
якщо зіставити лінійні розміри частин висоти
у статуї Аполлона Бельведерського, якого
вважали еталоном чоловічої краси, та статуї
Венери Мілоської.
Венера Мілоська
Аполлон Бельведерський
33. 33
Одним із варіантів
пояснення таких частих
проявів золотого
перерізу у природі є
асинхронний поділ
клітин, коли кожна
клітина ділиться на дві,
одна з яких пропускає
наступний такт поділу.
Розглянемо кількісні
характеристики такого
поділу. Після певної кількості синхронних поділів клітини починають
ділитися винятково асинхронно. Після першого такту поділу утворюється дві
клітини А і В, з яких у наступному такті ділитиметься лише В. Після двох
тактів асинхронного поділу утворюється три клітини, з яких у третьому такті
ділитиметься дві. Після третього такту сумарна кількість клітин
дорівнюватиме п’ятьом, з яких у наступному такті ділитиметься три. Отже, в
процесіасинхронного поділу з однієї клітини утворюватиметься 2, 3, 5, 8, 13,
21…клітин, і при кожному наступному такті відношення кількості клітин, що
утворилися після поділу, до їхньої попередньої кількості наближається до
числа золотого перерізу.
Висновок: оптимізація конструкції дає можливість кожному організму
адекватно виконувати свою функцію при мінімально можливих витратах
ресурсів навколишнього середовища. Таким чином, «сліпа» розумна природа
вказує людству єдино правильний можливий шлях до порятунку –
забезпечення його потреб за рахунок ефективних технологій, максимально
зберігаючи енергію та матерію у навколишньому світі.
Золота пропорція у фізиці
У кожної планети є мінімальний радіус орбіти, але є й максимальний – як і
у будь-якого еліпса. У всіх дев’яти планет Сонячної системи відношення
мінімального і максимального радіусів орбіт – цілі степені числа золотого
перерізу. Похибки зовсім незначні – частки відсотка. У Землі ж відношення
радіусів дорівнює числу золотого перерізу першого степеня.
Ще один цікавий факт відношення відстані від Сонця до Землі до відстані
від Сонця до Плутона – число золотого поділу.
Прискорення сили тяжіння при віддаленні від Землі описується формулою:
gh = goR2
/(R + h)2
, де h – висота над поверхнею Землі, R – її радіус.
При опусканні тіла вглиб Землі характер залежності g від h змінюється:
g-h = go (1 – h/R).
34. 34
Коли g-h = go? Зрозуміло, що одним із розв’язків буде h = 0. Другий
розв’язок такий: h = R((51/2
– 1)/2), де ми бачимо вже знайому формулу
золотого перерізу.
Висновок
Отже, для людського розуму відношення золотого перерізу має особливу
приваблюючу силу. Це поняття проходить через всю багатовікову історію
людської творчості. Воно означає врівноваженість, упорядкованість, красу,
довершеність, досконалість. Золотий поділ буквально пронизує увесь
навколишній світ. Його можна спостерігати у формі листків, рослин, квітів, у
розміщеннях окремих органів тіла людини, у мистецтві, у будові деяких
хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах
живих організмів. Золотий переріз – це основна сполучна ланка між
математикою і мистецтвом. Знаючизакономірностізолотого перетину, кожен
художник, скульптор, архітектор, і взагалі, фахівець знають, як зробити свій
витвір приємним оку, як побудувати його за законами краси, гармонії,
досконалості і психології людського сприйняття.
• В СтародавньомуЄгиптііснувала “ система правил гармонії “, в основі
якої лежала золота пропорція.
• В Стародавній Греції Золотий переріз був своєрідним каноном
культури, який пронизував усі сфери науки та мистецтва. Краса та
гармонія стали важливими категоріями пізнання світу.
• У тлумаченні стародавніх греків поняття золотої пропорції і поняття
гармонії – рівнозначні.
• Згідно Піфагора – гармонія має числовезначення, тобто вона пов'язана
з концепцією числа.
• Евклід викладав теорію Платонових тіл, що є одним із розділів
геометричної теорії золотого перерізу.
Джерела інформації
1. Бородін О.І. Біографічний словник діячів у галузі математики, К.,1973.
2. Пойа Д. Математическое открытие. М.,1970.
3. Середа В.Ю. Вчись мислити логічно. К.,1989.
4. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. М.,1981.
5. Бевз Г.П. Виховання учнів математикою. Математика - 2001 - №8,9.
6. Блехман И.И., Мышкис А.Д. Прикладная математика. К., 1976.
7. Василенко О.О. Серенада математиці. К.,1996.
8. Бевз Г.П. Ще раз про термінологію. Математика в школах України – 2003,
№11.
